ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων, των οποίων η λύση στηρίζεται σε τεχνικές μη άμεσης αλγεβρικής επίλυσης. Να αναφέρουμε ότι ανάλογες σκέψεις, μπορούν να προκύψουν και στην περίπτωση εξισώσεων και ανισώσεων, οι οποίες παρουσιάζουν στον τύπο τους την αντίστροφη μίας συνάρτησης. Προφανώς, οι παρακάτω δεν είναι οι μοναδικές μορφές που μπορεί κάποιος να συναντήσει, ούτε και ο τρόπος επίλυσης τους μοναδικός. Γίνεται όμως μία προσπάθεια, να δοθούν στο μαθητή κάποια εργαλεία σκέψης, για μία πιο άνετη προσέγγιση τέτοιων θεμάτων. Ο προσδιορισμός της μονοτονίας της συνάρτησης, σε όποιες ασκήσεις αυτός χρειάστηκε, έγινε είτε με τον ορισμό και τις ιδιότητες της διάταξης, είτε με τη βοήθεια του αντίστοιχου θεωρήματος των παραγώγων, για μεγαλύτερη «πολυφωνία, στην εύρεσή της. η ΜΟΡΦΗ: () = κ ή (g()) = κ όπου κ (A), g() A (g())= (h()) όπου g() A, h() A ( )+( )=α, α ( )=g( ) στο A g. ος τρόπος Mορφοποιούμε, μέσω παρατήρησης τη σχέση () = κ ή (g()) = κ όπου κ (A), g() A σε ( )=(.), όπου το κ=(ο) με το o A, και «απαλείφουμε» τα : ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

είτε μέσω μονοτονίας είτε μέσω της ιδιότητας - είτε μέσω θέσης ακροτάτου είτε κάνοντας χρήση των επιμέρους πεδίων ορισμού, σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου, ανάλογα με το ο στο οποίο και ορίζονται. Προφανώς, δείχνοντας ότι το κ (A), απλώς δικαιολογούμε την ύπαρξη ρίζας, αλλά δεν την προσδιορίζουμε. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση με () e. i. Nα δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii. Nα λύσετε την εξίσωση () e. iii. Να βρείτε το ώστε να είναι (ln ) e. i. Για κάθε, με με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης αποδεικνύουμε ότι η είναι. ii. Είναι () e () () και αφού προκύπτει ότι η =, είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης (κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση, ορίζει εξίσωση μορφής () α, α με το πολύ μία ρίζα). iii. Αρχικά να προσέξουμε ότι πρέπει (ln ) A και >0 επομένως αναζητώ λύσεις για >0. Είναι : (ln ) e (ln+)=() ln+= ln+ =0. Aν είναι: g() ln με >0 η ισοδύναμη εξίσωση είναι g() 0 g() g() αφού εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση ( ) τα οποία είναι: ( 4 ) ( )., -5<<-, - 6. Βρείτε τα ( 56, ] για ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

Επειδή: προκύπτει +4ημ [-,6], άρα: ( 4 ) 4. Ακόμη 5 και έτσι προκύπτει ότι: ( ) ( ) ( ).... Επομένως έχουμε ισοδύναμα: ( ) ( ) 4 4 4 ή +4ημ=- από τις οποίες προκύπτει ή,. ος τρόπος Χρήση συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών από την υπόθεση, είτε ιδιότητες άρτιας ή περιττής συνάρτησης, μορφοποιούν εξισώσεις της μορφής, ( )+(.)=α, α σε μορφή () = κ ή (g()) = κ, κ (A), g() Α, άρα επιλύονται ανάλογα. Παράδειγμα Αν : με ()-(ψ)=(-ψ), για κάθε,ψ. i. Να βρείτε το (0). ii. Nα λύσετε την εξίσωση ( -4)-(-6)=0,, αν γνωρίζετε ότι η έχει μοναδική ρίζα. i. H υπόθεση για =ψ=0 μας δίνει (0)-(0)=(0) άρα (0)=0. ii. H ( -4)-(-6)=0, είναι ισοδύναμη με την ( -5+6)=0 (), από τη συναρτησιακή σχέση της υπόθεσης, αν θέσουμε όπου το -4 και ψ το -6. Άρα η () δίνει με τη βοήθεια και του (i) ερωτήματος, την εξίσωση ( -5+6)=(0) από την οποία προκύπτει, η ισοδύναμη εξίσωση -5+6=0, αφού η έχει μοναδική ρίζα, η οποία είναι το μηδέν όπως προκύπτει από το (i) ερώτημα. Η λύση της τελευταίας δίνει = ή =3. Παράδειγμα Αν : μία περιττή συνάρτηση, να βρείτε >0 για τα οποία ισχύει: (ln)+(-+)=0, αν γνωρίζετε ότι η είναι γνησίως μονότονη. Για >0 έχουμε (ln) ( ) 0 (ln) ( ) (). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

Από τον ορισμό της περιττής είναι g(-)=-g() με, - Ag. Επομένως η () μας δίνει ισοδύναμα (ln) ( ) από την οποία και παίρνουμε μοναδική λύση την =. 3 ος τρόπος Πιθανή μορφοποίηση σε ( )=g( ) στο Α A g να δίνει λύση: είτε μέσω μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων, είτε κάποιο ο στο οποίο η μία συνάρτηση να παρουσιάζει ελάχιστο και η άλλη μέγιστο. Παράδειγμα Δίνεται η () 5 5 και η i. Να βρείτε τα ακρότατα των και g. ii. Να λύσετε την εξίσωση ()=g(). g() 5. i. Η ορίζεται για τους πραγματικούς για τους οποίους: 5 0 5 5 5 και ισχύει 5 0 5 0 5 5 5 () 5 με το ίσον να ισχύει για =5 και =-5. Επομένως η μέγιστη τιμή της είναι το 5. Επίσης για την g για κάθε ισχύει 0 5 5 g() 5 δηλαδή η ελάχιστη τιμή της g είναι το 5 για =0. ii. Eίναι () 5 και g() 5. Eπειδή η τιμή 5 για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προηγούμενες ανισοϊσότητες, δεν επιτυγχάνεται για κοινή τιμή του (για την ισχύει για =5 και =-5, ενώ για την g για =0) η αντίστοιχη εξίσωση είναι αδύνατη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: - - ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ () =, () = (). Γνωρίζουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και - έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία ψ=. Επομένως προκύπτει ότι: () (). Έτσι οι εξισώσεις () και (), είναι ισοδύναμες, άρα επιλύουμε την απλούστερη. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 4

