Παράγωγα Τιμολόγηση Αναφέρουμε μερικά εισαγωγικά τα οποία θα χρησιμοποιηθούν μέσω των μαθηματικών εργαλείων σαν υπάρχουσα γνώση για την τιμολόγηση των παραγώγων. Flered pace (Φιλτραρισμένοι Χώροι) Ένας τέτοιος χώρος είναι ο (Ω,F,{ F },P). Όπου (Ω,F,P) είναι ο χώρος πιθανοτήτων και { F, } είναι η ιστορία (Flrao) δηλαδή μια αύξουσα οικογένεια υπο-σ-άλγεβρων του F: F F.... F Ορίζουμε F : F F. Διαισθητική ιδέα. Η πληροφορία για το ω του Ω διαθέσιμη σε εμάς σε χρόνο αποτελείται ακριβώς από τις τιμές του Ζ(ω) για όλες τις F μετρήσιμες συναρτήσεις Ζ. Συνήθως, { F } είναι το aural Flrao F W, W,..., W κάποιων (στοχαστικών) διαδικασιών W W : και τότε η πληροφορία για το ω την οποία έχουμε σε χρόνο αποτελείται από τις τιμές W ( ),..., W ( ). Adaped procee (Προσαρμοσμένες διαδικασίες) Μια διαδικασία : καλείται adaped (ως προς το flrao { F }) αν για κάθε είναι F μετρήσιμη. Διαισθητική ιδέα. Αν Χ είναι προσαρμοσμένη τότε η τιμή ( ) είναι γνωστή σε εμάς σε χρόνο. Συνήθως F W, W,..., W και f W, W,..., W για κάποια B -μετρήσιμη συνάρτηση f στο R. Margale Μια διαδικασία Χ καλείται Margale (σχετικά με ({ F },P)). Αν () Χ είναι adaped () ( ) (3) [ / ] F a.. > Prevble proce (Προβλεπόμενη διαδικασία) Καλούμε μια διαδικασία C ( C : N) προβλεπόμενη αν C είναι F μετρήσιμη, >. Έστω... όπου ανεξάρτητες ισόνομες με P P C ποσό που στοιχηματίζουμε τη χρονική στιγμή
. C ) καθαρό κέρδος τη -οστή φορά. ( ( C είναι το συνολικό καθαρό κέρδος μέχρι το Y C ) χρόνο. Παράγωγα Προιόντα :Fuure ad Opo Fuure: Είναι μια συμφωνία να αγοράσεις ή να πουλήσεις μια συγκεκριμένη ποσότητα ενός αγαθού σε μια συγκεκριμένη μελλοντική ημερομηνία σε τιμή που έχει συμφωνηθεί σήμερα. Υπάρχουν τριών ειδών ανθρώπων που χρησιμοποιούν τα fuure. Hedger: αναζητά τη μείωση του ρίσκου. peculaor: αναζητά το μέγιστο κέρδος. Arbrageur: αναζητά κέρδη χωρίς ρίσκο εκμεταλλευόμενος αναποτελεσματικότητες της αγοράς. Παράδειγμα. peculaor αγοράζοντας ένα fuure. Πιστεύει ότι οι τιμές θα ανέβουν και έχει στη διάθεσή του ευρώ. Για ένα July ol Fuure έχουμε τα εξής Απρίλη Απρίλη Cah 9 ευρώ 35 Fuure,5 3 Στην αγορά των fuure δεν κατατίθενται όλα τα λεφτά αλλά ένα marg % Σενάριο αγορά /9=5 βαρελιών Σενάριο αγορά 5/,5=43 βαρελιών συμβολαίου Fuure (marg) Όπως γίνεται κατανοητό ισχύουν τα εξής R: lmed bu large Reward: ulmed Opo: Είναι ένα συμβόλαιο το οποίο προσφέρει το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση να αγοράσεις ή να πουλήσεις ένα αγαθό σε δοθέν τιμή σε ή πριν μια καθορισμένη ημερομηνία. Το δικαίωμα να αγοράσεις λέγεται call opo ενώ το δικαίωμα να πουλήσεις λέγεται pu opo. Premum ονομάζεται το κόστος του opo. Παράδειγμα. Τρέχουσα τιμή πετρελαίου 6ε ο τόνος. Ο peculaor αναμένει ότι οι τιμές θα ανέβουν. Πράξη αγοράζει ένα τόνο με 6ε Πράξη αγοράζει το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση να αγοράσει ένα τόνο πετρελαίου σε 3 μήνες. Το δικαίωμα κοστίζει 5 ε. 3 μήνες αργότερα ο τόνος κοστίζει 7ε
