ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ. Εά τότε δε ισχύει πάτα. Πχ για τους µιγαδικούς +4i και 5i είαι 5 εώ.. 0 0. Για α αποδείξουµε ότι R µε τη βοήθεια του µέτρου αρκεί α αποδείξουµε ότι (µε απόδειξη. ηλαδή R. 4. Για α αποδείξουµε ότι Ι µε τη βοήθεια του µέτρου αρκεί α αποδείξουµε ότι (µε απόδειξη. ηλαδή 5. I. (µε απόδειξη. 6. Η γωστή τριγωική αισότητα γίεται 7. + + και α θέσουµε όπου το τότε +. 8. Οι γωστοί γεωµετρικοί τόποι σε µιγαδική µορφή είαι οι εξής: i Η εξίσωση o ρ όπου o x ο +y ο i σταθερός µιγαδικός και ρ σταθερός θετικός πραγµατικός παριστάει κύκλο κέτρου Κ(x ο y ο και ακτίας ρ. ii Η εξίσωση όπου x +y i και x +y i σταθεροί µιγαδικοί παριστάει τη ευθεία που είαι µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ µε άκρα Α(x y και Β(x y. iii Η εξίσωση + α όπου x +y i και x +y i σταθεροί µιγαδικοί και α > παριστάει υπερβολή µε γ εστίες Ε(x y και Ε (x y. iv Η εξίσωση α όπου x +y i και x +y i σταθεροί µιγαδικοί και α < γ παριστάει έλλειψη µε εστίες Ε(x y και Ε (x y. Παρατήρηση: Οι δυο τελευταίοι γ.τ. είαι προαιρετικοί. 9. + + + Re( + Re( + + ( + 4Re( + (µε απόδειξη Η τρίτη από αυτές είαι η γωστή από τη γεωµετρία πρόταση ότι το άθροισµα τω τετραγώω τω διαγωίω παραλληλογράµµου ισούται µε το άθροισµα τω τετραγώω τω πλευρώ του. 0. Για τη λύση ασκήσεω που έχου α κάου µε το µέτρο χρησιµοποιούµε τις ιδιότητες του µέτρου µε κυριότερη τη. Ότα δε είαι δυατή η εφαρµογή τω ιδιοτήτω θέτω x+yi και x + y.. Για τη λύση εξισώσεω που περιέχου το και το θέτω x+yi και + Μ ( + Μ ( x y και το πρόβληµα αάγεται σε λύση συστήµατος στο R.. Μέγιστη και ελάχιστη τιµή του µέτρου µιγαδικού και διαφοράς µιγαδικώ: Μ ( +
Έστω Μ Μ Μ οι εικόες τω ατίστοιχα. Α η εικόα Μ του διατρέχει: i µια ευθεία (ε τότε d( O ε (ΟΜ και d M (ΜΜ ( ε ( ΟΒ ( ΟΒ β ( OΑ ( OΑ α max iv µια υπερβολή x y µε β β γ -α τότε a ( ΟΑ ( ΟΑ α ii έα κύκλο C:(Kρ τότε ( ΟΑ ( ΟΚ ρ OB OK ( ( +ρ max ( ΜΑ ( ΚM ρ ΜB ( Κ + ρ και ( M max Α οι εικόες Μ Μ τω ατίστοιχα διατρέχου: i δυο παράλληλες ευθείες ε και ε τότε d ε ( ε ii Έα κύκλο C:(Kρ τότε. max ρ iii µια έλλειψη x y + µε β β α -γ τότε a
iii µια ευθεία (ε και έα κύκλο (Κρ τότε d( Κ ε ρ ( ΑΓ iv δυο κύκλους C :(K ρ και C :(K ρ µε (Κ Κ >ρ +ρ τότε: ΒΓ ( ΚΚ A ( ΚΚ max ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (Θέµα ο 00 A.. Να ( ρ ρ ( +ρ + ρ Μοάδες 75 Α.. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είαι σωστές (Σ και ποιες λάθος (Λ: α β γ δ ε i Μοάδες 5 B.. Εά +4i και - i α ατιστοιχίσετε κάθε αριθµό της στήλης Α µε το µέτρο του από τη στήλη Β: 4 5 στηλη Α i α 4 β γ 5 δ -5 ε - στ 5 ζ 0 στηλη Β Μοάδες 75 Β.. Εά α δείξετε ότι Μοάδες 5. Υπολογίστε τα µέτρα τω µιγαδικώ: i ii iii + 0 ( + i 99 ( i 4 ( 4i( + i ( + i + ( i. Υπολογίστε το εά ( i 4 4. Εά για το µιγαδικό ισχύει + 5 5 + α δείξετε ότι 5. 5. Α C και ισχύει + 4 i + 4 α βρείτε το και το. 6. Εά και w C α απο i ( ( w + w w w w ii w w + w w. 7. Να λύσετε στο C τη εξίσωση: + i + 4i. 8. Nα παραστήσετε στο µιγαδικό επίπεδο τους µιγαδικούς για τους οποίους ισχύει: α β + i γ 5 5 δ + + i > ε + > και + i < στ και Re(. 9. Α µιγαδικός και α β R µε α β α a + β ai βi Im(. 0. Να βρεθεί ο γ.τ. τω εικόω τω µιγαδικώ αριθµώ που επαληθεύου τη εξίσωση: + 4( + 0.. ίοται οι αά δυο διαφορετικοί µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει + + 0 και. Να αποδείξετε ότι οι εικόες τω και είαι κορυφές ισοπλεύρου τριγώου.. ( Θέµα ο 006 ίοται οι αά δυο διαφορετικοί µιγαδικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει + + 0 και