Η επίλυση της εξίσωσης () (), ερμηνεύει αλγεβρικά, την εύρεση των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων και - δηλαδή του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις ψ=() και =(ψ). ΜΟΝΟ στην περίπτωση που η είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση () () είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις () ή (). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α μία λύση της εξίσωσης () (). Άρα το Ν(α,β) είναι κοινό σημείο των C και C, οπότε: (α) και (α) ( ) α. Αρκεί να δείξουμε ότι το α είναι λύση της εξίσωσης ()=, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι (α)=α β=α. Πράγματι έχουμε: Αν α<β και αφού γνησίως αύξουσα παίρνω (α) ( ) α, άτοπο. Ανάλογα αν α>β καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως θα είναι α=β. Αλλά και αντίστροφα, αν το α ήταν μία λύση της εξίσωσης ()=, τότε ισχύει (α) α, (α) α, επομένως (α) (α), δηλαδή το α είναι λύση της εξίσωσης () (). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση () ln( ), (, ). i. Δείξτε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να αποδείξετε ότι οι C και C έχουν ένα κοινό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. i. Η είναιπαραγωγίσιμη στο (, ) με () 0, για κάθε άρα είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), συνεπώς είναι και -, οπότε αντιστρέφεται. Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ), άρα ( ) (lim, lim ). lim ln( ) u και όταν u 0 lim ln u, lim, u 0 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 5

lim και u ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 6 lim ln( ) u όταν u lim ln u, lim lim. Επομένως: ( ) D. ii. Τα κοινά σημεία των C και συστήματος: ψ = () ψ = () : C προκύπτουν από την λύση του ψ = () ψ = () (),,ψ (, ). (ψ) = () = ψ () Αφαιρώντας κατά μέλη τις (),() έχουμε: ψ () (ψ) (ψ) + ψ () g(ψ) = g() (3) όπου g() (), (, ). Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με g () () 0, για κάθε (, ), (αφού () 0, για κάθε (, ). Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε και -. Επομένως από (3): (4) g: ψ = (4). 0 () () ln( -) + ln( -) 0 - e. Οπότε για η (4) δίνει ψ. Επομένως οι C και C έχουν μοναδικό κοινό σημείο το Μ(,), το οποίο και επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις του συστήματος. ΠΡΟΣΟΧΗ Τα κοινά σημεία των C και C προκύπτουν από την λύση του συστήματος ()=ψ και (ψ)=. Tονίζουμε ότι κατά τη λύση του συστήματος, με την παραπάνω διαδικασία, δεν ισχύει η ισοδυναμία λόγω της αφαίρεσης κατά μέλη, οπότε κάνουμε επαλήθευση των λύσεων που προέκυψαν. Μία άλλη διαδικασία, επίλυσης του παραπάνω συστήματος, παρουσιάζεται σαν εναλλακτική λύση για το ii. ερώτημα του παραπάνω παραδείγματος:

Τα κοινά σημεία των C και C προκύπτουν από την λύση του συστήματος: : ( )) ( ) (()) ( ) (()) (()) ( ( ) (()) () () ( ) με, (, ) () Έστω η συνάρτηση g() (), η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με g () () 0 για κάθε (αφού () 0 για κάθε ). Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) οπότε και. g: g(()) g( ) () : ln( ) ln( ) 0 Άρα η () ( ) ( ) ( ) () ln( ) ln Συνεπώς το κοινό σημείο των C και C είναι το Α(,). Ασκήσεις 3. Έστω (). i. Nα δείξετε ότι η έχει μέγιστο μόνο στο 0. ii. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ()=3 ii. ( -)=3 iii. (3(-))=3.. Δίνεται η συνάρτηση ()= ( ) ( 3). i. Nα δείξετε ότι η έχει ελάχιστο σε διαφορετικές θέσεις. ii. Να λύσετε την εξίσωση ( 3 ). 3. Έστω () και g()=ln. i. Δείξτε ότι το είναι η μέγιστη τιμή της και η ελάχιστη τιμή της g. ii. Nα λύσετε την εξίσωση: =ln. 4. Αν : μία περιττή και γνησίως μονότονη συνάρτηση, να βρείτε για τα οποία ισχύει: (e )+(-)=0. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 7

5. Έστω η συνάρτηση : 3 () 3 4. i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία. 3 ii. Να λυθεί η εξίσωση: 3 4. 3 3 iii. Αν α,β και ισχύει: α 3β = β 3α, να αποδείξετε ότι α=β. iv. Να λύσετε την εξίσωση: 3 ln 3ln 4. 6. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: με : g( ). ( ) e και i. Να μελετήσετε τις συναρτήσεις,g ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να λυθεί στο 7. Δίνονται οι, g: : η ανίσωση: e. () και g()= i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία. ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g. iii. Να λύσετε την εξίσωση: (g())=. 3 3 (). 8. Δίνονται οι συναρτήσεις () e e και g() = 3συν - i. Να αποδείξετε ότι η έχει ελάχιστο το. ii. Να αποδείξετε ότι η g έχει μέγιστο το και ελάχιστο το -. iii. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις,g: με τύπους (), και g() για κάθε. i. Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. ii. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0=. iii. Nα βρείτε τα κοινά σημεία των C και Cg. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 8

, > 0. Δίνεται η συνάρτηση ()=., Nα λυθεί η εξίσωση ( ).. Δίνεται η συνάρτηση ()=+. i. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να εξετάσετε αν η αντιστρέφεται. iii. Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το [0, ) iv. Να λύσετε την εξίσωση (). v. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης των και.. Δίνεται η συνάρτηση () e. i. Nα βρείτε τη μονοτονία της. ii. Nα εξετάσετε αν ορίζεται η αντίστροφη της, και αν ναι, να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. iii. Να λύσετε την εξίσωση (e ). iv. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης των και. η ΜΟΡΦΗ: α (...) +β (...) +... + ν (...) = γ (α +β +... + ν) όπου γ, ακρότατη τιμή της O ορισμός του ακροτάτου της, με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης, μας δίνει σαν άμεση λύση της εξίσωσης, το ο στο οποίο η παρουσιάζει ακρότατο. Παράδειγμα Έστω : με ()=3 και () 3 για κάθε. Nα λυθεί η εξίσωση ( +)+()=9. Αφού () 3 για κάθε θα έχουμε: θέτοντας όπου το + άρα ( +) 3, με το ίσον να ισχύει μόνο αν +=..(Α) δηλαδή = ή =-. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 9

θέτοντας όπου το άρα () 3 με το ίσον να ισχύει μόνο αν = δηλαδή = άρα και () 6 (B) Επομένως από (Α)+(Β) : ( +)+() 9 με το = μόνο αν +== από την οποία προκύπτει ότι =. Ασκήσεις. Δίνεται η συνάρτηση ()=. i. Nα δείξετε ότι η έχει ελάχιστο ίσο με. 3 ii. Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( 7). iii. Βρείτε τα,ψ ώστε 3( ψ) ( 3 ψ ) 5 0.. Δίνεται η συνάρτηση ()=. i. Nα αποδείξετε ότι η έχει ελάχιστο το -3. 3 4 3 ii. Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( 3 ) 6 0. iii. Βρείτε τους α,β ώστε: ( ) 3( ) 5 0. 3. Αν :[0, ) γνησίως μονότονη με () + για κάθε 0 και (0)=. Βρείτε τα κ,λ [0, ) για τα οποία είναι 3(κ)+(λ)=5. 4. Δίνεται η συνάρτηση ()= --συν. i. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ= 0,. ii. Nα λύσετε στο Δ την εξίσωση ()+( 3 )+( 07 )=-9. 5. Δίνεται η συνάρτηση () e,. i. Να αποδείξετε ότι (),. ii. Να λύσετε την εξίσωση: ()+( )+( 3 )+( 4 )=4. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 0

ln 6. Δίνεται συνάρτηση (), 0. i. Να μεελετήσετε την ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. ii. Να αποδείξετε ότι (),για κάθε >0. e e iii. Να λύσετε την εξίσωση: e () 0. e iv. Να λύσετε την εξίσωση : (). e e 7. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ln ), 0. i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Βρείτε τα α,β>0 και ώστε να ισχύει: iii. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) (e ). 8. Δίνεται η συνάρτηση: () ln( 8 9),. i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία. ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. iii. Να λύσετε την εξίσωση: ( e ) ( ) 0.. ( ln )( ln ) e 9. Aν η συνάρτηση : παρουσιάζει ελάχιστο μόνο στο το 5 και ισχύει (α)+(lnβ)=0 να βρείτε τα α και β>0. 3 η ΜΟΡΦΗ: (α) +(β) = (γ) +(δ) ος τρόπος: Προφανείς ρίζες και χρήση μονοτονίας Αφού βρώ την ή τις τιμές για την ή τις οποία-ες ισχύει η ισότητα, στη συνέχεια δείχνω ότι (α)>(γ) και (β)>(δ) (αν γνησίως αύξουσα, αλλιώς θα ισχύει η αντίστροφη φορά) και προσθέτω τις σχέσεις κατά μέλη, αποδεικνύοντας έτσι ότι η ή οι ρίζα-ες που βρήκαμε με παρατήρηση, είναι μοναδική-κες. Παράδειγμα ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