Κέρδος από την πράξη ε (6,6%) Κέρδος από την πράξη 95 ε (9%) Δίκαιη Τιμή (Far Value) Μια πρώτη άποψη της χρονικής αξίας του χρήματος. Το παράδειγμα του zero-coupo Bod το οποίο εκφράζει το ποσό που πρέπει να δώσουμε σήμερα για να λάβουμε νομισματική μονάδα μετά από χρόνο Τ. Τ Β(,Τ),956,97 3,8685 4,85 () είναι η σημερινή τιμή, F(,) είναι η τιμή του fuure και ισχύει ()=F(,)B(,). Παρατηρούμε ότι F(,)>() γιατί με τα fuure συνεχίζω να έχω λεφτά που τοκίζονται. Συνθήκη Για το Ευρωπαικό call opo το οποίο εξασκείται μόνο κατά την τελική ημερομηνία πρέπει να ισχύει το εξής c max{, B, } όπου c(): me-zero value of a uropea call opo, κ τιμή εξάσκησης. Υποθέτοντας τη μη ύπαρξη μερισμάτων αν δεν ισχύει η παραπάνω συνθήκη θα μπορούσαμε να αγοράσουμε το opo και έπειτα θα αγοράζαμε ένα hor fuure το οποίο θα λήγει την ίδια ημερομηνία με το opo. Έτσι θα είχαμε κέρδος χωρίς ρίσκο. Παράδειγμα Έστω B(,)=,9 ()=98 K=7. Η συνθήκη λέει ότι c()>98-,9*7=35. Αν c()=3 μπορούν να συμβούν τα ακόλουθα. Αγοράζουμε το opo (-3) στη συνέχεια αγοράζουμε ένα hor fuure το οποίο λήγει την ίδια ημερομηνία με το opo. Η τιμή του θα είναι () 98 F (, ) 8,88 Διαφορετικά μπορούμε να πούμε ότι B(, ),9 αγοράζουμε την υποχρέωση να πουλήσουμε την ίδια ημερομηνία στην τιμή των 8,88. Έτσι την ημερομηνία λήξης θα αγοράσουμε στα 7 και θα πουλήσουμε στα 8,88 οπότε το κέρδος είναι (8,88-7)- 3/Β(,Τ)=5,55 ΧΩΡΙΣ ΡΙΣΚΟ. Τιμολόγηση Παραγώγων σε Συνεχή Χρόνο Συνεχείς Διαδικασίες Έχουν τρία χαρακτηριστικά. Πρώτον η τιμή μπορεί να αλλάξει σε οποιοδήποτε χρόνο και από στιγμή σε στιγμή, Δεύτερον κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να ληφθεί σαν τιμή και Τρίτον η διαδικασία αλλάζει συνεχώς και η τιμή δεν μπορεί να κάνει στιγμιαία άλματα. Με άλλα λόγια αν η τιμή αλλάζει από σε,4 πρέπει να έχει περάσει από όλες τις ενδιάμεσες έστω και γρήγορα. Θα 3
