Κεφάλαιο 2 ο ανάλυσης ερωτήσεις στις παραγώγους. 1. Αν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 τότε η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο x 0 του Π.Ο της; : όχι. Πρέπει επιπλέον το όριο να είναι πραγματικός αριθμός. 2. Πότε μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 ; Όταν το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 είναι ±, άρα δεν είναι πραγματικός αριθμός, ή όταν δεν υπάρχει το παραπάνω όριο ή όταν τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα. f(x) f(x 3. Τι σημαίνει γεωμετρικά το lim 0 ) x x+ x x 0 0 f(x) f(x ή το lim 0 ) ; x x 0 x x 0 Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός δηλώνει την κλίση της «ημιεφαπτομένης» της καμπύλης δεξιά ή αριστερά του x 0 αντίστοιχα. Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα και ανήκουν στο R, τότε οι δύο ημιεφαπτόμενες έχουν ίδιο φορέα και κοινό σημείο (αφού η f πρέπει να Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 1 από 11
είναι συνεχής στο x 0 ), οπότε ορίζουν την εφαπτομένη της καμπύλης. 4. Τι σημαίνει γεωμετρικά το ότι τα πλευρικά όρια σε ένα σημείο είναι διαφορετικά; Στο σημείο αυτό η καμπύλη κάνει μία «γωνία», όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, γι αυτό και το σημείο αυτό λέγεται γωνιακό. f(x) f(x 5. Τι σημαίνει γεωμετρικά το ότι το lim 0 ) = + ; x x0 x x 0 Σημαίνει ότι ναι μεν υπάρχει εφαπτομένη, αλλά είναι κατακόρυφη, αφού έχει άπειρη κλίση. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 2 από 11
6. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι παραγωγίσιμες σε κάποιο σημείο του Π.Ο της; Φυσικά. Η f(x)= x αν και ορισμένη στο [ο, + ) είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) αφού lim x 0 + x 0 x 0 = lim 1 x 0 + x = + άρα όχι παραγωγίσιμη στο 0. Επίσης η g(x)= x δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Υπάρχει δε μία συνάρτηση, η συνάρτηση Weirstrasse, η οποία δεν είναι παραγωγίσιμη σε κανένα σημείο του Π.Ο της παρόλο που είναι συνεχής σε αυτό. 7. Τι συμβαίνει με την παράγωγο της x k ; Είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του Π.Ο της Α εκτός της περίπτωσης που 0<k<1, όπου δεν παραγωγίζεται στο 0, αν και ορίζεται, και ισχύει f (x)=kx k-1. Η συνάρτηση f(x)=x k ορίζεται στο: Α=R αν kn* Α= R* αν kz Α= R + αν kr-n και k>0 Α= R* + αν kr-z και k<0 8. Που ορίζεται η συνάρτηση f(x) g(x) και πως παραγωγίζεται ; Η f(x) g(x) ορίζεται στο Α={x D f και x D g και f(x)>0}. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 3 από 11
Παραγωγίζεται στο Α ={x A και x D f και x D g }. Για την παράγωγό της ισχύουν: ((f(x) g(x) ) = (e lnf(x)g(x) ) = e lnf(x)g(x) (lnf(x) g(x) ) = = e lnf(x)g(x) (g(x)lnf(x)) = f(x) g(x) [g (x) ln f(x) + g(x)(lnf(x)) ]= = f(x) g(x) [g (x) ln f(x) + g(x)(lnf(x)) ] = = f(x) g(x) [g (x) ln f(x) + g(x) f(x) f(x) ] v 9. Που ορίζεται η συνάρτηση g(x)= (f(x)) k και πως παραγωγίζεται; Απαντηση Aν κ περιττός, τότε D g ={x D f /f(x) 0} και ισχύει g(x) = (f(x)) k v, οπότε g (x) = k v (f(x)) k v 1 f (x) με Α ={x D f και f(x)>0} Aν κ άρτιος τότε D g =R και ισχύει g(x) = { (f(x))k v αν f(x) 0, [ f(x)] k v αν f(x) < 0 k k οπότε g (x) v = { (f(x)) v 1 f (x) aν f(x) > 0 στα σημεία αλλαγής k v [ f(x)]k v 1 f (x) αν f(x) < 0 τύπου, δηλ εκεί όπου η f(x) αλλάζει πρόσημο η παραγωγισιμότητα και ο παράγωγος αριθμός υπολογίζεται με τον ορισμό. 10. Δείξτε ότι η παράγωγος άρτιας και παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι παραγωγίσιμη και περιττή και η παράγωγος περιττής και παραγωγίσιμης είναι παραγωγίσιμη και άρτια. Έστω f(x) άρτια. Τότε x D f, - x D f και f(-x)=f(x) (1). Αφού f παραγωγίσιμη, η (1) είναι παραγωγίσιμη και έχουμε: f (-x)(-x) =f (x) - f (-x)=f (x) f (-x)=- f (x) άρα f Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 4 από 11
