Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθµού (συµολισµός ) είνι ο θετικός ριθµός που ότν υψωθεί στο τετράγωνο µς δίνει τον ριθµό. Ορίζουµε επίσης 0 0 διότι 0 0 κι προφνώς 1 1 φού 1 1 ΠΡΟΣΟΧΗ : Το σύµολο χρησιµοποιείτι µόνο ότν ο ριθµός (ή η πράστση) που είνι κάτω πό τη ρίζ (δηλδή η υπόριζη ποσότητ) είνι θετικός ή µηδέν. ηλδή γι ν ορίζετι η ρίζ θ πρέπει 0. Χρήσιµο επίσης είνι ν γνωρίζουµε τις τετργωνικές κάποιων ριθµών που χρησιµοποιούντι στις σκήσεις. Πρκάτω σς πρθέτω τετργωνικές ρίζες σικών ριθµών. χ 0 1 4 9 16 5 36 49 64 81 100 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 χ 11 144 169 196 5 56 89 34 361 65 11 1 13 14 15 146 17 18 19 5 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -74-
Β. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Αν µε 0, τότε 0 κι π.χ 4 τότε. 4...(Τι είπ τώρ ο Θεός!!!), τότε 0 ( ηλδή η τετργωνική ρίζ είνι πάντ Αν 0 ριθµός µεγλύτερος ή ίσος του µηδενός ). π.χ 16 4 0...(Όχι άλλο κάρουνο ) Αν 0, τότε ( ) π.χ ( 9) 9...(Πολύ δύσκολο εεεε.) (Το τετράγωνο κι η ρίζ πλοποιούντι!). Όµως ( Το τετράγωνο κι η ρίζ πλοποιούντι, λλά άζουµε πόλυτο στο ποτέλεσµ!) π.χ 1 5 5 5...(Πρτηρούµε ότι ν η υπόριζη ποσότητ είνι ριθµός 0 τότε κι ν µην άλουµε πόλυτο δε µς πειράζει γιτί γίνει το ίδιο ποτέλεσµ ). ηλδή µπορούµε ν πούµε ότι ισχύει: Αν 0, τότε (ΜΟΝΟ όµως ν 0 ) π.χ ( 5) 5 5...(Τώρ όµως ν δε άζµε πόλυτο στο ποτέλεσµ θ µς έγινε ρνητικός ριθµός κάτι που θ ήτν δύντο φού έχουµε δηλώσει πό πριν ότι µι τετργωνική ρίζ είνι πάντ ΘΕΤΙΚΟΣ ριθµός..) Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -75-
Αν, τότε ή. π.χ Αν έχουµε την εξίσωση 4, τότε οι λύσεις υτής θ είνι οι εξής: 4 ή 4. Πράγµτι ν το σκεφτούµε λίγο θ διπιστώσουµε ότι τόσο το όσο κι το - ν υψωθούν στο τετράγωνο θ µς κάνουν 4. Άρ υτές είνι οι λύσεις της εξίσωσης 4. Αν, 0 κι <, τότε κι <. π.χ Πράγµτι 9 < 16... Τώρ ξεχωριστά έχουµε 9 3 κι 16 4. Εύκολ πρτηρούµε ότι: 9 3< 16 4. Αν, 0, τότε. π.χ 5 4 5 10 5 4 100 10 Proof (Απόδειξη) (Υψωνουµε κι τ δυο µελη της ισοτητς στο τετργωνο...) ( ) ( ) ( ) ( ) (Απλοποιουντι οι ριζες µε τ τετργων...) (κι κτλειγουµε σε κτι που ισχυει...) (Αρ ισχυει κι ηρχικη ισοτητ, δηλδη η σχεση που θελµε ν ποδειξουµε...) Αν, 0, τότε (Προφνώς θ πρέπει 0 ). π.χ 196 14 49 7 196 4 49 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -76-
