Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή συστήματα κλειστού βρόχου. Σημειώνεται ότι, πολλά συστήματα από τη φύση τους είναι ασταθή συστήματα ανοιχτού βρόχου, ενώ σε κάποιες περιπτώσεις σχεδιάζονται συστήματα που παρουσιάζουν αστάθεια ανοιχτού βρόχου, όπως για παράδειγμα πολλά σύγχρονα συστήματα που χρησιμοποιούνται σε μαχητικά αεροσκάφη τα οποία είναι ασταθή από το στάδιο της σχεδίασης. Στην περίπτωση αυτή, χωρίς τον έλεγχο ενεργών αναδράσεων που βοηθούν τον πιλότο, αυτά τα αεροσκάφη δεν είναι δυνατό να πετάξουν. Τα διάφορα ενεργά σήματα ελέγχου εισάγονται με τη βοήθεια των μηχανικών στο σύστημα, έτσι ώστε να σταθεροποιούνται ασταθείς διεργασίες. Με τη βοήθεια της ανάδρασης μπορούμε να μετατρέψουμε μια ασταθή διεργασία σε ευσταθή με την προσεκτική επιλογή των παραμέτρων του ελεγκτή του αντίστοιχου συστήματος ελέγχου και να προσαρμόσουμε την μεταβατική συμπεριφορά του συστήματος στις εκάστοτε απαιτήσεις. Η ανάδραση χρησιμοποιείται επίσης και για ευσταθείς διεργασίες ανοιχτού βρόχου με σκοπό να προσαρμόσουμε τη συμπεριφορά του αντίστοιχου συστήματος κλειστού βρόχου στις επιθυμητές λειτουργικές προδιαγραφές. Γενικά, ένα σύστημα κλειστού βρόχου χαρακτηρίζεται είτε ως ευσταθές, είτε ως ασταθές. Ο χαρακτηρισμός αυτός αφορά στη λεγόμενη απόλυτη ευστάθεια. Όμως, σε ένα ευσταθές σύστημα κλειστού βρόχου, μπορούμε να διερευνήσουμε περαιτέρω το βαθμό ευστάθειάς του. Η διαδικασία αυτή αφορά στη λεγόμενη σχετική ευστάθεια. Για παράδειγμα, στη σχεδίαση συστημάτων αεροσκαφών η σχετική ευστάθεια είναι ιδιαίτερα σημαντική: όσο περισσότερο ευσταθές είναι ένα αεροσκάφος, τόσο δυσκολότερος είναι ο χειρισμός του (π.χ. η διαδικασία στροφής). Ένα σύγχρονο μαχητικό αεροσκάφος είναι πολύ λιγότερο ευσταθές από ένα επιβατηγό αεροσκάφος, αλλά μπορεί και ανταποκρίνεται ταχύτατα στους διάφορους χειρισμούς. Αυτή η σχετική ευστάθεια των μαχητικών αεροσκαφών προσφέρει αυξημένη δυνατότητα ελιγμών, αλλά απαιτεί και αυξημένο βαθμό ικανότητας των πιλότων. Ένα σύστημα λέμε ότι βρίσκεται σε ισορροπία εάν, χωρίς να υπάρχει κάποια διαταραχή, η έξοδός του παραμένει στην ίδια κατάσταση. Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα ελέγχου λέμε ότι είναι ευσταθές εάν, μετά την εισαγωγή κάποιας διαταραχής, η έξοδος του συστήματος επανέρχεται σταδιακά στην κατάσταση ισορροπίας. Εάν μετά την εισαγωγή κάποιας διαταραχής το σύστημα δεν επιστρέφει στην αρχική κατάσταση ισορροπίας του αλλά αποκλίνει συνεχώς από αυτήν με την πάροδο του χρόνου, λέμε ότι το σύστημα είναι ασταθές. Επίσης, σε κάποιες περιπτώσεις είναι πιθανό το σύστημα, μετά την εισαγωγή της διαταραχής, να εκτελεί ταλαντώσεις, οπότε λέμε ότι το σύστημα είναι ευσταθές κατ επέκταση ή οριακά ευσταθές. Στα γραμμικά συστήματα η έννοια της ευστάθειας είναι αποκλειστικά συνδεμένη με την κατασκευή του συστήματος, επομένως, εάν το σύστημα είναι ευσταθές για μια είσοδο, θα είναι ευσταθές και για οποιαδήποτε άλλη, εκτός εάν συντονίζεται. 1

Γενικά, ως ευσταθές χαρακτηρίζεται ένα σύστημα που παρουσιάζει πεπερασμένη απόκριση. Δηλαδή, αν κάποιο σύστημα διεγερθεί από ένα φραγμένο (πεπερασμένο) σήμα εισόδου ή διαταραχής και η απόκρισή του εμφανίζει πεπερασμένο πλάτος, τότε το σύστημα αυτό χαρακτηρίζεται ως ευσταθές. Θα μπορούσαμε λοιπόν να ορίσουμε την ευστάθεια των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων ελέγχου και ως την ιδιότητα που παρουσιάζει το σύστημα να έχει φραγμένη (πεπερασμένη) έξοδο, όταν διεγείρεται από φραγμένη (πεπερασμένη) είσοδο. Συνήθως για τη μελέτη των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων ελέγχου χρησιμοποιούμε την περιγραφή του με τη συνάρτηση μεταφοράς που είναι μια σχέση εισόδου εξόδου και μέσω αυτής θα μελετήσουμε την ευστάθεια. Κάθε ρητή συνάρτηση μεταφοράς με βαθμό του πολυωνύμου του παρανομαστή μεγαλύτερο του βαθμού του πολυωνύμου του αριθμητή, αναλύεται σε άθροισμα μερικών απλών κλασμάτων που συνήθως έχουν παρανομαστές της μορφής: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος ισούται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης. Παίρνοντας λοιπόν, τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace αυτών των κλασμάτων, προκύπτει η χρονική απόκριση ως ένα άθροισμα παραγόντων της μορφής: Παρατηρούμε ότι οι χρονικές αυτές συναρτήσεις συγκλίνουν στο μηδέν τότε και μόνον τότε, όταν η σταθερά α στους εκθέτες είναι θετική ποσότητα. Αυτό σημαίνει ότι τα πραγματικά μέρη των πόλων (εκεί που μηδενίζεται ο παρανομαστής - οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου) της συνάρτησης μεταφοράς, πρέπει να είναι αρνητικοί αριθμοί. Επομένως, μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου ευσταθές, απαιτεί όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος να έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη. Δηλαδή, για να έχουμε ευστάθεια, θα πρέπει οι πόλοι του συστήματος να βρίσκονται στο αρνητικό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Μάλιστα, όσο πιο μακριά από τον φανταστικό άξονα βρίσκονται οι πόλοι, τόσο πιο γρήγορα η κρουστική απόκριση αποσβεννύεται και συνεπώς το σύστημα ηρεμεί πιο γρήγορα μετά την εισαγωγή κάποιας διαταραχής. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται οι κρουστικές αποκρίσεις για διάφορες περιπτώσεις πόλων στο μιγαδικό επίπεδο. jω Φανταστικός άξονας Πραγματικός άξονας σ tt 2