περιττή. Έστω f(x) περιττή. Τότε x D f, - x D f και f(-x)=-f(x) (2). Αφού f παραγωγίσιμη, η (2) είναι παραγωγίσιμη και έχουμε: f (-x)(-x) =- f (x) - f (-x)=-f (x) f (-x)= f (x) άρα f άρτια. 11. Μπορώ πάντα να παραγωγίσω μια συναρτησιακή σχέση; απάντηση Όχι. Πρέπει οι συναρτήσεις της σχέσης να παραγωγίζονται για κάθε x όπου ορίζεται η σχέση. Αν η σχέση παραγωγίζεται σε ένα σημείο x o και ζητώ το f(x o ) δεν έχω δικαίωμα να παραγωγίσω τη σχέση και να θέσω όπου x το x o. Στην περίπτωση αυτή δουλεύω με τον ορισμό. Δηλαδή προσπαθώ να υπολογίσω από τη σχέση το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Αν η σχέση περιέχει παραγωγίσιμες συναρτήσεις με δύο μεταβλητές x, y τότε μπορώ να παραγωγίσω είτε ως προς x θεωρώντας το y σταθερό, είτε ως προς y θεωρώντας το x σταθερό. (θα μπορούσα να θέσω για παράδειγμα όπου y το c και να παραγωγίσω ως προς x ) 12. Αν f παραγωγίσιμη και «1-1» συνάρτηση στο Α, με f (x) 0 τότε f 1 (x) παραγωγίσιμη με (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)). Απόδειξη: Για κάθε x f(a) έχω: f (f -1 (x))=x [f (f -1 (x))] =1 f (f -1 (x)).(f -1 ) (x)=1 (παραγωγίζεται σαν σύνθετη) και επειδή f (x) 0 f 1 (x) 1 1 f (f (x)) Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 5 από 11
(Αν μπερδεύει το f -1 μπορώ να το θέσω ως g και να παραγωγίσω σαν σύνθεση την f(g(x))=x και να λύσω ως προς g (χ)) 13. Aν f παραγωγίσιμη τότε η f είναι συνεχής; : Μια συνάρτηση f(x) μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο R, χωρίς όμως η παράγωγός της να είναι συνεχής.!!! x, x 0 π.χ. η f(x) x είναι παραγωγίσιμη στο 0 αφού 0, x 0 2 1 x f(x) f(0) 1 lim lim x lim x 0 ί x0 x 0 x0 x x0 x. 1 1 1 x x x x x lim x 0 x x x0 x 2 1 Άρα η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο 0 με 1 2 1 1 1 1 2x x ( ), x 0 2x, x 0 f'(x) 2 x x x x x 0, x 0 0, x 0 1 1 Όμως η f (x) δεν είναι συνεχής στο 0 γιατί το lim(2x ) δεν x0 x x 1 1 υπάρχει αφού το lim2x 0 lim δεν υπάρχει. x0 x x0 x Σημειωτέον : Στην εν λόγω συνάρτηση, με ΠΟ το [0, ], στο 0 δεν έχουμε ακρότατο, παρόλο που είναι άκρο κλειστού διαστήματος στο ΠΟ, αφού δεν υπάρχει Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 6 από 11
κανένα διάστημα δεξιά του 0 που να είναι είτε θετική είτε αρνητική.(ταλαντεύεται δηλαδή γύρω από το 0) **[ Όμως ισχύει το Θεώρημα DARBOUX που λέει: 14. