Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Υπεύθυνοι τάξης: Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς Θεματικές διαδρομές στην Ανάλυση Μια πορεία από τον Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Γιάννης Λουριδάς, Δημήτρης Ντρίζος Τα θέματα του παρόντος άρθρου εντάσσονται στην ύλη του Διαφορικού Ολοκληρωτικού Λογισμού, των Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ τάξης Γενικού Λυκείου εκπονήθηκαν για να υποστηρίξουν διδασκαλίες ευρείας επανάληψης με στόχο την εμβάθυνση τη λειτουργική διασύνδεση βασικών εννοιών προτάσεων από τα κεφάλαια αυτά. Επιδιώξαμε συστηματικά ώστε τα θέματα να βασίζονται σε σημαντικές γνώσεις ιδέες που, εξελίσσοντάς τες δημιουργικά, γεννούν ενδιαφέροντα ερωτήματα, συνεκτικά μεταξύ τους. Φροντίσαμε επίσης ώστε τα θέματα να διατρέχουν σχεδόν το σύνολο της ύλης των δύο εν λόγω κεφαλαίων παράλληλα, με στόχο την επανάληψη, συμπεριλάβαμε στο άρθρο μας ορισμένα ερωτήματα που αξιοποιούν βασικά θεωρήματα από άλλα κεφάλαια των Μαθηματικών, αλλά γνώσεις από προηγούμενες τάξεις του Γενικού Λυκείου. η θεματική διαδρομή: Δίνεται η συνάρτηση n f() n n,,, η οποία έχει ελάχιστη τιμή το. α) Να αποδείξετε ότι β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία την κυρτότητα γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα n nd δ) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) f( ) ε) Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη μονοτονία τη συνάρτηση f(),,, g(), στ) Να αποδείξετε ότι 4 3 g(3 )d g d g()d Λύση: α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με n f () n n n n n n n n n n n n n n,, Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο το για, διότι f(). Δηλαδή, η f στο εσωτερικό σημείο, του,, παρουσιάζει ε- λάχιστο είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, οπότε από το θεώρημα του Frmat έχουμε ότι : ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/5 n f () n n n, διότι n, για, με το ίσο να ισχύει μόνο για κάθε (εφαρμογή του βιβλίου) β) Για f() n,, είναι nn f (),, n n f () n n n f () n n n n n n f () n n n n Η ρίζα το πρόσημο της παραγώγου f δίνονται στον επόμενο πίνακα + f () + f Ο.Ε. f () για κάθε στο διάστημα, η f είναι συνεχής στο διάστημα,. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. για κάθε στο διάστημα, f () η f είναι συνεχής στο διάστημα,. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,.
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με n n f () f () n n n n... n n n,, Είναι f (),, διότι n για κάθε n n, αφού το τριώνυμο t t έχει 7. Άρα η f είναι κυρτή. n n 9 n n γ) nd d n 9 n n d d n Σημείωση: Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος μπορούμε να θέσουμε t n δ) f ( ) f( ) () Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης () είναι το,, διότι οι f, f έχουν πεδίο ορισμού το,. f ( ) f( ) f ( ) f( ) διότι θεωρώντας τη συνάρτηση () f ( ) f( ),, έχουμε () f () () για κάθε,, Πράγματι η συνάρτηση φ είναι παραγωγίσιμη με () f ( ) f( )... f ( ),, () f ( ), διότι f ( ) για κάθε,, λόγω του ερωτήματος β) () f ( ) () f ( ) Άρα η συνάρτηση φ παρουσιάζει στο ελάχιστο. Επομένως η εξίσωση f ( ) f( ) έχει ακριβώς μία ρίζα το ος τρόπος: (Υπόδειξη) Για η () αληθεύει f() f ( ), για κάθε,,, με Θ.Μ.Τ. για την f στα διαστήματα,, αν,,, αν ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/53, ε) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στα διαστήματα,,,, ως πηλίκο συνεχών. Επίσης η g είναι συνεχής στο σημείο, f() f() f() διότι img() im im. f () g() Άρα η g είναι συνεχής. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα,,,, ως f() πηλίκο παραγωγίσιμων με g ()... f ( ) f( ),,, g () για κάθε,,, λόγω του ερωτήματος δ) η g είναι συνεχής στο σημείο. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο,. στ) 3 g(3)d t... g(t)dt g(t)dt g()d () 4 t g d... g t dt gd (3) 3 t g()d... g(t )dt g( )d (4) Για κάθε, έχουμε: g g() g() g() g g συνεχής στο [, ], οπότε g d (5) (5) Έχουμε: g d g d g d () 4 g(3)d gd (3) Επίσης για κάθε, g έχουμε g g gd g d (3) 4 3 gd g d g d g()d (4) 4 3 Άρα g(3 )d g d g()d
η θεματική διαδρομή: Δίνονται οι συναρτήσεις f() n,, g(),, α) i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία την κυρτότητα. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Έχει η γραφική παράσταση της f κατακόρυφη α- σύμπτωτη; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη της διέρχεται από το σημείο A, 3. Στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () f() 3f() έχει ακριβώς μία ρίζα ρ στο διάστημα,. Πόσες ρίζες έχει η προηγούμενη εξίσωση στο διάστημα, ; δ) Να αποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό ακρότατο, του οποίου να βρείτε το είδος. ii) im, όπου ρ η ρίζα f 3 () g() g( ) της εξίσωσης του γ) ερωτήματος. ε) Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g στ) (Πρόβλημα ρυθμού μεταβολής),f( ), όπου Ένα υλικό σημείο 4, είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f () f(), κινείται πάνω στην καμπύλη y f(),. Τη χρονική στιγμή t που περνάει από το σημείο Ν, ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι μ/s. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ με τους άξονες, y y, τη χρονική στιγμή t Λύση: α) i) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f () n, f (), 4 3,,. Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. f (), ά, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/54 f (), ά 3,. Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή. ii) Η f είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο,, οπότε το σύνολο τιμών της είναι το f( ) imf(), imf(), διότι im f () im n, αφού im im n im f () im n, αφού. im( n). Επειδή im f () η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. H f είναι συνεχής στο,, οπότε η γραφική της παράσταση δεν έχει άλλη κατακόρυφη ασύμπτωτη. β) Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής,f(), παράστασης της f στο σημείο είναι y f( ) f ( )( ). Η (ε) διέρχεται από το σημείο A,3, αν μόνο αν, 3 f( ) f ( )( ), δηλαδή f ( ) f( ) 3. Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f () f() 3,, (). Η εξίσωση () έχει προφανή ρίζα το η οποία είναι μοναδική, διότι η συνάρτηση g() f () f() 3,, είναι γνησίως αύξουσα, οπότε -, αφού g () f (), ά, Άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, διέρχεται από το σημείο στο σημείο A,3 έχει εξίσωση yf() f ()( ), δηλαδή y 3 γ) Για, έχουμε: f () f() 3f() f() f() 3 f(), διότι f() 3, ά,,, αφού η f είναι κυρτή η ευθεία y3 είναι η εφαπτομένη της στο σημείο,. Η f στο διάστημα [, ] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, διότι είναι συνεχής