Στην περίπτωση που οι πόλοι του συστήματος βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα, εάν μεν έχουν πολλαπλότητα έχουμε αστάθεια, ενώ εάν οι πόλοι είναι απλοί ενδέχεται να έχουμε ευστάθεια ή να μην έχουμε, αναλόγως με την είσοδο που εφαρμόζουμε στο σύστημα. Παράδειγμα 1: Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = Y(s)/X(s) = s/(s 2 + 1) 2, που έχει πόλους στο s = ±j πολλαπλότητας 2, οι οποίοι βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα. Η έξοδος του συστήματος είναι Y(s) = G(s) X(s). Αν εφαρμόσουμε κρουστική διέγερση στο σύστημα, δηλαδή η είσοδος στο σύστημα είναι η συνάρτηση δ(t) και επειδή X(s) = L{δ(t)} = 1, τότε Y(s) = G(s) και το σύστημα δίνει έξοδο: Παρατηρούμε ότι η έξοδος αυτή απειρίζεται με την πάροδο του χρόνου, οπότε το σύστημα είναι ασταθές. Παράδειγμα 2: Έστω το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G(s) = Y(s)/X(s) = s/(s 2 + 1), που έχει απλούς πόλους στο s = ±j, οι οποίοι βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα. Η έξοδος του συστήματος είναι Y(s) = G(s) X(s). Αν εφαρμόσουμε κρουστική διέγερση στο σύστημα, δηλαδή η είσοδος στο σύστημα είναι η συνάρτηση δ(t) και επειδή X(s) = L{δ(t)} = 1, τότε Y(s) = G(s) και το σύστημα δίνει έξοδο: Η έξοδος αυτή είναι πεπερασμένη και παρόλο που δεν τείνει στο μηδέν με την πάροδο του χρόνου, μπορεί να θεωρηθεί ότι το σύστημα είναι ευσταθές. Αντίστοιχα, αν διεγείρουμε το σύστημα με την ημιτονική συνάρτηση x(t) = sint, τότε και Επομένως στην περίπτωση αυτή η έξοδος του συστήματος θα είναι: Παρατηρούμε ότι η έξοδος αυτή απειρίζεται με την πάροδο του χρόνου, οπότε το σύστημα είναι ασταθές. Για την περίπτωση λοιπόν που οι πόλοι του συστήματος βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα, λέμε ότι το σύστημα είναι κατ επέκταση ευσταθές (ή οριακά ευσταθές), διότι η συμπεριφορά του συστήματος εξαρτάται από το είδος της εισόδου που διεγείρει το σύστημα και είναι δυνατό να έχουμε συντονισμό εάν η συχνότητα του σήματος εισόδου είναι ίδια με τη συχνότητα των πόλων του συστήματος. 3

2. Αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας Κριτήριο Routh Όπως είδαμε, για να αποφανθούμε για την ευστάθεια ή μη ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου πρέπει να γνωρίζουμε τους πόλους του συστήματος. Οι πόλοι του συστήματος προκύπτουν από την επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί και η χαρακτηριστική εξίσωση δεν είναι μεγάλου βαθμού, αυτό είναι σχετικά εύκολο. Σε άλλες περιπτώσεις όμως ο προσδιορισμός των πόλων του συστήματος απαιτεί τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή και κατάλληλου λογισμικού. Επιπλέον, σε πολλές περιπτώσεις κάποιος συντελεστής του χαρακτηριστικού πολυωνύμου δεν είναι μια σταθερή ποσότητα αλλά μπορεί να κυμαίνεται σε κάποιο διάστημα, οπότε θα πρέπει να επιλύεται η χαρακτηριστική εξίσωση για κάθε τιμή του διαστήματος προκειμένου να προσδιοριστεί το εύρος ευστάθειας του συστήματος. Τα αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας είναι μεθοδολογίες που εφαρμόζονται για τη μελέτη της ευστάθειας γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων αυτομάτου ελέγχου και μας παρέχουν πληροφορίες για τους ασταθείς πόλους του συστήματος που βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο, χωρίς να απαιτείται η επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης και ο προσδιορισμός των πόλων του συστήματος. Ειδικότερα, το κριτήριο Routh είναι ένα αλγεβρικό κριτήριο ευστάθειας που με βάση το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος και τη συμπλήρωση ενός πίνακα (πίνακας Routh) μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια ή μη ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος. Έστω ένα σύστημα με χαρακτηριστική εξίσωση: a n s n + a n-1 s n-1 + a n-2 s n-2 + + a 1 s + a 0 = 0 Αν ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής α n είναι αρνητικός αριθμός, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με το -1. Ακολούθως συμπληρώνουμε τον πίνακα Routh, ο οποίος ορίζεται ως ακολούθως: s n a n a n-2 a n-4 s n-1 a n-1 a n-3 a n-5 s n-2 b 1 b 2 b 3 s n-3 c 1 c 2 c 3..... s 0 όπου a n, a n-1, a n-2,, a 1, a 0 είναι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης και 4

κ.ο.κ. Ο πίνακας συμπληρώνεται οριζόντια και κάθετα μέχρι τη γραμμή του s 0. Κατά τη συμπλήρωση του πίνακα μπορούμε να απλοποιούμε ολόκληρη γραμμή διαιρώντας την με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των στοιχείων της και βάζοντας την καινούργια γραμμή στη θέση της παλιάς. Σύμφωνα με το κριτήριο Routh, το σύστημα είναι ευσταθές εάν δεν εμφανίζονται εναλλαγές προσήμου στα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα. Επομένως, εάν a n >0, για να είναι ευσταθές το σύστημα θα πρέπει όλοι οι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικές ποσότητες. Εάν έχουμε εναλλαγές προσήμου στα στοιχεία της πρώτης στήλης, ο αριθμός αυτών των εναλλαγών ισούται με τον αριθμό των πόλων του συστήματος που έχουν θετικά πραγματικά μέρη (δηλαδή βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο) και είναι οι ασταθείς πόλοι του συστήματος. Το κριτήριο Routh δεν διευκρινίζει εάν οι ασταθείς πόλοι του συστήματος είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί, μας πληροφορεί μόνο για το πλήθος των ασταθών πόλων. Εάν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος είναι ελλιπές ή οι συντελεστές του είναι ετερόσημοι, τότε έχει ετερόσημες ρίζες και συνεπώς μερικοί πόλοι του συστήματος βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο και το σύστημα είναι ασταθές, οπότε δεν απαιτείται η συμπλήρωση του πίνακα Routh για να αποφανθούμε για τη ευστάθεια ή μη του συστήματος. Υπάρχουν τέσσερις πιθανές περιπτώσεις αναφορικά με την ύπαρξη μηδενικών στοιχείων στην πρώτη στήλη του πίνακα, οι οποίες αντιμετωπίζονται ξεχωριστά και απαιτούν κατάλληλες τροποποιήσεις στη διαδικασία συμπλήρωσης του πίνακα Routh: Περίπτωση 1: Κανένα στοιχείο της πρώτης στήλης δεν είναι μηδενικό. Παράδειγμα 3: Έστω ένα σύστημα δεύτερης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο: P(s) = a 2 s 2 + a 1 s + a 0 Ο αντίστοιχος πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: όπου s 2 a 2 a 0 s 1 a 1 0 s 0 b 1 0 5

