Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Σχετικά έγγραφα
2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.

1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Θ Ε Ω Ρ Ι Α. Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ της Β τάξης

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 A ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ.

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Επαναληπτικές Έννοιες

Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

Κεφάλαιο 1ο 55 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες:

ΘΕΜΑ 1 ο A.1. σελ. 235 A.2 σελ Β. α. Σ, β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ. ΘΕΜΑ 2 ο

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ. 1. Ορισµός. 2. Ιδιότητες από τον ορισµό. 3. Ιδιότητες. 4. εκαδικοί και Φυσικοί λογάριθµοι. 5. Ιδιότητες logθ = x

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

συν 2α = συν α ηµ α = 1 2ηµ α = 2συν α εφα+ εφα 2εφα Μάθηµα 10 Κεφάλαιο: Τριγωνοµετρία Θεµατικές Ενότητες: 1. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίας 2α

Ενότητα Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και απέχει από το σημείο Β(3,1) απόσταση d=2.

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Transcript:

Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθµού (συµολισµός ) είνι ο θετικός ριθµός που ότν υψωθεί στο τετράγωνο µς δίνει τον ριθµό. Ορίζουµε επίσης 0 0 διότι 0 0 κι προφνώς 1 1 φού 1 1 ΠΡΟΣΟΧΗ : Το σύµολο χρησιµοποιείτι µόνο ότν ο ριθµός (ή η πράστση) που είνι κάτω πό τη ρίζ (δηλδή η υπόριζη ποσότητ) είνι θετικός ή µηδέν. ηλδή γι ν ορίζετι η ρίζ θ πρέπει 0. Χρήσιµο επίσης είνι ν γνωρίζουµε τις τετργωνικές κάποιων ριθµών που χρησιµοποιούντι στις σκήσεις. Πρκάτω σς πρθέτω τετργωνικές ρίζες σικών ριθµών. χ 0 1 4 9 16 5 36 49 64 81 100 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 χ 11 144 169 196 5 56 89 34 361 65 11 1 13 14 15 146 17 18 19 5 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -74-

Β. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Αν µε 0, τότε 0 κι π.χ 4 τότε. 4...(Τι είπ τώρ ο Θεός!!!), τότε 0 ( ηλδή η τετργωνική ρίζ είνι πάντ Αν 0 ριθµός µεγλύτερος ή ίσος του µηδενός ). π.χ 16 4 0...(Όχι άλλο κάρουνο ) Αν 0, τότε ( ) π.χ ( 9) 9...(Πολύ δύσκολο εεεε.) (Το τετράγωνο κι η ρίζ πλοποιούντι!). Όµως ( Το τετράγωνο κι η ρίζ πλοποιούντι, λλά άζουµε πόλυτο στο ποτέλεσµ!) π.χ 1 5 5 5...(Πρτηρούµε ότι ν η υπόριζη ποσότητ είνι ριθµός 0 τότε κι ν µην άλουµε πόλυτο δε µς πειράζει γιτί γίνει το ίδιο ποτέλεσµ ). ηλδή µπορούµε ν πούµε ότι ισχύει: Αν 0, τότε (ΜΟΝΟ όµως ν 0 ) π.χ ( 5) 5 5...(Τώρ όµως ν δε άζµε πόλυτο στο ποτέλεσµ θ µς έγινε ρνητικός ριθµός κάτι που θ ήτν δύντο φού έχουµε δηλώσει πό πριν ότι µι τετργωνική ρίζ είνι πάντ ΘΕΤΙΚΟΣ ριθµός..) Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -75-

Αν, τότε ή. π.χ Αν έχουµε την εξίσωση 4, τότε οι λύσεις υτής θ είνι οι εξής: 4 ή 4. Πράγµτι ν το σκεφτούµε λίγο θ διπιστώσουµε ότι τόσο το όσο κι το - ν υψωθούν στο τετράγωνο θ µς κάνουν 4. Άρ υτές είνι οι λύσεις της εξίσωσης 4. Αν, 0 κι <, τότε κι <. π.χ Πράγµτι 9 < 16... Τώρ ξεχωριστά έχουµε 9 3 κι 16 4. Εύκολ πρτηρούµε ότι: 9 3< 16 4. Αν, 0, τότε. π.χ 5 4 5 10 5 4 100 10 Proof (Απόδειξη) (Υψωνουµε κι τ δυο µελη της ισοτητς στο τετργωνο...) ( ) ( ) ( ) ( ) (Απλοποιουντι οι ριζες µε τ τετργων...) (κι κτλειγουµε σε κτι που ισχυει...) (Αρ ισχυει κι ηρχικη ισοτητ, δηλδη η σχεση που θελµε ν ποδειξουµε...) Αν, 0, τότε (Προφνώς θ πρέπει 0 ). π.χ 196 14 49 7 196 4 49 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -76-