αποδείξουμε ότι η κίνηση Brow αποτελεί μια αξιοσημείωτη αποτελεσματική συνιστώσα για τη δημιουργία συνεχών διαδικασιών. Τυχαίος Περίπατος W Για θετικό ακέραιο αριθμό ορίζουμε τη διωνυμική διαδικασίαw να έχει W, τοποθέτηση κατά διαστήματα / (layer pacg), άνω και κάτω άλματα μεγέθους και μέτρο P τέτοιο ώστε οι πιθανότητες άνω και κάτω άλματος να ισοδυναμούν με ½. Με άλλα λόγια αν,,... είναι μια ακολουθία από ανεξάρτητες δυωνυμικές τυχαίες μεταβλητές οι οποίες παίρνουν τιμές + ή με ίση πιθανότητα τότε η τιμή του W για το ι βήμα ορίζεται από W W. παίρνει + πιθανές τιμές από Θεωρούμε το παράδειγμα του W που ως. Σύμφωνα με την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι W το οποίο έχει μέση τιμή και διακύμανση λόγω της κατανομής των Χ. Όταν το γίνεται W τείνει σε Ν(,). Παρόμοια μεγάλο το W ( ) N,. Κάθε τυχαίος περίπατος της παραπάνω μορφής έχει την ιδιότητα ότι οι μελλοντικές του κινήσεις από μια συγκεκριμένη θέση είναι ανεξάρτητες από τη θέση αυτή και επιπλέον κάθε μελλοντική μετατόπιση W W κατανέμεται διωνυμικά με μέσο και διακύμανση. Σύμφωνα με την περιθώρια σύγκλιση και την υπό συνθήκη σύγκλιση η κατανομή του W συγκλίνει προς μία κίνηση Brow. Κίνηση Brow Μια διαδικασία W W : είναι Ρ- κίνηση Brow αν και μόνο αν. W είναι συνεχής και W. η τιμή του W κατανέμεται κάτω από το μέτρο Ρ σαν κανονική τυχαία μεταβλητή Ν(,). 3. Το διάστημα W W Ν(,) κάτω από το μέτρο Ρ και είναι ανεξάρτητο του F Επιπλέον η κίνηση Brow έχει τις εξής ιδιότητες Α. είναι συνεχής παντού αλλά διαφορίσιμη πουθενά. Β. Θα χτυπήσει κάθε αριθμό με πιθανότητα και θα τον ξαναχτυπήσει πάλι. Γ. Θα γυρίσει πίσω στο μηδέν με πιθανότητα 4
Δ. Η κίνηση Brow είναι fracal δηλαδή όποιο υποκομμάτι και να πάρουμε έχει την ίδια μορφή. Η κίνηση Brow είναι πολύ σημαντική διότι με αυτή μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε ένα oc(π.χ. μετοχές). Για παράδειγμα W καλείται κίνηση Brow με drf μ και σταθερό παράγοντα θορύβου σ (volaly). Επιπλέον μπορούμε να έχουμε εκθετική κίνηση Brow της μορφής exp( W ). Παίρνοντας συνεχώς ένα μικρό κομμάτι από διαφορίσιμη συνάρτηση στο τέλος καταλήγουμε σε μια ευθεία γραμμή. Γενικά οι διαφορίσιμες συναρτήσεις αποτελούνται από ευθείες γραμμές και για την επίλυσή τους χρησιμοποιούμε Newoa Calculu. Έτσι μπορούμε να γράψουμε την αλλαγή της τιμής μια Newoa συνάρτησης f για ένα απειροελάχιστο διάστημα d ως df d όπου είναι το drf μεγενθυμένης ευθείας γραμμής στο. Μοναδικότητα των Newoa διαφορικών.. Αν f και f είναι δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις που συμφωνούν στο ( f f ) και έχουν ισοδύναμα drf ( df df ) τότε οι διαδικασίες είναι ίσες. Δηλαδή η f είναι μοναδική δοθέν ενός drf και f.. Δοθέντος μιας διαφορίσιμης συνάρτησης f υπάρχει μόνο μία συνάρτηση drf η οποία ικανοποιεί την f f d. Έτσι το μ είναι μοναδικό δοθέντος του f. Ωστόσο μπορεί το drf να εξαρτάται από την τρέχουσα τιμή της συνάρτησης και θα έχουμε df ( f, ) d η οποία