Επομένως, για να είναι το σύστημα ευσταθές, θα πρέπει όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου να είναι ομόσημοι (όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί). Παράδειγμα 4: Έστω ένα σύστημα τρίτης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο: P(s) = a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 Ο αντίστοιχος πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: όπου s 3 a 3 a 1 s 2 a 2 a 0 s 1 b 1 0 s 0 c 1 0 και Επομένως, για να είναι το σύστημα ευσταθές, θα πρέπει όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου να είναι θετικοί και ταυτόχρονα να ισχύει a 2 a 1 > a 3 a 0. Υπενθυμίζουμε ότι, εάν ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του πολυωνύμου α 3 είναι αρνητικός αριθμός, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με το -1. Αν ισχύει a 2 a 1 = a 3 a 0, τότε b 1 = 0, δηλαδή έχουμε μηδενικό στοιχείο στην πρώτη στήλη του πίνακα Routh. Η περίπτωση αυτή εξετάζεται παρακάτω και, όπως θα δούμε το σύστημα είναι κατ επέκταση ευσταθές (οριακά ευσταθές) και ένα ζεύγος πόλων θα βρίσκεται πάνω στον φανταστικό άξονα. Παράδειγμα 5: Έστω ένα σύστημα τρίτης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο: Βλέπουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι πλήρες και όλοι οι συντελεστές του είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, για να αποφανθούμε για την ευστάθεια ή μη του συστήματος θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 3 1 2 s 2 1 24 s 1-22 0 s 0 24 0 Παρατηρούμε ότι στην πρώτη στήλη του πίνακα εμφανίζονται δύο διαδοχικές εναλλαγές προσήμου, οπότε δύο πόλοι του συστήματος θα βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο και επομένως το σύστημα είναι ασταθές. Πράγματι, το παραπάνω πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί ως εξής: 6

Οπότε έχουμε μία πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες (πόλους): Περίπτωση 2: Το πρώτο στοιχείο μιας γραμμής στον πίνακα Routh είναι μηδενικό. Στην περίπτωση που το πρώτο στοιχείο οποιασδήποτε γραμμής του πίνακα Routh είναι μηδέν, αλλά όχι και τα υπόλοιπα, όλα τα στοιχεία της επόμενης γραμμής θα απειρίζονται και δεν είναι δυνατή η συνέχιση της συμπλήρωσης του πίνακα. Για την αντιμετώπιση αυτής της κατάστασης, αντικαθιστούμε το μηδενικό στοιχείο της πρώτης στήλης με έναν πολύ μικρό θετικό αριθμό ϵ και συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα. Παράδειγμα 5: Έστω ένα σύστημα τέταρτης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο: P(s) = s 4 + s 3 + 2s 2 + 2s + 3 Βλέπουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι πλήρες και όλοι οι συντελεστές του είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, για να αποφανθούμε για την ευστάθεια ή μη του συστήματος θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 4 1 2 3 s 3 1 2 0 s 2 0 3 Αφού το πρώτο στοιχείο της γραμμής s 2 είναι μηδέν, θα απειρίζονται όλα τα στοιχεία της γραμμής s 1. Για την αντιμετώπιση αυτής της κατάστασης αντικαθιστούμε το μηδενικό πρώτο στοιχείο της γραμμής s 2 με έναν πολύ μικρό θετικό αριθμό ϵ και συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα. Ξεκινώντας από τη γραμμή s 2, θα έχουμε: s 2 ϵ 3 s 1 0 s 0 3 0 Επομένως, ο συνολικός πίνακας Routh του συστήματος θα είναι ο ακόλουθος: s 4 1 2 3 s 3 1 2 0 s 2 ϵ 3 s 1 0 s 0 3 0 Παρατηρούμε ότι στην πρώτη στήλη του πίνακα εμφανίζονται δύο διαδοχικές εναλλαγές προσήμου, οπότε δύο πόλοι του συστήματος θα βρίσκονται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο και επομένως το σύστημα είναι ασταθές. 7

Περίπτωση 3: Όλα τα στοιχεία μιας γραμμής στον πίνακα Routh είναι μηδενικά. Στην περίπτωση που όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής του πίνακα Routh είναι μηδενικά πριν την ομαλή ολοκλήρωση συμπλήρωσης του πίνακα, αυτό υποδεικνύει την ύπαρξη μιας ή περισσότερων από τις παρακάτω συνθήκες: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον ένα ζεύγος αντίθετων πραγματικών ριζών (με ίσο μέτρο αλλά αντίθετο πρόσημο) της μορφής s=+σ και s=-σ. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ένα ή περισσότερα ζεύγη φανταστικών ριζών της μορφής s=+jω και s=- jω. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ζεύγη μιγαδικών ριζών συμμετρικά τοποθετημένων ως προς την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου της μορφής s=σ±jω και s=-σ± jω. Για την αντιμετώπιση αυτής της κατάστασης, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1) Σχηματίζουμε τη βοηθητική εξίσωση Β(s)=0 χρησιμοποιώντας τους συντελεστές της γραμμής που βρίσκεται πάνω ακριβώς από τη γραμμή των μηδενικών του πίνακα Routh. 2) Παραγωγίζουμε ως προς s τη βοηθητική εξίσωση, παίρνοντας db(s)/ds=0. 3) Αντικαθιστούμε τη γραμμή των μηδενικών με τους συντελεστές της db(s)/ds=0. 4) Συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα με τον γνωστό τρόπο και εξετάζουμε την εναλλαγή προσήμων της πρώτης στήλης του πίνακα κατά το συνήθη τρόπο. Παράδειγμα 6: Έστω ένα σύστημα πέμπτης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο: P(s) = s 5 + 4s 4 + 8s 3 + 8s 2 + 7s + 4 Βλέπουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι πλήρες και όλοι οι συντελεστές του είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, για να αποφανθούμε για την ευστάθεια ή μη του συστήματος θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 5 1 8 7 s 4 4 8 4 s 3 6 6 0 s 2 4 4 s 1 0 0 s 0 Επειδή προκύπτουν μηδενικά στη γραμμή s 1 του πίνακα, σχηματίζουμε τη βοηθητική εξίσωση χρησιμοποιώντας τους συντελεστές της αμέσως προηγούμενης γραμμής s 2 : και την παραγωγίζουμε ως προς s: B(s) = 4s 2 + 4 = 0 db(s)/ds=8s+0 από την οποία οι συντελεστές 8 και 0 αντικαθιστούν τα μηδενικά της γραμμής s 1 του αρχικού πίνακα. Ακολούθως συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα, οπότε προκύπτει: 8

