ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z, w, τέτοιοι, ώστε z = w. iii).να αποδείξετε ότι z 3 και w 3. iv).να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z w. I). Η εικόνα Μ(z) ανήκει σε κύκλο (C ) κέντρου Κ(, ) και ακτίνας ρ =, ενώ η εικόνα Ν(w) ανήκει σε κύκλο (C ) κέντρου Λ(, ) και ακτίνας ρ =. Είναι (ΚΛ) = 44 > ρ + ρ. Άρα, κάθε κύκλος βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου και συνεπώς δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Επομένως, δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z, w τέτοιοι, ώστε z = w. ii). Το σημείο Α(3, ) του (C ) απέχει μέγιστη απόσταση από το Ο(, ), ενώ το Β(, 3) του (C ) απέχει μέγιστη απόσταση από το Ο(, ). Επομένως z < (ΟΑ) και w < (OΒ). Δηλαδή z 3 και w 3. iv). Μέγιστη τιμή του z w είναι η απόσταση (ΔΖ) = (ΚΛ) + ρ + ρ = + = = ( +). Ελάχιστη τιμή του z w είναι η απόσταση (ΓΕ) = (ΚΛ) ρ ρ = = = ( ). ΘΕΜΑ 9 Δίνεται η συνάρτηση f(z) = z z, z C. Να αποδείξετε ότι : i). f( z ) = f z, για κάθε z C. ii). f(z) R αν και μόνο αν z R. iii).aν z, τότε f(z). iv). δεν υπάρχει μιγαδικός αριθμός z τέτοιος, ώστε f(z) = z 3i. i). Είναι f z z z z z και f z z z z z z z f z ii). Έστω z = + yi, με, y R. Οπότε f(z) = yi + Άρα f(z) R y = z R., για κάθε z C. y + = + y yi. iii). Σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα έχουμε : f(z) = z + z z + z =z. iv). Αν f(z) = z 3i, τότε είναι z + z = z 3i. Θέτοντας z = + yi παίρνουμε yi + y = ( + yi) 3i ( + y ) yi = + (y 3)i. Η τελευταία ισότητα ισχύει αν και μόνο αν { + { y = και y = }. y = και y = y 3 } ή Για y = η εξίσωση y = ισοδύναμα γράφεται = + = = και είναι αδύνατη. Επομένως, δεν υπάρχει μιγαδικός αριθμός z με f(z) = z 3i.
ΘΕΜΑ Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει η σχέση f(f()) = f() +, για κάθε R. i). Να αποδείξετε ότι η f είναι. ii).να βρείτε το f(). iii).αν το σύνολο τιμών της f είναι το f (R) = R και f() = 3, τότε : α). να απόδειξε ότι f() = + f (), για κάθε R. β). να βρείτε το f(3). γ). να λύσετε την εξίσωση f() =. i). Για κάθε, R με f( ) = f( ), έχουμε f(f( )) = f(f( )) και f( f( ))f( ) = f(f( )) f( ). Λόγω της δοθείσας σχέσης η τελευταία ισότητα γράφεται : = =. Άρα η f είναι. ii). Θέτοντας στη δοθείσα σχέση όπου το προκύπτει f(f()) = f(). και επειδή η f είναι συμπεραίνουμε ότι f() =. iii). α). Επειδή f(r) = R η f ορίζεται σε όλο το R. Θέτοντας στη δοθείσα σχέση όπου το f () έχουμε : f(f(f ())) = f(f ()) + f () f() = + f () f() = + f () για κάθε R. β) Έχουμε f() = 3f (3) =. Η σχέση που αποδείξαμε στο ερώτημα α) για = 3 δίνει f(3) = 3 + f (3) = + 4 = 5, δηλαδή f(3) = 5. γ). Η εξίσωση f() =, ισοδύναμα γράφεται = f (). Αρκεί λοιπόν να βρούμε το f (). Προς τούτο θέτουμε στη σχέση του ερωτήματος α) όπου το και παίρνουμε : f() = + f () 3 = f () f () = 3. Επομένως η δοθείσα εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την = 3.