Αν και >, λύστε την εξίσωση: () (5) (3) (). Παρατηρώ ότι για =0 ισχύει η ισότητα. Με δεδομένο ότι η είναι γνησίως φθίνουσα, αν <0 είναι: 3 άρα (3)>() <5 άρα ()>(5) () (5) (3) () Aν >0 είναι: 3 άρα (3)<() () (5) (3) () >5 άρα ()<(5) Επομένως η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η =0. Ασκήσεις. Αν >0 και, λύστε την εξίσωση:. Αν και, λύστε την εξίσωση: 3 5 7 () ( ) ( ) ( ). ( ) (3 ) (e ) ( ). 3. Δίνεται η συνάρτηση () ln(e ). i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. ii. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) (ln) () (0). e 4. Δίνεται η συνάρτηση (). e i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία ii. Να λυθεί η εξίσωση: (5 ) (7 ) (6 ) (8 ). 5. Δίνεται η συνάρτηση () e. i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και στη συνέχεια να βρεθούν οι ρίζες και το πρόσημο της. ii. Να λύσετε την εξίσωση: () ( ) ln. 6. i. Να λυθεί η εξίσωση : e. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε >0 ισχύει: συν>-. iii. Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο να λυθεί η εξίσωση: (e ) ( ) ( ) ( ) στο. 7. i. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: α. 6 β. ( )e 6 ii. Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο να λυθεί η εξίσωση: ( ) 6 (e ) ( ) ( ) στο [0,+. 6 8. Έστω η συνάρτηση : η οποία είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε 0 και γνησίως αύξουσα για κάθε 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ()+(5)=(3)+(7). ii. ()+( 5 )=( 3 )+( 0 ), >0. iii. (e )+(e 5 )= (e 3 )+(e 7 ). iv. (ln)-(ln)=(7ln)-(5ln), >0. v. 3 ( ) ( ) () ( ), >0. 9. Έστω η συνάρτηση () ln( ). i. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία. ii. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η την οποία και να βρείτε. iii. Nα βρείτε τα κοινά σημεία των C και C. iv. Nα λυθεί η εξίσωση ( 4) ( ) ( 6) (3 ),. 0. Έστω η συνάρτηση () ( ) e,. i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και κυρτότητα. ii. Nα λυθεί η εξίσωση () ( ) (e ) ( ), 0. iii. Nα λυθεί η εξίσωση () ( ) (e ) ( ), 0.. Έστω η συνάρτηση () ln( ),. i. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία. ii. Nα λυθεί η εξίσωση (e ) ( ) ( e ) (), 0.. Έστω η συνάρτηση () e,. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

i. Να αποδείξετε ότι e για κάθε. ii. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της. iii. Nα λυθεί η εξίσωση ( ) (ln) (ln ) (), 0. 3. Έστω η συνάρτηση e (), 0, 0. i. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία. ii. Nα αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο o 0 και να βρείτε το (0). iii. Nα λυθεί η εξίσωση (3 ) ( ) ( 3) ( ),. 4. Έστω η συνάρτηση () 5 ( 4 5)e,. i. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της. 3 4 3 3 4 ii. Nα λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ), 0. 5. Θεωρούμε τη συνάρτηση : 0, για την οποία ισχύει ln () ln ( ) ln ( ) ln () για κάθε, 0,. i. Nα αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο 0,. 4 3 ii. Nα λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) () ( ), 0 6. Έστω η συνάρτηση (),. i. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της. 3 3 4 4 ii. Nα λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) ( ) (), 0. e 7. Έστω η συνάρτηση (),.. i. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία. ii. Nα λυθεί η εξίσωση () () ( ) ( ), 0. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 4

oς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση βοηθητικής συνάρτησης Μετασχηματίζω την προς απόδειξη στη μορφή βοηθητικής συνάρτησης η οποία: είτε δίνεται, είτε την κατασκευάζουμε «εμπειρικά» μέσω της μορφής που παίρνουν τα δύο μέλη της εξίσωσης, είτε με τη βοήθεια κάποιας συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών, από την υπόθεση. Παράδειγμα Έστω,g : με g()=(+4)-(+) η οποία είναι γνησίως μονότονη στο. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. (+4)=(+) αν g()=0 ii. ( +3+4)=( +3+)-3 αν (4)=()-3 iii. ( 4 +4)-( +4)=( 4 +)-( +) i. Είναι (+4)=(+) (+4)-(+)=0 g()=0 g()=g() αρα = δηλαδή =, αφού η g είναι γνησίως μονότονη. ii. Eίναι ( +3+4)=( +3+)-3 ( +3+4)-( +3+)=-3 g( +3)=g(0) άρα αφού η g είναι γνησίως μονότονη, +3 =0 δηλαδή =0 ή =-3. iii. Είναι ( 4 +4)-( +4)=( 4 +)-( +) ( 4 +4)- ( 4 +)= ( +4)- ( +) g( 4 )=g( ) άρα αφού η g είναι γνησίως μονότονη, προκύπτει 4 = =0 ή = ή =-. Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση: 4 4 e e. Είναι 4 e 4 e e e 4 4 () Θεωρούμε την συνάρτηση ()=+e, με, η οποία εύκολα αποδεικνύουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα. Παρατηρώντας την () αυτή μετασχηματίζεται στην εξίσωση ( ) ( 4 ) (Α). Η τελευταία ορίζεται όταν: ( και ) και ( 4 και 4 0 ) επομένως όταν [,4]. Έτσι η (Α) δίνει 4 από την οποία προκύπτει ότι =. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 5

Παράδειγμα 3 Για τη γνησίως μονότονη συνάρτηση : ισχύει ()-(ψ)=(-ψ),,ψ. Να λύσετε την εξίσωση: (3-)+( -3)=(-)+(3-4). Η εξίσωση της υπόθεσης δίνει: (3-)+( -3)=(-)+(3-4) (3-)- (-)=(3-4)- ( -3) (Α). Το πρώτο μέλος της εξίσωσης αν θεωρήσουμε το 3- και ψ το - γράφεται με τη βοήθεια της υπόθεσης ως (3--+)=(-), ενώ το δεύτερο μέλος θεωρήσουμε το 3-4 και ψ το -3 μετασχηματίζεται σε (3-4- +3)=( -). Άρα πλέον έχουμε από την (Α) να λύσουμε την (-)= ( -). Αφού η είναι γνησίως μονότονη, λύνουμε ισοδύναμα την εξίσωση -= - από την οποία παίρνουμε =0 ή =. Ασκήσεις. Έστω, g: με g()=(+3)-(+) η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. (+3)=(+) αν g()=0. ii. ( +3+4)=( +3+)-3 αν (3)=()-3. iii. ( 4 +3)-( +3)=( 4 +)-( +).. Έστω,g : με g() ( ) ( ) και στο. Δείξτε ότι η g είναι και στη συνέχεια να λύσετε τις εξισώσεις: i. ( 4) ( 5) (4 ) ( 3). ii. (e ) ( ) ( 3) ( e ). iii. (ln+)+(-+)=(-ln)+(+) με >0. 3. Δίνεται η > συνάρτηση :. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g() (), είναι > και στη συνέχεια να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε να ισχύει: (λ -3λ) - (λ - 6) = λ -5λ + 6. 4. Έστω : μια συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη και η είναι γνησίως φθίνουσα. Αν () (3), να λύσετε τις εξισώσεις: 4 4 i. ( ) () 0. ii. ( 3) ( ). 4 4 4 4 iii. ( ) ( 3) ( 4) ( ). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 6

