ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει το τρίακμο του Darboux και τα πρόσημα της γεωδαισιακής καμπυλότητας, της γωδαισιακής στρέψης και της κάθετης καμπυλότητας σε ένα σημείο P μιας καμπύλης Γ όταν αλλάξουμε τον προσανατολισμό α) της επιφάνειας και β) της καμπύλης. 2. Να βρεθούν το τρίακμο του Darboux, η γεωδαισιακή καμπυλότητα, η κάθετη καμπυλότητα και η γεωδαισιακή στρέψη μιας ασυμπτωτικής γραμμής. 3. Έστω η επιφάνεια S : x(u, v) = u e 1 + v e 2 + u 2 v e 3, και η καμπύλη Γ : u = t, v = t της S. Να βρεθούν το τρίακμο του Darboux και η κάθετη καμπυλότητα κατά μήκος της Γ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς S : x(u, v) = (u + v) e 1 + (u v) e 2 + u v e 3, στο σημείο P (2, 0, 1), που αντιστοιχεί στην καμπύλη u = t 2, v = t, της S. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας S : x(u, v) = u cos v e 1 + u sin v e 2 + (u + v) e 3, στο σημείο P (1, 0, 1), που αντιστοιχεί στη διεύθυνση dv : du = 2. 6. Να βρεθούν οι γραμμές καμπυλότητας και οι πρωτεύουσες καμπυλότητες της κοινής ελικοειδούς S : x(u, v) = u cos v e 1 + u sin v e 2 + a v e 3. 7. Δίνεται η επιφάνεια του Enneper ) S : x(u, v) = (u u3 3 + u v2 e 1 + ) ( v + v3 3 u2 v e 2 + (u 2 v 2 ) e 3. α) Να βρεθούν οι γραμμές καμπυλότητας και οι πρωτεύουσες καμπυλότητές της. β) Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητά της στο σημείο P (u = 1, v = 2), η οποία αντιστοιχεί στη διεύθυνση dv : du = 2.
8. Να βρεθούν οι πρωτεύουσες καμπυλότητες και οι γραμμές καμπυλότητας ενός ορθού κυκλικού κυλίνδρου. 9. α) Να αποδειχτεί, ότι για τυχούσα επιφάνεια ισχύει H 2 K, και ότι η ισότητα ισχύει μόνο στα κυκλικά σημεία της επιφάνειας. β) Να βρεθούν οι επιφάνειες, που χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα K H 0. 10. Θεωρούμε καμπύλη Γ επιφάνειας S και τη σφαιρική εικόνα της Γ. Να αποδειχτεί, ότι οι εφαπτόμενες των Γ και Γ είναι τότε και μόνον τότε παράλληλες, όταν η Γ είναι γραμμή καμπυλότητας της S. 11. Να αποδειχτεί, ότι τα εγγύτατα επίπεδα μιας γραμμής καμπυλότητας και της σφαιρικής εικόνας της στα αντίστοιχα σημεία, είναι παράλληλα. 12. Να αποδειχτεί, ότι η σφαιρική εικόνα των γραμμών καμπυλότητας μιας επιφάνειας S είναι ορθογώνιο δίκτυο. 13. Να αποδειχτεί, ότι η σφαιρική εικόνα μιας επίπεδης γραμμής καμπυλότητας είναι κύκλος. 14. Να αποδειχτεί, ότι μια καμπύλη μιας επιφάνειας S είναι τότε και μόνον τότε γραμμή καμπυλότητας, όταν η επιφάνεια των καθέτων της S κατά μήκος της έχει μηδενική καμπυλότητα του Gauss. 15. Ας είναι S η επιφάνεια, που προκύπτει με περιστροφή της παραβολής x 2 = 0, x 2 3 2x 1 + 1 = 0, περί τον άξονα A 0 x 3. Να αποδειχτεί, ότι το πηλίκο των πρωτευουσών καμπυλοτήτων της είναι σταθερό. 