ΘΕΜΑ 3 f Έστω συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει lim. f i). Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες ισχύει lim 3. f ii).αν η C f δεν έχει κοινό σημείο με τον άξονα, να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής. iii).αν η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, να βρείτε: α). τις ρίζες της εξίσωσης f() =. β). το πρόσημο της f. i). Θέτουμε = ω =, Όταν, τότε ω. f f f f Έχουμε λοιπόν lim lim lim lim. f f Η ισότητα lim 3 lim 3 3 3 3. f f f ii). Θέτουμε g() =, κοντά στο. Επομένως f() = g() κοντά στο και lim f() = lim lim g() = =. Αν η f ήταν συνεχής, θα ισχύει f() = lim f() =. Δηλαδή, η C f θα είχε κοινό σημείο με τον, το O(, ) κάτι που εξ υποθέσεως είναι αδύνατον. Άρα η f δεν είναι συνεχής. iii). α). Επειδή η f είναι συνεχής, ισχύει f() = lim f() =. Δηλαδή, το είναι ρίζα της εξίσωσης f( ) = και μάλιστα μοναδική, αφού η f ως γνησίως φθίνουσα είναι και. β) Για < είναι f() > f() f() >. Για > είναι f() < f() f() <.
ΘΕΜΑ 4 Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι γνησίως μονότονη, συνεχής και τέτοια, ώστε f 4 lim 5 και lim f. Να αποδείξετε ότι : 3 3 i). η f είναι γνησίως αύξουσα. ii). υπάρχει ακριβώς ένας αριθμός (, 3) τέτοιος, ώστε f( ) = f() + f(e). f f iii). lim. 3 3 f 4 i). Θέτουμε g() =, κοντά στο 3. Οπότε f() = 4 + ( 3)g() κοντά στο 3. 3 Άρα lim f() = 4 + lim ( 3) lim g() = 4 + 5 = 4. 3 3 3 Επειδή η f είναι συνεχής ισχύει f (3) = lim f() = 4. 3 Ομοίως, θέτουμε h() = f κοντά στο. Οπότε f () = + ( )h() κοντά στο. Άρα lim f() = + lim ( ) lim h() = + =. Επειδή η f είναι συνεχής ισχύει f() = lim f() =. Έχουμε λοιπόν < 3 f() < f(3). Άρα, η f δεν μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή όμως είναι γνησίως μονότονη, συμπεραίνουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα. ii). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, 3]. Επίσης, παρατηρούμε ότι : < < 3 f() < f() < f(3) < f() < 4. < e < 3f() < f(e) < f(3) < f(e) < 4. f f e Προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε 4 < f() + f(e) < 8, δηλαδή < < 4 f f e Επομένως, ο αριθμός η =, βρίσκεται μεταξύ των τιμών f() = και f (3) = 4. Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών υπάρχει ένας τουλάχιστον (, 3) τέτοιος, f f e ώστε f( ) = η f( ) =. Ο αριθμός είναι μοναδικός, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. 4 4 f f f f iii). Έχουμε lim lim = 3 3 3 3 3 f 4 4f f = lim lim 5 lim. 3 3 3 3 3 3 Θέτουμε = y. Όταν 3 τότε y. f f f y Επομένως lim 5 lim = 5 = 5 4 =. 3 3 y y
ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η συνάρτηση f : R R με τύπο f() = ( 4 + 6)e, για κάθε R. i). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της fστο σημείο Α(, f()). ii). Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή. iii).να αποδείξετε ότι f() + 6, για κάθε R. iv).να βρείτε το σύνολο τιμών της f. i). Έχουμε f () = ( 4 + 6)e + ( 4)e = ( + )e, για κάθε R. Είναι λοιπόν f() = 6 και f () =. Άρα, η εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο Α(, f()) έχει εξίσωση y f() = f ()( ) y 6 = y = + 6. ii). Το τριώνυμο + έχει αρνητική διακρίνουσα, και συνεπώς είναι πάντα θετικό. Άρα ισχύει f () >, για κάθε R. Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης f () = ( + )e + ( )e = e, για κάθε R. και η ισότητα ισχύει μόνο για =. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και συνεπώς η f είναι κυρτή. iii).επειδή η f είναι κυρτή, η C f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη (ε). Δηλαδή, ισχύει f() + 6, για κάθε R. 4 + 6) = + και lim Άρα lim f() = lim ( 4 + 6)e = +. iv). Έχουμε lim ( Επίσης lim f() = lim ( 4 + 6)e = e = +. 46 46 ' 4 lim lim lim lim. e e ' e e Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο R θα έχει σύνολο τιμών το διάστημα f( R) = ( lim f(), lim f()) = (, +).