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] με f (α) f (β), τότε η f παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α), f (β), στο διάστημα (α, β).] Απόδειξη:** Έστω f (α) < f (β). Αν λ (f (α), f (β)) δηλ f (α)<λ<f (β) θα δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β) : f (ξ)=λ ή ισοδύναμα ότι η εξίσωση (f(x)-λx) =0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα ξ (α,β). Θεωρώ την g(x)=f(x)-λx / [α,β]. Επειδή η g είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] θα έχει μία ελάχιστη τιμή μ και μία μέγιστη τιμή m. Έστω μ=g(α) άρα g(x) g(α) x [α,β] f(x)-λx f(α)-λα x [α,β] f(x)-f(α) λ(x-α) x [α,β] f(x) f(a) lim x a + x a Όμοια f(x) f(a) x a λ x (α, β] λ x (α, β] f (α) λ άτοπο. Έστω μ=g(β) άρα g(x) g(β) x [α,β] f(x)-λx f(β)-λβ x [α,β] f(x)- f(β) λ(x-β) x [α,β] f(x) f(β) x β λ x [α, β) f (β) λ άτοπο. f(x) f(β) λ x [α, β) lim x β x β Άρα το ελάχιστό της η συνάρτηση το παρουσιάζει σε εσωτερικό σημείο ξ του [α,β], οπότε αφού η g είναι παραγωγίσιμη, λόγω του Θ.Fermat, θα ισχύει g (ξ)=0 f (ξ)-λ=0 f (ξ)=λ. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 7 από 11
15. Αν f (x) 0 για κάθε x R, τότε η f είναι «1-1» Απόδειξη Αν δεν ήταν «1-1» θα υπήρχαν x 1 <x 2 τέτοια ώστε f(x 1 )=f(x 2 ) άρα θα ίσχυαν οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle οπότε θα υπήρχε τουλάχιστον ένα ξ (x 1, x 2 ) τέτοιο ώστε f (ξ)=0. άτοπο! 16. Όταν η συνάρτηση δίνεται με κλάδους τότε, στο σημείο αλλαγής τύπου πρέπει αναγκαστικά να ελέγξω την παραγωγισιμότητα με τον ορισμό, και όχι να βρω το f (x o ) από τον τύπο της f (x). Παράδειγμα: ημx, x 0 Να βρεθεί η παράγωγος της f(x) x 1, x 0 Στο (-,0) η f είναι παραγωγίσιμη με f (x)=συνx και στο (0, ) έχουμε f (x)=1. Παρόλο που lim f (x) lim συνx 1 lim 1 lim f (x) η f δεν είναι x0 x0 x0 x0 παραγωγίσιμη στο 0 αφού δεν είναι συνεχής σ αυτό. lim ημx 0 1 lim(x 1) x0 x0 f(x) 1, x a Γενικά ισχύει: Αν f(x) k, x a f 2(x), x a και f 1,f 2 παραγωγίσιμες για x<α, x>α αντίστοιχα και f συνεχής στο α, τότε παραγωγίζεται σ αυτό αν και μόνο αν lim f (x) lim f (x) ' ' xa 1 xa 2 Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 8 από 11
17. Αν f, g δεν παραγωγίζονται στο x 0 τότε f+g δεν παραγωγίζεται στο x 0. Λάθος. Μπορεί f(x)= x +x και g(x)=x- x. Οι f,g δεν παραγωγίζονται στο 0, ωστόσο (f+g)(x)=2x, που είναι παραγωγίσιμη στο 0. 18. Αν f, g δεν παραγωγίζονται στο x 0 τότε f.g δεν παραγωγίζεται στο x 0. Λάθος. Μπορεί f(x)= x και g(x)=- x. Οι f,g δεν παραγωγίζονται στο 0, ωστόσο (f.g)(x)=-x 2, που είναι παραγωγίσιμη στο 0. lim f(x) 19. Αν η f είναι κυρτή και γν αύξουσα στο (α, + ) τότε x lim f(x) Αν είναι κοίλη και γν φθίνουσα τότε x Απόδειξη Έστω α<x 1 <x 2. Η f σαν παραγωγίσιμη θα είναι συνεχής στο [x 1, x 2 ] και παραγωγίσιμη στο (x 1, x 2 ). άρα θα υπάρχει x 0 (x 1, x 2 ): f(x ) f(x ) f 2 1 f'(x ) 0 0 x x 2 1 Αν Α(x 0,f(x 0 )) τότε η εφαπτομένη στο Α θα είναι η y-f(x 0 )=f (x 0 )(x-x 0 ) δηλ y=f (x 0 )x+f(x 0 )-x 0 f (x 0 ). Όμως λόγω κυρτότητας ισχύει f(x)> f (x 0 )x+f(x 0 )-x 0 f (x 0 ). f (x ) 0 lim f (x )x f(x ) x f (x ) lim f(x) 0 0 0 0 x x Επειδή Ομοίως η κοίλη βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της σε οποιοδήποτε σημείο της. Με Θ.Μ.Τ υπάρχει εφαπτομένη με κλίση f (x 0 )<0, κλπ 0 Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 9 από 11
20. Αν g δεν παραγωγίζεται στο x 0 και η f δεν παραγωγίζεται στο g(x 0 ), τότε fοg δεν παραγωγίζεται στο x 0.;!!! Λάθος. Έστω g(x)= 0, x 0 1, x 0 και f(x)= x, x 1 0, x 1. H g δεν παραγωγίζεται στο 0 γιατί δεν είναι συνεχής και η f δεν ορίζεται στο 1 για τον ίδιο λόγο. Όμως η (fog )(x)=0 είναι παραγωγίσιμη. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 10 από 11
Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 11 από 11