ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (, ) ικανοποιεί τη ln f() f() l n σχέση Α Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Β Αν l ( l ) f() n - n, (,) α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,) β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f γ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης l n, για τις διάφορες τιμές του α α R ΛΥΣΗ Α Για κάθε (, ) είναι: f() ln ( f ()) f () l n f () f() f f f() ( ) ( n) n+ c ο Είναι f(), οπότε n+ c c Επομένως έχουμε: f () ln f() l l l ( l ) f () f () ln ln f () ln ln f () l n n, (, ) Β α) Για κάθε (, ) είναι: f () ( ln( ln) ) ( ln) ln n ( l ) Είναι < < ln< ln ln< l n> Άρα f() > για κάθε (, ) Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,) 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (,), άρα το σύνολο τιμών της είναι το ( + ) Είναι: f(a) limf(), limf() + + ln t ( l l ) ( l ) lim f () lim n n lim nt t + ln t ( l l ) ( l ) lim f () lim n n lim nt + + t Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f(a) γ) Για κάθε (, ) είναι: ( n) n + n f () l l l ( ln) ( ln) ln ln Το πρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f, φαίνονται στο διπλανό πίνακα f + f ελάχ Έχουμε: Η f είναι συνεχής στο (, ] και f () < στο φθίνουσα στο (, ] Η f είναι συνεχής στο [, ) και f () > στο αύξουσα στο [, ) Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ο, με ελάχιστη τιμή f () Άρα ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος, όταν,, άρα η f είναι γνησίως,, άρα η f είναι γνησίως δ) Για κάθε (, ) είναι: ln ln α ( ln) α ln ( l n) α f() α Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, ( ) και το σύνολο τιμών της είναι το Άρα για κάθε α R, η εξίσωση f() α έχει μοναδική λύση f (, ) 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4ο : Θεωρούμε συνάρτηση g :R R, δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και το μιγαδικό αριθμό z + g() i, g() και g( ) να αποδείξετε ότι g() Β Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση f :R Rδυο φορές παραγωγίσιμη στο R, με f(), Α Αν ισχύει z R( z) ( + ) η οποία ικανοποιεί τη σχέση g() f () f() για κάθε α) Να αποδείξετε ότι f() +, β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και η C f διέρχεται από τα σημεία Α(, ) 3 και Β (, ) γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία πραγματική λύση ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη ΛΥΣΗ Α Έχουμε: Είναι: στην ευθεία ε : y + 3 z R() z + + g() + g() g() () g() g() Άρα η εξίσωση g() έχει στο R μοναδική ρίζα την Η συνάρτηση g στο (,) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, οπότε σε αυτό το διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο Είναι Επομένως στο διάστημα (,) έχουμε: g( ) <, οπότε g(), g() g(), αφού < Επειδή g() έχουμε τελικά: g() για κάθε (, ] () < για κάθε (, ) Η συνάρτηση g στο (, + ) είναι συνεχής και δε μηδενίζεται, οπότε σε αυτό το διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο Είναι g() >, οπότε g() > για κάθε (, + ) 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως στο διάστημα (, + ) έχουμε: g() g(), αφού > Επειδή g() έχουμε τελικά: g() για κάθε [, ) + () Συνδυάζοντας τις περιπτώσεις () και () έχουμε g() για κάθε Β α) Για κάθε R είναι: g() f () f () f () f () f () f () f () f() f() Είναι f() άρα c, επομένως β) Για κάθε R είναι: Άρα f() f() +, + c, f() + + + + + ( + + ) >, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα είναι και, οπότε αντιστρέφεται Ισχύουν οι ισοδυναμίες: Άρα η f 3 3 f() f () και () ( ) 3 C διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β (,) f f γ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, άρα το σύνολο τιμών της είναι το Έχουμε: f (A) lim f (), lim f () + + ( + ) + + lim + lim lim lim lim DLH DLH lim + + +, αφού lim + + και lim + lim + + Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f(a) (, + ) + 