Algoritmul QR cu deplasare explicită

Algoritmul Q cu deplasare explicită Algoritmul Q cosiderat drept uul ditre rezultatele cele mai remarcabile ale calculului umeric matriceal (elaborat î forma sa cea mai evoluată idepedet de către V.N. Kublaovsaia [] şi J.G.F. Fracis [9]) este î eseţă o procedură de costrucţie iterativă a uui şir de matrice ortogoal asemeea cu matricea iiţială şi rapid coverget către forma chur reală. Aşa cum am mai precizat e vom ocupa practic î exclusivitate de calculul valorilor proprii petru matrice reale di trei motive: - matricele reale sut cel mai des îtâlite î aplicaţii; - cazul matricelor complexe poate fi redus la cel al matricelor reale de ordi dublu (vezi problema rezolvată 9.3.); - versiuea complexă ecesită itroducerea miloacelor adecvate (trasformări uitare reflectori şi rotaţii complexe etc.) petru care u dispuem de spaţiul tipografic ecesar; precizăm totuşi că ideile sut absolut similare iar cititorul iteresat poate cosulta [5] [3] [9]. oate versiuile algoritmului Q sut orgaizate î două etape:. etapa directă de reducere a matricei date la forma superior esseberg pri trasformări ortogoale de asemăare (algoritmul Q di secţiuea precedetă);. etapa iterativă de costrucţie recuretă a uui şir de matrice coverget către forma chur reală. Î cele ce urmează vom cosidera parcursă prima etapă şi umai la asamblarea îtregului algoritm vom evideţia î mod explicit reducerea la forma superior esseberg. Partea iterativă a algoritmului Q prezită patru versiui şi aume a) cu deplasare explicită cu paşi simpli b) cu deplasare explicită cu paşi dubli c) cu deplasare implicită cu paşi simpli d) cu deplasare implicită cu paşi dubli ditre care umai ultima este utilizată ca bază a programelor profesioale de calcul al valorilor şi vectorilor proprii. Motivele costau î faptul că versiuile cu pas simplu u asigură covergeţa î prezeţa valorilor proprii complexe iar versiuea cu paşi dubli cu deplasare explicită este ieficietă ascuzâd îtr-u mod cu totul isidios (!) calcule redudate. otuşi petru claritatea expuerii (de exemplu pasul dublu este î eseţă cocatearea a doi paşi simpli succesivi) vom parcurge la ivelul ideilor relaţiilor şi al evetualelor scheme de calcul toate versiuile; scrierea detaliată a algoritmului formal o vom face umai petru versiuea cea mai evoluată şi aume cea cu deplasare implicită cu paşi dubli. Algoritmul Q cu deplasare explicită cu paşi simpli Fie matricea superior esseberg ireductibilă (dacă matricea este reductibilă atuci problema fie îşi reduce dimesiuea fie se sparge î două subprobleme de dimesiui mai mici). Algoritmul Q cu deplasare explicită cu pas simplu este defiit de următoarea schemă de calcul.. petru K. μi Q. + Q + μi

care costruieşte iterativ şirul matriceal K + L umit şirul Q. Istrucţiuile di ciclu defiesc o iteraţie sau u pas Q. Î această secţiue vom descrie succit proprietăţile şirului Q şi vom da o ustificare calităţilor sale excepţioale de covergeţă. După cum se observă u pas Q este format ditr-o factorizare Q (vezi capitolul ) a matricei curete avâd elemetele diagoale "deplasate" cu scalarul μ şi apoi matricea succesor + se obţie di multiplicarea î ordie iversã a rezultatelor factorizării urmată de refacerea deplasării. Pricipalele proprietăţi ale acestor trasformări sut sitetizate î următoarea teoremă. eorema a) Matricele şi + şi pri urmare toate matricele şirului Q sut ortogoal asemeea. b) U pas Q coservă structura superior esseberg. Pri urmare dacă matricea iiţială este superior esseberg atuci toate matricele şirului Q sut superior esseberg. Demostraţie. a) Di prima relaţie a pasului Q avem Q ( μ I ) de ude Q + μ I Q ( μ I )Q + μ I + Î coseciţă toate matricele Q Q di şirul Q sut ortogoal asemeea cu matricea iiţială. K ude matricea cumulată a trasformărilor ortogoale Q Q Q K Q se poate obţie iterativ cu relaţiile Q Q I Q + Q Q K. b) Dacă este o matrice superior esseberg atuci î factorizarea Q di istrucţiuea. matricea ortogoală Q rezultă superior esseberg (demostraţi!). Cum produsul uei matrice superior triughiulare cu o matrice superior esseberg este superior esseberg (demostraţi!) rezultă că + este o matrice superior esseberg. eorema este demostrată. Faptul că toate matricele di şirul Q sut superior esseberg are urmări beefice petru eficieţa algoritmului Q (complexitatea uei iteraţii se reduce de la O( 3 ) la O( ). Î cotiuare expuem o proprietate extrem de importată a şirului Q proprietate care efiid adevărată îtotdeaua u este u fapt matematic şi pri urmare u a putut să fie iclusă î teorema de mai sus. Proprietatea s-a dovedit adevărată practic î toate aplicaţiile cocrete dar a fost ivalidată pe exemple special costruite î acest scop. emarcăm această situaţie paradoxală î care u rezultat fără valoare uiversală stă la baza celei mai performate metode de calcul al valorilor proprii ale uei matrice. Euţul proprietăţii este următorul. c) Pritr-o alegere adecvată a deplasării μ şirul Q coverge aproape îtotdeaua către forma chur a matricei. Q Q.

