ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΪΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 8 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελ. 87 Α. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β x + x+ ( x + x+ ) ( x + x+ + ) Β. Υπολογίζουμε το lm lm x = = x + x x x ( x+ ) ( x + x+ + ) ( x + x+ ) x + x+ x( x+ ) lm lm lm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x + + + + + + + + x x+ x + x+ + = = = = = lm = = x x x x ( + + + ) ( ) Άρα έχουμε: P( ω ) = = x x x x x = ln x = ln x+ ln x = ln x+ = ln x+ x Ο ρυθμός μεταβολής της ως προς x όταν x = είναι () = ln+ = + =, άρα P ( ω ) = Βρίσκουμε την ( x ), έχουμε: ( ) ( ) Β. Έχουμε Α= { ω, ω } Ισχύει { } Ρ Α ω Α άρα έχουμε: P( ω ) ( P Α ), δηλαδή ( )
Θα δείξουμε την ανισότητα ( ) Ρ Α Έστω ότι η ανισότητα που ζητείται ισχύει, δηλαδή P( ) P( ) P( ) Όμως { ω } Α άρα έχουμε: P( ) P( ) ω Α, δηλαδή ( ) Α Α Α P Α = P( A) = PA ( ) = PA ( ) = Όμως PA ( ) = P( ω) + P( ω) ( ) ( ) = + P ω P ω = Ισχύει P( ω) + P( ω) + P( ω) + P( ω) = ( ) + + P ω + = P( ω ) = 7 5 P( ω) = = Β. Επειδή: P( A ) Α Β= { ω}, Β Α= { ω} Άρα ( Α Β) ( Β Α ) = { ω, ω } P ( A B) ( Β Α ) = P + P( ω) = + = Α= ω, ω, Β= ω, ω Επομένως [ ] ( ω ) Έχουμε: { } { } = = Άρα Α Β= { ω }, επομένως έχουμε PA ( B ) Pω ( ) ΘΕΜΑ Γ Γ. Επειδή η μικρότερη παρατήρηση είναι 5, το αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης θα είναι 5 άρα οι κλάσεις 5,5 + c, 5 + c,5+ c, 5+ c,5+ c, 5+ c,5+ c, θεωρώντας ως c θα είναι της μορφής: [ ) [ ) [ ) [ ) το πλάτος της κλάσης. Επειδή η κεντρική τιμή της ης κλάσης είναι 85, θα έχουμε: ( 5 + c) + ( 5 + c) = 85 + 7c= 7 7c= 7 c= Γ. Έχουμε ότι: =, δ = 75. Ο παρακάτω πίνακας παίρνει τη μορφή: Κλάσεις x [5, 6) 55 [6, 7) 65 [7, 8) 75 [8, 9) 85 Σύνολο
Έχουμε ότι: x= x+ x + x+ x 7 = 55 + 65 + 75 + 85 7 = 55 + 65 + 5 () Στην κλάση [7, 8) πλάτους έχουμε σχετική συχνότητα Στο διάστημα [7, 75) πλάτους 5 έχουμε σχετική συχνότητα x Τα παραπάνω ποσά είναι ανάλογα, άρα: = x = 5 x Μέχρι τη διάμεσο δ = 75 έχουμε 5% των παρατηρήσεων, άρα + + =,5 + =,5 () ( ) Έχουμε ότι: + + + =,5 + + = =,5 6 = 5 = = =, 5 Άρα = =,=, ( ) + =,5, + =,5, + =, =, () 7= 55+ 65(, ) + 5, 7= 55+ 6 65+ 9 = = =, Άρα =,, άρα =, Ο πίνακας γίνεται: Κλάσεις x [5, 6) 55, [6, 7) 65, [7, 8) 75, [8, 9) 85, Σύνολο, Γ. Αν v, v, v, v οι αντίστοιχες συχνότητες και ψ η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες του 8, τότε: + + + + v v v x + x+ x, 55+, 65+, 75 5,5+ 9,5+ 5 ψ = = = = = = v v + v + v v v + + + +,+, +,, 6 = = =,6 6 v v v