επειδή η f είναι -, ως γνησίως φθίνουσα, η ρίζα ρ είναι μοναδική. Επομένως η εξίσωση f () f() 3f() έχει ακριβώς μία ρίζα ρ στο διάστημα,. σε αυτό f()f(). Άρα η εξίσωση f() έχει μία τουλάχιστον ρίζα ρ στο διάστημα,, Στο διάστημα, η εξίσωση f () f() 3f() έχει ακριβώς δύο ρίζες το ρ το, διότι f () f() 3f() f() f() 3 f() ή f() 3 ή ε- f πειδή f() f( ) f() 3, αφού η f είναι κυρτή η ευθεία y 3 είναι η εφαπτομένη της στο σημείο,, οπότε f() 3 για κάθε, με το ίσο να ισχύει μόνο για δ) i) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη με n g () n n n n n f(),, n g () f() ) f f() f() f( ) n g () f() ) f f() f() f( ) Η ρίζα το πρόσημο της g δίνονται στον επόμενο πίνακα. ρ + g () + g Ο.Μ. Άρα η συνάρτηση g:, για παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο. ii) Για κοντά στο ρ έχουμε: () 3 f () g() g( ) f() f () g() g( ), οπότε ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/55 im() im f() f () g() g( ) f( ) f() f() f( ) διότι im im f ( ) f ή im, αφού imf () f ( ) f () f () κοντά στο ρ, im g() g(, ) αφού g ή im g() g( ) g( ) g( ) g() g( ) κοντά στο ρ, από δ.i. ε) Είναι f () g(), δηλαδή το σημείο, είναι κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των f, g., είναι f() g(), διότι Για κάθε f f() f() f(), g (,) (, ] g() g() g() Δηλαδή στο διάστημα, η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g., είναι f() g(), διότι Για κάθε f f() f() f(), g (, ] g() g() g(), δηλαδή f() g(),. Για, για κάθε f f() f( ) f(), δηλαδή g() f() g(), για κάθε., Οπότε στο διάστημα, η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g Σημείωση: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δίνονται στο επόμενο σχήμα.
στ) Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε ) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο,f( ), είναι yf( ) f ( )( ). Τα σημεία τομής της εφαπτομένης (ε ) με τους f ( ) f( ) άξονες, y y είναι τα, f ( ), f ( ) f ( ) αντίστοιχα. Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ που σχηματίζει η εφαπτομένη (ε ) με τους άξονες είναι ( )( ) f ( ) f( ) f ( ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) f ( ) διότι f ( ) ως συνάρτηση του χρόνου t (t)f ( (t)) f( (t)) είναι (t) f ( (t)) με παράγωγο (t)... (t)f ( (t)) f( (t)) f ( (t)) (t)f ( (t)) (t) (t)f ( (t)) (t)f( (t)) f ( (t)) Τη χρονική στιγμή t είναι (t ), (t ), f( (t )) f(), f ( (t )) f (), f ( (t )) f () 3, οπότε (t ) (t )f ( (t)) f( (t))f ( (t )) (t )f ( (t )) (t ) (t )f ( (t )) (t )f( (t )) f ( (t )) 4 9 3 τ.μ/s 8 3 η θεματική διαδρομή: Έστω μια συνεχής συνάρτηση f:,, για την οποία ισχύουν: Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, f () ( )f (), για κάθε, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/56 imf () Να αποδείξετε ότι: α) f() β) f() n( ) f() γ) f (), για κάθε,, για κάθε, 8 8 8 δ) δ. 9 f ()d f () f () δ. Η εξίσωση 8 8 8 9( ) f (t)dt f () ( )f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) ε) Υπάρχει μοναδικό, τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ να γίνεται μέγιστο στο, όπου, f(),, f () με, Γ, Δ οι προβολές των Β, Α αντίστοιχα στον άξονα. Λύση: α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, οπότε f() imf() im ( )f () im, ( ) f () διότι imf (). Άρα f() β) Για κάθε, f () ( )f () έχουμε: f ()f () f () n( ) ( ) f () n( ) c, c Για έχουμε Άρα για κάθε, ) f() ncc. είναι: f () n( ) f () n( ) f() n( ) () η f συνεχής, οπότε διατηρεί πρόσημο στο διάστημα,. () Είναι imf (), οπότε f () για κάθε κοντά στο επειδή f (), ( )f () Για κάθε, είναι f() ά,, είναι f() για κάθε