Proof (Απόδειξη) ( ) ( ) (Υψωνουµε κι τ δυο µελη της ισοτητς στο τετργωνο...) (Απλοποιουντι οι ριζες µε τ τετργων...) (κι κτλειγουµε σε κτι που ισχυει...) (Αρ ισχυει κι η ρχικη ισοτητ, δηλδη η σχεση που θελµε ν ποδειξουµε...) ΠΡΟΣΟΧΗ : η ιδιότητ + + δεν ισχύει!!!!!!!!!!!! π.χ 16+ 9 4+ 3 7 16+ 9 5 5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν υπολογιστούν οι τετργωνικές ρίζες:. 169. 16.900 γ. 1,69 δ. 0,0169 Λύση.. Επειδή. Επειδή γ. Επειδή δ. Επειδή 169 13 είνι 169 13 16.900 130 είνι 16.900 130 1, 69 1,3 είνι 1, 69 1,3 0, 0169 0,13 είνι 0, 0169 0,13 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -77-

. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις:. ( ) 37 176. ( ) γ. 5 49 δ. 5 144 Λύση.. ( 176) 176 (φού ν 0, τότε ( ) πλοποιούντι)... ( 37) 37 37 δηλδή το τετράγωνο κι η ρίζ (φού δηλδή το τετράγωνο κι η ρίζ πλοποιούντι, λλά άζουµε πόλυτο στο ποτέλεσµ!). γ. 5 49 5 49 5 7 35 (φού ν, 0, τότε ). είτε όµως κι ένν άλλο τρόπο: ( ) 5 49 5 7 5 7 35 35 35 (Σωστός???) δ. 5 5 15 5 144 144 1 4 (φού ν, 0, τότε (Προφνώς θ πρέπει 0 ).) είτε όµως κι ένν άλλο τρόπο: 5 15 15 15 15 5 144 1 1 1 1 4 (Πάλι σωστός είµι ο πίχτης!!) Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -78-

3. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις:. 5+ 4. 1+ 13+ 9 Λύση.. 5+ 4 5+ 5+ 4 9 3. 1+ 13+ 9 1+ 13+ 3 1+ 16 1+ 4 5 5 4. Ν ρείτε τον θετικό ριθµό χ ώστε:. 81 κι έπειτ ν λυθούν οι εξισώσεις:. γ. 11 + 6 5 Λύση.. 81 τοτε 81 η 81. Άρ οι λύσεις της εξίσωσης 81 είνι οι χ 9 ή χ -9. Όµως επειδή ψάχνουµε τον θετικό χ που την ικνοποιεί θ δεχθούµε µόνο την λύση χ 9.. 11 τοτε 11 η 11. Άρ οι λύσεις της εξίσωσης είνι οι χ 11 ή χ -11. 11 γ. + 6 (Εφρµοζουµε ιδιοτητες δυνµεων...) 5 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -79-

+ 6 (Πολλπλσιζουµε µε το Ε.Κ.Π...) 5 5 5 + 5 5 6 (Κνουµε τις πριτητες πρξεις...) 5 + 5 6 (Κνουµε νγωγη οµοιων ορων...) ( ) 5+ 1 5 6 6 5 6 ( ιιρουµε µε τον συντελε 6 5 6 6 6 στη του γνωστου...) 5 (Εφρµοζουµε την ιδιοτητ που εφρµοσ. 5 η 5 µε κι στο ) Άρ οι λύσεις της εξίσωσης + 6 5 είνι οι χ 5 ή χ -5. 4. Ν υπολογίσετε το ύψος του πρκάτω ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ. Λύση. Α 5,8 5,8 υ Β Γ 8,4 Επειδή το τρίγωνο είνι ισοσκελές το ύψος του Α θ είνι κι διάµεσος. Άρ το θ είνι το µέσον του ΒΓ κι έτσι ΒΓ 8,4 Β 4, Εφρµόζοντς το Πυθγόρειο Θεώρηµ στο τρίγωνο ΑΒ έχουµε: Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -80-