Γ.,5%,5%,5%,%,%,5%,5%,5% x s x s x s x x + s x + s x + s Επειδή η κατανομή είναι κανονική θα πρέπει x+ s = 7, x s= 68 ( ) x+ s= 7 x+ s= 7 ( ) x s = 68 x s = 6( + ) x= x= 7 Επομένως x s = 68 7 s = 68 s= s 7 Έχουμε CV = = < = x 7 7 Ισχύει CV < % άρα το δείγμα είναι ομοιογενές. ΘΕΜΑ Δ. ( x) = xln x+ κ, x>, κ με κ > ( x) = ( x) ln x+ x(ln x) = ln x+ x = ln x+ x Η εφαπτομένη (ε) της C στο σημείο (, ( ) ) είναι y = λx+ β με λ = () =, δηλαδή y = x+ β Για x = έχουμε () = ln+ k = k Άρα για x = και y = k έχουμε : k = + β β = k Επομένως y = x+ κ Σημείο τομής της (ε) με x x Για y = έχουμε x = κ δηλαδή A( κ, ) Σημείο τομής της (ε) με y y Για x= έχουμε y = k δηλαδή B(, κ ) Ισχύει E ( OAB) κ κ ( κ )( κ ) ( κ ) = = = = ( κ ) < < ( ) Όμως E κ < κ κ + < κ κ < κ (,) Όμως κ με κ >, άρα κ =
Δ. α) Έστω y οι τεταγμένες των 5 σημείων της (ε) με =,,., 5 Η εφαπτομένη (ε) της C για κ = γίνεται y = x+ Επομένως έχουμε y = x + Ισχύει y = x+ = x + x = β) Έστω W, W,..., W 5 οι καινούριες τετμημένες και W = η νέα μέση τιμή των τετμημένων ( W + W +... + W) + ( W +... + W5 ) + ( W6 +... + W5) Έ χουμε: W = 5 5 = ( x + ) + ( x + ) +...( x + ) + ( x +... x5) + ( x6 λ) + ( x7 λ) +... + ( x5 λ) 55 = ( x + x +... x) + ( x +... + x5) + ( x6 + x7 +... + x5) + 6 5λ 55 = 5 + 6 5λ 5 = 6 5λ 5λ = λ = = 5 Δ. Μελετούμε την συνάρτηση ( x) = x lnx+ ως προς την μονοτονία, έχουμε: ( x) = lnx+, x> ( x) = ln x+ = ln x= ln x= ln ln x= ln x= ( x) > lnx+ > lnx> ln x> ln ln x> ln x> x ( x) + + ( x) > > Ο.Ε. Η στο (, ] και η στο [ ) + Επειδή η στο [ + ) και α βγ θα έχουμε: ( ) < ( a) < ( β ) < ( γ ) < ( ) επιπλέον βρίσκουμε: ( ) = ln + = ln ln + = () = ln+ = + ( ) = ln + = + Άρα < ( α) < ( β) < ( γ) < +
Επομένως οι τιμές των παρατηρήσεων σε αύξουσα σειρά είναι: = < ( a) < ( β) < ( γ) < ( ) Άρα R = () = + = + α β γ Δίνεται ότι α β γ = 7, επομένως α β γ α β γ α α β β γ γ α β γ 7 α β γ ln( ) = ln ln + ln + ln = 7 ln ln + ln + ln = 7 () Έστω z η μέση τιμή των παραπάνω παρατηρήσεων, έχουμε: ( α) + ( β) + ( γ) + ( ) + ( ) ( αlnα + ) + ( β lnβ + ) + ( γ lnγ + ) + + + z = = = 5 5 () αlnα + β ln β + γ ln γ + 6 + + 7 + 6 + + + + = = = 5 5 5 Δ. α) Επειδή ( x ) > για x > έχουμε ότι για t, t,..., t, Ν Α =. άρα Α= { } άρα ( ) x > η εφαπτομένη σχηματίζει με τον x x οξεία γωνία, Επειδή ο δειγματικός χώρος Ω, αποτελείται από ισοπίθανα, απλά ενδεχόμενα, ισχύει ο κλασικός ορισμός Ν( Α) της πιθανότητας, άρα Ρ( Α ) = = = Ν Ω β) Έχουμε () () ( ) t > t + t lnt+ > lnt+ + t lnt+ > lnt+ t ln t > ln t t ln t ln t > ( t ) ln t > () αν t < lnt < ln lnt < και t < άρα ( t ln ) t > Συνεπώς η σχέση () t > () t + ισχύει για κάθε t άρα B = { t, t,..., t9} Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Α Β= { t, t,..., t9} Ν( Α Β) 9 άρα P ( Α Β ) = = Ν( Ω) < < με =,,...,9 Επιμέλεια: Δημήτρης Δούνιας Επαμεινώνδας Μώρος