5. Δίνεται η συνάρτηση () ( )ln, 0. i. Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή ii. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση: g() ( ) (), 0. 3 iii. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) ( ) 3 ( ). iv. Nα λύσετε την εξίσωση : (e 3) ( ) (e ) ( 4). 6. Δίνεται η συνάρτηση () e ( 3). i. Να μελετηθεί η ως προς την κυρτότητα. 4 4 ii. Λύστε την εξίσωση: ( 6) ( 3) ( 6) ( 3). iii. Λύστε την εξίσωση: (ln) ( ) (ln) ( ). 7. Αν ()= () e,, δείξτε ότι η είναι κυρτή και στη συνέχεια, λύστε την εξίσωση: 3 ( 3) () όταν [0, ). 8. Δίνεται η συνάρτηση : * ώστε: (α)+(β)=(αβ) για κάθε α,β *. Aν η εξίσωση ()=0 έχει μοναδική ρίζα: i. Να βρείτε την τιμή () ii. Να αποδείξετε ότι (α)-(β)= ( ) για κάθε α,β *. iii. Να αποδείξετε ότι η είναι -. iv. Να λύσετε την εξίσωση: (+)+(+5)=(+)+(+3). 9. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 3 i. 3. 3 3 ii. (συν ) ημ (ημ ) συν. iii. ln 3. 3 iv. ln ( ln)ln. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 7

3 ος τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η προφανής ρίζα της εξίσωσης, σε συνάρτηση με τη χρήση Θεωρήματος μέσης τιμής, ενδεχομένως και με χρήση διερεύνησης όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, επιλύει την εξίσωση. Παράδειγμα Αν () e,, να αποδειχθεί ότι η είναι κυρτή και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση ( 3) ( ) ( 3) () όταν [0, ) (Γ ΘΕΜΑ Πανελληνίων 06) Η παραπάνω άσκηση μπορεί να αντιμετωπιστεί και με την τεχνική της μορφοποίησης και τη χρήση βοηθητικής συνάρτησης. Ας δούμε μια εναλλακτική λύση, με τη βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης τιμής. Προφανής λύση το μηδέν. Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρει o 0 όπου να είναι λύση της εξίσωσης. Ισύει o o (από τη γνωστή ανισότητα o o με ισότητα μόνο για 0) καθώς επίσης o o 3 και o o 3. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν 0 3 0 τότε 0 0 3 0 0 3 και επειδή ισύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα: [ 0, 0 3], [ 0,0 3] άρα υπάρουν ( 0, 0 3), ξε ( 0, 0 3) ώστε η εξίσωση να γράφεται: 3 ( ) 3 ( ), απ όπου ( ) ( ) και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και- κι έτσι παίρνουμε, πράγμα άτοπο αφού τα, ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Αν 0 0 3 τότε 0 0 0 3 0 3. Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: ( 0) ( 0 ) (0 3) ( 0 3). Επειδή ισύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα [ 0, 0], [ 0 3, 0 3] άρα υπάρουν ( 0, 0), ( 3, 3) ώστε η εξίσωση να γράφεται: 0 0 (0 0 ) ( ) (0 0 ) ( ) αφού 0 0 0 άρα ( ) ( ) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 8

και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και -, κι έτσι παίρνουμε, πράγμα άτοπο αφού τα, ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. Aσκήσεις. Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: 3 ( h) ( h) h () 4() () lim e h 0. h 3 ( h) ( h) h () 4() i. Nα δείξετε ότι: lim (). h 0 h ii. Nα δείξετε ότι η είναι κυρτή στο. iii. Nα λυθεί η εξίσωση (+)-(-) (3)=(+),.. Αν g μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση να λύσετε την εξίσωση 3 3 g( ) g() g() g( ), >0 (ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΟΕΦΕ 04) 3. Αν είναι μια γνησίως αύξουσα στο Δ συνάρτηση να λύσετε τις εξισώσεις σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i. (3 ) ( ) ( 3) ( ), R. 3 4 3 4 ii. ( ) ( ) () ( ), (0, ). 3 4 3 3 4 iii. ( ) ( ) ( ) ( ), (0, ). 4. Αν είναι μια γνησίως φθίνουσα στο Δ συνάρτηση να λύσετε τις εξισώσεις σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i. ( ) ( ) ( ) (3 ), (0, ). ii. ( ) (3) ( ) (3 ), (0, ). iii. ( 4) ( ) ( 6) (3 ), R. 5. i. Να αποδείξετε ότι e για κάθε Έστω η συνάρτηση () ln(e ), R. * R. ii. Nα μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την κυρτότητα. iii. Nα λυθεί η εξίσωση (e ) ( e ) () ( ). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 9

6. i. Να αποδείξετε ότι ln για κάθε (0,) (, ). Έστω η συνάρτηση (), R. ii. Nα μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την κυρτότητα. iii. Nα λυθεί η εξίσωση ( ) ( ln) () (ln), (0, ). 7. Έστω η συνάρτηση () ln( ), R i. Bρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii. Nα μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την κυρτότητα. iii. Nα λυθεί η εξίσωση () ( ) (e ) ( ), 0. Ενδέχεται ο μετασχηματισμός της εξίσωσης, σε συνδυασμό με το Θεώρημα Μέσης τιμής, να μας δίνει ισοδύναμη, αλγεβρικά, επιλύσιμη εξίσωση. Παράδειγμα Αν (t) t, t 0, να λύσετε την εξίσωση: (3)+(4)=()+(5). 3 5 4 Έχουμε 3 4 5. H συνάρτηση ικανοποιεί τις 3 5 4 υποθέσεις του Θεωρήματος μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα [,3] και [4,5]. Επομένως θα υπάρχουν κ, λ αντίστοιχα στο (,3) και (4,5) ώστε ( ) ( ) 0 από την οποία προκύπτει =0 ή 0, δηλαδή =. Άσκηση Δίνεται συνάρτηση :(0, ) με ()= α, >0. Nα λύσετε τις εξισώσεις: i. (3)+(4)=()+(5) ii. (6)+(3)=(4)+(5). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 0