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: + ( + ) f() +, f (A) + η εξίσωση f(), άρα και η ισοδύναμή της εξίσωση Επειδή το έχει μία πραγματική ρίζα, η οποία είναι και μοναδική, γιατί η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ε) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ ] ΘΜΤ επομένως θα υπάρχει Είναι, με + + άρα ισχύει f(), 3 f() f() (,) τέτοιο, ώστε f( ) 3 ε : y +, άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι λ ε Παρατηρούμε ότι f( ) λ, οπότε υπάρχει σημείο της C ε f με τετμημένη, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y + 3 ΘΕΜΑ 5ο : A) Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι - και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι γνησίως μονότονη στο Δ B) Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R με f (3) () για κάθε (3) Αν f () >, f ()> και για κάθε R ισχύει f() + f(4 ) 3, τότε: α) Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) Nα μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() 3 έχει μια ακριβώς ρίζα στο f() δ) Αν η γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g() f() τέμνει τον άξονα στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C g στο σημείο Μ σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 ε) Για να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( +) f() + f( +) είναι αδύνατη ΛΥΣΗ Α) Έστω,, 3 Δ με < < 3, οπότε αφού η f είναι - οι τιμές f( ), f( ), f( 3) θα είναι διαφορετικές μεταξύ τους ανά δύο 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Υποθέτουμε επίσης ότι η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη, οπότε δεν θα ισχύει καμία από τις σχέσεις f() < f() < f(3) και f() > f() > f(3) Δηλαδή το f( ) δεν θα βρίσκεται ανάμεσα στο f( ) και στο f( 3 ) Επομένως θα ισχύει μία από τις παρακάτω ανισότητες: f() < f(3) < f() () f() < f(3) < f() () f() < f() < f(3) (3) f(3) < f() < f() (4) Ας υποθέσουμε ότι ισχύει η (), τότε εφόσον το f( 3 ) βρίσκεται μεταξύ του f( ) και του ) f(, θα υπάρχει σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε f( ξ) f(3) Επομένως για < ξ< < 3, δηλαδή για ξ < 3 έχουμε f(ξ) f( 3) που είναι άτοπο, αφού η f είναι - Ομοίως θα καταλήξουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι ισχύει μία από τις ανισότητες (), (3) και (4) Β) α) Κατ αρχάς θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι - Αν υποθέσουμε ότι η f δεν είναι -, τότε θα υπάρχουν, f f ( ) R με τέτοια, ώστε Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι <, οπότε έχουμε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] παραγωγίσιμη στο f ( f ( ) ), αφού η συνάρτηση f είναι τρεις φορές Άρα η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rll στο διάστημα [, ] θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε,οπότε (3) f (ξ), που είναι άτοπο, αφού από υπόθεση είναι f (3) () για κάθε Άρα η συνάρτηση f είναι - στο Η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R, οπότε η f είναι συνεχής στο Επίσης η f είναι -, οπότε σύμφωνα με το (Α) ερώτημα η f είναι γνησίως μονότονη β) Για κάθε R είναι f() + f(4 ) 3 Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη έχουμε: f () f (4 ) και f () + f (4 ) για κάθε R Για είναι f () + f (4 ) f () f () () Η f είναι γνησίως μονότονη στο R και επειδή από υπόθεση είναι f (3) () για κάθε R συμπεραίνουμε ότι για κάθε R ισχύει ή f (3) () > ή f (3) () < Όμως f (3) () >, άρα f (3) () > για κάθε R, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για < είναι () f () < f () f () <, ενώ για > είναι () f () > f () f () > Το πρόσημο της f καθώς και η κυρτότητα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Έχουμε: + f + f 3/ Σ Κ Για από την αρχική σχέση έχουμε: 3 f () + f (4 ) 3 f () 3 f () () Η f είναι συνεχής στο (,] και f () < στο (,), άρα η f κοίλη στο (, ] Η f είναι συνεχής στο [,+ ) και