Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...20 2.2 Ο τύπος της απόστασης...21 2.3 Οι τύποι του μέσου...23 Κεφάλαιο 3 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ... 26 Κεφάλαιο 4 ΕΥΘΕΙΕΣ... 36 4.1 Κλίση...36 4.2 Οι εξισώσεις της ευθείας...39 4.3 Παράλληλες ευθείες...41 4.4 Κάθετες ευθείες...42 Κεφάλαιο 5 ΤΟΜΕΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ... 48 Κεφάλαιο 6 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ... 53 6.1 Συμμετρία ως προς μια ευθεία...53 6.2 Συμμετρία ως προς ένα σημείο...54 Κεφάλαιο 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 58 7.1 Η έννοια της συνάρτησης...58 7.2 Διαστήματα...61 7.3 Άρτιες και περιττές συναρτήσεις...62 7.4 Επανάληψη στην άλγεβρα: ρίζες πολυώνυμων...63

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ [ΚΕΦ. 3 Κεφάλαιο 8 ΟΡΙΑ... 71 8.1 Εισαγωγή...71 8.2 Ιδιότητες των ορίων...71 8.3 Η ύπαρξη ή όχι ενός ορίου...73 Κεφάλαιο 9 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ... 79 9.1 Πλευρικά όρια...79 9.2 Συναρτήσεις με όριο το άπειρο: κατακόρυφες ασύμπτωτες...80 9.3 Όρια στο άπειρο: οριζόντιες ασύμπτωτες...82 Κεφάλαιο 10 ΣΥΝΕΧΕΙΑ... 90 10.1 Ορισμός και ιδιότητες...90 10.2 Πλευρική συνέχεια...92 10.3 Συνέχεια σε ένα κλειστό διάστημα...92 Κεφάλαιο 11 ΚΛΙΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ... 99 Κεφάλαιο 12 Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ... 105 Κεφάλαιο 13 ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟ... 112 13.1 Παραγωγισιμότητα και συνέχεια...112 13.2 Περισσότεροι κανόνες των παραγώγων...113 Κεφάλαιο 14 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ... 117 14.1 Τοπικά ακρότατα...117 14.2 Ολικά ακρότατα...118 Κεφάλαιο 15 Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ... 129 15.1 Σύνθετες συναρτήσεις...129 15.2 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων...130 Κεφάλαιο 16 ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ... 139 Κεφάλαιο 17 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ.. 143 17.1 Τo θεώρημα του Rolle και τo θεώρημα της μέσης τιμής...143 17.2 Το πρόσημο της παραγώγου...144

ΚΕΦ. 3] ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 Κεφάλαιο 18 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ... 150 Κεφάλαιο 19 ΣΤΙΓΜΙΑΙΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ... 157 Κεφάλαιο 20 ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΕΝΟΙ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ... 161 Κεφάλαιο 21 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ NEWTON... 169 21.1 21.2 Υπολογισμός της τιμής μιας συνάρτησης...169 Το διαφορικό...169 21.3 Η μέθοδος του Newton...170 Κεφάλαιο 22 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ... 175 Κεφάλαιο 23 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ... 181 23.1 Κυρτότητα...181 23.2 Έλεγχος για τοπικά ακρότατα...183 23.3 Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων...186 Κεφάλαιο 24 ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ... 194 Κεφάλαιο 25 ΜΕΤΡΗΣΗ ΓΩΝΙΩΝ... 201 25.1 Μήκος τόξου και ακτίνιο...201 25.2 Προσανατολισμένες γωνίες...203 Κεφάλαιο 26 ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 207 26.1 Γενικός ορισμός...207 26.2 Ιδιότητες...209 Κεφάλαιο 27 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... 219 27.1 Γραφικές παραστάσεις...219 27.2 Παράγωγοι...222