16. Να μελετηθεί το πρόβλημα των ακροτάτων της γεωδαισιακής στρέψης σε ένα σημείο P επιφάνειας S. 17. Έστω ότι το παραμετρικό δίκτυο μιας επιφάνειας S είναι το δίκτυο των ασυμπτωτικών γραμμών. Να αποδειχτεί, ότι η τρίτη θεμελιώδης μορφή παίρνει τη μορφή III = K(g 11 du 2 2 g 12 du dv + g 22 dv 2 ). 18. Να υπολογιστεί η γεωδαισιακή καμπυλότητα των παραμετρικών γραμμών α) της ελικοειδούς β) του υπερβολικού παραβολειδούς S : x(u, v) = u cos v e 1 + u sin v e 2 + (u + v) e 3, S : x(u, v) = a(u + v) e 1 + b(u v) e 2 + u v e 3, a, b 0. 2
19. Να αποδειχτεί, ότι για τις γεωδαισιακές καμπυλότητες των παραμετρικών γραμμών ενός ορθογωνίου δικτύου ισχύει και συνεπώς: (κ g ) u=σταθ. = g 22 1 2g 22 g11, (κ g ) v=σταθ. = g 11 2 2g 11 g22, α) Οι u καμπύλες ή οι v καμπύλες είναι τότε και μόνον τότε γεωδαισιακές γραμμές, όταν είναι g 11 = g 11 (u) ή g 22 = g 22 (v), αντίστοιχα. β) Όταν οι καμπύλες ενός ορθογώνιου παραμετρικού δικτύου είναι γεωδαισιακές, τότε η καμπυλότητα του Gauss μηδενίζεται. 20. Να αποδειχθεί, ότι: α) Κάθε επίπεδη μη ευθύγραμμη γεωδαισιακή γραμμή είναι γραμμή καμπυλότητας. β) Όταν μία καμπύλη είναι συγχρόνως γεωδαισιακή και ασυμπτωτική γραμμή, τότε είναι ευθεία. γ) Όταν μία καμπύλη είναι συγχρόνως γεωδαισιακή και γραμμή καμπυλότητας, τότε είναι επίπεδη. 21. Να εξετάσετε, αν είναι αληθής η πρόταση: Κάθε επίπεδη γραμμή καμπυλότητας είναι και γεωδαισιακή γραμμή. 22. Να δείξετε, ότι οι μόνες γεωδαισιακές γραμμές α) του επιπέδου είναι οι ευθείες. β) της σφαίρας είναι οι μέγιστοι κύκλοι της. 23. H πρώτη θεμελιώδη μορφή μιας επιφάνειας είναι: I = 2v 2 du 2 2u v du dv + u 2 dv 2. Να αποδειχθεί, ότι οι καμπύλες που ορίζονται με το σύστημα u = c t 2, v = c t 3, c = σταθ., είναι γεωδαισιακές. 24. Έστω S μια εκ περιστροφής επιφάνεια. Να αποδειχθεί, ότι α) οι μεσημβρινοί της S είναι γεωδαισιακές και β) οι μοναδικοί παράλληλοι κύκλοι, που είναι γεωδαισιακές, είναι οι διερχόμενοι από τα σημεία της καμπύλης κάτοψης, στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα περιστροφής. 25. Να αποδειχθεί, ότι οι γεωδαισιακές ενός ορθού κυκλικού κυλίνδρου είναι ευθείες, περιφέρειες και κυκλικές έλικες. 26. Να αποδειχθεί, ότι όλες οι γωνίες γεωδαισιακού τριγώνου εμβαδού 9π της σφαίρας ακτίνας R = 3, του οποίου δυο γωνίες είναι ίσες και μια γωνία του ισούται με 2π/3, είναι ίσες. 3
27. Να βρεθεί η ακτίνα σφαίρας, πάνω στην οποία ένα γεωδαισιακό τρίγωνο με γωνίες 5π/6, π και 7π/6, έχει εμβαδόν 4π. 28. Δίνεται η διπαραμετρική οικογένεια τριάκμων D = {ε 1, ε 2, ε 3 }, όπου ε 1 = sin u e 1 + cos u e 2, ε 2 = cos u cos v e 1 + sin u cos v e 2 sin v e 3, ε 3 = cos u sin v e 1 sin u sin v e 2 cos v e 3, u [0, 2π], 0 < v < π. α) Να βρεθούν οι μορφές ω ij, i, j = 1, 2, 3. β) Να βρεθούν οι μορφές ω i, i = 1, 2, 3, και οι συναρτήσεις a, b, c, q 1 και q 2 της μοναδιαίας σφαίρας x(u, v) = cos u sin v e 1 + sin u sin v e 2 + cos v e 3, ως προς το συνοδεύον τρίακμο D. 29. Να βρεθούν ένα συνοδεύον τρίακμο με πρώτο διάνυσμα ε 1 = x 1 g11, οι μορφές ω i, ω ij και οι συναρτήσεις a, b, c, q 1 και q 2 των παρακάτω επιφανειών: α) της κοινής ελικοειδούς β) του υπερβολικού παραβολοειδούς x(u, v) = u cos v e 1 + u sin v e 2 + v e 3, x 3 = x 1 x 2. 