καλείται ordary dffereal equao(od). Μια διαφορίσιμη συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση είναι η λύση της. Όπως προαναφέρθηκε κάθε υποκομμάτι της κίνησης Brow εξακολουθεί να είναι κίνηση Brow. Έτσι μια στοχαστική διαδικασία Χ αποτελείται και από Newoa όρο βασιζόμενο στο d και από Browa όρο βασιζόμενο στο dw. Ο Browa όρος του Χ μπορεί να έχει ένα παράγοντα θορύβου και έτσι η απειροελάχιστη μεταβολή του γράφεται d dw d. Τέτοιες διαδικασίες όπως η Χ και σ των οποίων η τιμή σε χρόνο μπορεί να εξαρτάται από το hory F καλούνται adaped διαδικασίες. Στοχαστικές διαδικασίες Μια στοχαστική διαδικασία Χ είναι μια συνεχής διαδικασία ( : ) τέτοια ώστε το μπορεί να γραφεί ως dw d όπου σ 5
και μ είναι τυχαίες F-prevble διαδικασίες τέτοιες ώστε είναι πεπερασμένο για όλα τα (με πιθανότητα ). Ο διαφορικός τύπος αυτής της ισότητας γράφεται d dw d Μοναδικότητα των volaly και drf. Αν δύο διαδικασίες και συμφωνούν σε χρόνο μηδέν ( ) και έχουν ισοδύναμα volaly drf τότε οι διαδικασίες είναι ίσες. Δηλαδή η Χ είναι μοναδική για δοθέν, και.. Δοθέντος μιας διαδικασίας Χ υπάρχει μοναδικό ζεύγος από volaly,drf που ικανοποιεί την d dw d. Η μοναδικότητα των, προέρχεται από την Doob-Meyer decompoo των emmargale. Στην ειδική περίπτωση όπου τα σ και μ εξαρτώνται από το W μόνο μέσω του όπως λόγου χάρη, όπου σ(χ,) είναι κάποια ντετερμινιστική συνάρτηση, η ισότητα d, dw, d καλείται στοχαστική διαφορική εξίσωση για το Χ. Iô Calculu Αποτελεί το ανάλογο για να μπορέσουμε να λύσουμε διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν όρο Brow. Έστω έχουμε τη συνάρτηση f W W χρησιμοποιώντας τη σειρά aylor προκύπτει το εξής ' '' df W f ( W ) dw f ( W )( dw )... Αν χρησιμοποιούσαμε Newoa calculu τότε θα έπρεπε ( dw ) όμως δεν συμβαίνει αυτό. Χωρίζοντας το διάστημα [,] σε υποδιαστήματα {,/,/,,} θα έχουμε προσεγγιστικά ( dw ) W W. Θεωρούμε W W, τότε για κάθε η ακολουθία,,,,... είναι ένα σύνολο από ισόνομες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Ν(,) επειδή W W N, λόγω της συνθήκης 3 της κίνησης Brow., Επομένως dw αλλά, οπότε σύμφωνα με τον 6
, ασθενή νόμο των μεγάλων αριθμών και έτσι dw και ( dw ) d. Άρα η σειρά aylor γίνεται ' '' df W f ( W ) dw f ( W ) d και ονομάζεται o formula. Αλλαγή μέτρου Εκτός από τα εργαλεία που έχουμε στη διάθεσή μας για τον χειρισμό των στοχαστικών διαδικασιών χρειαζόμαστε και κάτι ανάλογο για το χειρισμό του μέτρου. Εξάλλου η κίνηση Brow έχει νόημα κάτω από κάποιο μέτρο Ρ. Εδώ θα ασχοληθούμε με ισοδύναμα μέτρα. Δύο μέτρα P,Q είναι ισοδύναμα αν λειτουργούν στον ίδιο δειγματικό