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ [ΚΕΦ. 3 Κεφάλαιο 28 Η ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 231 Κεφάλαιο 29 ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ... 238 29.1 Ορισμός και συμβολισμός...238 29.2 Οι κανόνες των αντιπαραγώγων...239 Κεφάλαιο 30 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ... 246 30.1 Συμβολισμός σίγμα...246 30.2 Το εμβαδόν κάτω από μια καμπύλη...246 30.3 Οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος...249 Κεφάλαιο 31 ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ... 256 31.1 Υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος...256 31.2 Μέση τιμή συνάρτησης...257 31.3 Αλλαγή μεταβλητής ορισμένου ολοκληρώματος...258 Κεφάλαιο 32 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι: ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ... 267 32.1 Εμβαδόν μεταξύ καμπύλης και του άξονα των y...267 32.2 Εμβαδόν μεταξύ δυο καμπυλών...268 32.3 Μήκος τόξου...269 Κεφάλαιο 33 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ II: ΌΓΚΟΣ... 275 33.1 Στερεά εκ περιστροφής...275 33.2 Υπολογισμός του όγκου με τη μέθοδο των διατμήσεων...277 Κεφάλαιο 34 Ο ΦΥΣΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ... 286 34.1 Ορισμός...286 34.2 Ιδιότητες...287 Κεφάλαιο 35 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 294 35.1 Εισαγωγή...294 35.2 Οι ιδιότητες του x...294 35.3 Η συνάρτηση e x...294 Κεφάλαιο 36 ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥ L' HOPITAL ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΑΥΞΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΙΩΣΗ... 303 36.1 Κανόνας του L' Hopitl...303 36.2 Εκθετική αύξηση και μείωση...305

ΚΕΦ. 3] ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 Κεφάλαιο 37 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 311 37.1 Αμφιμονοσήμαντες συναρτήσεις...311 37.2 Αντιστροφές περιορισμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων...312 Κεφάλαιο 38 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ... 325 Κεφάλαιο 39 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ... 331 39.1 Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων...331 39.2 Τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις...333 Κεφάλαιο 40 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ... 340 Παράρτημα Α ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ... 349 Παράρτημα Β ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ... 350 Παράρτημα Γ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ... 351 Παράρτημα Δ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 352 Παράρτημα Ε ΦΥΣΙΚΟΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ... 353 Παράρτημα ΣΤ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 354 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ... 355 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ... 393

Κεφάλαιο 31 Το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού 31.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Θα αναπτύξουμε μια απλή μέθοδο για τον υπολογισμό του b f ( x) dx μια μέθοδο η οποία βασίζεται σε μια σημαντική και θεμελιώδη σχέση μεταξύ της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης. Η σχέση αυτή η οποία ανακαλύφτηκε από τον Isc Newton και τον Gottfried von Leibniz, τους θεμελιωτές του απειροστικού λογισμού, εκφράζεται ως εξής: Θεώρημα 31.1: Έστω ότι η f είναι συνεχής στο [, b]. Τότε, για x στο [, b], η είναι συνάρτηση του x τέτοια ώστε x f ( t) dt x D f () t dt x = f ( x) Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος συμπεριλαμβάνεται στο Πρόβλημα 31.5. Τώρα, για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, ας υποθέσουμε ότι η F ( x) = f ( x) dx συμβολίζει κάποια γνωστή αντιπαράγωγο της f(x) (για x στο [, b]). Σύμφωνα με το Θεώρημα 31.1, η συνάρτηση x f ( t) dt είναι επίσης αντιπαράγωγος της f(x). Άρα, σύμφωνα με το Συμπέρασμα 29.2, για κάποια σταθερά C. Όταν x =, Επομένως, όταν x = b, x f ( t) dt = F( x) + C 0 = f ( t) dt = F( ) + C ή C = F() b f ( t) dt = F( b) F( ) και έχουμε αποδείξει το: Θεώρημα 31.2 (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού): Έστω ότι η f είναι συνεχής στο [, b] και F ( x) = f ( x) dx. Τότε,

ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 257 b f ( x) dx = F( b) F( ) ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Η διαφορά F(b) F() συχνά θα συμβολίζεται με ] b F ( x) ενώ το θεμελιώδες θεώρημα b f ( x) dx = f ( x) dx ] b ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (α) 1 x 3 2 Θυμηθείτε τον πολύπλοκο υπολογισμό του dx = 1 του Προβλήματος 30.2. Εναλλακτικά, αν επιλέγαμε την αντιπαράγωγο x 3 /3 και εφαρμόζαμε το θεμελιώδες θεώρημα, 0 (β) Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν Α κάτω από ένα τόξο της καμπύλης y = sin x. έστω το τόξο από x = 0 μέχρι x = π. Με sin xdx = cos x + 5 το θεμελιώδες θεώρημα μας δίνει Παρατηρήστε ότι κατά τον υπολογισμό του Α οι όροι 5 απαλείφονται. Συνήθως επιλέγουμε την "απλούστερη" αντιπαράγωγο (στην προκειμένη περίπτωση, το cos x) για να τη χρησιμοποιήσουμε στο θεμελιώδες θεώρημα. 31.2 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο μέσος όρος ή μέσος δύο αριθμών 1 και 2 είναι ο 1+ 2 2 Για n αριθμούς, 1, 2,, n Ο μέσος όρος είναι 1 + 2 +... + n n Εξετάστε τώρα τη συνάρτηση f η οποία ορίζεται στο διάστημα [, b]. Καθώς η f μπορεί να πάρει άπειρες τιμές, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απευθείας τον παραπάνω ορισμό για να υπολογίσουμε το μέσο όρο όλων των τιμών της f. Ας διαμερίσουμε όμως το διάστημα [, b] σε n ίσα υποδιαστήματα, μήκους b Δ x = n Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο x στο i υποδιάστημα. Τότε ο μέσος όρος των n τιμών f( x ), f( x ),, f( x ) είναι * i * 1 * 2 * n Αν το n είναι μεγάλο, η τιμή αυτή θα πρέπει να αποτελεί μια καλή προσέγγιση της "μέσης τιμής της f όπως την αντιλαμβανόμαστε πρακτικά στο [, b]." Αλλά,

258 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ. 31 b Καθώς το n προσεγγίζει το άπειρο, το άθροισμα του δεξιού σκέλους πλησιάζει το ρισμό του ορισμένου ολοκληρώματος) και οδηγούμαστε στον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Η μέση τιμή της f στο [, b] είναι 1 b b f ( x) dx. f ( x) dx (σύμφωνα με τον ο- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (α) Η μέση τιμή V του sin x στο [0, π] είναι (β) Η μέση τιμή V του x 3 στο [0, 1] είναι 3 4 Τώρα x dx = x / 4. Επομένως, σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα Έχοντας ορίσει τη μέση τιμή μιας συνάρτησης με αυτόν τον τρόπο, καταλήγουμε στο παρακάτω χρήσιμο θεώρημα. Θεώρημα 31.3 (Θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα): Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, b], λαμβάνει τη μέση τιμή της στο [, b]. δηλαδή, για κάποιο c τέτοιο ώστε c b. Για την απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος, δείτε το πρόβλημα 31.4. Παρατηρήστε ότι, σε γενικές γραμμές, η μέση τιμή ενός πεπερασμένου συνόλου αριθμών 1, 2,.. n δεν συμπίπτει με κανένα από τα i. 31.3 ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Για τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα, απαιτείται μια αντιπαράγωγος f ( x) dx. Είδαμε στο Κεφάλαιο 29 ότι η αντικατάσταση μιας νέας μεταβλητής u μπορεί να είναι χρήσιμη στον προσδιορισμό του f ( x) dx. Όταν η αντικατάσταση γίνεται και στο ορισμένο ολοκλήρωμα, τα όρια ολοκλήρωσης και b θα πρέπει να αντικατασταθούν με τις αντίστοιχες τιμές του u. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ας υπολογίσουμε το 1 5x + 4dx Έστω u = 5x + 4. τότε du = 5 dx. Όσον αφορά τα όρια ολοκλήρωσης: όταν x = 0, u = 4. όταν x = 1, u = 9. Συνεπώς, 0

ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 259 Για την επαλήθευση αυτής της διαδικασίας, δείτε το Πρόβλημα 31.6. Λυμένα προβλήματα 31.1 Υπολογίστε το εμβαδόν Α κάτω από την παραβολή y = x 2 + 2x και πάνω από τον άξονα των x, μεταξύ x = 0 και x = 1. Καθώς x 2 + 2x 0 για x 0, γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της y = x 2 + 2x βρίσκεται στον άξονα των x ή πάνω από αυτόν, μεταξύ των x = 0 και x = 1. Άρα, το εμβαδόν Α δίνεται από το ορισμένο ολοκλήρωμα Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα για τον υπολογισμό, 31.2 Υπολογίστε το + 2 sin π x dx. (Συγκρίνετε το παράδειγμα που ακολουθεί το Θεώρημα 30.4, όπου = 0.) α Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα διότι η συνάρτηση του συνημίτονου έχει περίοδο 2π. 31.3 Υπολογίστε τη μέση τιμή V του x στο [0, 4]. Για ποια τιμή του x στο [0, 4] προκύπτει αυτή η τιμή (όπως προβλέπει το Θεώρημα 31.3); Η μέση τιμή 4 4 3 είναι η τιμή του x όταν x = () 2 3 = 16 9. Σημειώστε ότι 0 < 16 9 < 4 31.4 Αποδείξτε το θεώρημα της μέσης τιμής για ολοκληρώματα (Θεώρημα 31.3). Παίρνουμε Έστω m και M η ελάχιστη και μέγιστη τιμή της f στο [, b] αντίστοιχα. (Η ύπαρξη των m και M προβλέπεται από το Θεώρημα 14.2.) Άρα, m f(x) M για κάθε x στο [, b], και σύμφωνα με το Πρόβλημα 30.3(γ) Αλλά τότε, σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής (Θεώρημα 17.4), η f λαμβάνει την τιμή V κάπου στο [, b].

260 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ. 31 31.5 Αποδείξτε το Θεώρημα 31.1. Παίρνουμε Τότε, Σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής για ολοκληρώματα, το τελευταίο ολοκλήρωμα ισούται με hf ( x * ) για κάποιο x* μεταξύ των x και x + h. Επομένως, και Καθώς το h 0, το x + h x και άρα x* x (καθώς το x* βρίσκεται μεταξύ των x και x + h). Εφόσον η f είναι συνεχής, Και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. 31.6 (Αλλαγή μεταβλητών) Έστω το b f ( x) dx. Θέτουμε x = g(u), όπου, καθώς το x μεταβάλλεται από το στο b, το u αυξάνεται ή μειώνεται από το c στο d. [Δείτε το Σχήμα 31-3. πρακτικά, αποκλείουμε το ενδεχόμενο g (u) = 0 στο [c, d]. Δείξτε ότι [Το δεξί σκέλος προκύπτει αντικαθιστώντας όπου x το g(u), όπου dx το g (u)du, και αλλάζοντας τα όρια ολοκλήρωσης από και b σε c και d αντίστοιχα.] Σχήμα 31-1 Έστω Ο κανόνας της αλυσίδας δίνει

ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 261 Άρα, Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα, 31.7 Υπολογίστε το Θα επιχειρήσουμε να βρούμε την αντιπαράγωγο του x 2 + 1x αντικαθιστώντας u = x2 + 1. Τότε, du = 2xdx και Άρα, σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα, 3 2 3 3 ΑΛΓΕΒΡΑ ( 2) = ( 2). 2 = 2 2 και ( 1) = 1 = 1. Εναλλακτική Μέθοδος: Κάντε την ίδια αντικατάσταση όπως και παραπάνω, αλλά απευθείας στο ορισμένο ολοκλήρωμα, αλλάζοντας κατάλληλα τα όρια ολοκλήρωσης. Όταν x = 0, u = 0 2 + 1 = 1. όταν x = 1, u = 1 2 + 1 = 2. Τότε, ο παραπάνω υπολογισμός μας δίνει 31.8 (α) Αν η f είναι μια άρτια συνάρτηση (Ενότητα 7.3), δείξτε ότι, για κάθε > 0, (β) Αν η f είναι περιττή συνάρτηση (Ενότητα 7.3), δείξτε ότι, για κάθε > 0, Αν u = x, τότε du = dx. Άρα, για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση f(x),

262 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ. 31 Η μετονομασία της μεταβλητής ενός ορισμένου ολοκληρώματος δεν επηρεάζει την τιμή του ολο- ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ κληρώματος: Άρα, αλλάζοντας το u σε x, και επομένως (α) Για μια άρτια συνάρτηση, f(x) + f( x) = 2f(x), από όπου, (β) Για μια περιττή συνάρτηση, f(x) + f( x) = 0, από όπου, ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Συνήθως γράφουμε 31.9 (α) Έστω f(x) 0 στο [, b] και ότι το [, b] μπορεί να διαμεριστεί σε n ίσα μέρη, πλάτους Δx = (b ) /n, χρησιμοποιώντας τα σημεία x 1, x 2,, x n 1 [δείτε το Σχήμα 31-2(α)]. Δείξτε ότι (β) Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του τραπεζίου, για n = 10, για να προσεγγίσετε (α) Το εμβαδόν της λωρίδας που ορίζει το διάστημα [x i 1, x i ] ισούται κατά προσέγγιση με το εμβαδόν του τραπεζίου ABCD του Σχήματος 31-2(β), το οποίο είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Το εμβαδόν ενός τραπεζίου ύψους h και βάσεων b 1 και b 2 είναι 1 h ( b 1 + b 2 ) 2 όπου αντιλαμβανόμαστε ότι x 0 =, x n = b. Στη συνέχεια υπολογίζουμε κατά προσέγγιση το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη χρησιμοποιώντας το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους τραπεζίων,

ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 263 Σχήμα 31-2 (β) Σύμφωνα με τον κανόνα του τραπεζίου, για n = 10, = 0, b = 1, Δx = 1/10, x i = i/10, από όπου προκύπτει ότι η ακριβής τιμή είναι 0.333 1 Περισσότερα προβλήματα 31.10 Χρησιμοποιήστε το θεμελιώδες θεώρημα για να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα: 31.11 Υπολογίστε τα εμβαδά των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τις καμπύλες των παρακάτω συναρτήσεων, πάνω από τον άξονα των x και μεταξύ των δύο υποδεικνυόμενων τιμών και b του x. [Στο ερώτημα (ζ), το εμβαδόν κάτω από τον άξονα των x θεωρείται αρνητικό.] 1 Όταν η f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο, μπορεί να αποδειχτεί ότι το μέγιστο σφάλμα στον κατά προσέγγιση υπολογισμό του b f ( x) dx βάσει του κανόνα του τραπεζίου είναι ((b )/12n 2 )M, όπου M είναι η μέγιστη τιμή της f (x) στο [, b] και n είναι ο αριθμός των υποδιαστημάτων

264 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ. 31 31.12 Υπολογίστε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα: [Υπόδειξη: Στο ερώτημα (ι) εφαρμόστε το Θεώρημα 30.4.] 31.13 Υπολογίστε τη μέση τιμή κάθε μίας από τις παρακάτω συναρτήσεις στο διάστημα που δίνεται: 31.14 Επαληθεύστε το θεώρημα της μέσης τιμής για τα παρακάτω ολοκληρώματα: 31.15 Υπολογίστε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αλλαγής μεταβλητής: 31.16 Υπολογίστε χρησιμοποιώντας αποκλειστικά γεωμετρική συλλογιστική, τη μέση τιμή της [Υπόδειξη: Αν y = f(x), τότε (x 1) 2 + y 2 = 1. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση.] f ( x) x 2 = 2x στο [0, 2]. 31.17 Αν κατά τη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου Τ, ένα αντικείμενο κινείται κατά μήκος του άξονα των x, από το x 1 στο x 2, υπολογίστε τη μέση ανυσματική του ταχύτητα. [Υπόδειξη: υ dt = x.] 31.18 Προσδιορίστε τα: [Υπόδειξη: Στο ερώτημα (γ) χρησιμοποιήστε το Πρόβλημα 31.8(α).] 31.19 Υπολογίστε το x 2 sin xdx. 3 3 31.20 (α) Υπολογίστε την [Υπόδειξη: Για u = 3x 2, ο κανόνας της αλυσίδας δίνει ενώ για το δεξιό σκέλος ισχύει το Θεώρημα 31.1.] (β) Βρείτε έναν τύπο για την (γ) Υπολογίστε τις