30. Έστω σ η στρέψη μιας μη ευθύγραμμης ασυμπτωτικής γραμμής επιφάνειας S και φ η γωνία των ασυμπτωτικών γραμμών. Να αποδειχτεί, ότι σ 2 = K = tan 2 φ H 2. 31. Να βρεθούν το τρίακμο του Darboux, η γεωδαισιακή καμπυλότητα, η κάθετη καμπυλότητα και η γεωδαισιακή στρέψη μιας μηδενικής καμπύλης της μορφής ω 1 (ή της ω 2 ) επιφάνειας S. 32. Να αποδειχθεί, ότι το άθροισμα των καθέτων καμπυλοτήτων δύο ορθογωνίων καμπυλών επιφάνειας S στο σημείο τομής ισούται με το διπλάσιο της μέσης καμπυλότητας. 33. Να αποδειχθεί, ότι το άθροισμα των γεωδαισιακών στρέψεων δύο ορθογώνιων καμπυλών επιφάνειας S στο σημείο τομής ισούται με μηδέν. 34. Να αποδειχθεί, ότι για κάθε καμπύλη Γ επιφάνειας S ισχύει ο τύπος 1 R + 1 2 τg 2 2H R + K = 0. 4
35. Να αποδειχθεί, ότι ο τύπος του Εuler μπορεί να πάρει και την εξής μορφή R = 1 R = cos2 φ + sin2 φ. R 1 R 2 2R 1 R 2 R 1 + R 2 (R 1 R 2 ) cos 2φ. 36. Να βρεθεί η οικογένεια των καμπυλών της επιφάνειας x(u, v) = u cos v e 1 + u sin v e 2 + e u e 3, η οποία αποτελεί με την οικογένεια των καμπυλών u v = σταθ. συζυγές δίκτυο. 37. Δίνεται επιφάνεια S με παραμετρική παράσταση της μορφής x(u, v) = a(u) + b(v), όπου οι διανυσματικές απεικονίσεις a(u) και b(v) εξαρτώνται μόνον από το u και το v αντίστοιχα. Να αποδειχθεί, ότι το παραμετρικό δίκτυο είναι συζυγές. 38. Δίνεται η επιφάνεια x(u, v) = u cos v e 1 + u sin v e 2 + v f(u) e 3. Να οριστεί η συνάρτηση f(u), έτσι ώστε το παραμετρικό δίκτυο u = σταθ., v = σταθ. να είναι συζυγές. παραμένει αναλλοίωτη κατά τη μετάβαση σε τυ 39. Να δειχθεί, ότι η παράσταση H2 K K 2 χούσα παράλληλη επιφάνεια. 40. Να δειχθεί, ότι για τις πρωτεύουσες ακτίνες καμπυλότητας R i μιας παράλληλης επιφάνειας της S σε απόσταση λ ισχύει R i = R i λ. 41. Να αποδειχθεί, ότι όταν η μέση καμπυλότητα H μιας επιφάνειας S είναι σταθερή και διάφορη του μηδενός, τότε υπάρχει παράλληλη επιφάνεια της S, της οποίας η μέση καμπυλότητα είναι σταθερή και ίση με H. 42. Έστω επιφάνεια S για την οποία K 0, H 2 K 0 και R 1 + R 2 = const. Να αποδειχθεί, ότι για κάθε παράλληλή επιφάνεια της ισχύει R 1 + R 2 = const. και ότι υπάρχει ακριβώς μια παράλληλή της, που είναι ελαχιστική. 43. Έστω επιφάνεια S : x = x(u, v), n(u, v) το μοναδιαίο καθετικό διάνυσμα της και λ R μια σταθερά. Θεωρούμε την παράλληλη επιφάνεια S : x (u, v) = x(u, v)+λ n(u, v) της S. α) Να αποδειχθεί, ότι οι γραμμές καμπυλότητας των S και S αντιστοιχούν. β) Να βρεθούν οι θεμελιώδεις μορφές I, II και III της S συναρτήσει εκείνων της S και του λ. 5