s 5 1 8 7 s 4 4 8 4 s 3 6 6 0 s 2 4 4 s 1 8 0 s 0 4 Παρατηρούμε ότι δεν έχουμε εναλλαγές προσήμου στην πρώτη στήλη του πίνακα Routh, οπότε συμπεραίνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο δεν έχει ρίζες (πόλους) στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. Στη συνέχεια επιλύουμε τη βοηθητική εξίσωση και προκύπτουν δύο μιγαδικές ρίζες s = +j και s = -j, οι οποίες αποτελούν και ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Επομένως το σύστημα έχει δύο πόλους πάνω στον φανταστικό άξονα και για το λόγο αυτό είναι κατ επέκταση ευσταθές (οριακά ευσταθές). Αυτές οι φανταστικές ρίζες προκάλεσαν την παρουσία των μηδενικών στην γραμμή s 1 του αρχικού πίνακα. Περίπτωση 4: Δύο γραμμές τουλάχιστον στον πίνακα Routh είναι μηδενικές. Στην περίπτωση αυτή το σύστημα είναι ασταθές και έχει δύο αντίθετους πραγματικούς πόλους με πολλαπλότητα δύο. Η μεγάλη χρησιμότητα του κριτηρίου Routh οφείλεται στο γεγονός ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια ευστάθειας για κάποια παράμετρο Κ του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ενός συστήματος, απαιτώντας όλοι οι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα Routh που είναι συναρτήσεις του Κ να είναι θετικοί. Να σημειώσουμε ότι, όταν εισάγουμε κλάδο ανάδρασης σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου, είναι δυνατό να προκύψει ασταθές σύστημα κλειστού βρόχου, ακόμα και αν το αρχικό σύστημα ανοιχτού βρόχου ήταν ευσταθές. Επομένως είναι σημαντικό να γνωρίζουμε εκ των προτέρων αν το σύστημα κλειστού βρόχου που θα προκύψει από την εισαγωγή ανάδρασης σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου θα είναι ευσταθές ή όχι, καθώς και να προσδιορίζουμε το εύρος τιμών κάποιας παραμέτρου του συστήματος, ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου που θα προκύψει να είναι ευσταθές. Παράδειγμα 7: Έστω ένα σύστημα τρίτης τάξης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο: P(s) = s 3 + 2s 2 + 4s + Κ όπου Κ μια ρυθμιζόμενη απολαβή. i. Να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για να είναι το σύστημα ευσταθές. ii. Να προσδιοριστεί η τιμή του Κ για την οποία το σύστημα είναι κατ επέκταση ευσταθές (οριακά ευσταθές) και να προσδιοριστούν οι πόλοι του συστήματος όταν έχουμε οριακή ευστάθεια. i. Για να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 3 1 4 s 2 2 Κ s 1 0 s 0 Κ 0 9

Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, επομένως θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα 8 - K > 0 και Κ > 0. Άρα το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < Κ < 8 ii. Για να είναι το σύστημα κατ επέκταση (οριακά) ευσταθές θα πρέπει να εξετάσουμε τη συμπεριφορά του συστήματος για Κ = 0 και Κ = 8. Εάν Κ= 0, ο πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: s 3 1 4 s 2 2 0 s 1 4 0 s 0 0 Επειδή προκύπτει μηδενικό στη θέση s 0 της πρώτης στήλης του πίνακα, σχηματίζουμε τη βοηθητική εξίσωση χρησιμοποιώντας τους συντελεστές της αμέσως προηγούμενης γραμμής s 1 : B(s) = 4s = 0 και την παραγωγίζουμε ως προς s: db(s)/ds=4 από την οποία ο συντελεστής 4 αντικαθιστά το μηδενικό της γραμμής s 0 του αρχικού πίνακα, οπότε προκύπτει: s 3 1 4 s 2 2 0 s 1 4 0 s 0 4 Ακολούθως επιλύουμε τη βοηθητική εξίσωση ως προς s και έχουμε s = 0, το οποίο αποτελεί ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (πόλο). Εάν Κ= 8, ο πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: s 3 1 4 s 2 2 8 s 1 0 0 s 0 8 0 Παρατηρούμε ότι για Κ = 8 εμφανίζεται μια γραμμή με μηδενικά στοιχεία (Περίπτωση 3) και θα έχουμε δύο ρίζες (πόλους) πάνω στον φανταστικό άξονα, οπότε το σύστημα θα είναι κατ επέκταση (οριακά) ευσταθές. Για να προσδιορίσουμε στην περίπτωση αυτή τους πόλους του συστήματος, σχηματίζουμε το βοηθητικό πολυώνυμο B(s), που αντιστοιχεί στην εξίσωση της γραμμής πριν από τη γραμμή που περιλαμβάνει τα μηδενικά στοιχεία (γραμμή που αντιστοιχεί στον όρο s 2 ): B(s) = 2s 2 + 8 = 2(s 2 + 4) = 2(s + j2)(s 2j) Επομένως, οι πόλοι του συστήματος όταν έχουμε οριακή ευστάθεια είναι: s 0 = 0, s 1 = j2 και s 2 = -j2 10

Παράδειγμα 8: Έστω ένα σύστημα τρίτης τάξης τάξης με το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο: P(s) = s 2 + Κs + 2Κ - 1 όπου Κ μια ρυθμιζόμενη απολαβή. Να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για να είναι το σύστημα ευσταθές. Για να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 2 1 2Κ - 1 s 1 Κ 0 s 0 2Κ - 1 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, επομένως θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα Κ > 0 και 2Κ- 1 > 0, δηλαδή Κ > 0,5. Εάν συγκρίνουμε τις συνθήκες Κ > 0 και Κ > 0,5, προκύπτει ότι η δεύτερη συνθήκη (Κ > 0,5) είναι πιο αυστηρή. Άρα το σύστημα θα είναι ευσταθές για Κ > 0,5. Παράδειγμα 9: Το παρακάτω σχήμα περιγράφει το σύστημα ελέγχου ενός ρομπότ ηλεκτροσυγκόλλησης. Να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. Επιθυμητή διάμετρος ηλεκτροσυγκόλλησης μετάλλου X(s) Σ + - Ρυθμιστής G C (s)= k s Ρομπότ ηλεκτροσυγκόλλησης G R (s)= 1 (s+3)(s+2) Πραγματική διάμετρος ηλεκτροσυγκόλλησης μετάλλου Y(s) F(s)=1 Σύστημα όρασης Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: Άρα, η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: Για να προσδιορίσουμε το εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές εφαρμόζουμε το κριτήριο Routh. Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι: 11

s 3 1 6 s 2 5 k s 1 0 k Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει k > 0 και s 0 Άρα, το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 30. Παράδειγμα 10: Έστω ένα σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου: Να προσδιοριστεί η περιοχή ευστάθειας του συστήματος που ορίζεται από τις παραμέτρους Κ 1 και Κ 2. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση δίνεται από τη σχέση: Επομένως, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος είναι: Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι: s 3 1 2 + Κ 1 s 2 3 Κ 2 s 1 0 s 0 Κ 2 0 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, άρα θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα Κ 2 > 0 και 3(2 + Κ 1 ) Κ 2 > 0 ή Κ 2 > 0 και Κ 1 + 2 > Κ 2 /3. Παρατηρούμε ότι, όταν το Κ 2 τείνει οριακά στο μηδέν το Κ 1 τείνει στο -2 και όταν το Κ 1 τείνει στο μηδέν, το Κ 2 τείνει στο 6. Στο παρακάτω γράφημα φαίνεται η περιοχή ευστάθειας του συστήματος που ορίζεται από τις παραμέτρους Κ 1 και Κ 2 (σκιασμένη περιοχή). Κ 1 0-2 6 Κ 2 12