κοντά στο (3) Από (), (3) έχουμε ότι f() ά, από την () προκύπτει ότι f() n( ) ά,. Από α) έχουμε επίσης ότι f(). Επομένως f() n( ), ά, γ) Για κάθε, η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα,,,, διότι είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο,,. Άρα υ- πάρχει ένα τουλάχιστον, f ( ) ) f() f() f() () τέτοιο, ώστε f () f() f ( ) f () f () Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, διότι f () f () ( )f () ( )f() f() ()f () ( ) f () ( ) f () για κάθε,. Άρα f() f (), για κάθε, δ) δ. Από το ερώτημα γ) για κάθε, f() o Ισχύει: () ( ), ισχύει : f () f() f () E 7 f () 8 7 ( ) () () f () f ()f () Η ρίζα το πρόσημο της παραγώγου () δίνονται στον επόμενο πίνακα 8 8 f () f () 8 8 8 f ()d f () d 8 Ε () + 8 8 8 f ()d f () f ()d 8 Ε Ο.Μ. 8 8 8 8 9 f ()d f () f () δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση 8 8 8 () 9( ) f (t)dt f () ( )f,, Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο διάστημα,, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/57 ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων 8 () (), διότι () f () () 8 9f (t)dt 8 f () 8 f () λόγω του ερωτήματος δ. Η συνάρτηση φ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα,, οπότε η εξίσωση (), δηλαδή η εξίσωση 8 8 8 9( ) f (t)dt f () ( )f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,. ε) Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ ως συνάρτηση του είναι: () (AB)(A ) f(),,. Είναι () f() ( )f (),, () () f() ( )f () f () ( )f (), για κάθε, Η συνάρτηση Ε είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,), οπότε το σύνολο τιμών της είναι ( ) im (), im () f(), n3,. Δηλαδή, ( ) η Ε είναι -, ως γνησίως φθίνουσα, οπότε υπάρχει μοναδικό (, ) τέτοιο, ώστε ( ). 8 8 8 8 Άρα υπάρχει μοναδικό 8f ()d f () f () f ()d (, ) τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ να γίνεται μέγιστο στο. ος τρόπος: (Υπόδειξη) Θεωρούμε τη συνάρτηση E () του εμβαδού στο,. Δηλαδή, () f(),,. Η () ως συνεχής στο, παρουσιάζει ελάχιστο μέγιστο σε αυτό. Το ελάχιστο το παρουσιάζει στα άκρα, όπου () () το μέγιστο σε κάποιο εσωτε-
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Μαθηματικά για την Γ Λυκείου ----------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- 4 η θεματική διαδρομή: Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:,, για την οποία ισχύουν: ι f f im f() ) για κάθε, d Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g() 4 n 5 4,, α) Να αποδείξετε ότι f() ( ) n,, β) Να μελετήσετε την f ως προςς την κυρτότητα να βρείτε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασής της. Στη συνέχεια, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απόό τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτομένηε η της γραφικής παράστασης της f στο σημείο καμπής της τις ευθείες γ) i. Να μελετήσετεε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία τα ακρότατα. ii. Να λύσετε τις εξισώσεις : 8 5 4 5 4. 9,, (I) ρικό σημείο του (, ). Το λόγω του θεω- λόγω θεωρήματος Roll είναι μοναδική, διότι ρήματος Frmat είναι ρίζα της ( (), που υπάρχει 4 f(), (IΙ)) δ) Θεωρούμε τα σημεία, f( (),, f ( ) με,, της γραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι για κάθε, η κλίση της ευθείας ΑΒ είναι μεγαλύ- τερη του. Ποιο είναι το όριο της κλίσηςς της ευθείαςς ΑΒ όταν το τείνει στο ; Λύση: α) Για κοντά στο έχουμε: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/58 f f () f f f, f f imm () im f ( )f f() () Για κάθε, είναι : f imm f () ( )f f() ( )f ( ) f() ) f() f() ) nn n c, c c () f() d nd c( ) ό n c( ) c() ) c (3) β) Η συνάρτησηη f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f () ( ) n n () n n n,, f ( ) n,, f ( ) f ( ) f ( ) Η ρίζα το πρόσημο της f δίνονταιι στον επόμενο πίνακα: f () f + Σ.Κ., f () Από (), (3) έχουμε f() n n f () n, για κάθε,, +