ΘΕΜΑ 6 Έστω δύο συναρτήσεις f, g : R R για τις οποίες ισχύει η σχέση f() g() =, για κάθε R. i). Αν η ευθεία (ε) : y =, είναι ασύμπτωτη της C g στο +, να βρείτε : α). το lim f. β). Την ασύμπτωτη της C f στο +. ii).αν f() = f() = και η f είναι παραγωγίσιμη με f (), για κάθε R, να αποδείξετε ότι : α). η g είναι. β). Η εξίσωση g() = έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. i). α ).Η ευθεία (ε) : y =, είναι ασύμπτωτη της C f στο +. g επομένως lim και lim [g() ] =. Από την σχέση f() g() =, για f g f g Παίρνουμε :, οπότε lim lim lim 3. β). Η δοθείσα σ χέση f() g() = γράφεται f() 3 = g(), Επομένως lim [f() 3] = lim [g() ] = =. f Αποδείξαμε λοιπόν ότι lim = 3 και lim [f() 3] =. Άρα, η ευθεία (η) : y = 3 είναι ασύμπτωτη της C f στο +. iii). α). Για κάθε R ισχύει g() = f() +. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση g δεν είναι. Δηλαδή ότι υπάρχουν αριθμοί, με < τέτοιοι, ώστε g( ) = g( ). Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη θα είναι και η g παραγωγίσιμη με g () = f (), για κάθε R. Άρα, η g ικανοποιεί στο [, ] τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle. Οπότε υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε g (ξ) =. Δηλαδή f (ξ) = f (ξ) = που είναι άτοπο, αφού ισχύει f (), για κάθε R. Επομένως, η g είναι. β). Η g ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο διάστημα [, ]. Επίσης g() = f() + = και g() = f() + =. Οπότε g()g() <. Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). Η ρίζα αυτή είναι η μοναδική πραγματική ρίζα της εξίσωσης g() = αφού η συνάρτηση g είναι.
ΘΕΜΑ 7 Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και τέτοια, ώστε f() = κάθε R. Να αποδείξετε ότι : i). η f είναι παραγωγίσιμη με f () = f() e, για κάθε R. ii).η συνάρτηση g() = e f(), R είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή. iii).f () = e + e, για κάθε R. i). Σχετικά με το ολοκλήρωμα f tdt θέτουμε t = u t = u. e f t dt, για Επομένως dt = du. Για t = είναι u = ενώ για t = είναι u =. Οπότε, έχουμε f tdt f udu f udu, και συνεπώς f() = e + f udu, για κάθε R. Επειδή η f είναι συνεχής στο R η συνάρτηση f u du είναι παραγωγίσιμη. Άρα, η f είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () = e + f(), για κάθε R. ii). Για κάθε R έχουμε g () = e f () e f() = e (e + f()) e f() = e < Άρα, η g είναι γνησίως φθίνουσα. Επίσης, για κάθε R έχουμε g () = (e ) = 4e >. Άρα, η συνάρτηση g είναι κυρτή. iii). Για κάθε R έχουμε f () f() = e ή ισοδύναμα e (f () f()) = e. Δηλαδή (e f()) = (e ) Επομένως, υπάρχει σταθερά c R τέτοια, ώστε e f() = e + c, για κάθε R Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι f() = + f t dt =. Θέτοντας στη σχέση () όπου το παίρνουμε e f() = e + c = + c c =. Επομένως e f() = e + και τελικά f() = e +e, για κάθε R.