3. Χρονική απόκριση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Στα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος, συνεπώς μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε τη συμπεριφορά των συστημάτων ως προς το χρόνο ή απλά τη χρονική απόκριση αυτών. Στην ανάλυση των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου, εφαρμόζεται ένα σήμα εισόδου αναφοράς και η απόδοση του συστήματος εκτιμάται με βάση τη μελέτη της απόκρισης του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. Για παράδειγμα, εάν ο σκοπός ενός συστήματος είναι η παρακολούθηση του σήματος εισόδου από τη μεταβλητή εξόδου, ξεκινώντας από κάποια αρχική χρονική στιγμή και με συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες, απαιτείται η σύγκριση των σημάτων εισόδου και εξόδου ως συναρτήσεις του χρόνου. Τα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου είναι από τη φύση τους δυναμικά και η απόκρισή τους δεν μπορεί να ακολουθήσει ακαριαία ξαφνικές αλλαγές της εισόδου, παρουσιάζουν δηλαδή αδράνεια, με αποτέλεσμα να παρατηρούνται μεταβατικά φαινόμενα σε κάποιο βαθμό πριν φτάσουν στην κατάσταση ισορροπίας. Για το λόγο αυτό η χρονική απόκριση ενός συστήματος περιλαμβάνει συνήθως δύο τμήματα, την μεταβατική απόκριση (transient response) και την απόκριση στη μόνιμη απόκριση (steady state response): αν y(t) είναι η χρονική απόκριση του συστήματος, τότε y(t) = y t (t) + y ss (t) όπου y t (t) η μεταβατική απόκριση και y ss (t) η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση. Η μεταβατική απόκριση ενός συστήματος εξασθενεί με την πάροδο κάποιου χρονικού διαστήματος. Η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση είναι το τμήμα εκείνο της συνολικής απόκρισης του συστήματος που παραμένει μετά την απόσβεση της μεταβατικής κατάστασης, παρακολουθεί τη μεταβολή του σήματος εισόδου και μπορεί ακόμα και να μεταβάλλεται με κάποιο προκαθορισμένο τρόπο, όπως, για παράδειγμα, να έχει τη μορφή ενός ημιτονικού σήματος ή μιας συνάρτησης ράμπας που αυξάνει με το χρόνο. Η μεταβατική απόκριση αποτελεί σημαντικό μέρος της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος. Η απόκλιση μεταξύ της απόκρισης (εξόδου) και της εισόδου του συστήματος ή της επιθυμητής απόκρισης, πριν την επίτευξη της μόνιμης κατάστασης, πρέπει να ελεγχθεί επακριβώς και, για το λόγο αυτό, ο έλεγχος της μεταβατικής κατάστασης ενός συστήματος είναι πολύ σημαντικός. Η απόκριση μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου είναι επίσης πολύ σημαντική. Για παράδειγμα, σε ένα σύστημα ελέγχου θέσης, η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση όταν συγκρίνεται με την επιθυμητή θέση, μας δίνει μια ένδειξη της ακρίβειας του συστήματος. Γενικά, αν η απόκριση μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος δεν συμφωνεί επακριβώς με την επιθυμητή είσοδο αναφοράς, το σύστημα λέγεται ότι παρουσιάζει σφάλμα μόνιμης κατάστασης. Στη σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου συνήθως δίνονται προδιαγραφές οι οποίες περιλαμβάνουν διάφορες παραμέτρους της αντίστοιχης χρονικής απόκρισης σε σχέση με μια καθορισμένη είσοδο και αφορούν στη μεταβατική λειτουργία και στη λειτουργία μόνιμης κατάστασης, καθώς και στη ζητούμενη ακρίβεια στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας. Οι ενεργοποιητές (κατευθυντές) σχεδιάζονται έτσι ώστε το σχεδιαζόμενο σύστημα να καλύπτει στο μέγιστο δυνατό βαθμό αυτές τις προδιαγραφές. Βέβαια, κατά τη 13

σχεδίαση οποιουδήποτε σχεδόν συστήματος, οι ζητούμενες προδιαγραφές μεταβάλλονται πολλές φορές εξαιτίας κάποιων περιορισμών και αναπόφευκτων συμβιβασμών. Επομένως, στην πραγματικότητα, οι προδιαγραφές ενός συστήματος αποτελούν μια πρώτη προσέγγιση των απαιτούμενων παραμέτρων της επιθυμητής συμπεριφοράς του, που καθορίζονται σύμφωνα με τα αντίστοιχα ζητούμενα μέτρα συμπεριφοράς, αποτελούν μια ένδειξη της ποιότητας του συστήματος και μας επιτρέπουν να απαντήσουμε στο ερώτημα: Πόσο αξιόπιστα μπορεί να εκτελέσει το σύστημά μας μια συγκεκριμένη εργασία, την οποία σχεδιάστηκε να εκτελεί; 4. Τυπικά σήματα δοκιμής για την χρονική απόκριση συστημάτων ελέγχου Τα διάφορα συστήματα ελέγχου είναι από τη φύση τους συστήματα που λειτουργούν στο πεδίο του χρόνου και, για το λόγο αυτό, είναι η χρονική απόκριση ενός συστήματος εκείνο το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει περισσότερο. Αρχικά θεωρείται απαραίτητη η διερεύνηση της ευστάθειας ενός συστήματος με τη βοήθεια των μεθόδων που παρουσιάσαμε. Εάν ένα σύστημα είναι ευσταθές, η απόκρισή του σε ένα συγκεκριμένο σήμα εισόδου μας παρέχει πολλές πληροφορίες για τη γενικότερη συμπεριφορά του συστήματος αυτού. Όμως η πραγματική μορφή των διαφόρων σημάτων εισόδου δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων. Για το λόγο αυτό, επιλέγουμε κάποια τυπικά σήματα δοκιμής (test signals) για τη μελέτη της συμπεριφοράς των συστημάτων ελέγχου. Επιλέγοντας κατάλληλα αυτά τα σήματα, συστηματοποιούμε τη μαθηματική αντιμετώπιση του προβλήματος και, επιπλέον, η μελέτη της απόκρισης του συστήματος στις εισόδους αυτές μας επιτρέπει την πρόβλεψη της συμπεριφοράς του συστήματος σε άλλα πιο πολύπλοκα σήματα εισόδου. Αυτή προσέγγιση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για γραμμικά συστήματα, γιατί η απόκριση σε πολύπλοκα σήματα εισόδου μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της υπέρθεσης των αποκρίσεων στα απλά τυπικά σήματα δοκιμής. Τα τυπικά σήματα δοκιμής που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι η βηματική συνάρτηση, η συνάρτηση κλίσης ή ράμπας και η παραβολική συνάρτηση. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών και η μαθηματική τους περιγραφή φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. x(t) x(t) x(t) A Κλήση = Α 0 x(t)=au(t) X(s)=A/s t 0 t 0 t x(t)=atu(t) X(s)=A/s 2 x(t)=at 2 u(t) X(s)=2A/s 3 Η συνάρτηση ράμπας είναι το ολοκλήρωμα της βηματικής συνάρτησης και η παραβολική συνάρτηση είναι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ράμπας. Μια άλλη σημαντική συνάρτηση ως τυπικό σήμα δοκιμής είναι η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση, η οποία ορίζεται ως και 14