4 η ΜΟΡΦΗ: (...)+ (...)= (...) Η χρήση συναρτησιακών σχέσων δύο μεταβλητών, σαν δεδομένο από την άσκηση, μορφοποιεί την εξίσωση σε μορφή: (g()) (h()) της g() h() οποίας η επίλυση έχει λύση τα για τα οποία είναι: άρα μας οδηγεί σε απλούστερη προς επίλυση εξίσωση. g() h() Παράδειγμα Aν για την συνάρτηση : ισχύει ()-(ψ)=(+ψ),,ψ με την συνάρτηση να είναι γνησίως μονότονη, να λυθεί η εξίσωση: (3-)=(-)+(3-4). Η εξίσωση της υπόθεσης δίνει: (3-)=(-)+(3-4) (3-)- (-)=(3-4) (Α). Το α μέλος της εξίσωσης αν θεωρήσουμε το 3- και ψ το - γράφεται από υπόθεση σαν (3-+-)=(5-3), Άρα πλέον έχουμε από την (Α) να λύσουμε την (5-3)= (3-4). Αφού η είναι γνησίως μονότονη, λύνουμε ισοδύναμα την εξίσωση 5-3= 3-4 5 37 από την οποία και προκύπτουν:,. 6, Ασκήσεις. Έστω η συνάρτηση : που ικανοποιεί τη σχέση ()-(ψ)=(-ψ) για κάθε,ψ και η εξίσωση ()=0 που έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε την (0). ii. Να δείξετε ότι η είναι -. iii. Αν ()<0 για κάθε <0, α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β. Να λύσετε την εξίσωση (e +)+(3-)=(e -). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

. Έστω η συνάρτηση :(0, ) για την οποία ισχύει για κάθε, ψ>0 και η εξίσωση ()=0 έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε το (). ii. Να δείξετε ότι η είναι -. iii. Να λύσετε την εξίσωση ( -)+()=(5-6). iv. Αν ()<0 για κάθε >, α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. β. Nα λύσετε την ανίσωση ()+( +3)=( +)+(+). () ( ) 3. Έστω συνάρτηση : ώστε: (+ψ)=()+(ψ) για κάθε,ψ. i. Να αποδείξετε ότι (0)=0. ii. Nα δείξετε ότι η είναι περιττή. iii. Αν ()>0 για κάθε <0 να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. iv. Αν η εξίσωση ()=0 έχει μοναδική ρίζα, να λύσετε την εξίσωση: 3 3 e ( ). Ενδέχεται, η χρήση αριθμητικής τιμής από την υπόθεση, να μετασχηματίζει την εξίσωση, και να μας οδηγεί σε τεχνικές επίλυσης, με βάση την 3 η Μορφή. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση :(0, ), γνησίως φθίνουσα για την οποία ()=0. Να λύσετε την εξίσωση () 07 ( ) 3 ( ). Η εξίσωση επαληθεύεται για = και παίρνει την μορφή () 07 ( ) 3 ( )+(). Aν 0<< τότε Αν > τότε και άρα ()>() 07 3 07 3 < και άρα ( )>( ) και άρα ()<() 07 3 07 3 > και άρα ( )<( ) Τελικά η = είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης. 07 3 () ( ) ( ) () 07 3 () ( ) ( ) (). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ

Ασκήσεις. Δίνεται η συνάρτηση :(0, ), γνησίως αύξουσα για την οποία 07 3 ()=0. Να λύσετε την εξίσωση: () ( ) ( ).. Δίνεται η συνάρτηση :, γνησίως φθίνουσα για την οποία (0)=0. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) (ln) (). 3. Δίνεται η συνάρτηση :, γνησίως φθίνουσα για την οποία ()=0. Nα λύσετε την εξίσωση ()=()+(e ). Σε μορφές οι οποίες βασίζονται σε συναρτήσεις τύπου ()=α με α> η προφανής ρίζα τους και ο μετασχηματισμός τους, με διαίρεση με τη δύναμη με τη μεγαλύτερη βάση, μας οδηγεί με τη βοήθεια της μονοτονίας, στην επίλυσή τους. Παράδειγμα Αν (t) t, t > 0, να λύσετε την εξίσωση: (6)+(8)=(0). Η εξίσωση (6)+(8)=(0) γράφεται ισοδύναμα 6 +8 =0 της οποίας η προφανής ρίζα είναι το. Διαιρώντας με το 0 η εξίσωση γράφεται στη μορφή 6 8 + -= 0 g() = 0 g() = g(). 0 0 Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η g είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, άρα η προφανής ρίζα της είναι και μοναδική. ( Θυμίζουμε ότι κάθε γνησίως μονότονης συνάρτησης η γραφική παράσταση τέμνει οποιαδήποτε ευθεία της μορφής ψ=α, άρα και την ψ=0, σε ένα το πολύ σημείο). Άσκηση: Δίνεται η συνάρτηση (t)=t, με t>0. Nα λυθεί η εξίσωση: i. (3)+(4)=(5). ii. (5)+()=(3) iii. (9)+()=(5) iv. ()+(3)=(5) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

ΕΠΙΛΥΣΗ - AΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Οι τεχνικές τις οποίες ακολουθούμε για την επίλυσή τους, είναι ανάλογες με αυτές των εξισώσεων. Για να τονιστεί το προηγούμενο, τα περισσότερα από τα παραδείγματα είναι τα ίδια με αυτά των εξισώσεων, σε ανισοτική μορφή. Όλα τα παρακάτω προφανώς εφαρμόζονται ανάλογα και σε ανισώσεις αντίστροφης ανισοτικής φοράς. η ΜΟΡΦΗ: () <κ, (g()) <κ όπου κ (A) (...)+ (...) < α, α. (...) < g(...), στο Α A g. (g()) < (h()), : Α, γνησίως μονότονη. ος τρόπος Mορφοποιούμε, μέσω παρατήρησης τη σχέση: () > κ ή (g()) > κ όπου κ (A) σε ( )>(.), όπου το κ=(ο) με το A, και «απαλείφουμε» τα. o Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση με ()=e +-. i. Nα δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii. Nα λύσετε την ανίσωση ()>e. i. Για κάθε, με με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης αποδεικνύουμε ότι η είναι. ii. Είναι () e () () και αφού η είναι προκύπτει ότι η >. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 4

Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση ()= ln. i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. ii. Nα λυθεί η ανίσωση () 0. iii. Nα λυθεί η ανίσωση () e. iv. Για κάθε 0<< να δείξετε ότι ln. Λύση (i) Η ορίζεται στο (0, ). Η είναι παραγωγίσιμη στο (0, )με () 0 για κάθε >0. Άρα η είναι στο (0, ). (ii) ()=ln-+=0. Για κάθε >0 είναι ()>0 ()>() : >. (iii) (e)= lne e += e. Για κάθε >0 είναι ()< : ()<(e) <e. e (iv) Προφανώς το τελευταίο ερώτημα, της παραπάνω άσκησης, δεν χρειάζεται απόδειξη γιατί είναι εφαρμογή στη σελίδα 66 του βιβλίου. Ας παρουσιάσουμε όμως και κάποιες εναλλακτικές προσεγγίσεις στην επίλυσή του. Για κάθε 0<< είναι < ln : ln<ln ln<0 () Είναι < ->0 (). Από (),() ln<0<- ln<-. β τρόπος: από (ii) θέτοντας όπου το αφού αν (0,) τότε άρα ( ) 0 ln 0 ln 0 ln. ος τρόπος Χρήση συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών από την υπόθεση, είτε ιδιότητες άρτιας ή περιττής συνάρτησης, μορφοποιούν ανισώσεις μορφής, ( )+(.)>α, α σε μορφή () > κ ή (g()) > κ όπου κ (A), άρα επιλύονται ανάλογα. Παράδειγμα Αν : με ()-(ψ)=( ψ), για κάθε,ψ. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 5

