ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c είναι παράγουσες της f στο και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει τη µορφή G() F() + c, c Μονάδες 6 A Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f; Μονάδες 4 A3 Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Πότε λέµε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο ; Μονάδες 5 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Η διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών αριθµών α + β i και γ + δ i είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους β) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του γ) Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β), τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β), όπου A lim f( ) και B lim f( ) α + β δ) (συν ) ηµ, ε) Αν lim f( ) <, τότε f () < κοντά στο Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
ΘΕΜΑ Β ίνεται η εξίσωση z +, όπου z C µε z z B Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης B Να αποδείξετε ότι z + z B3 Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει Μονάδες 6 w 4 + 3 i z z τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο B4 Για τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος Β3, να αποδείξετε ότι 3 w 7 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f () + ln ( + ), Γ Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f Γ Να λύσετε την εξίσωση: (3 ) + + 4 + ( 3 ) ln Μονάδες 5 Γ3 Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σηµεία καµπής και ότι οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της f στα σηµεία καµπής της τέµνονται σε σηµείο του άξονα ψ ψ Μονάδες 6 Γ4 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα I f( )d Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
ΘΕΜΑ ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις: f ( ) t f( ) 3+ dt f() t t Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο µε παράγωγο f ( ) f( ) f( ), Μονάδες 5 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g () (f ()) f (),, είναι σταθερή 3 Να αποδείξετε ότι 4 Να αποδείξετε ότι f( ) + + 9, Μονάδες 6 + + f()d t t< f()d t t, για κάθε + Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία, θεώρηµα, σελίδα 34 σχολικού βιβλίου Α Θεωρία, ορισµός, σελίδα 79 σχολικού βιβλίου Α3 Θεωρία, ορισµός, σελίδα 73 σχολικού βιβλίου Α4 α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ Β Β Είναι: z+ z z+ z i + i Άρα z i, z + i Β Είναι: z + z ( i) + ( + i) 5 5 ( i) + ( + i) 5 5 ( i ) + ( + i ) ( ) ( ) 5 5 i + i ( ) 5 5 5 5 i + i 5 5 5 5 ( ) ( i ) i+ ( i ) i 5 5 5 5 ( ) i+ ( ) i i+ i η λύση: Είναι: ( ) ( ) ( i) + i( i) i + + i [ ] ( i) + i ( i) ( i) ( i ) + ( i) ( ) Β3 Είναι w 4 + 3 i z z i i i Έστω w + ψ i, τότε + ψ i 4 + 3 i ( 4) + (ψ + 3) i ( 4) + (ψ + 3) 4 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (4, 3) και ακτίνα ρ Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4
Β4 Το w είναι η απόσταση της εικόνας Μ (w) από την αρχή Ο (, ), δηλαδή το µήκος (ΟΜ) Από τη Γεωµετρία όµως, γνωρίζουµε ότι αν η ευθεία ΟΚ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β τότε (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ) () που σηµαίνει ότι η µέγιστη τιµή του w είναι το µήκος (ΟΒ) και η ελάχιστη το µήκος (ΟΑ) Όµως (ΟΑ) (ΟΚ) ρ 5 3 () και (ΟΒ) (ΟΚ) + ρ 5 + 7 (3) O A K(4,-3) B M(w) Εποµένως, λόγω των (), () και (3) έχουµε 3 w 7 η λύση: Γράφουµε : w w+ ( 4+ 3 i) ( 4+ 3 i) Οπότε σύµφωνα µε την τριγωνική ανισότητα έχουµε: w + ( 4+ 3 i) 4+ 3 i w+ ( 4+ 3 i) ( 4+ 3 i) w+ ( 4+ 3 i) + 4+ 3i ή z z 4+ 3i w z z + 4+ 3i ή 5 w + 5 Άρα 3 w 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5