Justificare. Vom arăta mai mult şi aume că pritr-o alegere corespuzătoare a deplasărilor μ această covergeţă poate fi făcută extrem de rapidă. Î fapt trebuie arătat că uele di elemetele subdiagoale ale matricei se aulează asimptotic câd. Petru simplificare cosiderăm că matricea are umai valori proprii reale respectiv trebuie aulate asimptotic toate elemetele subdiagoale (î caz cotrar trebuie să luăm î cosideraţie deplasări complexe). ( ) ( Q Q μ I Q Q μi ) Q ( μ I ) Q + de ude avem Q + ( μ I ) Q. Ţiâd seama de faptul că matricea este superior triughiulară prima coloaă a egalităţii devie (î cazul μ λ( ) ) ( ) ( q + ( )( μ I ) q ) r ( ) ude q Qe. elaţia arată că prima coloaă a matricei ortogoale Q se supue iteraţiei metodei puterii şi î coseciţă tide către vectorul propriu uitar asociat valorii proprii ( ) domiate a matricei A μ I (dacă iiţializarea q are compoetă eulă pe această direcţie ceea ce geeric este satisfăcut) respectiv Q lim Q [ x Y ]. Coform procedurii de deflaţie rezultă că lim h ( ) adică matricea tide către forma chur î prima coloaă puâd î evideţă pe poziţia () o valoare proprie (reală) a matricei. raspuâd relaţia avem Q Q + ( μ I ) sau Q ( μi ) Q +. Luâd egalitatea ultimelor coloae di ultima relaţie obţiem ( ) ( ) ( ) q + μ I r q care arată că ultima coloaă a matricei Q se supue iteraţiei puterii iverse petru matricea ( ) cu deplasarea curetă de accelerare a covergeţei μ. Î coseciţă coloaa q tide către u vector propriu al matricei şi aume către cel asociat valorii proprii λ μ lim μ cea mai apropiată de aproximaţia iiţială. Această covergeţă este cu atât mai rapidă cu cât deplasarea curetă este mai apropiată de o valoare proprie a matricei. Î coseciţă aalog cu () şi simulta cu ea avem Q lim Q [ Z u ] ude u este u vector propriu uitar al matricei. ezultă că matricea limită a şirului Q este: Q Q ( Q Q ). Dar îtrucât λ( ) λ() şi u λu rezultă relaţia 3

Q Q Z A u Z Z u Z λ [ Z u ] care pue î evideţă o deflaţie î ultima coloaă a matricei sau echivalet o deflaţie î ultima liie a matricei. Ţiâd seama de faptul că procesul iterativ are loc cu coservarea structurii superior esseberg rezultă că î matricea di şirul Q avem lim h ( ) cu o viteză mare caracteristică metodei puterii iverse. Di (5) reiese că ( ) lim h λ ( ) ceeace îseamă că h reprezită o aproximare di ce î ce mai buă a valorii proprii λ. Î coseciţă alegerea deplasării ( ) μ h asigură o covergeţă pătratică (adică exceletă) petru aularea elemetului h. Am arătat deci că şirul Q asigură o deflaţie iterativă î prima coloaă şi cu alegerea (7) a deplasării ua foarte rapidă î ultima liie. Î practică se costată chiar mai mult şi aume reducerea simultaă cu viteze diferite a tuturor modulelor elemetelor subdiagoale fapt care explică remarcabilele proprietăţi de covergeţă ale algoritmului. Cu toate acestea există situaţii patologice dificil de caracterizat matematic î care şirul Q u coverge (vezi [5]). Cu această observaţie îcheiem ustificarea proprietăţii c). ruchierea procesului iterativ al şirului Q se face progresiv aulâdu-se efectiv elemetele subdiagoale covergete către zero î mometul satisfacerii uui criteriu de forma h ( ) pp ε sau mai simplu: ( ) ( ) ( ) ( ) pp ε hp p hpp h + ude ε este o toleraţă precizată iar o ormă matriceală oarecare. Aularea uuia sau mai multor elemete subdiagoale reduce evidet dimesiuea problemei de deflaţie iterativă spărgâd evetual problema curetă î două sau mai multe probleme de aceeaşi atură. Îtrucât aşa cum s-a mai meţioat implemetările profesioale ale algoritmului Q merg pe o cale specifică (prezetată mai departe) recomadăm cititorului ca u exerciţiu util să elaboreze algoritmul de implemetare a uui pas Q defiit î () cu alegerea (7) a deplasării. e recomadă efectuarea calculelor pe loc î tabloul matricei iiţiale. Petru factorizarea Q a matricei μi di () se recomadă utilizarea uei secveţe de rotaţii plae. Calculul efectiv al matricei de trasformare curete Q Q u este ecesar putâdu-se utiliza forma sa factorizată Q P L P3 P. Astfel schema de calcul propusă petru suprascrierea matricei di şirul Q are următoarea formă. + cu matricea succesor 4