i. Να βρείτε το (0). ii. Αν λύστε την ανίσωση ( -4)-(-6)>0,. Λύση i. H υπόθεση για =ψ=0 μας δίνει (0)-(0)=(0) άρα (0)=0. ii. Η ανίσωση ( -4)-(-6)>0 είναι ισοδύναμη με την ( 4 6 )>0 (), βάση της συναρτησιακής σχέσης της υπόθεσης, θέτοντας όπου το το -4 και ψ το -6. Άρα η () δίνει με τη βοήθεια του i. ερωτήματος, την ανίσωση ( 4 6 )> (0) από την οποία αφού η είναι, προκύπτει η ισοδύναμη ανίσωση 4 6 0. Η λύση της τελευταίας μας δίνει (0,4) (6,+ ). Παράδειγμα Αν : μία περιττή συνάρτηση, να βρείτε για τα οποία ισχύει: (ln)+(-+)>0, αν γνωρίζεται ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. Λύση Έχουμε (ln)+(-+)>0 (ln) ( ). () Γνωρίζουμε ότι σύμφωνα με τον ορισμό της περιττής είναι g(-)=-g() με, A. Επομένως η () μας δίνει ισοδύναμα (ln) ( ) από την οποία (ln)>(-) ln<- ln-+<0. Aν είναι g()=ln-+ με >0, η ισοδύναμη ανίσωση είναι g()<0 για την οποία γνωρίζουμε, ότι η g έχει μέγιστο το 0 για =, άρα g()<0 σημαίνει 0<< ή >. (Δες την αντίστοιχη εφαρμογή στη σελίδα 66 του σχολικού βιβλίου) 3 ος τρόπος Ενδεχομένως μορφοποίηση σε ( )>g( ) στο Α A g να δίνει λύση με τη βοήθεια κάποιου ο. στο οποίο η μία συνάρτηση να παρουσιάζει ελάχιστο και η άλλη μέγιστο. Παράδειγμα Δίνεται η () 5 5 και η g()= 5. i. Να βρείτε τα ακρότατα των και g. ii. Να λύσετε την ανίσωση ()<g(). Λύση i. Η ορίζεται για τους πραγματικούς για τους οποίους g ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 6

5 0 5 5 5 και ισχύει: 5 0 5 0 5 5 5 () 5 με το ίσον να ισχύει για =5 και =-5. Επομένως η μέγιστη τιμή της είναι το 5. Επίσης για την g για κάθε ισχύει 0 5 5 g() 5 δηλαδή η ελάχιστη τιμή της g είναι το 5 για =0. ii. Eίναι () 5 και g() 5. Αλλά επειδή η τιμή 5 για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προηγούμενες ανισοϊσότητες, δεν επιτυγχάνεται για κοινή τιμή του (για την ισχύει για =5 και =-5, ενώ για την g για =0) η αντίστοιχη ανίσωση ισχύει για κάθε τιμή του A A g. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η ΑΝΙΣΩΣΗ - - (g()) t() ή (g()) t(): Σε επίλυση ανισώσεων μορφής (g()) t() ή (g()) t() () πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g έστω Α καθώς της t έστω Β. Αν t() A εξετάζουμε αν η ανίσωση () έχει λύση ενώ αν t() A «φοράμε» στην (), προσέχοντας τη μονοτονία, και λύνουμε τη νέα ανίσωση που δεν περιέχει την. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση ()=+ln, >0. i. Nα δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να λύσετε την ανίσωση (). Λύση i. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με () 0, για >0. Επομένως η είναι. ii. Έχουμε συνεχή, ως πράξη συνεχών για κάθε >0 και γνησίως αύξουσα. Επομένως είναι (A)= lim (), lim () 0 (, ). iii. Έχουμε Α=(0, ) και (A)= A =. Διακρίνουμε περιπτώσεις: ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 7

Αν 0 τότε () (0, ) επομένως () 0, άρα η ανίσωση αληθεύει. Αν >0, ανίσωση δίνει ισοδύναμα () () () ln ln 0. Άρα τελικά 0<<. Eπομένως η αρχική ανίσωση έχει τελικά λύσεις τα (,). Ασκήσεις. Έστω: :, με (0)= και g :, > με g()=0. Δείξτε ότι: i. ( ) ii. ( ψ ψ) για κάθε ψ. iii. g 0, >0 και iv. g 0,. ln( ) ln. Εστω : με Α=(0,+ ) και ()=. i. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. * ii. Για κάθε α,β με α<β να δείξετε ότι:. 3. Έστω :, συνάρτηση με (0)=. Nα λυθούν οι ανισώσεις: i. ( 3). ii. (()-)> iii. iv. (ln-)< v. (3()-)<(()-) 4. Έστω (). i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. ii. Να λυθούν οι ανισώσεις: α. ()> β. (-)<3 γ. (()-)<3 δ. ε. () (e e). ( 3) στ. ( 6) 5. Aν μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση να λυθούν oι ανισώσεις: i. ( ) () ii. (ln) (0) iii. ((3 )) (( )) iv. (e ) () ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 8

6. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ). i. Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία. 4 ii. Να λυθεί η ανίσωση: ( ) ( ). 3 iii. Nα λυθεί η ανίσωση: ln 3. 7. Αν ()= ln e. i. Nα μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. Να λυθεί η ανίσωση: iii. Nα λυθεί η ανίσωση: 3 ln( ) e ln( 3) e. 4 ln( ) e ( ). 8. Δίνεται η : με Α=(0, ) και (). e ( ) i. Να δείξετε ότι η g() είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. () ii. Να λύσετε την ανίσωση () ( ) ( ) ( ), >0. 4 4 iii. Nα λύσετε την ln( ) ln( ) ln( ) ln( ), 0. 9. Αν (), λύστε την ανίσωση: ( ) ( ) ( ) ( 3). 0. Δίνεται η (). i. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g() ( ) () είναι. ii. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) ( 3) ( ).. Έστω,g: με :> και g() ( ) ( ). i. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης g. ii. Nα βρείτε τα διαστήματα όπου η Cg βρίσκεται πάνω από τον. iv. Να λύσετε την ανίσωση: ( ) ( ) ( ) ( ).. Δίνεται η (). i. Δείξτε ότι η συνάρτηση g() ( ) () είναι >. ii. Να λύσετε την ανίσωση: ( ) ( 3) ( ) ( 4). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 9

3. Δίνεται η () 3 3 και η h()=(+)-(). i. Να δείξετε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. 4 4 ii. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) ( ) ( ). iii. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) ( ) ( 3). 4. Έστω : μία > συνάρτηση. Να λυθούν οι ανισώσεις: i. ( ) ( ) ( ) (). ii. ( 4) ( ) ( 3) ( ). iii. ( ) ( ) ln. 5. Δίνεται η συνάρτηση () e ( ),. i. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 4 α. ( ). β. (ln ) ( ). 4 γ. e (ln). 6. Δίνονται οι συναρτήσεις,g: με τύπους: () 0, 5 και g() 5,. i. Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό μέγιστο για =5. ii. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. iii. Να λύσετε την ανίσωση () g(). 7. Έστω : με Α=(0,+ ) και ()=ln+-. i. Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Nα λύσετε την ανίσωση (). 3 3 8. Έστω : με ( ) και () (),. i. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη. ii. Βρείτε τα ώστε η C να βρίσκεται κάτω από την ψ=. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 30