ΘΕΜΑ 8 Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και τέτοια, ώστε f() = dt, f t για κάθε R. ii). Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα. f ii). Να βρείτε το lim. iii).να αποδείξετε ότι [f()] 3 + 3f() = 3, για κάθε R. iv).αν το σύνολο τιμών της f είναι το f(r) = R, να βρείτε το εμβαδόν χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και ευθείες y =, =. i). Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. Επομένως, η συνάρτηση dt. f t f t είναι παραγωγίσιμη στο R. Δηλαδή, η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f () = f t f ' dt >, για κάθε R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. ii). Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής. Επομένως lim f() = f() = f t dt. Και το ζητούμενο είναι της μορφής. εφαρμόζοντας τον κανόνα De L Hospital έχουμε f f ' lim lim lim f f. iii). Αποδείξαμε ότι f () =, για κάθε R. Δηλαδή f ()f () + f () = f 3f ()f () + 3f () = 3 [f 3 () + 3f()] = (3). Επομένως, υπάρχει σταθερά c R τέτοια, ώστε f 3 () + 3f() = 3 + c, για κάθε R. Για = έχουμε f 3 () + 3f() = c c =. Άρα f 3 () + 3f () = 3, για κάθε R. iv). Η f ως γνησίως αύξουσα είναι και. Επομένως, έχει αντίστροφη συνάρτηση f η οποία ορίζεται σε όλο το R αφού το σύνολο τιμών της f είναι το R. Θέτοντας στη σχέση του ερωτήματος iii). f() = y παίρνουμε y 3 + 3y = 3 = 3 y3 + y. Άρα, η f έχει τύπο f () = 3 3 + = = ( + ), για κάθε R. 3 Παρατηρούμε ότι f (), για κάθε [, ]. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδό δίνεται από τον 3 4 τύπο Ε = f 7 dδηλαδή Ε = f d d 3 τ.μ.
ΘΕΜΑ 9 Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και ο μιγαδικός αριθμός t, R, για τον οποίο ισχύει η σχέση z + i = z, για κάθε z f t dti f t d R.Να αποδείξετε ότι : i). οι εικόνες των z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στην ευθεία (ε) : y = +. ii). f t dt. iii). H συνάρτηση g() = f t dt, R, ικανοποιεί σε κάποιο διάστημα του R τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle. iv). υπάρχει ξ R τέτοιο, ώστε f(ξ) =. i). 'Εστω z = + yi, και Μ(, y) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Η σχέση z + ισοδύναμα γράφεται + ) + (y )i = + yi y y i = z + + + y y + = + y y = +. Άρα, οι εικόνες των z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στην ευθεία (ε) : y = +. ii). Οι εικόνες των z είναι τα σημεία της μορφής M f t dt, f t dt. f t dt f t dt Επειδή, τα σημεία αυτά ανήκουν στην ευθεία (ε) ισχύει. Δηλαδή f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt iii). Επειδή η f είναι συνεχής στο R, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση παραγωγίσιμη με f t dt f g() = Επίσης g() = ' f t, για κάθε R. Άρα, και η συνάρτηση f t dt είναι παραγωγίσιμη με g () = f(), για κάθε R. f t dt = και g() = f t dt = =. dt, είναι Επομένως g() = g(), Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [, ]. iv). Από την εφαρμογή του θεωρήματος του Rolle για τη συνάρτηση g στο διάστημα [, ] προκύπτει ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε g (ξ) =, δηλαδή f(ξ) = f(ξ) =.
ΘΕΜΑ Έστω η συνάρτηση f : [, +) με f() = + e. α). Να δείξετε ότι για κάθε α, β [, + ) ισχύει f(β) f(α) 3β α. β). Να δείξετε ότι e f d =. γ). Να βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g : [, +) για την οποία ισχύουν : 3 g() = και g() + g () = f(), για κάθε. α). Για α = β η ζητούμενη σχέση ισχύει σαν ισότητα. Έστω α, β ε [, +), με α < β. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για την f στο [α, β] έχουμε ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε : f (ξ) = f f Είναι ξ > e ξ > e e ξ > e ξ + > 3, άρα, όμως f () = + e >, άρα + e = f f Τελικά για κάθε α, β [, +) ισχύει f(β) f(α) 3β α. β). Θέτουμε = f(t), οπότε : Για = είναι f() = f(t) = f() t =. Για = e + είναι f(t) = e + f(t) = f() t =. Επίσης είναι d = f(f(t)) d = f (t)dt. Το ολοκλήρωμα γίνεται : I = Ι = e '. ξ f f > 3 f(β) f(α) 3β α. f d f f t f t dt. Γνωρίζουμε όμως ότι : f (f(t)) = t, άρα έχουμε : t t t f t dt t f t f t dt t f t te dt = f() t e = = e + ( + e ) =. γ). Έχουμε : g() + g () = f() g() + g() = + e g()e + g ()e = e + e (g()e ) = e + e και περνώντας στο αόριστο ολοκλήρωμα έχο υμε : g e ' d e e d g e e d e d ge e e e c. Για = έχουμε g()e = e + e + c 3 = 3 + c c =, οπότε έ χουμε g()e = e e + e g() = + e..