τους οποίους ισχύει + + 0 και. i Να δείξετε ότι. Μοάδες 9 και Re( Μοάδες 8 ii Να δείξετε ότι 4 iii Να βρείτε το γ.τ. τω εικόω τω και καθώς και το είδος του τριγώου που σχηµατίζου. Μοάδες 6. Θεωρούµε το πολυώυµο f ( x x + x + + + µε x R και C. a Nα αποδείξετε ότι f ( x 0 για κάθε x R b Να βρείτε πότε ισχύει f ( x 0. 4. Α Α Β Γ είαι οι εικόες τω µιγαδικώ +i +i i ατίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο α αποδείξετε ότι το τρίγωο ΑΒΓ είαι ορθογώιο και ισοσκελές. 5. Α Α A είαι οι εικόες τω µιγαδικώ +i i ατίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο α προσδιορίσετε σηµείο Α τέτοιο ώστε το τρίγωο Α A Α α είαι ισόπλευρο. 6. Να i + R. + ii i I µε Im( 0. iii ( +. + 6 4 + i + i iv 4. v I. 7. Εά C µε 5 α 6 8. ίοται οι µιγαδικοί και w +. Να δείξετε ότι α η εικόα Α( κιείται στο µοαδιαίο κύκλο τότε η εικόα Β(w κιείται σε έλλειψη της οποίας α βρείτε τις εστίες. 9. Θεωρούµε τη συάρτηση f ( i C. i Να λύσετε τη εξίσωση f(-i ii α f ( α βρείτε το iii εά α δείξετε ότι ο γ.τ. τω εικόω τω µιγαδικώ wf( είαι κύκλος που διέρχεται από τη αρχή τω αξόω. 0 Εά α µη αρητικός πραγµατικός α λυθεί στο C η εξίσωση: i + a( + i 0. (Ε.Μ.Ε. ίοται οι µιγαδικοί και w που ικαοποιού τις σχέσεις 0 + και w+66 -w. i Να δείξετε ότι ii 5 w εά v µιγαδικός τέτοιος ώστε v v 6ww 4 α δείξετε ότι η εικόα του v αήκει σε κύκλο 5 κέτρου Κ(/40 και ακτίας ρ Έστω µιγαδικός µε τη ιδιότητα + 4 Re[( i ] + 4 0. ( i Να δείξετε ότι η ( έχει άπειρες λύσεις ii α είαι δυο λύσεις της ( α δείξετε ότι 8 iii α t t οι τιµές τω του (ii ερωτήµατος για τις οποίες η παράσταση γίεται µέγιστη α δείξετε ότι t + t + 0( t t 4 + για κάθε Ν*. ( Θέµα 4 ο β ερώτηµα 004 µοάδες 8 Εά + α δείξετε ότι Re( -/. 4 (Θέµα ο 005 Εά α 5
9 Μοάδες 7 + R Μοάδες 9 + + + + i ii iii Μοάδες 9 5 i Εά µιγαδικοί α + + ( + ii Εά α β µιγαδικοί µε αβ α α + β α + β α + β + +. 6 (Παελλήιες 978 Έστω C µε ±. + Να δείξετε ότι I. 7 ( Θέµα ο 00 ίοται οι µιγαδικοί αριθµοί α+βi και w i + 4 µε αβ R. i Να δείξετε ότι Re(wα-β+4 και Im(wβ-α Μοάδες 6 ii α δείξετε ότι α οι εικόες του w κιούται στη ευθεία yx- τότε οι εικόες του κιούται στη ευθεία yx- Μοάδες 9 iii α βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς οι εικόες τω οποίω κιούται στη ευθεία yx- έχει το ελάχιστο µέτρο. Μοάδες 0 8 (Θέµα ο 007 + ai a + i Έστω α R. ( i Να δείξετε ότι η εικόα του αήκει σε κύκλο κέτρου Ο(00 και ακτίας. Μοάδες 9 ii Έστω οι µιγαδικοί που προκύπτου από τη ( για α0 και α ατίστοιχα. (a Να βρεθεί η απόσταση τω εικόω τω µιγαδικώ και Μοάδες 8 (b α δείξετε ότι ( (- για κάθε φυσικό αριθµό. Μοάδες 8 9 (Θέµα ο 008 Α για τους µιγαδικούς αριθµούς και w ισχύου ( i + 6 και ( i βρείτε: w w ( i τότε α i τό γ.τ. τω εικόω τω µιγαδικώ αριθµώ Μοάδες 6 ii τό γ.τ. τω εικόω τω µιγαδικώ αριθµώ w Μοάδες 7 iii τη ελάχιστη τιµή του w Μοάδες 6 iv τη ελάχιστη τιµή του w. Μοάδες 6 0 Εά ω είαι µιγαδικός µε ω και ω α a ω ω. b ( ω ω Έστω C µε i 6i 5 i ( i Να βρείτε το γ.τ. τω εικόω του ii α βρείτε τη ελάχιστη τιµή του. Α η εικόα του µιγαδικού αήκει στο µοαδιαίο κύκλο α δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για τη εικόα του µιγαδικού w i i +. Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του w. µέτρου i Να βρείτε το γ.τ. τω εικόω του µιγαδικού για το οποίο ισχύει ( i. ii Να βρείτε το γ.τ. τω εικόω του µιγαδικού w για το οποίο ισχύει w + i w + 4i. iii Να βρείτε τη ελάχιστη τιµή του µέτρου w. 4.