. μ h. μ I 3. Petru :. e determiă rotaţia plaă astfel îcât ( P ) + +. P + 4. Petru :. P + 5. + μ I. P + Algoritmul Q cu deplasare explicită fucţioează foarte bie î cazul matricelor cu spectru real existeţa valorilor proprii complexe crează probleme serioase î evideţierea asimptotică a blocurilor di forma chur reală. 9.5.. Algoritmul Q cu deplasare explicită cu paşi dubli Petru depăşirea dificultăţilor legate de abseţa covergeţei şirului Q creat de utilizarea paşilor simpli atuci câd matricea are valori proprii complexe se adoptă aşa umita strategie a paşilor dubli Q care comprimă îtr-o sigură iteraţie doi paşi simpli Q succesivi. Petru a deduce procesarea aferetă uui pas dublu curet observăm că di ecuaţiile a doi paşi simpli Q cosecutivi descrişi coform relaţiilor () de μi Q + Q + μi + μ + I Q + + Q μ I + + + + + rezultă mai îtâi + Q Q relaţie care itrodusă î ecuaţia a treia di () coduce la Q Q μ + I Q + +. Îmulţid această relaţie la stâga cu Q şi la dreapta cu obţiem Q μ + Q QQ + + ecuaţie care permite obţierea lui + direct di pe baza relaţiilor ( μ + I ) ( μi ) QQ + + + ( QQ + ) QQ + care la râdul lor se mai scriu sub forma + Q Q M s + p I Q s + p + Q QQ + ude μ + μ şi μ μ. Evidet matricea este ortogoală iar matricea + este superior triughiulară. Ceea ce este importat costă î faptul că îtr-u pas dublu Q apare ca deosebit de aturală alegerea celor două deplasări μ μ + egale cu cele două valori proprii (posibil complex cougate) ale blocului di dreapta os a matricei curete i.e. ale matricei 5

G h ( ) ( ) h ( ) ( ) h h. Aceste deplasări apar î expresia matricei M umai î forma sumei şi produsului ( ) ( ) μ + μ + h h ( ) ( ) ( ) ( ) μμ + h h h h s + p care sut reale iclusiv î cazul î care blocul are valori proprii complexe. Î coseciţă matricea M este reală produsul Q reprezită factorizarea Q a matricei M cu Q şi reale şi deci toate calculele aferete uui pas dublu Q pot fi efectuate î exclusivitate î aritmetică reală. Mai mult matricea + di (4) fiid aceeaşi cu matricea + di () pasul dublu Q coservă şi el structura superior esseberg. Î cocluzie algoritmul Q cu deplasare explicită cu pas dublu are la bază următoarea schemă de calcul. Petru K. s h + h p h h h h. 3. e calculează M s + pi 4. e factorizează M Q 5. Q Q care î forma implemetabilă se completează cu procedura de truchiere costâd î aularea efectivă a elemetelor subdiagoale ce satisfac o codiţie de tipul (8) sau (9) şi moitorizarea elemetelor subdiagoale ule petru detectarea termiării (testul de termiare ar putea fi iexisteţa a două elemete subdiagoale eule cosecutive). chema asigură o covergeţă rapidă a matricei către o structură cvasisuperior triughiulară cu blocuri diagoale de dimesiue cel mult care fie că este chiar forma chur reală urmărită fie că permite calculul direct şi imediat al acestei forme pri triagularizarea cu autorul uor trasformări de asemăare ortogoală a blocurilor cu valori proprii reale. Motivul petru care schema (7) u costituie suportul implemetărilor profesioale ale algoritmului Q este legat de slaba sa eficieţă. Îtr-adevăr este uşor de văzut că u pas simplu Q are o complexitate O( ) datorată î pricipal structurii esseberg cu care operează. Doi paşi simpli Q vor avea aceeaşi complexitate. Î schimb u pas dublu î variata (7) ecesită calculul explicit al matricei M crescâd complexitatea la O( 3 ). Acest spor de efort de calcul u are o fudametare teoretică ci se datorează mai curâd iabilităţii oastre de a orgaiza calculele î cadrul uui pas dublu Q î aşa fel îcât să păstrăm complexitatea O( ). Aşa cum se va vedea î secţiuea următoare abilitatea ecesară petru evitarea creşterii complexităţii este departe de a fi baală. G 9.6. Algoritmul Q cu deplasare implicită Baza teoretică a elaborării uui algoritm eficiet petru u pas dublu Q este dată de teorema 6 coform căreia reducerea uei matrice la forma superior esseberg pri trasformări ortogoale de asemăare are matricea ortogoală de trasformare determiată î eseţă de prima sa coloaă. 6

