6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται απεριόριστα μικρή όταν το Ρ μετακινείται προς το άπειρο κινούμενο επί της καμπύλης C όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.. Κατακόρυφη ασύμπτωτη Η ευθεία χαρακτηρίζεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim, lim + είναι + ή.
8. Ασύμπτωτες. Οριζόντια ασύμπτωτη Αν για μια συνάρτηση ισχύει: lim k R ή lim k R, τότε ορίζουμε + οριζόντια ασύμπτωτη της C την ευθεία y k στο + ή στο αντίστοιχα. Σχόλιο lim Αν lim + ± η ± τότε η C δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + ή στο, αντίστοιχα. Είναι δυνατόν μια συνάρτηση να έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο στο + ή μόνο στο ή να έχει διαφορετικές ασύμπτωτες στο + και στο ή να έχει την ίδια ευθεία ως ασύμπτωτη και στο + και στο. 3. Πλάγια ασύμπτωτη Ορίζουμε την ευθεία y λ + β ως πλάγια ασύμπτωτη της C στο + ή στο αν : αντίστοιχα. + lim λ + β ή lim λ + β Σχόλιο Η ασύμπτωτη είναι οριζόντια αν λ, ενώ είναι πλάγια αν λ. Για να βρούμε τις πλάγιες ασύμπτωτες της C χρησιμοποιούμε το παρακάτω θεώρημα:
Ασύμπτωτες 9. Θεώρημα Η y λ + β είναι ασύμπτωτη της C στο +, αντιστοίχως στο αν και μόνον αν : + και lim λ R lim λ β R ή + και lim λ R lim λ β R αντίτοιχα. Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος Εύρεση κατακόρυφης ασύμπτωτης Κατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούμε στα σημεία που η δεν είναι συνεχής και στα σημεία που είναι άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν ορίζεται. Παράδειγμα + Έστω.Να προσδιορίσετε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης. Το πεδίο ορισμού της είναι A R{,}.Άρα τις κατακόρυφες ασύμπτωτες θα τις αναζητήσουμε στις θέσεις - και. Για έχουμε : C δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο + + lim lim lim lim ( + )( ). οπότε η Για οπότε η έχουμε: lim + + ( + )( ) lim + + lim lim lim lim με C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο την ευθεία με εξίσωση. Κατηγορία Μέθοδος Εύρεση οριζόντιας ασύμπτωτης Για να προσδιορίσουμε τις οριζόντιες ασύμπτωτες μιας συνάρτησης αρκεί να βρούμε τα όρια: lim ( ), lim (Αρκεί το πεδίο ορισμού της να έχει άκρο το + ή το ). + Αν κάποιο από τα παραπάνω όρια είναι πραγματικός αριθμός, έστω k τότε η ευθεία y k είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο + ή στο.
3. Ασύμπτωτες Παράδειγμα Να προσδιορίσετε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των συναρτήσεων με τύπους: + 3 e + i. ii. e + i. Επειδή το lim lim ± + και στο. ii. Είναι ±, η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y στο ( e + ) ( e + ) + + e + e + + + + + lim lim lim lim lim e + e οπότε η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την ευθεία y. Επίσης είναι lim e + +, οπότε η C έχει οριζό- lim, αφού e + + ντια ασύμπτωτη στο την ευθεία y. lim e Κατηγορία Μέθοδος 3 Εύρεση πλάγιας ασύμπτωτης Για να βρούμε τις πλάγιες ασύμπτωτες της C στο +, εφ όσον το + είναι άκρο του πεδίου ορισμού της, κάνουμε τα εξής :. Υπολογίζουμε το όριο lim λ. + Αν το λ δεν είναι πραγματικός αριθμός τότε η Αν το λ είναι πραγματικός αριθμός τότε :. Υπολογίζουμε το όριο C δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη lim λ β + Αν το β δεν είναι πραγματικός αριθμός τότε η C δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη Αν το β είναι πραγματικός αριθμός τότε η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την ευθεία με εξίσωση : y λ + β. Με τον ίδιο τρόπο εξετάζουμε αν η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο, αν βεβαίως το είναι άκρο του πεδίου ορισμού της. Παράδειγμα 3 Έστω 5 με (, 5] [ 5, + ). Να εξετάσετε αν η έχει πλάγια ασύμπτωτη. Είναι 5 5 5 ( ) 5 lim lim lim lim lim + + + + +
Ασύμπτωτες 3. 5 5 lim lim λ + + και ( ) 5 5+ lim λ lim 5 lim + + + 5+ 5 5 lim lim β + + 5 5 + + Άρα η ευθεία y + είναι πλάγια ασύμπτωτη της C 5 5 ( ) 5 Επίσης έχουμε lim lim lim lim 5 5 5 lim lim lim λ και lim λ lim 5 + lim lim lim 5 5 5 5 ( ) 5+ 5 + Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο. 5 Προσοχή Αν το λ και β R τότε η πλάγια ασύμπτωτη γίνεται της μορφής y β που είναι οριζόντια. Άρα η δεν μπορεί να έχει στο + συγχρόνως οριζόντια και πλάγια ασύμπτωτη. Ομοίως και για το. Παρατηρήσεις. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεύτερου δεν έχουν ασύμπτωτες.. Στις κλασματικές συναρτήσεις σε κάθε ρίζα του παρονομαστή που δεν είναι ρίζα και του αριθμητή έχουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης. Ειδικότερα στις ρητές συνάρτησεις: α. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή τότε η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη. β. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος με τον βαθμό του παρονομαστή τότε η C έχει αv οριζόντια ασύμπτωτη την y όπου α v, β v είναι οι συντελεστές των μεγιστοβάθμιων βv όρων των πολυωνύμων του αριθμητή και παρονομαστή αντίστοιχα.
