Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

3 η Διάλεξη Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια 26 Σεπτεµβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Ρυθμοί Μεταβολής Παράγωγος σε σημείο 26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 2 y y f(x) Q(x 2, f(x 2 )) Ο µέσος ρυθµός µεταβολής της y=f(x) ως προς x, στο διάστηµα [x 1, x 2 ], ισούται µε Δy Δx = f (x ) f (x ) 2 1 = f (x + h) f (x ) 1 1 x 2 x 1 h, h 0 P(x 1, f(x 1 )) Tέμνουσα y Μέσος ρυθµός µεταβολής = Κλίση της Τέµνουσας x = h 0 x 1 x 2 x Τέµνουσα = Ευθεία που ενώνει δύο σηµεία µιας καµπύλης

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 3 Eφαπτομένη Tέμνουσες P Q Eφαπτομένη P Tέμνουσες Q Σ 1.60 υναµική ερµηνεία της έννοιας της εφαπτοµένης.

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 4 y y f(x) Q(x 0 h, f(x 0 h)) f(x 0 h) f(x 0 ) P(x 0, f(x 0 )) h m = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h 0 x 0 x 0 h x m=κλίση της εφαπτοµένης στο P(x 0,f(x 0 ))=Στιγµιαίος ρυθµός µεταβολής της y=f(x) στο σηµείο P(x 0,f(x 0 ))= Παράγωγος της y=f(x) στο P(x 0,f(x 0 ))

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 5 y 1 y x 0 ( a, f (a)) m = f (a) = x lim hl0 f(a h) f(a) h lim hl0 lim 1 hl0 h lim hl0 lim hl0 1 a h 1 a h a (a h) a(a h) h ha (a h) 1 1. a (a h) 2 a ότι εξακολουθούµε να γράφουµε «lim l» πρ y 1 y x 2, 1 2 x 2, 1 2

Όρια 26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 6

Η τιµή του ορίου, όπως το x τείνει στο x 0, ΔΕΝ εξαρτάται από το πως ορίζεται η συνάρτηση στο x=x 0 26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 7

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 8 Η τιµή του ορίου, όπως το x τείνει στο x 0, µπορεί να µην υπάρχει 1 y y 0, x 0 1, x 0 y y 1, x x 0 0, x 0 1 y 0 x 0 x 0 0, y 1 sin, x x 0 x 0 x 1 (α) Συνάρτηση μοναδιαίας βαθμίδας β γ

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 9

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 12 Προσπάθεια απαλοιφής των µηδενικών στον παρανοµαστή µέσω Απαλοιφής κοινών παραγόντων y y x2 x 2 x 2 x 3 (1, 3) 2 0 1 x x 2 + x 2 x 2 x = (α) (x 1)(x + 2) x(x 1) = x + 2 x 3 y y x 2 x (1, 3) lim x 1 x 2 + x 2 x 2 x = lim x 1 x + 2 x = 3 2 0 1 x

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 13 y Q(2 h, 2 h ) P(2, 2) h y x 2 h 2 0 1 2 2 h x lim h 0 2 + h 2 h = lim h 0 2 + h 2 h 2 + h + 2 2 + h + 2 = lim h 0 1 2 + h + 2 = 1 2 2

ή Θεώρηµα Παρεµβολής 26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 14

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 15 sinθ < θ < tanθ 1< θ sinθ < 1 cosθ 1> sinθ θ > cosθ lim1= 1= limcosθ θ 0 θ 0 sinθ lim θ 0 θ = 1

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 22 Πεπερασµένα όρια καθώς x l ± l Oρισµοί Όρια καθώς x l 1. Λέµε ότι η f(x) έχει όριο L καθώς το x τείνει στο άπειρο, και γράφουµε lim xl f(x) L αν η f(x) πλησιάζει αυθαίρετα κοντά στο L καθώς το x αποµακρύνεται ολοένα από την αρχή, κινούµενο επί του θετικού ηµιάξονα. 2. Λέµε ότι η f(x) έχει όριο L καθώς το x τείνει στο µείον άπειρο, και γράφουµε lim xl f(x) L αν η f(x) πλησιάζει αυθαίρετα κοντά στο L καθώς το x αποµακρύνεται ολοένα από την αρχή, κινούµενο επί του αρνητικού ηµιάξονα. l

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 24 Θεώρηµα 7 Kανόνες ορίων καθώς x l Aν L, M, και k, είναι πραγµατικοί αριθµοί και ισχύει ότι lim xl 1. Όριο αθροίσµατος: 2. Όριο διαφοράς: 3. Όριο γινοµένου: 4. Όριο σταθερού πολλαπλασίου: 5. Όριο πηλίκου: f(x) L και lim g(x) M, τότε lim xl lim xl lim xl lim xl xl ( f(x) g(x)) L M ( f (x) g(x)) L M ( f(x) g(x)) L M lim xl f(x) g(x) L M, M 0 6. Όριο δύναµης: Aν r και s είναι ακέραιοι, και s 0, τότε lim x ± (f(x))r/s = L r/s δεδοµένου ότι ο L r/s είναι πραγµατικός αριθµός. (k f(x)) k L

Για να προσδιορίσουµε το όριο ρητών συναρτήσεων διαιρούµε αριθµητή και παρανοµαστή µε την µεγαλύτερη δύναµη του παρανοµαστή 26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 25

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 28 Άπειρα Όρια y y f(x) B 0 x x 0 0 x0 x 1. Λέµε ότι η f(x) τείνει στο άπειρο καθώς το x τείνει στο x 0, και γράφουµε lim xlx 0 f(x), αν για κάθε θετικό πραγµατικό αριθµό B υπάρχει κάποιο 0 τέτοιο ώστε για κάθε x να ισχύει ότι 0 x f(x) B. x 0 l 2. Λέµε ότι η ( ) τείνει στο µείον άπειρο καθώς το x τείνει στο x,

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 29 y 0 x 0 x 0 x 0 x B y f(x) 2. Λέµε ότι η f(x) τείνει στο µείον άπειρο καθώς το x τείνει στο x 0, και γράφουµε lim xlx 0 l f(x), αν για κάθε αρνητικό πραγµατικό αριθµό B υπάρχει κάποιο 0 τέτοιο ώστε για κάθε x να ισχύει ότι 0 x x 0 f(x) B.

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 30 Oρισµοί Oριζόντιες και κατακόρυφες ασύµπτωτες Mια ευθεία y b είναι οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της συναρτήσεως y f(x) αν lim f(x) = b ή lim x l xl f(x) = b. Mια ευθεία x a είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης, αν lim f(x) = ή lim + x la xla f(x) =. Oριζόντια ασύμπτωτη Kατακόρυφη ασύμπτωτη 1 0 y 1 x 1 Oριζόντια ασύμπτωτη, y = 0 x Kατακόρυφη ασύμπτωτη, x = 0 y

Ύπαρξη άπειρων ασύµπτωτων 26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 33

26/09/2015 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 37 Εφαρµογή θεωρήµατος «σάντουϊτσ» cos x < sin x x < 1 0 sin x x 1 x