Cocret putem reduce complexitatea uui pas dublu Q la O( ) procedâd î modul următor:. e calculează prima coloaă a matricei M i.e. m M (:).. e determiă reflectorul elemetar astfel ca adică ( U m )(: ). U m m sig ( ) m e ρ e U 3. e calculează N U U 4. e aplică matricei N algoritmul Q de aducere la forma superior esseberg: Q NQ. Procedura de mai sus calculează forma superior esseberg U Q U Q Q ( ) Q cu matricea de trasformare Q avâd proprietatea Q ( : ) UQe Ue m ρ peultima egalitate datorâdu-se faptului că Q diag( Q ) (vezi algoritmul Q) iar ultima rezultă di. Pe de altă parte di prima relaţie (4) datorită formei superior triughiulare a matricei rezultă Qe ( ) m. r Î cocluzie matricele ortogoale de trasformare Q şi Q au aceeaşi primă coloaă şi deci coform teoremei 9.6 dacă matricele di (3) şi + atuci ele sut eseţial aceleaşi. Petru a e covige de complexitatea explicita relaţiile (8) - (3). Mai îtâi vectorul are expresia h h + h h + ( h + h s) m hh3 K sh p m di (4) sut ambele ireductibile O( ) a procedurii vom î care am omis scrierea idicelui asociat matricei. Vectorul m avâd umai trei compoete eule calculul său ecesită u umăr de operaţii idepedet de deci are o o complexitate (). Î plus reflectorul U di (9) are structura U O ( U ) diag I 3 3 3 cu U a cărui determiare are de asemeea o complexitate O(). Î calculul matricei N sut afectate umai primele trei liii şi primele trei coloae ale matricei. Îtr-adevăr dacă partiţioăm 7

atuci Î plus blocul şi pri urmare 3 3 U U U N U U. U U are structura M [ h ] 43 M U h 43 M 4 adică trasformarea (3) alterează structura esseberg a matricei umai î poziţiile (3) (4) şi (4). Pri urmare aplicarea algoritmului Q are ca obiectiv aularea pri trasformări ortogoale de asemăare a celor trei elemete eule ale matricei N alterate ale structurii superior esseberg. Pe de altă parte această particularitate structurală (umai trei elemete î afara structurii esseberg î matricea iiţială) obligă la adaptarea algoritmului Q astfel îcât să se obţiă o eficacitate maximă. chema de calcul a acestei particularizări a algoritmului Q este următoarea.. Petru :. e determiă reflectorul elemetar U + astfel îcât ( U N)( i ) petru i + : + 3 şi i. +. U N N + N NU + 3. N cu precizarea că difereţa faţă de algoritmul Q stadard costă î faptul că de data aceasta la fiecare pas se aulează umai două elemete (la ultimul uul sigur) celelalte elemete fiid ule di start. Nu este greu de costatat că reflectorii elemetari utilizaţi î schema (4) au structura ude U ( + I ) : 3 ( I U ) U+ diag I U 3 U diag 3 3 + U sut reflectorii elemetari de ordiul 3 respectiv. Pe această bază rezultă imediat că umărul asimptotic de operaţii aritmetice ecesar petru execuţia schemei (4) este N la care se adaugă extrageri de radicali. Dacă se op doreşte acumularea trasformărilor respectiv calculul matricei Q di relaţia (3) Q U U K sut ecesare N U op operaţii suplimetare. 8