χώρο και συμφωνούν στο τι είναι δυνατό. Αν Α είναι ένα γεγονός του δειγματικού χώρου και P ( A) Q( A). Με άλλα λόγια αν Α είναι πιθανό κάτω από το Ρ τότε είναι πιθανό και κάτω από το Q και αν είναι απίθανο κάτω από το Ρ είναι απίθανο και κάτω από το Q. Γενικά δύο μέτρα πρέπει να είναι ισοδύναμα πριν χρησιμοποιηθούν τα Rado- Nodym παράγωγα. Εκείνο που θέλουμε αρχικά είναι η από κοινού συνάρτηση πιθανοφάνειας f P ( x,..., x ) για τη διαδικασία που παίρνει τιμές { x,..., x } σε χρόνους {,..., }. Από κοινού συνάρτηση πιθανοφάνειας για κίνηση Brow Αν λάβουμε, x να είναι μηδέν και γράψουμε x, x x τότε δοθέντος της συνθήκης 3 της κίνησης Brow που λέει ότι W W W είναι αμοιβαία ανεξάρτητα μπορούμε να γράψουμε x f P ( x,..., x ) exp Rado-Nodym dervave περίπτωση συνεχής. Υποθέτουμε δύο ισοδύναμα μέτρα P,Q. Δοθέντος ενός μονοπατιού ω για κάθε ταξινομημένο χρονικό πλέγμα {,..., } με ορίζουμε x να dq είναι W ( ), και τότε το παράγωγο για χρόνο και πριν ορίζεται να dp dq f Q ( x,... x ) είναι το όριο του λόγου πιθανοφανειών ( ) lm και το dp f P ( x,..., x ) πλέγμα γίνεται πυκνό στο διάστημα [,Τ]. Επίσης ισχύουν dq Q ( ) P ( ) και Q F ( / ) P ( / F ), όπου dp dq είναι η διαδικασία P ( / F ) και οποιαδήποτε διαδικασία dp προσαρμοσμένη στο hory F. 7
8
C-M-G Αντίστροφο Αν W είναι μία Ρ-κίνηση Brow και Q είναι ένα μέτρο ισοδύναμο του Ρ τότε υπάρχει μια F-prevble διαδικασία τέτοια ώστε W W d είναι Q-Browa Moo. Επιπροσθέτως το Rado-Nodym παράγωγο του Q σε αντιστοιχία του Ρ είναι exp dw d σε χρόνο Τ. o Γενικά το C-M-G θεώρημα είναι ένα ισχυρό εργαλείο για τον έλεγχο του drf οποιασδήποτε διαδικασίας. Παράδειγμα. Έστω η στοχαστική διαδικασία Χ τέτοια ώστε d dw d όπου W είναι Ρ κίνηση Brow. Θέλουμε να βρούμε ένα μέτρο Q τέτοιο ώστε το drf της διαδικασίας Χ να μεταβληθεί σε d. Ξαναγράφουμε ως εξής v d dw d v vd και θέτουμε τότε το γ ικανοποιεί το 3 του C-M-G θεωρήματος και πράγματι υπάρχει ένα νέο v μέτρο Q τέτοιο ώστε W W d είναι Q Browa Moo. Το διαφορικό γίνεται d dw vd. Όπως παρατηρούμε η αλλαγή γίνεται μόνο στο drf και η volaly παραμένει η ίδια. Margale Repreeao heorem Υποθέτουμε ότι M είναι μια Q-Margale διαδικασία της οποίας η volaly ικανοποιεί τον όρο ότι είναι πάντα μη μηδενική. Αν N είναι μια άλλη Q-Margale τότε υπάρχει F-prevble διαδικασία φ τέτοια ώστε N d με πιθανότητα και η Ν μπορεί να γραφεί ως N d. Επιπλέον η φ είναι μοναδική. Κατασκευή Στρατηγικής Έχοντας στη διάθεσή μας τα προηγούμενα μαθηματικά εργαλεία θα κατασκευάσουμε το απλούστερο οικονομικό μοντέλο για τιμολόγηση παραγώγων αυτό των Blac- chole. Χαρτοφυλάκιο Ένα χαρτοφυλάκιο είναι ένα ζευγάρι από διαδικασίες περιγράφουν αντίστοιχα τις μονάδες ecury ( είναι κάτι τυχαίο π.χ. μετοχές) και Bod (δεν περιέχει τυχαιότητα π.χ. μετρητά) τις οποίες v, οι οποίες 9