η ΜΟΡΦΗ: (α) +(β) (γ) +(δ) 0ς τρόπος: Προφανείς ρίζες και χρήση μονοτονίας Αφού βρώ την τιμή για την οποία ισχύει η ισότητα, στη συνέχεια δείχνω ότι (α)>(γ) και (β)>(δ) (αν, αλλιώς θα ισχύει η αντίστροφη φορά) και προσθέτω τις σχέσεις κατά μέλη. Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση (). i. Να δείξετε ότι η είναι άρτια. ii. Nα μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. iii. Να δείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει () (3) () (4). iv. Να δείξετε για κάθε >0 ότι (e ) (e ) 3 (e ) 4 (e ). v. Να δείξετε ότι ότι για κάθε 0 ισχύει () ( 3) () ( 4). Λύση (i) Η ορίζεται στο διότι 0 για κάθε. Για κάθε έχουμε: και ( ) ( ) (). Άρα άρτια. (ii) Η είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: () 0 (), ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3 0 0 0 0. άρα () 0... 0. Συνεπώς () 0 για κάθε,0 και συνεχής στο ο=0, άρα η στο (,0] και με όμοιο τρόπο η > στο [0, ). (iii) Για κάθε <0 έχουμε: : (,0) <0 < ()<() (). : (,0) <0 4<3 (4)<(3) (). Προσθέτοντας τις (),() έχουμε: ()+(4)<()+(3) (3)

Για κάθε >0 έχουμε: >0 > : > (0, ) ()<() (4) : (0, ) >0 4>3 > (4)<(3) (5) Προσθέτοντας τις (4),(5) έχουμε: ()+(4)<()+(3) (6) Από (3),(6) ()+(4)<()+(3) για κάθε 0. (iv) <3 0 e: : > (0, ) <3 e e 3 3 (e ) (e ) (7) <4 0 <4 e: : > (0, ) e e 4 4 (e ) (e ) (8) Προσθέτουμε (7),(8): (e ) (e ) 3 (e ) 4 (e ) για κάθε 0. (v) Για κάθε <0 έχουμε: : (,0) <0 > ()>() (9) <0 3 < 4 : > (0, ) 3, 4 0 (-3)>(-4) (0) Προσθέτουμε (9),(0) και: ()+(-3)>()+(-4) για κάθε 0. Όμοια: ()+(-3)>()+(-4) για κάθε 0. Επομένως ()+(-3)>()+(-4) για κάθε 0. Ασκήσεις. Δίνεται η () ln. i. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. ii. Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει: ν ν ν ν (5 ) + (7 ) > (6 ) + (8 ) iii. Να δείξετε ότι για κάθε >0 ισχύει () (3) (e ).. Δίνεται η συνάρτηση ()= 3 8. i. Nα μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. 3 ii. Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει: ( ) ( ) ( ) (). iii. Nα δείξετε ότι για κάθε <0 ισχύει: (3 ) (5 ) ( ) (4 ). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 3

ος τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση βοηθητικής συνάρτησης Μετασχηματίζω την προς απόδειξη στη μορφή βοηθητικής συνάρτησης η οποία είτε δίνεται είτε την κατασκευάζουμε «εμπειρικά» μέσω της μορφής που παίρνουν τα δύο μέλη της ανίσωσης, είτε με τη βοήθεια κάποιας συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών, από την υπόθεση. Παράδειγμα Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση :(0, ). Nα λυθεί η ανίσωση: ( ) (). Η ανίσωση ορίζεται όταν 0 και 0 που ισχύουν για κάθε. Επομένως για κάθε έχουμε: ( ) () ( ) () Θεωρούμε την συνάρτηση g() () με >0. :> Έστω, (0, ) με <. Έχουμε: < ()>() () 0<< : > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) g( ). ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 33 (3) Προσθέτοντας (),(3): Συνεπώς η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ). Από () g: > (). g( ) g(). Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση : η οποία είναι γνησίως μονότονη, περιττή στο με ( ). Επίσης η γραφική παράσταση της διέρχεται από το 3 Α(, -). (Παράδειγμα μίας τέτοιας συνάρτησης είναι η (), ) i. Μελετήστε την ως προς τη μονοτονία και δείξτε ότι ορίζεται η. ii. Να αποδείξετε ότι η είναι > στο και η o είναι στο.

iii. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α. ((5+4))-((3+))<0 β. (e ) γ. ( ( ( ) ) ) δ. ( ) 6 ( ) 4 ( ) 9 ( ), 0 (i) Η είναι περιττή, άρα για κάθε ισχύει - και (-)= - () () Επίσης το Α(,-)ανήκει στη γραφική παράσταση της συνεπώς ()= -. Η () για = δίνει (0)= -(0) (0)=0 (0)=0. H είναι γνησίως μονότονη στο, άρα είτε είτε > στο. Έστω ότι η είναι στο τότε: 0< (0)<() 0< - άτοπο. Συνεπώς η > στο, άρα είναι «-» οπότε ορίζεται η - με D ( ). (ii) Ισχύει ότι ( - (ψ))=ψ για κάθε ψ () Έστω ( ( )) ( ( )) ( ) ( ). Άρα η - είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )=. Eίναι: ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) (o)( ) (o)( ). Επομένως η o είναι γνησίως αύξουσα στο. (iii) (α) Για κάθε έχουμε: ((5+4))-((3+))<0 ((5+4))<((3+)) (o)(5+4))<(o)(3+)) 5+4<3+ < - <-. (β) Για = η () δίνει (-)= - ()= -(-)=. Συνεπώς για κάθε έχουμε: (e ) ( e ) >(-) e e 0 (3). Θεωρούμε την συνάρτηση g()= e,. Η g είναι παραγωγίσιμη στο με g ()=-e - -<0 για κάθε άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. Προφανώς g(0)=0. Συνεπώς η (3) g()<0 g()<g(0) >0. (γ) Για κάθε έχουμε: ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ) () ( ( ) ( ( ) ) 0 ( ( ) ) (0) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 34

( ) 0 ( ) (δ) Για = η σχέση ισχύει ως ισότητα. Αν ( ) (). (0,) τότε: 4 3 9 6 άρα και άρα οπότε: 4 4 ( ) ( ) (4) και Προσθέτοντας (4),(5): Αν > τότε: 6 9 6 9 ( ) ( ) (5) 6 4 9 ( ) ( ) ( ) ( ). 4 4 άρα ( ) ( ) (6) και 6 9 6 9 ( ) ( ) (7) Προσθέτοντας (6),(7): Επομένως 6 4 9 ( ) ( ) ( ) ( ). 6 4 9 ( ) ( ) ( ) ( ) για κάθε >. Ασκήσεις. Έστω,g : όπου g στο με g()=(+3)-(+). Να λυθούν: i. (+3)<(+) αν g()=0. ii. ( +3+4)>( +3+)-3 αν (3)=()-3. iii. ( 4 +3)-( +3)<( 4 +)-( +).. Έστω,g : με g() ( ) και στο. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι και στη συνέχεια να λύσετε τις ανισώσεις: i. ( 4) ( 5) (4 ) ( 3). ii. (e ) ( ) ( 3) ( e ). iii. (ln ) ( ln) ( ), 0. 3. Έστω : μια συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη και η είναι γνησίως φθίνουσα. Αν () (3), να λύσετε τις ανισώσεις: i. ( ) () 0 ii. iii. 4 4 4 4 ( ) ( 3) ( 4) ( ) 4. Δίνεται η συνάρτηση (). i. Να μελετηθεί η ως προς την κυρτότητα. ii. Έστω η συνάρτηση g() 3 (),. 4 4 ( 3) ( ) ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 35