5. Βηματική απόκριση συστήματος και προδιαγραφές στο πεδίο του χρόνου Η μεταβατική απόκριση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου είναι σημαντική αφού είναι επιθυμητό το μέτρο και η χρονική της διάρκεια να κυμαίνονται μέσα σε ανεκτά όρια. Για γραμμικά συστήματα τα διάφορα τυπικά μεγέθη που αφορούν στη συμπεριφορά τους ορίζονται συνήθως με βάση τη μοναδιαία βηματική απόκριση, δηλαδή την απόκριση του συστήματος όταν η είσοδος είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η μοναδιαία βηματική απόκριση ενός γραμμικού συστήματος ελέγχου. Είσοδος μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης Μέγιστη υπερύψωση Απόκριση μόνιμης κατάστασης y ss Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss Χρόνος ανύψωσης Χρόνος μεγίστου t Χρόνος ανόδου Χρόνος αποκατάστασης T s Τα τυπικά μεγέθη της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης ενός γραμμικού συστήματος που περιγράφουν τη συμπεριφορά του στο πεδίο του χρόνου είναι τα ακόλουθα: Μέγιστη υπερύψωση: Εάν y(t) η μοναδιαία βηματική απόκριση του συστήματος, M pt η μέγιστη τιμή της y(t) και y ss η τιμή μόνιμης κατάστασης της y(t), τότε Μέγιστη υπερύψωση = M pt - y ss Η μέγιστη υπερύψωση συχνά εκφράζεται ως ένα εκατοστιαίο ποσοστό της τιμής μόνιμης κατάστασης της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης: Η μέγιστη υπερύψωση χρησιμοποιείται συχνά ως μέτρο της σχετικής ευστάθειας ενός συστήματος ελέγχου και μια μεγάλη υπερύψωση είναι συνήθως ανεπιθύμητη. Χρόνος ανόδου T r : Ως χρόνος ανόδου ορίζεται ο χρόνος που απαιτείται έτσι ώστε η μοναδιαία βηματική απόκριση να ανέλθει από το 0% στο 100% της τελικής της τιμής. Χρόνος ανύψωσης T r1 : Ως χρόνος ανύψωσης ορίζεται ο χρόνος που απαιτείται έτσι ώστε η μοναδιαία βηματική απόκριση να ανέλθει από το 10% στο 90% της τελικής της τιμής. Χρόνος μεγίστου T p : Ως χρόνος μεγίστου ορίζεται ο χρόνος που απαιτείται έτσι ώστε να έχουμε τη μέγιστη υπερύψωση της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης. 15

Χρόνος αποκατάστασης T s : Ως χρόνος αποκατάστασης ορίζεται το χρονικό διάστημα που απαιτείται έτσι ώστε η έξοδος του συστήματος να ηρεμήσει γύρω από μια τιμή, η οποία διαφέρει κατά ένα συγκεκριμένο ποσοστό δ σε σχέση με το πλάτος του σήματος εισόδου. Μια συνήθης αποδεκτή τιμή για το δ είναι της τάξης του 5%. Οι ποσότητες που μόλις ορίστηκαν δίνουν ένα άμεσο μέτρο των μεταβατικών χαρακτηριστικών της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Αναλυτικά οι ποσότητες αυτές είναι δύσκολο να τεκμηριωθούν, εκτός από συστήματα μικρότερης από τρίτης τάξης. Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss : Ως σφάλμα μόνιμης κατάστασης ορίζεται η διαφορά μεταξύ της απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση και της εισόδου αναφοράς. Θα πρέπει να τονιστεί ότι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης μπορεί να οριστεί για οποιοδήποτε σήμα εισόδου αναφοράς, όπως η βηματική συνάρτηση, η συνάρτηση ράμπας, η παραβολική συνάρτηση κλπ. 6. Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση Ένας από τους βασικούς λόγους για τους οποίους χρησιμοποιείται ευρύτατα η ανάδραση στα συστήματα ελέγχου, παρά το σχετικά αυξημένο κόστος και την πολυπλοκότητα που προσθέτει στο σύστημα, είναι η σημαντική βελτίωση που επιφέρει μειώνοντας το αντίστοιχο σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση. Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ενός ευσταθούς συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου είναι συνήθως πολύ μικρότερο από το αντίστοιχο σφάλμα σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου. Ας θεωρήσουμε το σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου του σχήματος. X(s) + E a(s) = X(s) - R(s) G(s) Y(s) - R(s) F(s) Το σήμα ενεργοποίησης που παράγεται στο σύστημα είναι E a (s) = X(s) R(s). Όμως, το πραγματικό σήμα σφάλματος είναι η διαφορά μεταξύ της εξόδου και της εισόδου αναφοράς στη μόνιμη κατάσταση, E(s) = X(s) Y(s). Για το σύστημα του σχήματος ισχύει: ή και επειδή θα έχουμε: E(s) = X(s) Y(s) 16