f () > στο (,+ ), άρα η f κυρτή στο [,+ ) Η f παρουσιάζει καμπή στο και το σημείο καμπής είναι το 3 A, γ) Από τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση f() 3 έχει ρίζα τον αριθμό Θα αποδείξουμε τώρα ότι η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική Από το (β) ερώτημα έχουμε: + f + f f () ελάχ Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο, άρα f() f() για κάθε Όμως από υπόθεση είναι f () >, άρα f () > για κάθε Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε η ρίζα είναι μοναδική δ) Αν η τετμημένη του σημείου Μ, στο οποίο η f (3) g() f() f() C g τέμνει τον άξονα, τότε έχουμε: Για κάθε R είναι f () f ()f () g() f() Άρα f() f()f () f() g(), οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ( 3) f() f() εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C g, της συνάρτησης g C g τέμνει τον άξονα είναι ο με τον άξονα είναι 45 στο σημείο Μ, στο οποίο η λ g(), οπότε η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη ε 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ε) Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται f( + ) f() f( + ) f( + ) (4) Για η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε καθένα από τα διαστήματα [,+ ] και [ +, + ], άρα θα υπάρχει: f(+ ) f() ξ (, + ) τέτοιο, ώστε f (ξ ) f ( + ) f () f (ξ ) + f(+ ) f(+ ) ξ (+, + ) τέτοιο, ώστε f(ξ ) f(+ ) f(+ ) f (ξ ) ( + ) ( + ) Η εξίσωση (4) ισοδύναμα γράφεται f(ξ ) f (ξ ) (5) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ ),+, άρα θα είναι και -, οπότε από (5) έχουμε ξ ξ που είναι αδύνατο, γιατί τα ξ, ξ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα Άρα η εξίσωση f ( + ) f () + f ( + ) είναι αδύνατη, για ΘΕΜΑ 6ο : Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f () + + για κάθε α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f, ως προς την κυρτότητα β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() f () είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f δ) Να βρείτε το όριο lim ( f f() ) ΛΥΣΗ + α) Για κάθε R έχουμε: + + + + + + f () + + ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) 3 3 + + + 4 + ( ) ( ) + + + 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Το πρόσημο της f καθώς και η κυρτότητα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα + f + + f Έχουμε: Η f είναι συνεχής στο (,] και f () > στο (,), άρα η f κυρτή στο (, ] Η f είναι συνεχής στο [, ] και f () < στο (, ), άρα η f κοίλη στο [, ] Η f είναι συνεχής στο [,+ ) και f () > στο (,+ ), άρα η f κυρτή στο [,+ ) β) Για κάθε R έχουμε: + + g () f () > + + + Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Για κάθε R είναι f() >, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο Επίσης η f είναι συνεχής, οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το f R ( lim f (), lim f ()) Για κάθε (,) έχουμε: Είναι lim ( f + g() < g f() < f f() < + f () + ), άρα + f <, επομένως και f()< σε περιοχή του, οπότε από () έχουμε f() < + f< > > f() + f Είναι lim και + f lim, οπότε από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε lim f() Επειδή lim και f()< σε περιοχή του, συμπεραίνουμε ότι lim f () f() Για κάθε (, + ) έχουμε: Είναι lim ( f + g() > g f() > f f() > + f () + ) +, άρα + f >, επομένως και f()> σε περιοχή του +, οπότε από () έχουμε f() > + f> < < f() + f Είναι lim και + + f Επειδή lim f() + lim, οπότε από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε + και f()> σε περιοχή του +, συμπεραίνουμε ότι Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το f( R ) (, + ) lim f() + lim f ()+ + 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα, +, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, +) τέτοιο, ώστε f (+ ) f () f (+ ) f () f(ξ) f (ξ) f ( + ) f () f (ξ) + Για > η συνάρτηση f είναι κυρτή, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα Επομένως