διαθέτουμε σε χρόνο. Οι διαδικασίες μπορούν να πάρουν είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές. Επίσης η φ πρέπει να είναι F-prevble. Ένα χαρτοφυλάκιο είναι elf-facg όταν η αλλαγή της αξίας του εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή της τιμής του προιόντος (ae). Γενικά αν, είναι ένα χαρτοφυλάκιο με τιμή oc και τιμή Bod B τότε, είναι elf-facg dv d db. Replcag raegy Υποθέτουμε ότι είμαστε σε μια αγορά με Β χωρίς ρίσκο και με ρίσκο και θεωρούμε ένα παράγωγο που λήγει σε χρόνο Τ. Μια replcag raegy για το Χ είναι ένα elf facg χαρτοφυλάκιο (φ,ψ) τέτοιο ώστε d και V B. Blac-chole Μοντέλο Θεωρούμε ένα Bod της μορφής B expr και ένα oc της μορφής exp W όπου r το επιτόκιο. Προεξοφλούμε τα πάντα μέσω της προεξοφλητικής διαδικασίας B επειδή είμαστε σε χρόνο και έχουμε dcoued oc B dcoued clam B. Επομένως η στοχαστική διαφοροεξίσωση θα είναι d ( dw r d) Βήμα Ψάχνουμε μέτρο Q τέτοιο ώστε η Ζ να είναι Margale. Επικαλούμαστε r το C-M-G θεώρημα και εισάγουμε ένα drf στην υπάρχουσα κίνηση Brow. Έτσι υπάρχει ένα ισοδύναμο μέτρο Q τέτοιο ώστε W Q-Browa Moo και συνεπώς Margale. Ομοίως και Ζ Margale αφού d dw. Βήμα Χρειαζόμαστε μια διαδικασία που να τυχαιοποιεί το προεξοφλημένο παράγωγο και να είναι επίσης Q-Margale. Έτσι σχηματίζουμε τη B / F. διαδικασία Q Βήμα 3 Βρίσκουμε μια διαδικασία φ τέτοια ώστε d d. Αυτή προκύπτει από το Margale Repreeao heorem αφού, είναι Q- Margale.
Βήμα 4 Κατασκευάζουμε το χαρτοφυλάκιο B V έχοντας μονάδες oc σε χρόνο και μονάδες Bod. Οπότε προκύπτει ότι B V. Βήμα 5 Από το παραπάνω αποδεικνύεται ότι V είναι elf-facg Βήμα 6 Αποδεικνύεται επίσης ότι είναι και replcag. Βήμα 7 Κατασκευάζουμε το V Q Επίσης έχουμε ότι Q r Q F e F B B V / / Τιμολόγηση ενός call opo. Θεωρούμε, max. Το call opo εξασκείται μόνο όταν αυτό είναι θετικό. Επομένως σύμφωνα με την προηγούμενη formula ισχύει e V Q r. Όμως χρησιμοποιώντας την Q-Browa Moo προκύπτει ότι, exp r W. Γνωρίζουμε ότι N W N W,, κάτω από το μέτρο Q, επομένως N W, οπότε γράφουμε e e V r r το οποίο είναι ίσο με dx x e e r r x log exp. Το κάτω όριο του ολοκληρώματος οφείλεται στο ότι πρέπει e r. Γνωρίζουμε επίσης από την κανονική κατανομή ότι x dy y x exp συνεπώς η τελική μορφή του Blac-chole είναι η εξής r e r V r log log,. Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε =,r=.6,= και σ=.8 προκύπτει. V (Premum).