α. Nα μελετηθεί η g ως προς την μονοτονία. β. Να λύσετε την ανίσωση: 3( ) (3) 0. γ. Να λύσετε την ανίσωση: δ. Να λύσετε την ανίσωση: 4 4 ( 4) ( ) ( 4) ( ) (e 3) ( ) (e ) ( 4). 5. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: για τις οποίες ισχύει: g() 5 (4 ) για κάθε και η είναι >. i. Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία ii. Να λύσετε την ανίσωση: iii. Αν g(e ) 0. 3 5 g(e ) g(e ) g(e ) g(e ), να αποδείξετε ότι α>0. 3 ος τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η μορφοποίηση της αντίστοιχης ανίσωσης, σε συνάρτηση με τη χρήση Θεωρήματος μέσης τιμής, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, επιλύει ή δικαιολογεί την ανίσωση. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση, με ()=ln. i. Να προσδιορίσετε την μονοτονία της και της. ii. Να δείξετε ότι για κάθε >0 είναι (3)+(5)>(7)+(). Λύση i. () 0 () και ()= 0 (), άρα, και > για >0. ii. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ: Λόγω της ευκολίας της συνάρτησης, η εξίσωση αυτή μπορεί να λυθεί και με όσα έχουν διδαχθεί οι μαθητές στην Β Λυκείου. Η παρακάτω επίλυση επιδιώκει να τονίσει την ικανότητα λύσης με βάση την τεχνική που προαναφέραμε, σε θέματα τα οποία δεν αντιμετωπίζονται με εφαρμογή, άμεσων αλγεβρικών τεχνικών. H ανίσωση (3)+(5)>(7)+() γράφεται ισοδύναμα: (3)-()>(7)-(5) (A). Είναι >0 και επομένως <3<5<7. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα [,3] και [5,7] η (Α) μετασχηματίζεται στην ( ) ( ). Από το i. γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως άρα η (Β) μας δίνει ξ<ξ το οποίο ισχύει αφού < ξ<3<5 <ξ <7. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 36

3 η ΜΟΡΦΗ: (...) +(...) > (...) Η χρήση συναρτησιακών σχέσων δύο μεταβλητών, σαν δεδομένο από την άσκηση, μορφοποιεί την ανίσωση σε μορφή: (g()) > (h()) της οποίας η επίλυση έχει λύση τα για τα οποία είναι: g() g() h() h() αν ή g() g() h() απλούστερη προς επίλυση ανίσωση. h() αν, άρα οδηγεί σε μια Παράδειγμα Aν για την συνάρτηση : ισχύει ()-(ψ)=(-ψ),,ψ με : να λυθεί η ανίσωση: (3-)>(-)+(3-4). Λύση (3-)>(-)+(3-4) (3-)- (-)>(3-4) (Α). Το α μέλος της ανίσωσης αν θεωρήσουμε το 3- και ψ το - γράφεται με τη βοήθεια της υπόθεσης ως (3--+)>(-), Άρα από την (Α) θα λύσουμε την (-)> (3-4). Αφού η είναι, λύνουμε ισοδύναμα την ανίσωση ->3-4 απ όπου: 37 37, 6 6 Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση : που ικανοποιεί τη σχέση ()-(ψ)=(-ψ) για κάθε, ψ και η εξίσωση ()=0 που έχει μοναδική ρίζα. i. Να βρείτε την (0) ii. Να δείξετε ότι η είναι -. iii. Αν ()<0, <0: α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β. Λύστε την ανίσωση (e +)+(3-)<(e -). (i) Για κάθε,ψ ισχύει: ()-(ψ)=(-ψ) () H () για =ψ=0 έχουμε: (0) (0)=(0) (0)=0. (ii) Επειδή (0)=0 και η ()=0 έχει μοναδική ρίζα, τότε =0 μοναδική ρίζα της ()=0 (). Έστω, με ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0. Άρα «-». ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 37.

(iii) (α) Έστω, με. Αφού ()<0, για κάθε <0, τότε: ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ). Άρα. (β) Για κάθε έχουμε: (e +)+(3-)<(e -) (3-)< (e -)- (e +) (3-)<(e -- e -) (3-)<(--) 3-< -- 4<0 <0. Ενδέχεται, η χρήση αριθμητικής τιμής από την υπόθεση, να μετασχηματίζει την ανίσωση, και να μας οδηγεί σε τεχνικές επίλυσης, με βάση την 3 η μορφή. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση :(0, ), γνησίως φθίνουσα για την οποία 07 3 ()=0. Να λύσετε την ανίσωση () ( ) ( ) (). Η () επαληθεύεται για =, οπότε: Aν 0<< τότε και άρα ()>() 07 3 07 3 < και άρα ( )>( ) και άρα ()<() Αν > τότε 07 3 07 3 > και άρα ( )<( ) Τελικά τα > είναι λύσεις της ανίσωσης. 07 3 () ( ) ( ) (). 07 3 () ( ) ( ) () 07 3 () ( ) ( ) () Σε μορφές με συναρτήσεις τύπου ()=α, α>, η προφανής ρίζα και ο μετασχηματισμός, διαιρώντας με τη δύναμη που έχει τη μεγαλύτερη βάση, οδηγεί με τη βοήθεια της μονοτονίας, στην επίλυσή τους. Παράδειγμα Αν (t) t, t 0, να λύσετε την ανίσωση: (6) (8) (0). Έχουμε: (6) (8) (0) 6 8 0 που ισχύει σαν ισότητα για. 6 8 Διαιρώντας με 0 η ανίσωση γράφεται στη μορφή: + -> 0 0 0 g() > 0 g() > g(). Εύκολα αποδεικνύουμε ότι g είναι >, άρα <. g() ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 38

Ασκήσεις. Έστω η συνάρτηση : (0, ) ώστε να ισχύει () (ψ) = ψ για κάθε, ψ>0. Αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση ()=0 έχει μοναδική ρίζα: α. Να βρείτε το (). β. Να δείξετε ότι η είναι -. γ. Να λύσετε την ανίσωση: ( -)+()>(5-6). δ. Αν ()<0 για κάθε >: i. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. ii. Nα λύσετε την ανίσωση ()+( +3)>( +)+(+).. Έστω συνάρτηση : ώστε: (+ψ)=()+(ψ) για κάθε, ψ. α. Να αποδείξετε ότι (0)=0. β. Nα δείξετε ότι η είναι περιττή. γ. Αν ()>0 για κάθε <0 να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. δ. Αν η εξίσωση ()=0 έχει μοναδική ρίζα, να λύσετε την ανίσωση: 3 3 e ( ). 3. Δίνεται η συνάρτηση : (0, ), γνησίως αύξουσα για την οποία 07 3 ()=0. Να λύσετε την ανίσωση () ( ) ( ). 4. Δίνεται η συνάρτηση (t)=t, με t>0. Nα λυθούν οι ανισώσεις: i. (3)+(4)<(5). ii. (5)+()>(3) iii. (9)+() (5) iv. ()+(3)<(5) 5. Δίνεται η συνάρτηση :, γνησίως φθίνουσα για την οποία (0)=0. ln (). Να λυθεί η ανίσωση:..ευχαριστούμε θερμά το φίλο και συγγραφέα Στέλιο Μιχαήλογλου, ο οποίος με τις εύστοχες παρατηρήσεις, αλλά και τις διορθώσεις του, συντέλεσε στην ολοκλήρωση του παρόντος άρθρου. ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΗΣ 06 ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 39