για Για > είναι: ( ( ( < < ξ < + f ) < f ξ) < f + ) f < f( ξ) < f( + ) f < f ( + ) f () < f( + ) + + + + + + + + + lim f( ) lim lim lim lim + + DLH + DLH + DLH + + + + Άρα ( lim f ) 4 + Αν θέσουμε + u, τότε όταν το + και το u +, άρα έχουμε: + ( ( lim f + ) lim f u) 4 u + Από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ( ) ΘΕΜΑ 7ο : lim f + f () 4 + Έστω συνάρτηση f :(, + ) R δυο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ) με f() Αν η συνάρτηση ff ορίζεται στο (, + ) και για κάθε (, ) να αποδείξετε ότι: α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A (, ) f + β) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) γ) f () δ) ( f f )() για κάθε (, + ) ε) f() + f () για κάθε (, + ) στ) f() ΛΥΣΗ l n για κάθε (, + ) α) Κατ αρχάς είναι A f A (, + ) Διακρίνουμε περιπτώσεις : f ή A (, ) f + ή θα υπάρχει (, + ) τέτοιο, ώστε A f + ισχύει ff () f() (), 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει (, + ) τέτοιο, ώστε A f τότε και με δεδομένο ότι { / } A f f A f f () A f συμπεραίνουμε ότι το A ff, το οποίο είναι άτοπο, γιατί (, + ) και A (, ) ff + από υπόθεση Άρα A (, ) f + β) Από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f f : { } { } A f f A f / f () A f A f / f () (, + ) προκύπτει ότι f() (, + ) για κάθε A f δηλαδή f() > για κάθε (, + ) Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) γ) Για από τη σχέση () έχουμε: f() f() f: ff () f () f f () f f () f () f () δ) Επειδή f() > για κάθε (, + ) μπορούμε να θέσουμε στη σχέση () όπου το f(), οπότε για κάθε (, + ) έχουμε: () ( ff )(f ()) f (f ()) f ( f (f ()) ) ( f f )() f ( f (f ()) ) ( f ()) f : f f(f ()) f () f (f ()) f οf () () ε) Επειδή η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (, + ), παραγωγίζοντας τα μέλη της σχέσης () έχουμε: ( f(f()) ) ( f ()) f (f ()) f () f () ( fοf ) () f () f () f () f () f () + f () για κάθε (, + ) () στ) Για κάθε (, + ) έχουμε: Για είναι ( ) f () + f () f () f () c, c (γ) άρα f () f () f () n + c f() c c, Όμως f(), άρα c, οπότε f() l n για κάθε (, + ) l, (, + ) 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 8ο : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f () + f (), για κάθε Α Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() f () + διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Β Αν f(), τότε: α Να αποδείξετε ότι f() +, β Να αποδείξετε ότι f() > για κάθε γ Να υπολογίσετε τ όρι lim ( ημf() ) + δ Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση f + ε Να αποδείξετε ότι d ln( ) ΛΥΣΗ Α Για κάθε R έχουμε: f () + f () f () + f () + + f () + + g()+ (), όπου g() f() +, R Για κάθε R είναι + > g () > g() και επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο R, ως άθροισμα συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Β α) Για έχουμε g() f() + >, οπότε g() > για κάθε Αφού g() > για κάθε R, από () ισοδύναμα έχουμε: g() + f () + + f () +, β) Για κάθε R είναι: f() + > Άρα f() > για κάθε R () γ) Για κάθε (, + ) είναι: () ημf() f() f(), άρα f() ημf() f() ( + )( + + ) Είναι οπότε f() + + + + + + + + + + + lim f () lim lim + + ++ lim f () + lim ημf() Επίσης έχουμε Επομένως από Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει ότι +, 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Για κάθε R είναι: ( ) f() + () + f() < + + + Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, άρα είναι, οπότε αντιστρέφεται Για να ορίσουμε τη συνάρτηση f, λύνουμε την εξίσωση y f() ως προς Έχουμε: Είναι y+ y + y + + y + + y + y + + () () y y y (3) y y y+ y+ y + y y +, που είναι αληθές y y (3) f y, y > y Η Επομένως f ε Από το (δ) ερώτημα έχουμε () με > () f() f() f(), άρα + + f() f() f() f() d d d d ln ( f ()) ln ( ) f () f () f () + ΘΕΜΑ 9ο : Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : α, β R με < α< β τέτοια, ώστε για τους μιγαδικούς z z α + if(α) και