Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου τη διδσλί ι υποδηλώου ότι οι μθητές σέπτοτι ι εδιφέροτι άρ μθίου λύτερ λλά ιτί μπορεί ποτελέσου ι ίητρο ι πρπέρ προλημτισμό ι έρευ όμη ι σε θέμτ που ομίζουμε ότι είι «εξτλημέ». Η ερώτηση εός μθητή στο συάδελφο. τ. Σπυριδάη: «δυο πλευρές εός τριώου είι ίσες μι προς μι με δυο πλευρές εός άλλου τριώου ι δυο ωίες του εός είι ίσες μι προς μι με δυο ωίες του άλλου τριώου τότε τ τρίω υτά είι ίσ;» έδωσε τη φορμή ι ρφεί υτό το άρθρο στο οποίο μελετούμε τέτοι τρίω. Συεριμέ θ δούμε πρδείμτ τέτοιω τριώω που δε είι ίσ θώς ι συθήες ι τη τσευή τους. Φυσιά δυο τέτοι τρίω είι πάτ όμοι. Πρτηρούμε τ ρχή ότι σε δυο τέτοι τρίω μι πλευρά του εός τριώου ι μι ίση με υτή πλευρά του άλλου τριώου ρίσοτι πέτι πό ίσες ωίες (τίστοιχες πλευρές ωίες) τότε τ τρίω ποδειύετι εύολ ότι είι ίσ (ριτήριο Π). ς ζητούμε λοιπό τρίω που δε έχου τίστοιχ στοιχεί ίσ λλά έχου δυο πλευρές τους ίσες μι προς μι ι δυο ωίες τους ίσες μι προς μι. υο τέτοι τρίω μπορεί είι π.χ. Σχήμ 1 Μπορούμε άρε τσευάσουμε τέτοι τρίω που δε είι ίσ; Η πάτηση είι ι.
Πράδειμ 1 (με Πυθόρειο θεώρημ) Έστω έ τρίωο ορθοώιο στο ι ύψος του (Σχήμ ). πειδή τ ορθοώι τρίω ι έχου δυο (3) ωίες τους ίσες ι τη οιή ρωτιόμστε είι δυτό = οπότε θ ι δυο πό υτά που ζητάμε φού έχου ι δυο ωίες ίσες ι δε είι ίσ. Θέλουμε = οπότε = + ή - = + - ( - ) ή - = 0 ή = 5 1. Κτσευάζουμε λοιπό ορθοώιο τρίωο με ορθή μι άθετη = > 0 (ι οποιοδήποτε > 0) ι υποτείουσ = = Έτσι θ έχουμε = + ή =. 5 1 >. Σχήμ Έστω η προολή του στη. = x έχουμε x = = - ( - ) = - + ( - x) άρ x = - +( - x) ή x = ή x = (λόω = ) Έτσι τ ορθοώι τρίω ι έχου = = = ι ίσες ωίες ( οιή ι τη ορθή) ι προφώς δε είι ίσ. Πρτηρούμε ότι = πρώ! 5 1 πίσης ι το λόο ομοιότητς λ= εύολ προύπτει ότι λ = που είι ο λόος της χρυσής τομής.ι εδώ τω ομοίω τριώω ι 5 1 = φ ή λ = φ 17. Πράδειμ (με ομοιότητ): Έστω τρίωο (Σχήμ 3) με = = = ι = (λ. πρτήρηση). Κτσευάζουμε (οξεί) ωί (οπότε λόω < προύπτει + < 180 ο οπότε η τέμει τη ). εξ
