5η κατηγορια: Για να βρούμε τη σύνθεση gof των συναρτήσεων f,g ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού A f,a g των συναρτήσεων f,g. Στη συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο A A f / f( A g συναληθεύοντας τους Df περιορισμούς. Αν A, τότε Agf A f( D g και g f( g(f(... 68. Δίνονται οι συναρτήσεις f( και g(. Να βρεθούν οι συναρτήσεις, f g,g f, f f, g g. (Απ: Afg,, και (( g f f g (, Aff,6 και f f (, A,, και g f 6, Α gg, και g g( 69. Δίνονται οι συναρτήσεις f( 6 4 και g(. Να βρείτε τις συναρτήσεις f g και g f. (Απ: A,,0 0, και f g fog 6 4., A, 4 και g f 70. Αν f και g, να βρείτε τις fog, gof. (Απ: D fg,, και f g, D gf 0,, και g f 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f( και g(. Να βρείτε τις 5 συναρτήσεις f g, g f, f f, g g. 8 7-5 9 (Απ: ( f g(, -, -, (g f(=, 5,, 5 7 5 4-9 4 5 6 +6 7 ( f f(, 5,, (g g(=, -, - 6 +7 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f( και g( 6. Να βρείτε τις συναρτήσεις f g, g f. gf (Απ: ( f g( 6, και (g f(= 6- -, [,] 5
7. Δίνονται οι συναρτήσεις συνάρτηση f g., 0 f( και, 0 (Απ: f g(, 74. Δίνονται οι συναρτήσεις f( και, βρείτε τη συνάρτηση f g. g(. Να βρείτε την ( (, [, ( 5, (, (,, 5 g(. Να, 9, 5,,,9 (Απ: (f g( 5,, 75. Δίνεται η συνάρτηση f :,0. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f 5. (Απ: Dfg 5,,5 76. Δίνεται η συνάρτηση f :,. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(. (Απ: Df g 0, 77. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα 0,.Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: f 4 α f β (Απ:α D,,β 4,5 f g D f g 78. Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα 5,8. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g f 8 f 9 (Απ:, D 79. Δίνονται οι συναρτήσεις f(, g( και h(=. Να αποδείξετε ότι: hgh g(, για κάθε 0 και. α β fof για κάθε. 80. Δίνεται η συνάρτηση f. Να αποδείξετε ότι f g fof για κάθε. 6
8. Δίνεται η συνάρτηση f( 4 4, 0. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0,4 ισχύει f f(. 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f(, g( και h(=. Να αποδείξετε ότι f g h(, για κάθε. 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f( α β και g(,. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β για τους οποίους ισχύει: f g(. (Απ : α και β 84. Έστω f( αχ β. Να βρείτε τα α,β ώστε (fοf( 4, για κάθε. (Απ : f ή f 85. Έστω f( αχ β.αν (fof( 9 4,για κάθε, να βρείτε τα α,β. (Απ : f ή f 86. Αν f( λ και g( λ, να βρείτε το λ ώστε fog gof. (Απ : 87. Δίνονται οι συναρτήσεις f( α β και g( β, α,β,. Να βρείτε τα α, β, αν είναι γνωστό ότι f g( 4,. (Απ: a=5, β= ή α= και β= α 88.Δίνεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οποίο ισχύει (fof( για κάθε. (Απ: 89.Δίνεται συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f f(. Να αποδειχθεί ότι η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. για κάθε 90.Δίνεται συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει f f( 5 4. Να αποδείξετε ότι f(=., για κάθε 9.Δίνεται συνάρτηση f : *, για την οποία ισχύει f f f( κάθε *. Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από το σημείο Α(4,4., για 9.Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : f g( 5 9 και τουλάχιστον κοινό σημείο. g f(, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις. Να αποδείξετε ότι οι C f, C g έχουν ένα 9.Δίνονται οι συναρτήσεις f,g :, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: g f( 4, και f g(. Να αποδειχθεί ότι οι C f,cg τέμνονται στο σημείο Α,. 7
94.Δίνονται οι συναρτήσεις f,g :. Να αποδείξετε ότι: α Αν f,g περιττές συναρτήσεις, τότε η g f είναι περιττή. β Αν f άρτια, τότε και g f άρτια. γ Αν f περιττή και g άρτια, τότε g f άρτια. δ Αν f περιττή και g f περιττή, τότε g περιττή. 95.Έστω f: με (fof(,. Να αποδείξετε ότι α η f είναι περιττή συνάρτηση. f 0 0 β 6η Κατηγορία: ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ Εύρεση συναρτήσεων που συνθέτουν μία σύνθετη συνάρτηση Όταν δίνεται μία συνάρτηση f και θέλουμε να την εκφράσουμε ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, τότε, παρατηρώντας τον τύπο της συνάρτησης από «έξω» προς τα «μέσα», προσπαθούμε να βρούμε τις βασικές συναρτήσεις που συνθέτουν την f. Από την fog και την g, να βρεθεί η f Θέτουμε g( ω. Λύνουμε την προηγούμενη σχέση ως προς ή ως προς μία παράσταση του, έτσι ώστε να μετατρέψουμε την f g( στη μορφή f(ω, με ανεξάρτητη μεταβλητή το ω. Από την fog και την f, να βρεθεί η g Αντικαθιστούμε στην f( όπου το g( και βρίσκουμε την f g(. Εξισώνουμε την f g( του προηγούμενου βήματος με την f g( f g( υπόθεσης και λύνουμε ως προς g(. της 96. Να εκφρασθούν οι παρακάτω συναρτήσεις ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων: α f( 5 β f δ f( ημ συν ημ γ f( ημ5 ε στ f f ημ ημ 5 ημ 97.Να βρείτε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει: I. f g 5 g 4. και II. (fοg( 4 0 7 και g( 4 III. fog 5 και g( g, 0. g,. fog ημ και g( συνχ IV. f g 5 και V. f g και VI. 8