Το σφάλμα του συστήματος E(s) ισούται με το σήμα ενεργοποίησης E a (s), όταν έχουμε μοναδιαία ανάδραση F(s) =1. Στην περίπτωση αυτή, για το σύστημα κλειστού βρόχου του σχήματος προκύπτει: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss ορίζεται ως το όριο του e(t)=x(t)-y(t), όταν το t τείνει στο άπειρο. Επίσης, από το θεώρημα τελικής τιμής του μετασχηματισμού Laplace, γνωρίζουμε ότι: Επομένως, το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, με F(s) =1, θα είναι: Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την τιμή του σφάλματος μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος ελέγχου με μοναδιαία ανάδραση και για τα τρία τυπικά σήματα δοκιμής. Βηματική συνάρτηση εισόδου: Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος του οποίου η είσοδος είναι μια βηματική συνάρτηση πλάτους Α, όταν δηλαδή x(t)=au(t), θα είναι: Παρατηρούμε ότι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης του συστήματος για βηματική είσοδο, προσδιορίζεται με τη βοήθεια της μορφής της αντίστοιχης συνάρτησης μεταφοράς G(s). Η γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς είναι: Όπου το σύμβολο Π συμβολίζει το γινόμενο των αντίστοιχων όρων που βρίσκονται μέσα στις παρενθέσεις. Επομένως, η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς καθώς η μεταβλητή s τείνει στο μηδέν, εξαρτάται από την τιμή του εκθέτη Ν της μεταβλητής s στον παρανομαστή (ή από το πλήθος των ολοκληρωτών όπως συνηθίζεται να αποκαλείται ο όρος 1/s Ν, που αντιστοιχεί στο μετασχηματισμό Laplace του Ν-πολλαπλού ολοκληρώματος). Αν ο αριθμός Ν > 0, τότε η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς G(s=0) τείνει στο άπειρο, οπότε το σφάλμα μόνιμης κατάστασης τείνει στο μηδέν. Το πλήθος των ολοκληρωτών που αντιστοιχούν σε ένα σύστημα συμβολίζεται συνήθως με έναν αριθμό, ο οποίος ισούται απλά με το N, δηλώνει τον τύπο του συστήματος. Επομένως, για ένα σύστημα Τύπου-0, δηλαδή με Ν=0, το σφάλμα μόνιμης κατάστασης είναι: Η σταθερά G(s=0) συμβολίζεται συνήθως με K p, ονομάζεται συντελεστής σφάλματος θέσης και δίνεται από τη σχέση: Επομένως, για ένα σύστημα με βηματική είσοδο πλάτους Α, το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ή σφάλμα θέσης θα δίνεται από τη σχέση: 17

Με βάση τα παραπάνω, για ένα σύστημα με μοναδιαία ανάδραση και βηματική είσοδο Τύπου-1 ή μεγαλύτερου (δηλαδή για Ν 1), το σφάλμα θέσης θα είναι μηδέν, αφού: Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η απόκριση σε βηματική είσοδο και το σφάλμα θέσης που προκύπτει για ένα σύστημα Τύπου-0, όταν το K p είναι ένας πεπερασμένος μη μηδενικός αριθμός. x(t) y(t) A Είσοδος αναφοράς x(t)=au(t) A e ss = 1 + K p Έξοδος y(t) 0 t Είσοδος ράμπας: Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος του οποίου η είσοδος είναι μια ράμπα με κλίση Α, όταν δηλαδή x(t)=atu(t), είναι γνωστό ως σφάλμα ταχύτητας και δίνεται από τη σχέση: Η τιμή του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση εξαρτάται και πάλι από τον τύπο του συστήματος. Για ένα σύστημα Τύπου-0 (δηλαδή για Ν=0), το αντίστοιχο σφάλμα μόνιμης κατάστασης απειρίζεται, αφού: Για ένα σύστημα Τύπου-1 (δηλαδή για Ν=1), το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ή σφάλμα ταχύτητας, θα είναι: όπου K v είναι ο λεγόμενος συντελεστής σφάλματος ταχύτητας και υπολογίζεται με τη βοήθεια της σχέσης: Όταν Ν=1, τo σφάλμα ταχύτητας έχει μια πεπερασμένη τιμή Α/Κ v, η οποία είναι διάφορη του μηδενός. 18

Όταν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος περιλαμβάνει δύο ή περισσότερους ολοκληρωτές (δηλαδή για N 2), το αντίστοιχο σφάλμα ταχύτητας ισούται με το μηδέν: Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η απόκριση σε είσοδο ράμπας και το σφάλμα ταχύτητας που προκύπτει για ένα σύστημα Τύπου-1, όταν το K v είναι ένας πεπερασμένος μη μηδενικός αριθμός. x(t) y(t) Είσοδος αναφοράς x(t)=atu(t) A Έξοδος y(t) Είσοδος παραβολικής συνάρτησης: Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος του οποίου η είσοδος είναι μια παραβολική συνάρτηση της μορφής x(t)=at 2 u(t), είναι γνωστό ως σφάλμα επιτάχυνσης και δίνεται από τη σχέση: Για ένα σύστημα Τύπου-0 (δηλαδή για Ν=0), το σφάλμα μόνιμης κατάστασης απειρίζεται, αφού: Ομοίως, για ένα σύστημα Τύπου-1 (δηλαδή για Ν=1), το σφάλμα μόνιμης κατάστασης απειρίζεται, αφού: Για ένα σύστημα Τύπου-2 (δηλαδή για Ν=2), το σφάλμα μόνιμης κατάστασης προκύπτει: όπου K a είναι ο λεγόμενος συντελεστής σφάλματος επιτάχυνσης και υπολογίζεται με τη βοήθεια της σχέσης: 19

Όταν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος περιλαμβάνει τρεις ή περισσότερους ολοκληρωτές (δηλαδή για N 3), το αντίστοιχο σφάλμα ταχύτητας ισούται με το μηδέν: όπου, N 3. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η απόκριση σε είσοδο ράμπας και το σφάλμα επιτάχυνσης που προκύπτει για ένα σύστημα Τύπου-2, όταν το K a είναι ένας πεπερασμένος μη μηδενικός αριθμός. x(t) y(t) 2A Είσοδος αναφοράς x(t)=at 2 u(t) Έξοδος y(t) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται συνοπτικά οι συντελεστές και τα αντίστοιχα σφάλματα μόνιμης κατάστασης για τα τρία τυπικά είδη σημάτων εισόδου (τυπικά σήματα δοκιμής). Τύπος Συστήματος Σταθερές Σφάλματος N K p K v K a Σφάλμα Μόνιμης Κατάστασης e ss Βηματική Είσοδος x(t)=au(t) X(s)=A/s Είσοδος Ράμπας x(t)=atu(t) X(s)=A/s 2 Παραβολική Είσοδος x(t)=at 2 u(t) X(s)=2A/s 3 0 0 0 1 0 0 2 0 0 Να σημειωθεί ότι για γραμμικά συστήματα ελέγχου, στην περίπτωση που το σήμα εισόδου αναφοράς είναι σύνθετο, για παράδειγμα περιλαμβάνει και τα τρία τυπικά σήματα δοκιμής, τη βηματική συνάρτηση, τη συνάρτηση ράμπας και την παραβολική συνάρτηση, η συνολική απόκριση του συστήματος θα είναι η υπέρθεση των αποκρίσεων για κάθε μια είσοδο και, επομένως, το συνολικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss θα είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των σφαλμάτων που προκύπτουν για κάθε ένα τυπικό σήμα εισόδου, δηλαδή το αλγεβρικό άθροισμα των e ss,p, e ss,v και e ss,a. 20