Τιμολόγηση Παραγώγων σε Διακριτό Χρόνο Θα δούμε τώρα τι συμβαίνει στη διακριτή περίπτωση. Έστω ένα σύνολο δύο σημείων {-,} και Σ το σύνολο των υποσυνόλων του. μ είναι το μέτρο πιθανότητας στο (,Σ) με μ({})=ρ=-μ({-}). Έστω N, ορίζουμε, F, P,, N έτσι ώστε ένα τυπικό στοιχείο του Ω είναι,..., N {, }. Ορίζουμε R : με ( ) έτσι ώστε,..., N είναι ισόνομες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με μέτρο μ. Για F N ορίζουμε p και,...,,..., ενώ p ( )( p) p οπότε προκύπτει ότι το Ζ είναι Margale. Λήμμα Αν Μ είναι Margale στο { F : N}, P τότε υπάρχει μοναδική prevble διαδικασία Η τέτοια ώστε M M H M M H Τιμολόγηση Opo Blac-chole Είμαστε σε μια οικονομία και υποθέτουμε ότι οι αξίες των μονάδων oc και Bod μεταβάλλονται απότομα σε χρόνους,,,ν. Για =,,,Ν γράφουμε B r B, για την αξία μιας μονάδας Bod και μιας μονάδας oc αντίστοιχα καθ όλη τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος (,+). Σε χρόνο ξεκινάμε με μια περιουσία χ που αποτελείται από A μονάδες oc και V μονάδες Bod έτσι ώστε x A V B. Μεταξύ των χρόνων και επενδύουμε τις μονάδες (π.χ. στοίχημα) και έτσι ελάχιστα πριν το χρόνο αυτές έχουν μετατραπεί σε A,V ενώ η περιουσία παραμένει η ίδια x A VB. Παρόμοια ελάχιστα πριν το χρόνο η περιουσία είναι A V B ενώ ακριβώς μετά το χρόνο γίνεται A V B. Η μεταβολή της είναι A V B B () αλλά B B rb και R όπου R είναι το τυχαίο επίπεδο επιτοκίου για το oc σε χρόνο. Οπότε ξαναγράφουμε την () ως εξής A R rv B αλλά rv B r ra συνεπώς η () γίνεται r A R r Θέτουμε Y r () και Y Y r A R r (3) το
Y είναι η προεξοφλημένη αξία της περιουσίας σε χρόνο έτσι ώστε η εξέλιξη (3) γίνεται κεντρικού ενδιαφέροντος. Τώρα θα χρησιμοποιήσουμε και το μέτρο πιθανότητας όπως ορίστηκε προηγουμένως. Κατασκευάζουμε ένα μοντέλο στο οποίο κάθε R παίρνει a b b a μόνο τιμές a,b στο,, όπου a<r<b θέτοντας R το οποίο είναι τυχαία μεταβλητή εφόσον τυχαία μεταβλητή. Άρα αφού το R παίρνει δύο τιμές a, b μπορεί να θεωρηθεί σαν μια τυχαία μεταβλητή Beroull και εφόσον r σταθερό η πιο λογική τιμή που μπορεί να πάρει a b b a είναι R p συνεπώς R r b a p b a (4) r a Μπορούμε τώρα να επιλέξουμε p PR R της ομοιόμορφης b a γιατί p συνεχής στο (,). Από (3) και (4) παρουσιάζεται το Υ σαν στοχαστικό ολοκλήρωμα σε σχέση με το Ζ. 3
Περιεχόμενα Παράγωγα- Τιμολόγηση Παράγωγα Προιόντα :Fuure ad Opo.. Τιμολόγηση Παραγώγων σε Συνεχή Χρόνο.3 Τιμολόγηση Παραγώγων σε Διακριτό Χρόνο.. Περιεχόμενα.4 Βιβλιογραφία 5 4
Βιβλιογραφία Hull J. (993). Opo fuure ad oher dervave. Prece-Hall. Baxer M ad Ree A. (996) Facal Calculu. Cambrdge Uvery Pre. Davd Wllam (99) Probably wh Margale Cambrdge Uvery Pre. 5