(Απ: Ι. f 5, ΙΙ. ΙV. f 7, V. f, ΙΙΙ. f, 0 VI. f( 5, f(,,. 98.Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει: α (f g( και g( β f g 5 g 4. και 4 γ f g και (Απ: α g.,β f 5,, γ f( 99. Να βρείτε συνάρτηση g για την οποία ισχύει: I. f g 4 6 και II. 6 (f g( 4 και f( III. (f g( και f(, (Απ: Ι. g ΙΙ. f 4. 6 g( 4,.ΙΙΙ. 00. Να βρείτε συνάρτηση f ορισμένη στο, για την οποία ισχύει ότι: f για κάθε. (Απ: f, g(, 0 f 4, 4 0. Δίνεται η συνάρτηση f(. Να βρεθεί συνάρτηση g για την οποία ισχύει gf( 5 4 7. (Απ: g(, 8 7η Κατηγορία: ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Σχέσεις της μορφής - Για να βρούμε το f y... f 0 συνήθως αντικαθιστούμε y 0 - Για να αποδείξουμε ότι η f είναι άρτια ή περιττή, συνήθως αντικαθιστούμε y ή y ή 0 ή y 0. Γενικά δίνουμε στα χ,y κατάλληλες τιμές για να προκύψει το ζητούμενο. f y... Σχέσεις της μορφής - Για να βρούμε το f συνήθως αντικαθιστούμε y 9
- Για να προκύψει ισότητα με έναν άγνωστο, συνήθως αντικαθιστούμε ή y ή y. Γενικά δίνουμε στα χ,y κατάλληλες τιμές για να προκύψει το ζητούμενο. 0. Δίνεται συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f y f f y, για κάθε,y Να αποδείξετε ότι: α f0 0 β f άρτια γ δ η f είναι σταθερή συνάρτηση f y f f y,,y 0. Δίνεται συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f y f y yf για κάθε,y.να αποδείξετε ότι: α η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β Η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. γ f y yf f y,,y. 04. Δίνεται η συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f(y f(f(y y για κάθε,y. Να αποδείξετε ότι: α f( β f, γ f( f( f,,y y f(y y 05. Αν f: α f 0 y β f σταθερή με f f f y για κάθε, y.να δείξετε ότι : 06. Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: για κάθε,y. α Να βρείτε το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y y. β Να βρείτε τον τύπο της f. 07. Δίνεται συνάρτηση f : για κάθε,y. Να αποδειχθεί ότι: f y f( f(y y (Απ: α 0,0, β f f y f y f(f(y για την οποία ισχύει: α Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β Η f είναι άρτια γ f( 0 για κάθε. 08. Δίνεται συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f( y f( y 4f y 6y, για κάθε,y. α Να βρείτε το f(0 β Να βρείτε τον τύπο της f. (Aπ: Ι. f( 0 0, ΙΙ. f( 0
09. Δίνεται συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: 5 f(y f(f(y y,,y. 6 α Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α,. β Να βρεθεί ο τύπος της f. 8η Κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σχέσεις της μορφής κf(α λf(β g( Έστω α β X X αβ : (Aπ: α f(, β f( 5, Αντικαθιστούμε στη σχέση όπου το Χ και προκύπτει μία άλλη σχέση που περιέχει τα f(α και f(β.στη συνέχεια λύνουμε το σύστημα των δύο σχέσεων για να υπολογίσουμε τα f(α- και f(β+. Αν θέσουμε αχ u, προσδιορίζουμε το f u, άρα και το f. Εύρεση τύπου από ανισοτικές σχέσεις Με κατάλληλες αντικαταστάσεις, προσπαθούμε να δημιουργήσουμε τις ανισώσεις: f( g( και f( g(, από τις οποίες προκύπτει ότι f( g(. 0. Να βρείτε συνάρτηση f: με f( f( (,. (Απ: f,. Να βρείτε συνάρτηση f : στις παρακάτω περιπτώσεις: α f( 4f( συν ημ, β 6 f( f, f( ( 6 f( f( 4 (Aπ. α, β f(. Να βρείτε συνάρτηση f: με,. f 4 5 (Aπ.. Να βρείτε συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f( f( για κάθε. f 4 (Aπ. 4. Να βρείτε συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f( f(, για κάθε. (Aπ. f 8
5. Να βρείτε συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f( f(, για κάθε,y. 6. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g :, για τις οποίες ισχύει: f( f 4 g(, για κάθε. 0 (Aπ. f( α Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο β Αν επιπλέον ισχύει f f (, να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων f, g καθώς και το κοινό τους σημείο. 0 (Απ: ( 9 7 4 f, g(,,, 9. 7. Να βρείτε συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f( f( για κάθε. (Απ: f(, 8. Να βρείτε συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει f( 4 5 f(,. 9. Δίνεται περιττή συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f ημ για κάθε.να βρείτε το τύπο της f. 0. Δίνεται περιττή συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει 4 f( ημ,. Να βρείτε τον τύπο της f. (Aπ. f( 4 5 (Απ: f( ημ, (Aπ. f(