ΘΕΜΑ Γ Γ Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε παράγωγο: + + ( + + ) f ( ) + ( + ) + + + + + Επειδή + + > καθώς και R Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R + > για κάθε R, είναι f ( ) > για κάθε Γ Η δοσµένη εξίσωση γράφεται ισοδύναµα: + + + 4 ( 3 ) ln (3 ) ln( ) + + 4 (3 ) ln (3 ) ln( ) + + + + 4 ln( ) ln (3 ) (3 ) + + + + 4 ln( ) (3 ) ln (3 ) f f ( ) (3 ) () Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι και - Εποµένως από την () προκύπτει 3 3 + Άρα ή Γ3 Είναι ( + ) ( + ) f ( ) + + + ( + ) + ( ) ( ) ( ) + + Είναι f ( ) ή, ενώ είναι f ( ) > (,) και f ( ) < (, ) (, + ) Έτσι η C f έχει σηµεία καµπής στα σηµεία µε τετµηµένες, Η εφαπτόµενη της C f στο έχει εξίσωση (ε ): y f( ) f ( )( + ) y ( + ln) ( + ) y + ln Για προκύπτει y ln Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6
Η εφαπτόµενη της C f στο έχει εξίσωση (ε ): y f() f ()( ) y (+ ln) 3( ) y 3 + ln Για προκύπτει y ln Οι (ε ) και (ε ) τέµνονται στο σηµείο Μ (, ln ) του άξονα y y Γ4 f( )d ( + ln( + ))d d + ( + ) ln( + )d d [( ) ln( )] ( ) ln( ) d + + + + + d + ( )ln( ) ( ) d + + + ( + ) 3 4 3 3 3 + ( ) ΘΕΜΑ t Η συνάρτηση ϕ () t f() t t είναι α) ορισµένη σε όλο το R αφού f (t) t για κάθε t R και β) συνεχής σε όλο το R, ως πηλίκο συνεχών Έτσι η συνάρτηση f ( ) ϕ ( t)dt+ + 3 είναι παραγωγίσιµη στο R, µε + f( ) f( ) f '( ) ϕ ( ) + + f( ) f( ) f( ), R Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε παράγωγο: g ( ) ( f ( ) ) f ( ) f( ) f ( ) f( ) f ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) f f f Άρα η g είναι συνεχής στο R f( ) f( ) f( ), R f( ) 3 Είναι: t f() + 3 + d 3 f() t t t Λόγω του είναι g () c, c R, για κάθε R, άρα ( ) κάθε R f( ) f( ) c, για Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7
Για προκύπτει ( ) c f() f() 9 Έτσι ( f( ) ) f( ) 9 ( ) f f ( ) f( ) + 9 () ( ) ( ) + + 9 Αν θέσουµε h () f (), έχουµε ότι η συνάρτηση h είναι συνεχής στο R και h () για κάθε R, αφού f (), R Άρα η h διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R, δηλαδή είναι ή h () > για κάθε R ή h () < για κάθε R Όµως h () f () 3 > άρα h () >, R και f () >, R () Από την () προκύπτει ότι () ( ) + 9 f f( ) + 9 f( ) + + 9, R 4 Έστω + F( ) f( t)d t, R Είναι + F( ) f( t)d t f( t)d t, R c, c R και F ( ) f( + ) f( ), R () c Όµως + 9 + + + f ( ) + >, R + 9 + 9 + 9 + 9 ηλαδή f ( ) > για κάθε R, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Προκύπτει έτσι: < + f( ) < f( + ) f( + ) f( ) >, R () Λόγω των (), () η F είναι γνησίως αύξουσα στο R + Εποµένως: < + F( ) < F( + ) f ()d t t + < f ()d t t + η λύση: Η F( ) f( t)dt είναι µια αρχική της f στο R και η προς απόδειξη ανισότητα a γράφεται F( + ) F( ) F( + ) F( + ) F( + ) F( ) < F( + ) F( + ) < ( + ) ( + ) ( + ) Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 8
Από ΘΜΤ για την F στα διαστήµατα [, + ] και [ +, + ] προκύπτει ότι υπάρχουν αντίστοιχα ξ (, + ) και ξ ( +, + ) ώστε F( + ) F( ) F ( ξ) f ( ξ) ( + ) F( + ) F( + ) και F ( ξ) f ( ξ) ( + ) ( + ) Έτσι αρκεί να δειχθεί f (ξ ) < f (ξ ) µε ξ < ξ, ή ισοδύναµα ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Πράγµατι: ( ) f ( ) + + 9 + + 9 + >, για κάθε + 9 + 9 + 9 + 9 + + R, δηλαδή f () > για κάθε R και η f γνησίως αύξουσα στο R Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 9