Exemplificăm petru clarificare evoluţia structurală datorată execuţiei schemei (4) petru cazul particular. 5 N U N N NU N U 3 N N NU 3 N U 4 N N NU 4 N. Î diagramele de mai sus simbolul marchează elemetele care alterează structura esseberg simbolul marchează elemetele aulate la pasul curet iar îcadrările marchează elemetele afectate de multiplicarea matriceală curetă. Î cocluzie complexitatea pasului dublu Q cu deplasare implicită defiit de (8)-(3) şi prezetat prima dată de J. Fracis [9] şi V.N. Kublaovsaia [] î 96 este această formă reprezetâd baza implemetărilor performate ale algoritmului Q de reducere iterativă a uei matrice la forma chur reală. ( ) O Î scrierea efectivă a algoritmului de implemetare a uui pas dublu Q cu deplasare implicită di motive de cocizie vom utiliza fucţiile refmat şi matref de premultiplicare respectiv de postmultiplicare cu u reflector elemetar (vezi algoritmii 9.3 şi 9.4) al căror apel ţie seama de structura specială di acest caz. De asemeea u se realizează calculul efectiv al matricei de trasformare dar vor fi furizate elemetele defiitorii ale reflectorilor utilizaţi. Cocret petru calculul matricei Q este suficietă cuoaşterea reflectorilor de ordiul 3 şi : u β u u I U 3 3 u β u u I U ale căror elemete defiitorii vor fi memorate îtr-o matrice ( 3 ) V astfel îcât : u ) : ( V şi u vector al scalarilor u ) V( : b. : β Cu aceste precizări prezetăm mai os algoritmul de implemetare a uui pas dublu Q cu deplasare implicită cu cometarii care să permită idetificarea simplă a cosideraţiilor teoretice de mai sus. 9

Algoritmul 6 [ V b] Q ( ) /* Implemetarea uui pas dublu Q cu deplasare implicită. /* Itrări: ordiul matricei esseberg ireductibile de itrare; /* matricea reală superior esseberg ireductibilă /* Ieşiri: Q Q - suprascrierea matricei de itrare cu matricea /* succesor di şirul Q cu paşi dubli; /* 3 ( ) V matrice cu elemetele vectorilor de ordiul 3 ce /* defiesc reflectorii utilizaţi; /* b vectorul ce coţie scalarii β../* Calculul sumei şi produsului deplasărilor (6). s ( ) + ( ). p ( ) ( ) ( ) ( ). /* Calculul elemetelor eule di m cu (36). m () ( ()) + () () s ( ) + p. m () () ( () + () s) 3. m (3) () (3) 3. /* Calculul reflectorului elemetar di (37). σ sig( m ()) m. u ( ) m () + σ 3. u ( : 3) m ( : 3) 4. V (:) u 5. b( ) β u() σ 4. /*Calculul matricei N U U di (3). [ (: 3:)] refmat ( u b() (: 3:) ). [ (: 4:3)] matref ( (: 4: 3) u b()) 5. /*eaducerea lui la forma superior esseberg. Petru : 3. /* Calculul reflectorului U + U. σ sig( ( + )) ( + : + 3 ). u ( ) ( + ) + σ 3. u ( : 3) ( + : + 3 ) 4. V (: + ) u 5. ( + ) β + u() σ b. /* Calcul U + U +. ( + ) σ. ( + : + 3 ) 3. [ ( + : + 3 + : )] refmat ( u b( + ) ( + : + 3 + : ) ) 4. r mi( + 4 ) 5. [ (: r + : + 3)]

matref ( (: r + : + 3) u b( + )). /* Calculul reflectorului U. σ sig( ( )) ( : ). u ( ) ( ) + σ 3. u( ) ( ) 4. u( 3) 5. V (: ) u 6. b( ) β u() σ 3. /* Calculul U U. ( ) σ. ( ) 3. [ ( : : )] refmat ( u(: ) b( ) ( : : ) ) 4. [ (: : )] matref ( (: : ) u(: ) b( )) Algoritmul 5 de reducere la formă superior esseberg şi algoritmul 9.6 de iterare î costrucţia şirului Q reprezită baza programelor profesioale de calcul a valorilor proprii (cum ar fi cele di sistemele de programe ştiiţifice EIPACK LAPACK MALAB MAEMAICA). Petru a descrie îtregul proces de calcul cuoscut sub umele de algoritmul Q trebuie să cotrolăm procesul iterativ pri aularea efectivă a elemetelor subdiagoale la scăderea lor sub u prag precizat moitorizarea elemetelor subdiagoale ule şi pe această cale creşterea eficieţei pri reducerea progresivă a dimesiuii. Petru implemetarea acestor aspecte vom utiliza faptul că deflaţia iterativă are loc cel mai rapid î raport cu colţul di dreapta os al matricei şi cu o viteză de covergeţă ceva mai redusă î raport cu colţul di stâga sus. Î coseciţă se impue î moitorizarea zerourilor subdiagoale partiţia la fiecare iteraţie a matricei curete di şirul Q î forma 3 3 33 astfel îcât blocul diagoal 33 să aibă o structură cvasisuperior-triughiulară (adică o structură cu blocuri diagoale de dimesiui cel mult ) de dimesiue maximă iar blocul să fie superior esseberg ireductibil de asemeea de dimesiue maximă (ceea ce implică p miim). Cu această partiţie iteraţia curetă se materializează î aplicarea pasului dublu Q submatricei QQ ceea ce derivă di aplicarea trasformării ortogoale de asemăare globale diagi ( pq I q) diagi ( pq Iq ) cu următoarele efecte asupra celorlalte blocuri ale partiţiei Q 3 Q 3. Algoritmul îşi epuizează fucţia î mometul î care îtreaga matrice devie cvasisuperior triughiulară respectiv parametrul q atige dimesiuea a matricei. p p 33 q q