z β + if(β) να ισχύει w R z α) Να αποδείξετε ότι z + iz z iz f() β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rll στο διάστημα α, β γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων f(+ α t) δ) Αν ισχύει lim dt, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μία α ( α)( + α t) τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) α 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Iσχύει z wz, με w R Άρα z + iz z iz wz + iz wz iz z w + i z w z i w + i w w R i w + w +, αληθής α +if(α) α +if(α) β if (β) αβ +f(α)f (β) βf(α) αf(β) β) Έχουμε w + i β +if(β) ( ) ( β +if(β) )( β if (β)) β +f (β) β +f (β) Είναι w R βf(α) αf(β) βf(α) αf(β) f(α) f(β) β +f (β) α () β Θεωρούμε συνάρτηση f() g(), [ α, β], με < α< β Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ α, β ], ως πηλίκο f () f() g() παραγωγισίμων συναρτήσεων με f(α) f(β) Είναι g(α) g(β) α β Άρα η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rll στο διάστημα [ α, β ] γ) Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Rll, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) τέτοιο, ώστε f f g f f () C f στο σημείο της ( ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της εφαπτομένης της,f είναι: y f() f()( ) y f()+f() f() y f() Άρα υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) Είναι α f(+ α t) f ( + α t) dt dt ( α)( + α t) α + α t Θέτουμε α tu, Για tα το u και για t το uα, οπότε α () + οπότε dt du α f(+ α t) f ( α t) f(u) f(u) dt + dt du du ( α)( + α t) α + α t α u α u α α α 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι: f(+ α t) f (u) u α lim dt lim du lim α ( α)( + α t) α α u α α DLH α α f(u) du f() f(α) lim (3) α α Από () και (3) έχουμε f(α) f(β) f(α) α α β f(β) β Θεωρούμε συνάρτηση h() f(), [ α, β], με < α < β Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β ], ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων με h()f() Είναι h(α) f(α) α h(α) h(β) h(β) f(β) β Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Rll, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε h (ξ) f (ξ) f (ξ) ΘΕΜΑ ο : Έστω συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f() t+ dt για κάθε (, + ) t f(t) ( + ) α) Nα αποδείξετε ότι f() + f() + ln, (, + ) β) Nα αποδείξετε ότι f() ln, (, + ) f(β) f(α) f(γ) f(β) γ) Αν < α < β < γ να αποδείξετε ότι > β α γ β δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνεχούς συνάρτησης g, για την οποία ισχύει g() f για κάθε (, + ) και g () ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση t+ f(t) t + f(t) είναι συνεχής στο,+, το,+, άρα η συνάρτηση t+ f() dt είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f() + f() t + ( +) 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για κάθε > έχουμε: f() + f() f() f()+f()+ f()+f()+ ( f() +) f() Για f() +f() +ln +f()+ln+c έχουμε Άρα για κάθε (, + ) έχουμε β) Για κάθε > έχουμε: f() +f() +ln+c + ++c c f() +f() +ln f() f() ln +f() +ln +f() +ln () Θεωρούμε συνάρτηση φ() +, Για κάθε R είναι φ() + >, οπότε η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα είναι και Από () ισοδύναμα έχουμε - φ (f ()) φ (ln) f () ln, (, + ) γ) Για κάθε > έχουμε: f()ln και f (), < άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο,+ Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε καθένα από τα διαστήματα [ α, β ] και [ β, γ ], άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον: ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ ) ξ (β, γ) τέτοιο, ώστε f(ξ ) f(β) β f (α) α f(γ) f(β) γ β Είναι <α < ξ < β < ξ < γ και η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο,+, f(β) f(α) f(γ) f(β) οπότε f(ξ )>f(ξ ) > β α γ β δ) Για κάθε > έχουμε: g () f g () ln g () ln ln g () ln Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει και () > τέτοιο, ώστε g( ), τότε ο lnο lnο ο που είναι άτοπο, γιατί ln για κάθε (, + ) (Εφαρμογή σχολ Βιβλίου σελ 66) Άρα g() για κάθε (, + ) 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 33

