ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Διαγώνισμα προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Δευτέρα Μαΐου 9 BAΘΜΟΣ../ ή / Ονοματεπώνυμο: Τμήμα:. ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα: «Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β), τότε για κάθε αριθμό n μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον o ϵ (α,β), τέτοιος ώστε f( o )=n.» (Μονάδες 7) A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε σημείο του Δ τότε η f είναι σταθερή.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παρακάτω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιο σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (Μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας στο ερώτημα α. (Μονάδες ) Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα Frmat και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία. (Μονάδες +) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη: α. Αν lim f, τότε f() > κοντά στο o. (Μονάδες ) β. Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο o, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο o. (Μονάδες ) γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο o, τότε η σύνθεση τους gof είναι συνεχής στο o. (Μονάδες ) δ. Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll στο κλειστό διάστημα [α,β] τότε ορίζεται η συνάρτηση στο [α,β]. (Μονάδες ) f ( ) ε. Το είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα.. (Μονάδες ) ΤΕΛΟΣ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ Θέμα B Δίνεται η συνάρτηση f :(, ) με τύπο f ln και Μ(χ,ψ), χ> και χ τυχαίο σημείο της. Αν Α η προβολή του Μ στον άξονα χ χ και Β η προβολή του Μ στον άξονα ψ ψ. Β. Να βρεθεί η συνάρτηση του εμβαδού του ορθογωνίου ΟΑΜΒ σε συνάρτηση με το χ. Β. Αν (,) να βρεθεί το σημείο Μ ώστε το Ε() να γίνεται μέγιστο. (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) f( ) Β. Αν g ( ) α) Να μελετήσετε την συνάρτηση g() ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: g ( ) έχει ακριβώς δυο ρίζες στο πεδίο ορισμού της. γ)να αποδείξετε ότι :. (Μονάδες *5=5) Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση f :, με τύπο f. Γ. Να βρείτε τις εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης που διέρχονται από το σημείο A,. (μονάδες 6) Γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη. (μονάδες ) Γ. Να δείξτε ότι η f δεν έχει ασύμπτωτες. (μονάδες ) Γ. Να βρείτε τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y. Στη συνέχεια, στο ίδιο σύστημα αναφοράς να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των f και f. (μονάδες 6) Γ5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα χ χ και την ευθεία y. (μονάδες 6) ΤΕΛΟΣ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ: Δίνεται η συνάρτηση f : η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και η g: συνεχής, ώστε: Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 9 για και για, f ( ) 9 9 f( ) Η G( ) είναι αρχική της g και g( ) d 9 Δ. Να αποδείξετε ότι a 9 (5 μονάδες) Και στη συνέχεια ότι f για κάθε. ( μονάδες) 9 f( ) g( ) ( ) Δ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g έχει τρία τουλάχιστον κοινά σημεία με τον άξονα χ χ. Δ.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 9 ( ) διάστημα, f f έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο (5 μονάδες) (5 μονάδες) Δ. α) Να αποδείξετε ότι G( ) d ( μονάδες) 9 β) Να αποδείξετε ότι g( ) d ( μονάδες) ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Να μην αντιγράψετε τα θέματα.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με τις απαντήσεις και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ.. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΤΕΛΟΣ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Θέμα A A Ψευδής 8, Η συνάρτηση f ( ) 9, Δ και η f δεν είναι σταθερή. που ορίζεται στο {}, με παράγωγο f( ) για κάθε χ Α Σ,Σ,Λ,Λ,Σ. Θέμα B B. Είναι (ΑΜ)= ln και (ΜΒ)=χ. Συνεπώς Ε(χ)= ln με χ>. Β. Για (,) είναι ( ) (.ln) ln ( ) ln. ( ) ln Άρα η f στο (, ] είναι γνησίως αύξουσα και στο [,) είναι γνησίως φθίνουσα και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για χ= το f( )=. Επομένως το σημείο στο οποίο το εμβαδόν γίνεται ma είναι το σημείο Μ(, ). f( ) l n ln Β. α) Αν g ( ) g( ) και τότε g( ) και ln g( ). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,] και γνησίως φθίνουσα στο [,+ ) Η g έχει ολικό μέγιστο για χ= το g()=. Άρα g ( ) για κάθε χ> με την ισότητα να ισχύει μόνον για χ=. β) g ( ) g ( ) Όμως στο A (, ] η g είναι συνεχής (πηλίκο συνεχών) γνησίως αύξουσα άρα g( A ) (lim g( ), g()] (, ] Στο A (, ) η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα
g( A ) ( lim g( ), lim g( )) (, ). Το αύξουσα και γνησίως φθίνουσα αντίστοιχα επομένως η εξίσωση ανήκει και στο A και στο A όπου η g είναι γνησίως g ( ) έχει ακριβώς δύο λύσεις. γ) Είναι g ln ln g( ) g( ) ln ln ln ln Θέμα Γ Γ. Για είναι f Στο είναι f f f lim lim άρα f. Τελικά, f, Η εφαπτομένη της Αν f. Έστω, M f σημείο της f C. C στο Μ είναι η ευθεία ε με εξίσωση τότε για να διέρχεται η ε από το f f A, πρέπει y f f. και η εφαπτομένη έχει εξίσωση Αν y f f y y τότε f f και η εφαπτομένη είναι η y, δηλαδή ο άξονας στον οποίο ανήκει το σημείο Α. Γ. Για κάθε είναι γνησίως αύξουσα στο,. f και επειδή η f είναι συνεχής στο, είναι
Για κάθε είναι συνεχής, είναι κοίλη στο,. f και επειδή η f είναι Γ. Επειδή η f είναι συνεχής στο, δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Είναι lim lim Είναι lim f, οπότε η f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη. f lim, οπότε η f δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη. Γ. Έστω h f h ή h Όταν, η C f βρίσκεται πάνω από την κάτω από την y. y και όταν, βρίσκεται Γ5. Έστω E το ζητούμενο εμβαδό. Η ευθεία y είναι εφαπτομένη της C f και τέμνει τον άξονα στο σημείο,. ος τρόπος Είναι E OBA AB E Ο Δ
E d E d E d 5 5 E τ.μ. 5 5 ος τρόπος / E d d / / E d d / / / E d d / / 5 E d d 5 E τ.μ. 5 5 5 ΘΕΜΑ Δ: Δ.Θέτω u, άρα du d, χ - u - 9 f( ) g( ) d g( u)du G( u) a 9 9 9 f() 9 f( ) 9 9 a a a a Άρα 9 a 9. H G είναι παράγουσα της g άρα ' 9 f( ) g( ) G ( ) 9 f ( ) 9 f ( ) 9 9 9 f( ) f ( )
Δ. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση 9 f( ) g( ) f ( ) f ( ) έχει τουλάχιστον ρίζες Για χ= και για χ= η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, η f παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο χ=, χ=, οπότε από το θεώρημα Frmat ισχύει f () f ().Επίσης στο [,] ισχύει το Θ Roll για την f,αφού η f είναι συνεχής στο [, ], παραγωγίσιμη στο (,) και f() f () Άρα υπάρχει (,), ώστε 9 f ( ). Άρα η εξίσωση g( ) f ( ) έχει τουλάχιστον ρίζες οι οποίες είναι οι, και (,). Δ. Ισχύει ' g ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 9 f ( ) 9 f ( ) 9 f ( ) 9 f ( ) 9 f ( ) 9 f ( ) 9 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 9 ( f ( ) Άρα η εξίσωση f ( ) 9 f ( ) f ( ) 9 f ( ) g ( ) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση g ( ) έχει τουλάχιστον ρίζες στο (, ).Η g παραγωγίσιμη στο (,), g συνεχής στο [,].Επίσης g() g( ) g (), (,), άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ Roll για την g στα [, ξ ] και [ξ, ], οπότε υπάρχουν (, ) (,), έτσι ώστε g ( ) και g ( ). Δ.α) Έχουμε,. 9 f( ). Ισχύει ότι ( ) G( ) 9 f, για κάθε R, άρα και για κάθε 9 Άρα f f f( ) 9 f( ) G( ) 9 9 9 9 9 ( ) 9 ( ) G( ) d d d 9 9 9 9 β) Έχουμε g( ) d G ( ) d G( ) G( ) d G() G() G( ) d 9 f() 9 f() G( ) d 9 9 G( ) d 9 9 9 9 G( ) d.() 9 9 9 9 9 G( ) d () Από α ερώτημα έχουμε G( ) d G( ) d 9 9 G( ) d 9 9 9 g( ) d.