ezultatul procesului iterativ cu moitorizarea structurală de mai sus este o structură a matricei avâd blocuri diagoale de dimesiue sau. Petru a obţie forma chur reală care este obiectivul declarat al algoritmului Q trebuie triagularizate blocurile cu valori proprii reale. Petru a vedea cum se poate realiza această operaţie vom proceda la deflaţia (vezi 9.) uei matrice B cu b şi satisfăcâd codiţia Δ ( b ) + 4b b b de existeţă a valorilor proprii reale b + b Δ b + b + Δ λ λ. Determiâd u vector propriu uitar asociat lui λ şi completâdu-l pâă la o matrice ortogoală este uşor de văzut că trasformarea ortogoală de asemăare defiită de matricea de rotaţie c s P s c cu λ b b c s b ( ) ( ) + λ b b + λ b coduce la realizarea triagularizării urmărite C P B P λ b λ b. La ivelul matricei cvasisuperior triughiulare dacă blocul diagoal cu valori proprii reale se află pe liiile şi coloaele + atuci petru triagularizarea lui se aplică o trasformare de forma diag ( I P I ) diag ( I P ) I cu P calculat ca mai sus. La fel ca şi î cazul reflectorilor petru descrierea algoritmică a trasformării (56) vom itroduce două proceduri. Prima procedură umită rotmat va realiza premultiplicarea cu p suprascriere A PA a uei matrice A cu o rotaţie P avâd expresia (53) şi dată de parametri scalari c şi s. Algoritmul 7. [A] rotmat ( c s A) /* Premultiplicarea uei matrice cu o rotaţie. /* Itrări: c s parametri defiitori ai rotaţiei; /* p A matricea dată. /* Ieşiri: A PA.. Petru : p. α ca ( ) + sa( ). A ( ) sa( ) + ca( )

3. A ( ) α Evidet u apel [A] rotmat ( c s A) va realiza suprascrierea A P A. A doua procedură umită matrot va realiza postmultiplicarea cu suprascriere A AP a uei matrice A m cu o rotaţie P avâd expresia (53) şi dată de parametri scalari c şi s. Algoritmu 8. [A] matrot ( A c s) /* Postmultiplicarea uei matrice cu o rotaţie. /* Itrări: c s parametri defiitori ai rotaţiei; /* A m matricea dată. /* Ieşiri: A AP.. Petru i : m. α A( i) c A( i) s. A( i) A( i) s + A( i) c 3. A( i) α. utem î măsură acum să prezetăm î toată pleitudiea sa algoritmul Q. oate matricele şirului Q vor suprascrie matricea iiţială dată. Î mod facultativ pe baza variabilei de opţiue opt algoritmul calculează matricea de trasformare ortogoală cumulată Q. Petru cocizie produsele matriceale u au fost explicitate dar se atrage ateţia că ele trebuie făcute cât mai ecoomicos exploatâd particularităţile structurale ale matricelor factor. Algoritmul 9. [ A Q] Q ( A εopt) /* Algoritmul Q de reducere a uei matrice reale la forma chur /* reală pri trasformări ortogoale de asemăare. /* Itrări: ordiul matricei iiţiale A ; /* A matricea dată; /* ε toleraţa petru detectarea elemetelor de modul egliabil; /* opt opţiuea de calcul a matricei de trasformare ( Y sau N ). /* Ieşiri: A Q AQ - matricea redusă la forma chur reală; /* Q matricea ortogoală de trasformare.. /* Iiţializarea matricei Q. Q I. /* educerea matricei A la formă superior esseberg. [ A Q V b] Q ( Aopt) 3. /* educerea matricei superior esseberg la formă cvasisuperior triughiulară. p. q 3. Cât timp q <. /* Aularea elemetelor subdiagoale egliabile. Petru i p + : q. Dacă A ( i + i) ε ( A( i i) + A( i + i) ) atuci 3