3 Σχήμ 3 Τ τρίω ι είι όμοι οπότε ή Άρ = = +. πό τις ισότητες υτές λόω = προύπτει = (ι = ). Έτσι τ τρίω ι έχου δυο πλευρές ίσες ( = = = ) ι (3) ωίες ίσες λλά προφώς δε είι ίσ. (άλλος τρόπος: προετείουμε τη τά τμήμ = =.ι χρησιμοποιώτς το θεώρημ τω διμέσω στο τρίωο ρίσουμε =. Έτσι τ τρίω ι είι όμοι ως έχοτ μι οιή ωί τη ι τις πλευρές που τη περιέχου άλοες (λόω = λπ) Ο λόος ομοιότητς τω τριώω ι είι λ=. Πρτήρηση Ισοσελές τρίωο με = (ή συ=3/4) υπάρχει ιτί ισχύει = > οπότε < < λπ) (π.χ. = 1 = ). To τρίωο υτό όπως εύολ προύπτει έχει B = > 60 ο > ΟΡΙΣΜΟΣ υο τρίω προτείω τ λέμε ψευδοΐσ δυο πλευρές του εός τριώου είι ίσες μι προς μι με δυο πλευρές του άλλου τριώου ι δυο ωίες του εός είι ίσες μι προς μι με δυο ωίες του άλλου τριώου ι δε είι ίσ. τ τρίω είι ψευδοΐσ θ ράφουμε.. - - υο ψευδοΐσ τρίω είι όμοι εώ δε συμίει προφώς το τίστροφο. πίσης (λέπε επόμεη άσηση) δυο ψευδοΐσ. τρίω είι πάτ σληά. Άσηση: υο ισόπλευρ ή ισοσελή τρίω δε μπορεί είι ψευδοΐσ. πίσης ότι έ ισόπλευρο ή ισοσελές τρίωο δε έχει ψευδοΐσο του.
4 Πρότση 1 (Μορφή ψευδοΐσω τριώω) υο ψευδοΐσ τρίω μπορεί έχου μί πό τις πράτω δυο μορφές. (Ι) Σχήμ 4 (ΙΙ) πόδειξη Έστω δυο ψευδοΐσ τρίω (Σχήμ 4) που χωρίς λάη της ειότητς υποθέτουμε ότι έχου = = = = ι τ άη. = θ ήτ ίσ (ΠΠ) άτοπο. Άρ οπότε = ή. Έστω = (περίπτωση Ι). θ ήτ ίσ (Π). πίσης θ ήτ τίστοιχες οι ωίες υτές (πέτι ίσω πλευρώ) άρ θ είι ίσ άτοπο. πομέως B = (περίπτωση Ι). Έστω = (Περίπτωση ΙΙ). = B = = θ ήτ ίσ (Π). ήτ τίστοιχες οι ωίες υτές άρ τ τρίω ίσ. πομέως (Περίπτωση ΙΙ). = = B θ =
5 Πρότση (ί συθήη ύπρξης) δυο (σληά) τρίω είι ψευδοΐσ τότε η μι πό τις δυο ίσες πλευρές στο έ τρίωο είι μέση άλοος τω άλλω δυο πλευρώ του ι η άλλη στο άλλο τρίωο (: είι μέση άλοος τω δυο άλλω πλευρώ του) ι ι το λόο ομοιότητς τω τριώω λ ισχύει λ > 1 («μεάλο» προς «μιρό» τρίωο) τότε 1 < λ < πόδειξη (Ι) 5 1 = φ. Σχήμ 5. Έστω η περίπτωση (Ι) Σχήμ 5. υο τέτοι τρίω είι όμοι οπότε θ έχουμε ή = ι =. ηλδή η μι πό τις δυο ίσες πλευρές στο έ τρίωο είι μέση άλοος τω δυο άλλω ι η άλλη στο άλλο. > ι λ = τότε λόω < < + ή < 1 < λ < 5 1 = φ. είι ο λόος ομοιότητς τω τριώω ι < + προύπτει τελιά. Όμοι στη περίπτωση (ΙΙ) προύπτου = ι =. > ι λ = ο λόος ομοιότητς τω τριώω είι ι (άποδη σειρά) τότε λόω < < + ή < προύπτει επίσης 1 < λ < 5 1 = φ 1618. < + Σημειώσεις 1. Η πλευρά που είι μέση άλοος στο έ (έστω πρώτο) τρίωο συδέετι με τη μετξύ τω (τίστοιχ) ίσω πλευρώ του τριώου υτού ωί. Όποι πλευρά πό τις στο άλλο (δεύτερο) τρίωο ρίσετι πέτι πό υτή τη ωί υτή είι η μέση άλοος στο πρώτο τρίωο! ς έχουμε όμη υπόψη ότι λ μ είι οι πλευρές σληού τριώου ι < λ < μ τότε μόο η μεσί πλευρά λ. μπορεί είι μέση άλοος τω άλλω δυο.
