ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ευτέρα, 6 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f ( ) = Μονάδες A. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R. Πότε η ευθεία y=λ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z = β) Μια συνάρτηση f:a R λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f( ) f( ) γ) Για κάθε R =R { συν=} ισχύει: (εφ) = συν δ) Ισχύει ότι: lim + ημ = ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y= που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. Μονάδες
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 6 A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 8 A3. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i + z +3i = και w=z 3i+ z 3i B. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z B. Να αποδείξετε ότι z +3i= z 3i B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w. B4. Να αποδείξετε ότι: z w = z ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μονάδες 7 Μονάδες 4 Μονάδες 8 Μονάδες 6 B. z 3i + z +3i = z 3i + z 3i = z 3i + z 3i = z 3i = z 3i = άρα ο γεωμετρικός τόπος των Μ(z) είναι κύκλος κέντρου Κ(, 3), ρ= B. z 3i = z 3i = (z 3i)( z 3i)= z+3i= z 3i ( B) Β3. w=z 3i+ = z 3i+z+3i=z+z=R(z) R () z 3i z = + yi Έχουμε: z 3i = +yi 3i = +(y 3)i = + (y 3) = +(y 3) = άρα R(z) w ( B3) Β4. z w = z (z+z) = z = z = z () 3
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με f ()=f()=, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: για κάθε R. (f ()+ f () )=f ()+f () Γ. Να αποδείξετε ότι: f()=ln( ), R Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3 Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Μονάδες 7 Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( )=συν έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (, π ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Είναι f ()+ f () =f ()+f () ( f ()) =(f ()) ή ( f () ) =(f ()), R. άρα σύμφωνα με γνωστή πρόταση f () =f () + c απ όπου για = είναι f () =c, άρα c=, οπότε f () =f () ( )f ()=, αφού > από τη θέση των γραφικών παραστάσεων ( )' f'() = ή f'() = ή f'() [ln( = )]', άρα f() = ln( ) + c και επειδή f()=, =ln+c,άρα c= οπότε f()=ln( ) Γ. Επειδή f'() = είναι f ()= = = και f ()> > > >. Επίσης f ()< < < <. Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο [, + ) και γνήσια φθίνουσα (, ]. Επομένως παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o= το f()=. Μονάδες 7 4
Γ3. Από f'() = έχουμε f''() ( ) ( )( ( ) ) ( ( ) = = ) ή f''() + ( ) ( ) = ή f''() = Θεωρούμε τη συνάρτηση g()= συνεχής και παραγωγίσιμη ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών και παραγωγίσιμων στο R με g ()= g ()= ( ) g ()= = = g ()> < και g ()< >. Το πρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα μεταβολών: + g () + g() Άρα στο Δ=(, ] η g είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής, άρα g(δ)=( lim g(),g()] και στο Δ=[, + ) η g είναι γνήσια φθίνουσα και συνεχής, άρα g(δ)=( lim g(),g()] + Είναι lim = και lim = lim = lim = lim( ) =, άρα DLH lim g() = ( ) = επομένως g(δ)=(, ], 5 οπότε επιδή g(δ) η g()= έχει ρίζα (, ) που είναι και μοναδική. Επίσης lim( ) = lim ( ) = γιατί lim = + και lim( ) =, άρα + lim g() = + g() + + + Επομένως g(δ)=(, ] και επειδή g(δ) η g()= ἐχει ρίζα (, + ) που είναι μοναδική. Αρα η f ()= έχει δύο ρίζες (, ) και (, + ). Τώρα επειδή η g είναι γνήσια αύξουσα στο (, ) για < ισχύει g()< g() δηλαδή g()< και για > ισχύει g()>g() δηλαδή g()> άρα η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν της ρίζας και ανάλογα επειδή στο (, + ) η g γνήσια αύξουσα για > ισχύει g()> g() δηλαδή g()> και για < ισχύει g()< g() δηλαδή g() <
Άρα η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν της ρίζας. Επομένως η f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Γ4. Θεωρούμε την h()=ln( ) συν, [, π ] συνεχής με h()= = < π π π π π και h( )=ln( )=f( )> γιατί > και f γνήσια αύξουσα στο [, + ) άρα h()h( π ) < και σύμφωνα με το θ.bolzano h()= έχει ρίζα στο (, π ) και επειδή h ()= στο [, π ] άρα η ρίζα μοναδική π +ημ >, h ()=f ()+ημ>, (, ) η h γνήσια αύξουσα ΘΕΜΑ Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g: R R, οι οποίες για κάθε R ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f() > και g() > ii) iii) f() t = dt g(+ t) t g() = dt f(+ t) Δ. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και ότι f() = g() για κάθε R. Δ. Να αποδείξετε ότι: Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: lim f() =, R ln f() f( ) Μονάδες 9 Μονάδες 4 Μονάδες 5 Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F()= f(t 6 ) dt τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση =. Μονάδες 7
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ. Θέτουμε u=+t du=dt t= u= t= u= t (u ) u u Είναι dt g(+ t) = du g(u) = du = g(u) du g(u) u u f() Από υπόθεση ισχύει = du g(u) f()=+ du () g(u) t (u ) u u Είναι dt f(+ t) = du = du= du Από υπόθεση ισχύει u u g() = du g()=+ du () u u Οι συναρτήσεις, είναι συνεχείς στο R και R άρα οι συναρτήσεις g(u) u u du και g(u) du είναι παραγωγίσιμες στο R. Από (),() οι f, g είναι παραγωγίσισμες στο R και ισχύουν: f ()= > και g ()= > αρα g() f() f ()g()= (3) και g ()f()= (4) Από (3), (4) f ()g()=g ()f() f'() f() 7 g'() = (lnf()) =(lng()), R g() Αρα lnf()=lng()+c, R () = f()= () = g()= lnf()=lng()+c ln=ln +c c= δηλαδή lnf()=lng() f()=g(), R. g () = f( Δ. Είναι f ()= ) f ()= f ()f()= f ()f()= g() f() (f ()) =( ) R άρα f ()= +κ, R f ()=+κ =+κ κ= δηλαδή f ()= Δ3. Είναι lim Δ4. Είναι F()= ln f() f( ) f f()= ( ) f()=, R = lim ln = lim t dt άρα F ()= = lim > οπότε F R u= lim u u = u + + u + = lim L' H u + u =
Για F() F() F() E= F() d= F ()d= F()d= ( )'F()d= [F()] F '()d = F() d= [ ] = ( )= τ.μ. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα κρίνονται (αρκούντως) απαιτητικά σε σύγκριση με τα θέματα των προηγούμενων ετών. Οι υποψήφιοι ίσως πιεστούν χρονικά λόγω του πλήθους των αλγεβρικών πράξεων. Για την αντιμετώπιση των θεμάτων χρειάζεται πολύ καλή αφομοίωση της ύλης και ανάπτυξη σε μεγάλο βαθμό της συνθετικής και κριτικής ικανότητας των υποψηφίων. Συνέπεια των παραπάνω προβλέπεται μείωση των υψηλών βαθμολογιών σε σχέση με τα προηγούμενα έτη. 8