. A(i + i )./* tabilirea valorii maxime petru q şi a valorii miime petru p astfel îcât blocul superior esseberg A di () să fie ireductibil de dimesiue maximă.. test UE. Cât timp tes t UE şi q <. Dacă A( q q ) atuci. q q + altfel. Dacă q < şi A ( q q ) atuci. q q + altfel. test FALE 3. Dacă q < atuci. p q. Cât timp A ( p p ). p p altfel. /* Matricea A are formă cvasisuperior triughiulară. /*riagularizarea blocurilor diagoale cu valori proprii reale. i. Cât timp i <. Dacă A( i + i ) atuci. A ( i i) A( i + i + ) + 4A( i + i) A( i i +. Dacă δ atuci. σ A ( i i) + A( i + i + ) δ ( ) ). δ δ σ δ 3. λ σ + δ 4. λ ( A( i + i) ) + ( λ A( i + + ) ) 5. ρ i λ A ( i + i + ) A( i + i) 6. c s ρ ρ 7. A ( i i) λ A( i + i + ) λ 8. A( i i + ) A( i i + ) A( i + i ) 9. A ( i + i). Dacă i > atuci. A ( : i i : i + ) matrot ( A( : i i : i + ) c s). Dacă i + < atuci. A ( i : i + i + : ) rotmat ( c s A (i : i + i + : )) 4

. Dacă opt Y atuci. Q(: i : i + ) matrot ( Q (: i : i + ) c s) 3. i i + altfel. i i + 3. /* ermiarea algoritmului. EUN 4. /* Aplicarea uui pas dublu Q cu deplasare implicită blocului diagoal A. [ A ( p + : q p + : q) V b] Q ( p q A( p + : q p + : q)). Petru i : p q. v V ( : 3 i). m p + i 3. Dacă p > atuci. A ( : pm : m + ) matref ( A (: p m : m + ) v b( i)) 4. Dacă q > atuci. A ( m : m + q + : ) refmat ( v b(i) A( m : m + q + : )) 5. Dacă opt Y atuci. Q(: m : m + ) matref ( Q (: m : m + ) v b( i)) 3./* Idem petru i p q. m q. v V (: p q ) 3. Dacă p > atuci. A ( : p m : m + ) matre f ( A (: p m : m + ) v b( i)) 4. Dacă q > atuci. A ( m : m + m : m + ) refmat ( v b( i) A( m : m + m : m + )) 5. Dacă opt Y atuci. Q (: m : m + ) matref ( Q (: m : m + ) v b( p q )) Evaluarea complexităţii algoritmului Q u poate fi făcută decât î mod empiric datorită prezeţei procesului iterativ. tatisticile şi umeroasele experimete umerice arată că î medie sut suficiete două iteraţii Q petru aularea coveţioală a uui elemet 3 subdiagoal. Î aceastã ipoteză petru calculul formei chur reale sut ecesare N operaţii aritmetice iar petru calculul matricei de trasformare alte ce îcadrează algoritmul Q î categoria algoritmilor cu complexitate N op O( 3 ). 5 3 op operaţii ceea Observaţii. Aşa cum s-a prezetat î secţiuea 9. forma chur reală a uei matrice este determiată pâă la o ordoare a blocurilor diagoale. Forma chur reală calculată de algoritmul 9.9 u satisface ici u criteriu a priori fixat privitor la ordiea blocurilor diagoale. Î mometul î care o formă chur a uei matrice date satisface u criteriu precizat de ordie a blocurilor diagoale este umită î mod uzual formă chur reală ordoată. Petru a putea 5