6. θεωρήσουμε λόο ομοιότητς λ με 0 < λ < 1 («μιρό» προς «μεάλο» τρίωο) τότε προύπτει 0618 1 5 1 φ < λ <1. Πρότση 3 (Ιή συθήη) Έστω δυο σληά τρίω με = = = = ι = = (). Τότε υτά είι ψευδοΐσ ι λ > 1 είι ο λόος ομοιότητά τους ισχύει 1 < λ < 5 1 = φ. πόδειξη ρεί δείξουμε ότι είι όμοι ι δε είι ίσ. Πράμτι πό = = () έχουμε E B Z EZ οπότε τ τρίω είι όμοι ι θ χου. ήτ ίσ θ πρεπε = οπότε = = = δηλδή θ τ ισόπλευρ ι ίσ άτοπο. > ι λ= ο λόος ομοιότητς τω τριώω είι ι τότε λόω < < + προύπτει ότι 1 < λ < 5 1 = φ. Πρότση 4 (Ιή συθήη Κτσευή 1) Έστω έ τρίωο με = = > > 5 1 ι = (λ. πρτήρηση).τότε υπάρχει τρίωο που είι ψευδοΐσο με το. πόδειξη Κτσευάζουμε τρίωο με = = ι = τρίωο μπορεί τσευστεί ιτί ποδειύετι ότι. Τέτοιο < < +. Έτσι πό τη προηούμεη πρότση έχουμε - -. (Με =1 προύπτου ψευδοΐσ τρίω με πλευρές 1 = ι 3 = όπου λ= 5 1 < < 1). > 1 ο λόος ομοιότητς τω τριώω είι ι τότε λόω < < + προύπτει ότι 1 < λ < 5 1 = φ.
7 Πρότση 5 (Κτσευή ) Έστω έ τρίωο με = = > > Τότε υπάρχει τρίωο που είι ψευδοΐσο με το. 5 1 ι =. πόδειξη Όπως προηουμέως υπάρχει τέτοιο τρίωο. Κτσευάζουμε τρίωο με = = ι (Σχήμ 6). (Ι) Σχήμ 6 πειδή > έχουμε > ή > ή = >.Έστω Ρ = οπότε τ τρίω Ρ είι ίσ (ΠΠ). πό τη σχέση = προύπτει Ρ Ρ ι επειδή τ τρίω Ρ έχου ι τη ωί οιή είι == = όμοι. Άρ Ρ λλά Ρ= οπότε. Έτσι τ τρίω έχου ι δυο ωίες ίσες ι δε είι ίσ άρ είι ψευδοΐσ. Σημειώσεις 1. Η πρπάω τσευή μς δείχει πως μπορούμε το έ πό τ δυο ψευδοΐσ τρίω το άλουμε «μέσ στο άλλο» ιτί ι το τρίωο Ρ είι προφώς ψευδοΐσο με το ι μάλιστ ισχύει = Ρ..Τ δυο ψευδοΐσ τρίω που τσευάζοτι με τις δυο πρπάω διφορετιές τσευές είι ίσ. Πρτήρηση Τρίωο με = = ( < < ( ότι - < < + (Άσηση). 5-1) < < (ισοδύμ 5 +1) ) ι = τσευάζετι πάτ ιτί ποδειύετι
8 Μι ολουθί ψευδοΐσω τριώω Στο πράδειμ μπορούμε συεχίσουμε ι δημιουρήσουμε μι άπειρη διδοχή τριώω που ά δυο διδοχιά είι ψευδοΐσ ως εξής: 1.πό το ισοσελές τρίωο 1 (Σχήμ 7) με πλευρές ( ) συμολιά Τ 1 = 1 = ( ) ( με = ) δημιουρούμε (με το ωστό τρόπο του πρδείμτος ) τ ψευδοΐσ - - 1 με πλευρές. Σχήμ 7 1 μέσο 1 μέσο B 1 // 1 1 // // 3 3. 1 / / / /4 / 3 B1. Φέρουμε 1 1 // οπότε 1 μέσο του. πό το ισοσελές τρίωο Τ = 1 1 = ( /) ( ισχύει ( = (/) ) δημιουρούμε τ ψευδοΐσ 1 - - 1 1 με πλευρές / 3. Φέρουμε 1 // 1 οπότε μέσο του 1. πό το ισοσελές τρίωο Τ 3 = 1 1 = (/ / /) ( με ((/) = (/) ) δημιουρούτι τ ψευδοΐσ 1 1 - - 1. /4 3 1 // 1 // 3 //. 4. Φέρουμε // 1 1 οπότε μέσο του 1. πό το ισοσελές τρίωο Τ 4 = 1 = (/ / /4) (με ((/) = (/4) ) δημιουρούτι τ ψευδοΐσ 1 - - ο.