Παράδειγμα 11: Έστω ένα γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου: i. Να υπολογιστεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης εάν η είσοδος είναι x(t)=2tu(t). ii. Να υπολογιστεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης εάν η είσοδος είναι x(t)=2u(t)-2tu(t). Πριν προχωρήσουμε στον υπολογισμό του σφάλματος μόνιμης κατάστασης θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι το σύστημα είναι ευσταθές. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος θα είναι: αφού το σύστημα έχει μοναδιαία αρνητική ανάδραση. Επομένως, η χαρακτηριστικό εξίσωση του συστήματος είναι: ή Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι ο ακόλουθος: s 3 1 7 s 2 5 1 s 1 34/5 0 s 0 1 0 Παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα είναι θετικά, άρα το σύστημα ευσταθές. i. Το σύστημα είναι Τύπου-1, οπότε θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης, e ss,p = 0, πεπερασμένο σφάλμα ταχύτητας, που δίνεται από τη σχέση e ss,v = A/K v, και άπειρο σφάλμα επιτάχυνσης. Η σταθερά σφάλματος ταχύτητας K v είναι: και επειδή Α=2, το σφάλμα ταχύτητας θα είναι: ii. Όπως είδαμε, το σύστημα είναι Τύπου-1, οπότε θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης, e ss,p =0, πεπερασμένο σφάλμα ταχύτητας, που δίνεται από τη σχέση e ss,v =A/K v, και άπειρο σφάλμα επιτάχυνσης. Επίσης, το σφάλμα ταχύτητας υπολογίστηκε σε e ss,v =12. Η είσοδος x(t)=2u(t)-2tu(t) είναι η σύνθεση δύο σημάτων, 2u(t) και 2tu(t), επομένως το συνολικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss θα είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των σφαλμάτων που προκύπτουν για κάθε ένα τυπικό σήμα εισόδου, οπότε: 21

Παράδειγμα 12: Έστω ένα γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου: Να υπολογιστεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης εάν η είσοδος είναι x(t) = 2 t + t 2. Πρώτα θα εξετάσουμε αν το σύστημα είναι ευσταθές. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: αφού το σύστημα έχει μοναδιαία αρνητική ανάδραση. Επομένως, η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ή Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι: s 3 1 8 s 2 4 8 s 1 6 0 s 0 1 Παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα είναι θετικά, άρα το σύστημα ευσταθές. Αναλυτικά, το σήμα εισόδου είναι: x(t) = 2u(t) tu(t) + t 2 u(t). Άρα το σύστημα είναι Τύπου-2, οπότε θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης, e ss,p = 0, μηδενικό σφάλμα ταχύτητας, e ss,v = 0, και πεπερασμένο σφάλμα επιτάχυνσης που δίνεται από τη σχέση e ss,a = 2A/K a, όπου στην περίπτωσή μας Α=1. Η σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης K a είναι: και επειδή Α=1, το σφάλμα επιτάχυνσης θα είναι: Το συνολικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss θα είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των σφαλμάτων που προκύπτουν για κάθε ένα τυπικό σήμα εισόδου, οπότε: Παράδειγμα 13: Έστω ένα γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου: 22

Να υπολογιστεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για k=1,5 sec -1 και να προσδιοριστεί η απολαβή k ώστε για είσοδο ράμπας μοναδιαίας κλίσης, το σφάλμα μόνιμης κατάστασης να είναι μικρότερο του 10%. Πρώτα θα εξετάσουμε θα εξετάσουμε κάτω από ποιες συνθήκες το σύστημα είναι ευσταθές. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: αφού το σύστημα έχει μοναδιαία αρνητική ανάδραση. Επομένως, η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ή Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι: s 3 0,5 1 s 2 1,5 k s 1 (1,5-0,5k)/1,5 0 s 0 k 0 Γνωρίζουμε ότι, για να είναι το σύστημα ευσταθές, πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικά. Άρα, για να είναι το σύστημα είναι ευσταθές, πρέπει να ικανοποιούνται οι συνθήκες k > 0 και (1,5-0,5k)/1,5 > 0 ή (1 - k/3) > 0. Επομένως, το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 3. Το σήμα εισόδου είναι συνάρτηση ράμπας, δηλαδή: x(t) = tu(t). Άρα το σύστημα είναι Τύπου-1, οπότε θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης, e ss,p = 0, πεπερασμένο σφάλμα ταχύτητας, που δίνεται από τη σχέση e ss,v = A/K v, και άπειρο σφάλμα επιτάχυνσης, όπου στην περίπτωσή μας Α=1. Η σταθερά σφάλματος ταχύτητας K v είναι: και, επειδή Α=1, το σφάλμα ταχύτητας θα είναι: Για να επιτύχουμε σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss < 10%, πρέπει να έχουμε Όμως, το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 3 (κριτήριο Routh). Επομένως, δεν είναι δυνατό ρυθμίζοντας την απολαβή k του συστήματος να επιτύχουμε σφάλμα μόνιμης κατάστασης μικρότερο του 10%. 23

Παράδειγμα 14: Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου μοναδιαία αρνητική ανάδραση F(s) = 1 και ελεγκτή G C (s) = k/s. α. Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και να γραφεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου. β. Να υπολογιστούν οι σταθερές σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα. γ. Να προσδιοριστεί το κατάλληλο εύρος τιμών του k ώστε το σφάλμα ταχύτητας να είναι μικρότερο του 1%. α. Το δομικό διάγραμμα του συστήματος είναι το ακόλουθο: R(s) Σ + - G C (s) G(s) C(s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: F(s) και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: β. Σταθερά σφάλματος θέσης: Σφάλμα θέσης: Σταθερά σφάλματος ταχύτητας: Σφάλμα ταχύτητας: Σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης: 24

Σφάλμα επιτάχυνσης: γ. Πρώτα θα πρέπει να εξετάσουμε το εύρος τιμών του k για να είναι το σύστημα ευσταθές, εφαρμόζοντας το κριτήριο ευστάθειας Routh. Ο πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: s 3 2 1 s 2 3 k s 1 (3-2k)/3 0 s 0 k 0 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει: k > 0 και 3-2k > 0 ή k < 3/2, δηλαδή 0 < k < 1,5. Για να έχουμε σφάλμα ταχύτητας μικρότερο του 1%, θα πρέπει: δηλαδή, θα πρέπει k > 100. Όμως, όπως είδαμε με το κριτήριο Routh, το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 1,5. Επομένως, δεν είναι δυνατό ρυθμίζοντας το k να επιτύχουμε σφάλμα ταχύτητας μικρότερο του 1%. Πηγές: Για τη σύνθεση αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήθηκε υλικό από την παρακάτω βιβλιογραφία: Θεωρία και Προβλήματα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Αναλογικών και Ψηφιακών Συστημάτων, Joshef J. Distefano III, Allen R. Stubberud, Ivan J. Williams Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου - Θεωρία και προβλήματα, Πακτίτης Σπύρος Α. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Τρ. Ποιμενίδης Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Π. Ν. Παρασκευόπουλος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop 25