Proof (Απόδειξη) ( ) ( ) (Υψωνουµε κι τ δυο µελη της ισοτητς στο τετργωνο...) (Απλοποιουντι οι ριζες µε τ τετργων...) (κι κτλειγουµε σε κτι που ισχυει...) (Αρ ισχυει κι η ρχικη ισοτητ, δηλδη η σχεση που θελµε ν ποδειξουµε...) ΠΡΟΣΟΧΗ : η ιδιότητ + + δεν ισχύει!!!!!!!!!!!! π.χ 16+ 9 4+ 3 7 16+ 9 5 5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν υπολογιστούν οι τετργωνικές ρίζες:. 169. 16.900 γ. 1,69 δ. 0,0169 Λύση.. Επειδή. Επειδή γ. Επειδή δ. Επειδή 169 13 είνι 169 13 16.900 130 είνι 16.900 130 1, 69 1,3 είνι 1, 69 1,3 0, 0169 0,13 είνι 0, 0169 0,13 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -77-
. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις:. ( ) 37 176. ( ) γ. 5 49 δ. 5 144 Λύση.. ( 176) 176 (φού ν 0, τότε ( ) πλοποιούντι)... ( 37) 37 37 δηλδή το τετράγωνο κι η ρίζ (φού δηλδή το τετράγωνο κι η ρίζ πλοποιούντι, λλά άζουµε πόλυτο στο ποτέλεσµ!). γ. 5 49 5 49 5 7 35 (φού ν, 0, τότε ). είτε όµως κι ένν άλλο τρόπο: ( ) 5 49 5 7 5 7 35 35 35 (Σωστός???) δ. 5 5 15 5 144 144 1 4 (φού ν, 0, τότε (Προφνώς θ πρέπει 0 ).) είτε όµως κι ένν άλλο τρόπο: 5 15 15 15 15 5 144 1 1 1 1 4 (Πάλι σωστός είµι ο πίχτης!!) Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -78-
3. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις:. 5+ 4. 1+ 13+ 9 Λύση.. 5+ 4 5+ 5+ 4 9 3. 1+ 13+ 9 1+ 13+ 3 1+ 16 1+ 4 5 5 4. Ν ρείτε τον θετικό ριθµό χ ώστε:. 81 κι έπειτ ν λυθούν οι εξισώσεις:. γ. 11 + 6 5 Λύση.. 81 τοτε 81 η 81. Άρ οι λύσεις της εξίσωσης 81 είνι οι χ 9 ή χ -9. Όµως επειδή ψάχνουµε τον θετικό χ που την ικνοποιεί θ δεχθούµε µόνο την λύση χ 9.. 11 τοτε 11 η 11. Άρ οι λύσεις της εξίσωσης είνι οι χ 11 ή χ -11. 11 γ. + 6 (Εφρµοζουµε ιδιοτητες δυνµεων...) 5 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -79-
+ 6 (Πολλπλσιζουµε µε το Ε.Κ.Π...) 5 5 5 + 5 5 6 (Κνουµε τις πριτητες πρξεις...) 5 + 5 6 (Κνουµε νγωγη οµοιων ορων...) ( ) 5+ 1 5 6 6 5 6 ( ιιρουµε µε τον συντελε 6 5 6 6 6 στη του γνωστου...) 5 (Εφρµοζουµε την ιδιοτητ που εφρµοσ. 5 η 5 µε κι στο ) Άρ οι λύσεις της εξίσωσης + 6 5 είνι οι χ 5 ή χ -5. 4. Ν υπολογίσετε το ύψος του πρκάτω ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ. Λύση. Α 5,8 5,8 υ Β Γ 8,4 Επειδή το τρίγωνο είνι ισοσκελές το ύψος του Α θ είνι κι διάµεσος. Άρ το θ είνι το µέσον του ΒΓ κι έτσι ΒΓ 8,4 Β 4, Εφρµόζοντς το Πυθγόρειο Θεώρηµ στο τρίγωνο ΑΒ έχουµε: Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -80-