. f (). για κάθε στο διάστημα, η f είναι συνεχής στο διάστημα, Άρα η f είναι κοίλη στο διάστημα,. f () για κάθε στο διάστημα, η f είναι συνεχής στο διάστημα,. Άρα η f είναι κυρτή στο διάστημα,. H f μηδενίζεται στο εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημο. Άρα το σημείο M(, f()), δηλαδή το M(, ) είναι το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο καμπής της M, είναι yf ()( ), δηλαδή y( ). Θεωρούμε τη συνάρτηση () f() ( ),,. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα,,, ως διαφορά συνεχών. (), για κάθε,,, διότι η f είναι κυρτή στο,, οπότε η γραφική παράστασή της, στο διάστημα αυτό, βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της y( ), εκτός από το σημείο καμπής (σημείο επαφής) που είναι κοινό. (), για κάθε,,, διότι η f είναι κοίλη στο,, οπότε η γραφική παράστασή της, στο διάστημα αυτό, βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της y ( ), εκτός από το σημείο καμπής (σημείο επαφής) που είναι κοινό. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι () d ()d ()d (4) ()d ( )d ( ) nd nd n n d n d ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/59 n d n 4 7... ανάλογα έχουμε 4 ()d nd... n 4 83... 4 Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι 7 83 Ε () d 4 4 4 3 3 8 7 4 γ) γ. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη με g () 4 n5 4... 4f() ( ) β) 4(),, Η ρίζα το πρόσημο της παραγώγου g δίνονται στον επόμενο πίνακα + g () + g g () για κάθε στο διάστημα, η g είναι συνεχής στο διάστημα,. Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. g () για κάθε στο διάστημα, η g είναι συνεχής στο διάστημα,. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Η g για παρουσιάζει ελάχιστο το g() γ. Για, έχουμε: Ο.Ε. 8 8 8 5 4 9 5 4 4
n 5 4 4 n n 5 4 4 n 4 n 5 4 g() διότι g() g() g(), για κάθε,) (,, αφού η g για = παρουσιάζει ελάχιστο το. Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης (ΙΙ) είναι το Α,, έχουμε:. Για n 4 n n 5 4f () 4 n 5 4 f() 4 n 5 4 f() g() f() διότι g() g() g(), για κάθε,) (,, επίσης f() f() f(), για κάθε,) (, δ) Για κάθε, η κλίση της ευθείας ΑΒ f() f() είναι () ( ) ος τρόπος: (με Θ.Μ.Τ.) Για κάθε, ισχύει f() f() Είναι () ( ) f() f() f() f() f() f() () () () () Η συνάρτηση f στο διάστημα,, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ., διότι εί-,, παραγω- ναι συνεχής στο γίσιμη στο,,. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέ- f() f() f() f() τοιο, ώστε f ( ) (5) H f είναι κοίλη στο,, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, f (5) f() f ( ) f () ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 7 τ.3/6 f( ) (6) Επίσης από β) έχουμε ότι f() f(), για κάθε,, (7) διότι η f είναι κυρτή στο, Από (6), (7) με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε ότι f() f() (), για κάθε, ( ) Σημείωση: Η ανισότητα (7) μπορεί να αποδειχθεί με ΘΜΤ στο διάστημα, ος τρόπος: (Μέθοδος μονοτονίας) Υπόδειξη: Για κάθε, f() f() () ( ) f() f( ) 4( ) (8) Θεωρούμε τη συνάρτηση () f() f( ) 4( ),, αποδεικνύουμε ότι η φ είναι γνησίως αύξουσα στο, έχουμε διάστημα Δ. Τότε για κάθε () () () () (8) f() f() 4() () Όταν το τείνει στο, τότε τα σημεία Α, Β τείνουν να συμπέσουν με το σημείο καμπής M(, ) της γραφικής παράστασης της f. Δηλαδή, η ευθεία ΑΒ τείνει να συμπέσει με την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο καμπής της, οπότε η κλίση της τείνει να γίνει ίση με f (). Αυτό προκύπτει από το όριο f() f() im () im ( ) f() f() im DLH ( ) f () f ( ) im... f () (με τον ορισμό της παραγώγου ή με DL H)