3. Ασύμπτωτες γ. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι κατά μονάδα μεγαλύτερος από τον βαθμό του παρανομαστή τότε η C έχει πλάγια ασύμπτωτη. δ. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος τουλάχιστον κατά δύο από το βαθμό του παρανομαστή η συνάρτηση δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες. 3. Μία πλάγια ασύμπτωτη μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Έστω 5 7 + Αρκεί να δείξουμε ότι +. Δείξτε ότι η y 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C lim 3. 5 + 7 5 + 7 Πράγματι είναι lim ( 3) lim + 3 + + 5 + 7 + 5 3 4 4 lim lim lim + + + Άρα η C έχει την y 3 πλάγια ασύμπτωτη Άσκηση Έστω α 3 6 + 3 y β 4 με β 3 πλάγια ασύμπτωτη Ξέρουμε ότι lim β και lim ( β) 4. + + Άρα + α 3 6 α α lim lim lim. 3 3 3 + + + με α. Να βρεθούν τα α,β R ώστε η C να έχει την Έχουμε α β α 3β 3 () και α 3 + 6 3β 3 + 6 lim β lim β + 3 + 3 ( ) + ( ) β 3 6 β 3 3β 3 + 6 3β + β β 3 lim lim lim + + + 3 3 3 3 έχουμε β 3 4 β 3 β και λόγω της () α 3. 3
Ασύμπτωτες 33. Άσκηση 3 3 Αν η y 3+ 6 είναι ασύμπτωτη της C στο +,να βρείτε το lim + + + + Είναι lim 3 και lim 3 6 + + οπότε 3 ( 3) ( 3) lim lim lim + + + + + + + + + + + + + ( ) 3 3 6 6 lim lim 3 + + + + + + + + + +. Δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Να βρεθούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες των παρακάτω συναρτήσεων : i. 3 4 3+ ii. ( ) ln 3 iii. + + + (Απ.: i.,, ii. 3,, iii. δεν υπάρχει). Να βρεθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες των παρακάτω συναρτήσεων : i. 4+ 5 ii. ln 4 iii. + + (Απ.: i. στο +,y, στο, δεν έχει, ii. δεν έχει, iii. y 3 στο + ) 3. Να βρεθούν οι πλάγιες ασύμπτωτες των παρακάτω συναρτήσεων : 3 3 + i. ii. ln ( e + ) + iii. + 4+ 5 + 3+ 4 (Απ.: ii. y + 6 στο ±, ii. y στο ±, iii. y +, στο +, y, στο ) 4. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες ( κατακόρυφες, οριζόντιες, πλάγιες ) αν υπάρχουν των παρακάτω συναρτήσεων: 3 3 + + i. ii. iii. 3 + ln (Απ.: i. κατακόρυφη y 3 πλάγια στο ± οριζόντια δεν έχει, ii. κατακόρυφη y οριζόντια στο +, iii. δεν έχει κατακόρυφη y στο + y στο )
34. Ασύμπτωτες 5. Να αποδείξετε ότι η y + είναι ασύμπτωτη της e 6. Να βρεθούν τα α,β R στο + με α >. ώστε η y + 3 να είναι ασύμπτωτη της α β α + ( Απ. : α 4, β ) 7. Αν για τις συναρτήσεις, g ισχύουν g 4, για κάθε R και η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την y 3-7 τότε: α. Να βρεθεί το όριο β. Να βρεθεί το όριο + g lim + g + 3+ηµ lim 3 + γ. Να βρεθεί αν υπάρχει η πλάγια ασύμπτωτη της C g (Απ.: α., β. 5, γ. y + 3) 7 8. Αν η y + 3 είναι ασύμπτωτη της C στο + να βρεθεί το + + + + lim Απ. : 9. Η ευθεία y λ + κ είναι ασύμπτωτη της C μιας περιττής συνάρτησης Να βρεθεί η ασύμπτωτη της C στο. (Απ.: y λ κ).. Αν για την ισχύει + lim να βρεθεί η πλάγια ασύμπτωτη της C + (Απ.: y + 3) Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Αν η είναι μία μη σταθερή πολυωνυμική συνάρτηση να δειχθεί ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης y h. + c h με c η οποία δεν τέμνει την καμπύλη