ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 09 ΘΕΜΑ Α Α. α) ορισμός σελ.5 β)i) για να έχει μια συνάρτηση αντίστροφη πρέπει να είναι -. ii) ορισμός σελ.35 Α. ορισμός σελ.4 Α3. απόδειξη σελ.35 Α4. α)λ αιτιολόγηση σελ. 34 β) Λ Α5. σωστή απάντηση (γ) ΘΕΜΑ Β Β. f(x) = e x + λ ισχύει f(x) = x + x + (e x + λ) = ( + λ) = 0 + λ = λ = x + ex B. Θεωρώ h(x) = f(x) x, x [,3] f(x) = e x + η h(x) συνεχείς στο [,3] πράξεις συνεχών. h() = f() = e + = e > 0 h(3) = f(3) 3 = e 3 + 3 = e 3 = e 3 <0 h()h(3) < 0 Άρα από Θ. Bolzano η h(x) = 0 μία τουλάχιστον ρίζα στο (,3)
h (x) = f (x) = e x < 0 άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [,3] άρα - άρα η x 0 μοναδική. Β3. f(x) = e x + f (x) = e x < 0 για κάθε x R άρα γνησίως φθίνουσα στο R, άρα -, άρα αντιστρέφεται. Θέτω y = f(x) y = e x + y = e x ln(y ) = x x = ln(y ), y > f (x) = ln(x ), x > Β4. x + f (x) = ( ln(x )) = x + u 0 +( lnu) = + x-=u, x + τότε u 0 + Άρα η x = κατακόρυφη ασύμπτωτη. ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο x 0 =. Άρα f(x) = x + x +(x + a) = + a x f(x) = x (ex + βx) = e 0 + β = + β f() = + a Άρα + α = + β α = β f(x) = { x + a, x e x + ax, x < είναι και παραγωγίσιμη στο x 0 = άρα f(x) f() x x e x + ax a = x x [ex x = + a x x x = [ ex + a] = + a x x
e ( x = 0 D. L. H = x x 0 x ex = e 0 = ) f(x) f() x + a a = x + x x + x άρα + α = άρα α=, β= = (x + ) = x + Γ. για x >, f (x) = x > 0 f(x) = { x +, x e x + x, x < για x <, f (x) = e x + > 0 η f συνεχείς στο R άρα γν. αύξουσα στο R. f(r) = ( f(x), f(x)) = (, + ) x x+ αφού x f(x) = x (ex + x) = f(x) = x+ x+ (x + ) = + Γ3. i)η f συνεχείς και γνησίως αύξουσα στο Α =(, ] f(a ) = ( f(x), f()] = (, ] x αφού x (ex + x) = f() = αρα το 0 (, ] άρα η f(x) = 0 έχει αρνητική ρίζα x 0 η οποία είναι μοναδική αφού η f γνησίως αύξουσα στο R. ii) για x (x 0, + ) είναι f (x) x 0 f(x) = 0 f(x)(f(x) x 0 ) = 0 έχουμε x>x 0 fγν. αυξουσαf(x) > f(x 0 )f(x) > 0
f(x) > 0 και x 0 <0-x 0 >0 οπότε η εξίσωση f(x)(f(x) x 0 ) = 0 είναι αδύνατη στο (x 0,+ ) Γ4 για x έχουμε Ε = (ΟΚ)(ΚΜ) = x f(x) = (x3 + x) το εμβαδόν συναρτήσει του χρόνου είναι Ε(t) = (x3 (t) + x(t)) παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε για t=t 0 είναι E (t) = (3x (t)x (t) + x (t)) E (t 0 ) = (3x (t 0 )x (t 0 ) + x (t 0 )) = (3 3 + ) = 8cm /s
Μαθηματικά Προσανατολισμού http://lisari.blogspot.com Γ Λυκείου 0 6 09 ΘΕΜΑ Δ Δ. Πρέπει f και f Οπότε f α β () x f x ln x x x α x x x f x ln x x α x x f ln α α Από (), () έχουμε α και β () Δ. Ε f x x dx f x x dx Για κάθε x, Οπότε Θέτω f x x x ln x x x x E x ln x x dx x x u x ln x x 0 x dx du άρα Πανελλαδικές Εξετάσεις 09: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 5
Μαθηματικά Προσανατολισμού http://lisari.blogspot.com Γ Λυκείου 0 6 09 E ln udu ln udu u ln udu u ln u u du u Άρα ln ln u ln τ.μ. Δ3. i. Είδαμε ότι : Έχουμε x f x ln x x x x x x f x ln x x ln x 0 Που ισχύει αφού : x x x ln x 0, x ln x ln ln x 0 και x 0 x Δ4. ii. Η f συνεχής στο από ΘΜΤ υπάρχει Όμως λ,λ και παραγωγίσιμη στο λ,λ f λ f λ τέτοιο ώστε : f ξ ξ λ,λ λ λ f λ f λ f ξ f λ f λ f λ λ ln λ λ λ 3 f λ λ λ ln λ λ Η g είναι παραγωγίσιμη με gx 3x, xh Έστω f x gx M x, f x, N x, g x τα σημεία επαφής των C f, C g αντίστοιχα τότε πρέπει, Πανελλαδικές Εξετάσεις 09: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 6
Μαθηματικά Προσανατολισμού http://lisari.blogspot.com Γ Λυκείου 0 6 09 Όμως από το Δ3i είναι f x g x 3x Άρα είναι M,f και, με την ισότητα να ισχύει για με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 0 x N 0,g 0 μοναδικά σημεία αφού οι ισότητες ισχύουν μόνο για x και Άρα η κοινή τους εφαπτομένη είναι ε : y g 0 g 0 x 0 y x x 0 και Β τρόπος Έστω Α x,f x και B x,f x Η εξίσωση της εφαπτομένης στο Α x,f x είναι y fxx x f x f xx f x f xx Η εξίσωση της εφαπτομένης στο Bx,gx είναι : y gx x x gx gx x gx x gx Η C f και η C g δέχονται κοινή εφαπτομένη αν και μόνο αν f x g x f x f x x g x g x x Όμως f x και 3x Άρα για να ισχύει η () πρέπει : f x και 3x Όμως f x 3x () f x f x x g x g x x f x και x 0 x f x ln x x ln x 0 και Αφού f x x Άρα x ln x 0 x x x 0 με την ισότητα να ισχύει μόνο στο x x και x 0 (Σ) x και x 0 f x f x x gx gx x Αφού επαληθεύουν και την : f x f x x g x g x x Για x έχουμε : y f x f x x x (Σ) Πανελλαδικές Εξετάσεις 09: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team 7
Οι μαθηματικοί των φροντιστηρίων ΟΡΟΣΗΜΟ- ΘΑΛΗΣ Γιαννακόπουλος Θανάσης Ζωγόπουλος Γιάννης Καραχάλιος Παναγιώτης Μοσχονάς Σωκράτης Μπρίκος Πάνος Ταυλόπουλος Κώστας