ordoa după doriţă blocurile diagoale este suficiet să dispuem de u miloc de permutare a două elemete (blocuri) diagoale vecie. Î cazul ostru u astfel de istrumet trebuie să fie o trasformare de asemăare ortogoală. Propuem cititorului ca exerciţiu găsirea trasformărilor ortogoale de asemăare care permută două blocuri diagoale vecie î toate situaţiile structurale posibile respectiv: a) două blocuri scalare; b) două blocuri ; c) u bloc cu u bloc şi d) u bloc cu u bloc. Dacă apar dificultăţi cosultaţi de exemplu lucrarea [5]. Ordoarea formei chur (reale) permite evideţierea uor subspaţii ivariate asociate uui grup de valori proprii şi calculul uor baze ortogoale petru acestea. Îtr-adevăr dacă Q AQ este forma chur reală ordoată astfel îcât î partiţia p p blocul coţie valorile proprii de iteres atuci este uşor de văzut că subspaţiul liiar Im Q ude Q Q( : : p) este u subspaţiu A-ivariat asociat grupului de valori proprii λ( ) λ( A) iar coloaele matricei Q formează o bază ortogoală a acestui subspaţiu. De ac eea î [9] este folosit pe scară largă coceptul de sistem propriu al uei matrice defiit de o pereche (grup de valori proprii subspaţiu ivariat asociat) ca o geeralizare aturală a coceptului (valoare proprie vector (direcţie) proprie asociat(ă)). Calculul vectorilor proprii Algoritmul 9 calculează forma chur reală Q AQ a uei matrice A date. Coform cu cele prezetate î secţiuea 9. dac ă y este u vector propriu al matricei asociat valorii proprii λ λ( ) λ( A) respectiv y λy atuci x Qy este u vector propriu al matricei A asociat aceleaşi valori proprii λ. Î coseciţă dacă algoritmul Q calculează matricea de trasformare Q calculul vectorilor proprii asociaţi valorilor proprii reale se reduce la rezolvarea sistemelor liiare (66) şi multiplicărilor (67). Dacă λ este o valoare proprie distictă rezolvarea sistemului omoge (66) u ridică probleme. Î acest caz sistemul (66) are forma λi 3 y 3 y λ I 33 y cu y y ( ) şi cu blocurile λi şi 33 λi esigulare. De aici rezultă şi deci vectorul propriu are structura y ( λ I ) } y α } } cu α \ {} arbitrar. Î cocluzie calculul lui y se reduce la rezolvarea uui sistem liiar cvasitriughiular de ordiul. Î cazul valorilor proprii reale multiple (idetitatea a două valori proprii calculate este practic imposibilă datorită aritmeticii aproximative) apar 6

dificultăţi importate datorită proastei codiţioări umerice a matricelor λi şi/sau 33 λi şi de aceea se recomadă utilizarea uor procedee speciale. Petru valori proprii complex cougate disticte λ ( ) λ( ) λ( A) + α ± iβ λ vectorii proprii asociaţi matricei pot avea forma y u ± iv u v +. Vectorii reali u v se pot calcula pri rezolvarea sistemului omoge sigular dimesioal Cum β u v αu βv β u α v + Pe baza partiţiei u ( αi ) v β ( α + ( α + β ) I ) v. 3 3 ( ) ( ) acceptate dea a matricei a doua ecuaţie se scrie α + ( α + β ) I 33 33 + 33 ( ) ( ) α 33 v v + ( α + β ) I v ude s-a ţiut seama de faptul că blocul este aulator petru propriul poliom caracteristic (Cayley-amilto) iar marchează blocurile eiteresate. Dacă valorile proprii sut disticte de celelalte valori proprii ale matricei atuci matricele ( α + β ) ( α + β ) I α + I 33 şi 33 α 33 sut esigulare şi pri urmare ecuaţia (75) are ca soluţie u vector v avâd v α v β arbitrar v ( + ) v + u obţiâdu-se di prima relaţie. Vectorii proprii ai matricei iiţiale A asociate aceloraşi valori proprii şi avâd structura 7

x z ± + s e calculează separat părţile reală şi imagiară z w Q u Q v. iw z w O alterativă petru tehicile de calcul de mai sus a vectorilor proprii recomadată mai ales î cazurile î care se cere u set redus de vectori proprii evită acumularea trasformărilor î matrice a Q şi apelează la metoda puterii iverse coform schemei:. educerea matricei la forma superior esseberg cu algoritmul Q A U AU.. e aplică iterarea Q cu pas dublu cu deplasare implicită fără acumularea trasformărilor pâă la evideţierea valorii proprii λ al cărei vector propriu asociat dorim să-l calculăm. 3. e aplică algoritmul 9. (metoda puterii iverse) matricei cu deplasarea iiţială μ λ care produce u vector y astfel îcât y λy. 4. e calculează vectorul propriu căutat x Uy. Dacă se doresc mai mulţi vectori proprii se repetă paşii -4 de ma i sus. Iterarea iversă petru o matrice superior esseberg reprezită o soluţie foarte ecoomică îtrucât practic s-a costatat că este suficietă o sigură iteraţie (de complexitate O( )) petru calculul vectorului propriu y. Î acest fel partea cea mai complexă a schemei de mai sus este reducerea la forma superior esseberg şi evideţierea iterativă a valorii proprii dorite. Dacă umărul vectorilor proprii doriţi este mare (de exemplu mai mare decât 4 ) atuci iterarea Q devie comparabilă cu cea di algoritmul 9.9 şi avataul schemei de mai sus u mai este evidet. Î îcheiere dorim să meţioăm di ou faptul că î multe aplicaţii vectorii proprii pot fi îlocuiţi cu succes cu vectorii chur respectiv de coloaele matricei de trasformare Q al căror calcul opţioal este luat î cosiderare de către algoritmul 9.9 şi se efectuează cu o mare acurateţe. 8