Α ΑΒ Β Α Α Α 5,8 4, 33,64 17,64 16 Α 16 Α 4cm Ερώτηση: Γιτί πό το κι την Α 16 4 Α 16 έγρψ µόνο τη λύση Α 16 4 κι όχι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µί πό τις πρκάτω προτάσεις ν σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Αν 0, τότε ( ). γι οποιδήποτε τιµή του 3. Αν 0, τότε κι 0 4. Αν τότε 5. Αν 0 κι, τότε 6. 81 9 7. ( 4) 4 8. ( 5) 5 9. 16 8 10. ( 3) 3 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -81-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γι τους, χ ισχύει. Ν επιλέξετε τη σωστή πάντηση. 1. Α. 0 Β. 0 Γ., οποιοσδήποτε ριθµός. Α. 0 Β. 0 Γ., οποιοσδήποτε ριθµός 3. Α. Β. Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ Ν συµπληρώσετε τ κενά στις πρκάτω ισότητες. 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 9... διοτι...... 49... διοτι...... 100... διοτι...... 400... διοτι...... 0,04... διοτι...... 1... διοτι...... 0... διοτι...... 8. Τετργωνική ρίζ ενός ριθµού, λέγετι ο ριθµός, ο οποίος ότν υψωθεί στο δίνει τον ριθµό. 9. Αν 0 κι, τότε...0 κι... 10. Αν 0, τότε... Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -8-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν συµπληρωθούν οι πρκάτω πίνκες: 1 4 9 16 5 36 49 64 81 100 11 144 169 5 89 34 361 65. Ν συµπληρωθούν οι πρκάτω πίνκες. Τι συµπερίνετε; 9 5 64 36 100 5 49 16 + + 16 9 49 0 3. Ν υπολογιστούν οι ρίζες: i) 9 ii) 900 iii) 90.000 iv) 0,09 v) 0, 0009 vi) 144 vii) 14.400 viii) 1,44 i) 0, 0144 4. Ν υπολογιστούν οι ρίζες: i) 59 ii) 104 iii) 05 iv) 15.19 v) 18, 49 vi) 156, 5 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -83-
5. Ν υπολογιστούν οι τετργωνικές ρίζες: i) 15 6 ii) 5 81 iii) 11 169 iv) v) vi) 3 36 49 1 81 11 vii) 5 64 viii) 65 900 i) 144 6. Ν υπολογίσετε τους ριθµούς: i) 7+ 4 ii) 5 81 iii) 70 31+ 5 iv) 5 10+ 9 7. Ν υπολογίσετε τους ριθµούς: ( ) i) 16 ii) 8+ 8 iii) 8 8 iv) 8 8. Ν ρείτε τους θετικούς ριθµούς χ που ικνοποιούν τις εξισώσεις: 9 11 i) 49 ii) 1 iii) 169 iv) v) 4 144 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i)3 18 ii) + 1 4 iii 4 ) + 5 ) 8 iv 3 10. Το τετράγωνο ενός θετικού ριθµού, ν υξηθεί κτά 36, γίνετι ίσο µε το πεντπλάσιο του τετργώνου του ριθµού υτού. Ποιος είνι ο ριθµός; 11. Ν υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά των πρκάτω ορθογωνίων τριγώνων: 4 χ 9 15 1 z,4 3 y Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -84-
1. Ν υπολογίσετε το ύψος του πρκάτω ισοσκελούς τριγώνου.,6 13. Ν δείξετε ότι το πρκάτω τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο κι έπειτ ν υπολογίσετε την περίµετρό του. Α 1 B 9 16 Γ 14. Στο πρκάτω σχήµ ν ρείτε το µήκος χ. 13 Χ 3 4 15. Ν ρείτε τις ποστάσεις των σηµείων Α(3,4), Β(-5,1) κι Γ(8,-6) πό την ρχή των ξόνων. Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -85-