9 ειά (Σχήμ 8) πό το ισοσελές τρίωο Τ +1 = +1 )= δημιουρούτι τ ψευδοΐσ ( 0 0 ) - - +1 με πλευρές = 0 1 (με ((/ ) = (/ ) ) = 0 1 +1 +1 Σχήμ 8 ι πό το ισοσελές τρίωο ( 0 ) Τ + = +1 +1 δημιουρούτι τ ψευδοΐσ +1 - - +1 +1 με 1 = 01 (με ((/ ) = (/ +1 ) ) πλευρές 1 = 0 1. Άσηση: ημιουρείστε μι πρόμοι ολουθί ψευδοΐσω τριώω στο ορθοώιο τρίωο του πρδείμτος 1 (με = ). (Υπ. Φέρετε ύψος του πό το.ο..).
10 Μι άλλη ολουθί ψευδοΐσω τριώω Τ = ( +1 + ) = 0 1 Ο συάδελφος.. Σπυριδάης πρότειε ως ψευδοΐσ τ τρίω με πλευρές 1 ι 3. Τ τρίω υτά μπορού προύψου ως ειδιή περίπτωση πό τη Πρότση 4. Θ δούμε ότι υτά τ τρίω είι μέρος μις ολουθίς ψευδοΐσω τριώω ι έ τρόπο ι τσευστού όλ υτά. Έστω τρίωο (Σχήμ 9) με = 1 = 1 = συμολιά = (1 ). Έ τέτοιο τρίωο τσευάζετι ι μόο 1 - < < 1+ 1 5 ή < < 1 5 Έστω 1< < οπότε πάρουμε 5 1 B θ ω. έχουμε ω > θ (Σχήμ 9). 1 = ω θ τότε η 1 τέμει (ιτί;) τη ι 1 = θ. 1 3 φ 1 ω θ ω-θ θ 4 ω-θ 3 θ 5 1 θ = // 1 1 // //. 1 // 1 // 3 //. 4 Σχήμ 9 6 5 θ πό τη ομοιότητ τω τριώω 1 προύπτει 1 ή 1 = 3 ι 1 =. 1 1 Έτσι 1 = ( 3 ) = (1 ) οπότε // 1. Στη συέχει φέρουμε 1 1 //. πειδή όμοιο του 1 1 ι όμοιο του 1 τ τρίω 1 = ( 3 ) ι 1 1 είι όμοι. πό τη ομοιότητ υτή όπως προηουμέως προύπτει 1 = 3 1 1 = 4 οπότε 1 1 = ( 3 4 ) ψευδοΐσο με το 1.
11 Όμοι φέρουμε 1 // 1 ι πό τη ομοιότητ τω τριώω 1 1 1 προύπτει 1 = 5 = 4 οπότε 1 = ( 3 4 5 ) ψευδοΐσο με το 1 1.ο.. Τελιά - - 1 - - 1 1 - - 1 - - - -. Άσηση 5 1 < < 1 δημιουρήσετε πρόμοι με τη προηούμεη ολουθί ψευδοΐσω τριώω. - * * *