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση g λοιπόν είναι συνεχής στο (, + ) και δε μηδενίζεται στο διάστημα αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο Επειδή g()> συμπεραίνουμε ότι g()> για κάθε (, + ) Επομένως από () προκύπτει ότι g() ln για κάθε,+ Για κάθε > έχουμε: ( ) ( ) g () ln ln ln ln Είναι g () και g()> >, άρα ο πίνακας μονοτονίας και ακροτάτων της συνάρτησης g είναι: + g' + g ελάχ Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,, γνησίως αύξουσα στο,+ ) και παρουσιάζει ελάχιστο στο Είναι: + + με ελάχιστη τιμή g() lim g() lim ln +, γιατί lim ( ln) + + ln lim g() lim ln lim +, γιατί lim +, + + + + + ln + (ln)' ln lim lim lim lim, οπότε lim + + ' + + + Άρα το σύνολο τιμών της g είναι το g(α),+ ) ΘΕΜΑ ο : Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, με f, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f() για κάθε α) Nα αποδείξετε ότι f β) Nα αποδείξετε ότι f lim ημ - γ) Αν f() d, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f στο διάστημα, 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 34

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Θεωρούμε συνάρτηση Για κάθε R είναι g()f(), R f () f () g () g () g () Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει στο εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της τοπικό ακρότατο Επίσης η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων με ' ' ' g () f () f (), g()f() ' ' άρα είναι παραγωγίσιμη και στο με Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Frmat, οπότε g '() f '() f '() β) Είναι f() ', οπότε για έχουμε f() f() f() lim lim Έχουμε f f f lim lim lim ημ ημ ημ γ) Για κάθε R είναι f () f () f () h (), όπου h () f (), Είναι d ( )' d d d ' (), οπότε Έχουμε λοιπόν h()d ( f () ) d f () d d για κάθε R και h() f() Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει [,] λοιπόν ότι h() για κάθε [,] οπότε h()d >, που είναι άτοπο λόγω της () Επομένως για κάθε [,] είναι h()d () τέτοιο, ώστε h( ), τότε h( ) > Συμπεραίνουμε αλλά η συνεχής συνάρτηση h δεν είναι παντού μηδέν, h() f() f() 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 35

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R με f, η οποία ικανοποιεί τη σχέση * f () f() για κάθε R ( ) α) Να βρείτε το ολοκλήρωμα d ( ) β) Nα αποδείξετε ότι f() γ) Nα αποδείξετε ότι f και δ) Nα αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ α) Θέτουμε u, οπότε για κάθε (, + ) f, f(), du d Άρα: u d du u du c c c ( ) u + u + +, όπου (,) β) Για κάθε (, + ) έχουμε :, ή ( + ) f () f () f () f() f() ( ) ( ) ( ) ( ) f() f() d c f () c + Για έχουμε f () c c c Άρα f(), για κάθε ( + ), γ) Η f είναι συνεχής στο, οπότε + + DLH + f () lim f () lim lim, άρα f() Η f είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε ισχύει : f() f() + f () lim lim lim lim lim, + + + DLH + DLH + + + άρα f() ( ) 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 36

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Για κάθε (,) ομοίως έχουμε : f () f () f () f() f() ( ) ( ) ( ) ( ) f() f() d c f () c + Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο ισχύει : c f() lim lim lim ( ) f() f() c + DLH c c c c c lim lim DLH + + Είναι f(), άρα έχουμε c c Άρα f(), για κάθε (, ) Επομένως f(),, ΘΕΜΑ 3ο : Έστω συνεχής συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f() dt για + 3f (t) κάθε α) Nα αποδείξετε ότι f 3 () + f() για κάθε β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα dt + 3f (t) δ) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ε ) Nα αποδείξετε ότι f(t)dt για κάθε στ) Αν lim f ( ) + να βρείτε τα όρια: + i) f lim + και ii) lim + f 3 τέτοιο, ώστε f ( ) 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 37