Α ΑΒ Β Α Α Α 5,8 4, 33,64 17,64 16 Α 16 Α 4cm Ερώτηση: Γιτί πό το κι την Α 16 4 Α 16 έγρψ µόνο τη λύση Α 16 4 κι όχι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µί πό τις πρκάτω προτάσεις ν σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Αν 0, τότε ( ). γι οποιδήποτε τιµή του 3. Αν 0, τότε κι 0 4. Αν τότε 5. Αν 0 κι, τότε 6. 81 9 7. ( 4) 4 8. ( 5) 5 9. 16 8 10. ( 3) 3 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -81-

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γι τους, χ ισχύει. Ν επιλέξετε τη σωστή πάντηση. 1. Α. 0 Β. 0 Γ., οποιοσδήποτε ριθµός. Α. 0 Β. 0 Γ., οποιοσδήποτε ριθµός 3. Α. Β. Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ Ν συµπληρώσετε τ κενά στις πρκάτω ισότητες. 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 9... διοτι...... 49... διοτι...... 100... διοτι...... 400... διοτι...... 0,04... διοτι...... 1... διοτι...... 0... διοτι...... 8. Τετργωνική ρίζ ενός ριθµού, λέγετι ο ριθµός, ο οποίος ότν υψωθεί στο δίνει τον ριθµό. 9. Αν 0 κι, τότε...0 κι... 10. Αν 0, τότε... Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -8-

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν συµπληρωθούν οι πρκάτω πίνκες: 1 4 9 16 5 36 49 64 81 100 11 144 169 5 89 34 361 65. Ν συµπληρωθούν οι πρκάτω πίνκες. Τι συµπερίνετε; 9 5 64 36 100 5 49 16 + + 16 9 49 0 3. Ν υπολογιστούν οι ρίζες: i) 9 ii) 900 iii) 90.000 iv) 0,09 v) 0, 0009 vi) 144 vii) 14.400 viii) 1,44 i) 0, 0144 4. Ν υπολογιστούν οι ρίζες: i) 59 ii) 104 iii) 05 iv) 15.19 v) 18, 49 vi) 156, 5 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -83-

5. Ν υπολογιστούν οι τετργωνικές ρίζες: i) 15 6 ii) 5 81 iii) 11 169 iv) v) vi) 3 36 49 1 81 11 vii) 5 64 viii) 65 900 i) 144 6. Ν υπολογίσετε τους ριθµούς: i) 7+ 4 ii) 5 81 iii) 70 31+ 5 iv) 5 10+ 9 7. Ν υπολογίσετε τους ριθµούς: ( ) i) 16 ii) 8+ 8 iii) 8 8 iv) 8 8. Ν ρείτε τους θετικούς ριθµούς χ που ικνοποιούν τις εξισώσεις: 9 11 i) 49 ii) 1 iii) 169 iv) v) 4 144 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i)3 18 ii) + 1 4 iii 4 ) + 5 ) 8 iv 3 10. Το τετράγωνο ενός θετικού ριθµού, ν υξηθεί κτά 36, γίνετι ίσο µε το πεντπλάσιο του τετργώνου του ριθµού υτού. Ποιος είνι ο ριθµός; 11. Ν υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά των πρκάτω ορθογωνίων τριγώνων: 4 χ 9 15 1 z,4 3 y Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -84-

1. Ν υπολογίσετε το ύψος του πρκάτω ισοσκελούς τριγώνου.,6 13. Ν δείξετε ότι το πρκάτω τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο κι έπειτ ν υπολογίσετε την περίµετρό του. Α 1 B 9 16 Γ 14. Στο πρκάτω σχήµ ν ρείτε το µήκος χ. 13 Χ 3 4 15. Ν ρείτε τις ποστάσεις των σηµείων Α(3,4), Β(-5,1) κι Γ(8,-6) πό την ρχή των ξόνων. Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -85-