ΚΕΦ. 31] ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 265 31.21 Λύστε ως προς b: 5 b x 1 dx =. n 2 n 1 31.22 Αν f ( x k) dx = 1, υπολογίστε το 3 [Υπόδειξη: Έστω x = u k.] 5 k 3 k f ( x) dx 31.23 31.24 Γνωρίζοντας ότι βρείτε: (α) έναν τύπο για την f(x). (β) την τιμή του. 1 31.25 Ορίστε H ( x) dt. + 2 1 t x 1 (α) Υπολογίστε την H(1) (β) Υπολογίστε την H (1) (γ) Δείξτε ότι Η(4) Η(2) < 5 2. 31.26 Αν η μέση τιμή της f(x) = x 3 + bx 2 στο [0, 2] είναι 4, υπολογίστε το b. 31.27 Υπολογίστε το 31.28 Αν η g είναι συνεχής, ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι ίσα; 31.29 Η περιοχή πάνω από τον άξονα των x και κάτω από την καμπύλη y = sin x, μεταξύ των x = 0 και x = π, διαιρείται σε δύο μέρη από την ευθεία x = c. Το εμβαδόν του αριστερού τμήματος ισούται με το 1 3 του εμβαδού του δεξιού. Υπολογίστε το c. 31.30 Υπολογίστε την τιμή (τιμές) του k για την οποία (οποίες) 31.31 Η ανυσματική ταχύτητα υ ενός αντικειμένου το οποίο κινείται στον άξονα των x ισούται με cos 3t. Τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. (α) Βρείτε έναν τύπο για τη θέση του x κάθε χρονική στιγμή t. (β) Υπολογίστε τη μέση τιμή της θέσης του x στο διάστημα 0 t π/3. (γ) Για ποιες τιμές του t στο [0, π/3] το αντικείμενο κινείται προς τα δεξιά; (δ) Ποια η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της τετμημένης x του αντικειμένου; 31.32 Ένα αντικείμενο κινείται ευθύγραμμα με ανυσματική ταχύτητα υ = 3t 1, όπου το υ μετράται σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Ποια η απόσταση που καλύπτει το αντικείμενο στη χρονική περίοδο 0 t 2 δευτερόλεπτα; [Υπόδειξη: Εφαρμόστε το θεμελιώδες θεώρημα.] 31.33 Υπολογίστε τα:

266 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ [ΚΕΦ. 31 31.34 (Κανόνας του μέσου σημείου) Αν στο άθροισμα του Riemnn (30.1),, θεωρήσουμε το x * i ως το μέσο σημείο του i υποδιαστήματος, τότε το άθροισμα λέμε ότι υπολογίζεται βάσει του κανόνα του μέσου σημείου. Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του μέσου σημείου για να υπολογίσετε κατά προσέγγιση το, πραγαμτοποιώντας διαμέριση σε πέντε ίσα υποδιαστήματα και συγκρίνετέ το με το ακριβές αποτέλεσμα που παίρνουμε χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα. 31.35 (Κανόνας του Simpson) Αν διαμερίσουμε το [, b] σε n ίσα υποδιαστήματα χρησιμοποιώντας τα σημεία = x 0, x 1, x 2,, x n = b και ο n είναι άρτιος, τότε ο κατά προσέγγιση υπολογισμός του ο οποίος δίνεται από τον τύπο ονομάζεται προσέγγιση βάσει του κανόνα του Simpson. Εκτός από τον πρώτο και τελευταίο όρο, οι συντελεστές αποτελούνται από εναλλαγές του 4 και του 2. (Η βασική ιδέα εδώ είναι η χρήση παραβολών για την προσέγγιση των τόξων αντί ευθύγραμμων τμημάτων όπως στον κανόνα του τραπεζίου.) 2 Εφαρμόστε τον κανόνα του Simpson για να υ- πολογίστε κατά προσέγγιση το με n = 4 και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την ακριβή τιμή που παίρνουμε χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα. 1 31.36 Έστω το ολοκλήρωμα x 3 dx. 0 (α) Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του τραπεζίου [Πρόβλημα 31.9(α)], με n = 10, για να υπολογίσετε κατά προσέγγιση το ολοκλήρωμα και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την ακριβή τιμή που παίρνουμε χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα. [Υπόδειξη: Μπορείτε να υποθέσετε ότι ισχύει ο τύπος 1 3 + 2 3 + + n 3 = (n (n + 1)/2) 2.] (β) GC Υπολογίστε κατά προσέγγιση το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του μέσου σημείου, για n = 10. (γ) GC Υπολογίστε κατά προσέγγιση το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Simpson, για n = 10. 2 Συνήθως ο κανόνας του Simpson είναι πολύ πιο ακριβής από τον κανόνα του μέσου σημείου ή του τραπεζίου. Αν η f έχει μια συνεχή τέταρτη παράγωγο στο [, b], τότε το μέγιστο σφάλμα στον κατά προσέγγιση υπολογισμό του f ( x) dx με τον κανόνα του Simp- b 5 4 (4) son είναι (( b ) /180n ) M 4, όπου το M 4 είναι το μέγιστο της f ( x) στο [, b] και n είναι ο αριθμός των υποδιαστημάτων.