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση + 3f (t) είναι συνεχής στο R, οπότε η συνάρτηση f() dt ορίζεται + 3f (t) στο R και είναι παραγωγίσιμη στο R με f() () + 3f () Για κάθε R είναι: + + + + + 3f () 3 3 f () f () 3f ()f () f() f () () f () f() c Για είναι f() dt Άρα + 3f (t) Επομένως f 3 () + f(), R () 3 f () + f () + c c β) Από τη σχέση () έχουμε f() >, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, 3f () + άρα είναι, οπότε αντιστρέφεται γ) Είναι dt f () + 3f (t) Aπό τη σχέση () για έχουμε f 3 () + f () f 3 () + f () (3) Χρησιμοποιώντας το σχήμα Hrnr /// η εξίσωση (3) ισοδύναμα γράφεται f() f () + f() + f() 44443 Άρα dt + 3f (t) δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f, Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο [ ] Είναι g() g(), αφού g() και g(), με g () f () Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Rll, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο, ώστε g f f 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 38

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ε ) Θεωρούμε τη συνάρτηση, R φ() f (t)dt () 3 Για κάθε R είναι φ () f (t)dt f () f () 3 8 Από τη σχέση () έχουμε f() ( f () + ) f(), άρα φ (), 3 f () + f() + Είναι: 3 φ () 8 και 3 3 φ () > 8 > < < Το πρόσημο της φ, η μονοτονία και τα ακρότατα της φ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα + φ + φ μέγ Η φ παρουσιάζει μέγιστο στο ο, οπότε για κάθε Rισχύει φ() φ() Άρα είναι f(t)dt f(t)dt, στ) i) Για κάθε (, + ) έχουμε: Είναι ( f () ) f() + ( + ) + 3 f () f() f() f () f () lim f() + +, άρα lim, οπότε lim + + + f () + ii) Για κάθε (, + ) έχουμε: 3 3 3 f () f() f () + f() f () f() 3 f() f () Είναι lim +, οπότε lim + ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η συνάρτηση f, που είναι ορισμένη και συνεχής στο R και ικανοποιεί τη σχέση π ( ) για κάθε f() f(t) ημ d dt+, α) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f γ) Αν f() +, R, τότε: i ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f iii) Για τις διάφορες τιμές του κ R, να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() κ 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 39

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΗ α) Για κάθε R έχουμε: π ( ) () f() f(t) ημ d dt+ π ημ d συν συνπ + συν π Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα [ ] Άρα η () γράφεται:, f() f(t)dt+ Η συνάρτηση f(t)dt, είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης f Άρα η συνάρτηση f() f(t)dt+ είναι παραγωγίσιμη, ως άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων με παράγωγο f() f() +, β) Για κάθε R έχουμε: f () f() f () f() f() + +, άρα Η (3) f () d () Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα f() + c f() c +, Όμως f(), άρα c Επομένως f() +, γ) i) Για κάθε R έχουμε: Είναι: d ( ) d d + c (3) f () + και f() > > > > f() Το πρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στο διπλανό πίνακα + f + f ελάχ Έχουμε: Η f είναι συνεχής στο (,] και f() φθίνουσα στο (, ] Η f είναι συνεχής στο [,+ ) και f() αύξουσα στο [,+ ) < στο (,) > στο Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ο, με ελάχιστη τιμή f(), άρα η f είναι γνησίως,+, άρα η f είναι γνησίως 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ii ) Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (,], Είναι: lim f lim + +, Δ άρα f( Δ ) f(), limf() ) γιατί lim, lim lim lim DLH και + Άρα Δ [ + ) f, Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, ), Είναι: lim f lim + +, + + Δ + άρα f( Δ ) f(), limf() ) + γιατί lim + και lim lim + + + Άρα Δ [ + ) f, Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι Δ Δ U Δ [ + ) iii) Αν κ<, τότε η εξίσωση f()κ είναι αδύνατη Αν κ, τότε η εξίσωση f()κ έχει μια λύση Αν κ>, τότε η εξίσωση f()κ έχει δύο λύσεις f f f, 3-4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4