STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice 03

Recenzoval: Doc. RNDr. Viktor Pirč, CSc. ISBN 978-80-553-47-3 Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú autori. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou. Sadzba programom pdfl A TEX fontom Latin Modern Bogusława Jackowskeho a Janusza M. Nowackeho. c Ján Buša, Štefan Schrötter, 03

Obsah ÚVOD 5 ALGEBRA 6. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov.................... 6. Rovnice. Lineárne a kvadratické rovnice...............3 Sústavy lineárnych rovníc...................... 9.4 Polynómy. Korene mnohočlena. Algebrické rovnice........ 33.5 Riešenie nerovníc. Kvadratické nerovnice.............. 37.6 Rovnice a nerovnice s neznámou v absolútnej hodnote...... 44 FUNKCIE 50. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie.............. 50. Konštantná, lineárna a kvadratická funkcia. Lineárna lomená funkcia a funkcie s absolútnou hodnotou......... 54.3 Funkcia n-tá odmocnina a iracionálne rovnice........... 7.4 Exponenciálna funkcia a exponenciálne rovnice.......... 79.5 Základné vlastnosti logaritmu a logaritmická funkcia. Logaritmické rovnice............................. 83 3 GONIOMETRIA 96 3. Goniometrické funkcie a ich vlastnosti............... 96 3. Goniometrické rovnice........................ 09 4 ANALYTICKÁ GEOMETRIA 3 4. Pravouhlá sústava súradníc v rovine................ 3 4. Vektory a operácie s vektormi v rovine............... 4 4.3 Priamka v rovine........................... 7 4.4 Vzájomná poloha dvoch priamok v rovine............. 3 4.5 Vzdialenosť bodu od priamky.................... 6 4.6 Priamka a rovina v trojrozmernom priestore............ 8 4.7 Analytické vyjadrenie kružnice v rovine.............. 3 4.8 Elipsa, hyperbola, parabola v rovine a ich dotyčnice....... 36 4.9 Určenie charakteristík kužeľosečiek................. 40 5 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 45 5. Pojem komplexného čísla...................... 45 5. Gaussova rovina a goniometrický tvar komplexného čísla..... 46 5.3 Operácie s komplexnými číslami................... 5 5.4 Odmocnina komplexného čísla.................... 58 3

6 POSTUPNOSTI A KOMBINATORIKA 66 6. Postupnosti základné pojmy.................... 66 6. Kombinatorika............................ 70 LITERATÚRA 74 4

ÚVOD Cieľom tejto učebnej príručky je pomôcť študentom prvého ročníka a záujemcom o štúdium na Fakulte elektrotechniky a informatiky Technickej univerzity v Košiciach pri zopakovaní si základných poznatkov zo stredoškolskej matematiky. Autori pri zostavovaní pomôcky vychádzali z učebníc a zbierok, ktoré sa používajú na gymnáziách a z ďalších zdrojov, uvedených v literatúre. Táto pomôcka umožní absolventom stredných škôl získať prehľad o hlavných požiadavkách zo stredoškolskej matematiky pri začiatku štúdia na FEI TU v Košiciach. V každej časti sú uvedené najčastejšie používané základné pravidlá, vety, definície, vzorce, ako aj vzorové riešené príklady. Ďalej ku každej časti sú uvedené typické príklady na precvičenie. K týmto príkladom sú hneď v hranatých zátvorkách uvedené výsledky. V rámci riešenia niektorých príkladov sme použili neštandardný znak typu α = (pozri napr. riešenie príkladu. na strane ) tu odporúčame čitateľovi najskôr sa pokúsiť zistiť, či rozumie takto označenej rovnosti. Ak si nie je istý, tak môže nazrieť na nasledujúci text, kde nájde informáciu typu: v rovnosti = α sme... nasleduje vysvetlenie (veríme, že postačujúce). Upozorňujeme, že táto pomôcka nie je uceleným opakovaním stredoškolskej matematiky. Má poslúžiť ako doplnok v rámci kurzov matematiky na FEI TU v Košiciach, prípadne na iných fakultách. Touto cestou chceme poďakovať Doc. RNDr. Viktorovi Pirčovi, CSc. za cenné pripomienky, ktoré prispeli ku tvorbe a skvalitneniu tejto pomôcky. Učebná pomôcka neprešla jazykovou úpravou. Autori 5

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme spravidla jedným z týchto spôsobov: vymenovaním (vypísaním) všetkých prvkov, napr. A = {; 4; 3,}, B = = {a, b}, C = {0}; uvedením charakteristických vlastností prvkov, ktoré patria do množiny, napr. množina študentov. ročníka na FEI TU v Košiciach v roku 03 alebo množina A = {x R; x < }. Nech A, B sú množiny. Zápis A = B označuje ich rovnosť, A B ich zjednotenie, A B ich prienik, A B ich rozdiel (v danom poradí). Zápis A B znamená, že množina A je podmnožinou množiny B. Ak A B, tak množinu B A nazývame doplnok množiny A v množine B. Číselné množiny (obory) definujeme intuitívne na základe ich vlastností (exaktné definície sú viazané na zložitý matematický aparát). Budeme používať tieto označenia: N obor prirodzených čísel (množina všetkých prirodzených čísel). Sú to čísla,, 3, 4, 5,... Slúžia na vyjadrenie počtu ; Z obor celých čísel (množina všetkých celých čísel); Q obor racionálnych čísel (množina všetkých racionálnych čísel); R obor reálnych čísel (množina všetkých reálnych čísel); C obor komplexných čísel (množina všetkých komplexných čísel). Číselné obory sú vo vzájomnom vzťahu, ktorý môžeme zapísať takto: N Z Q R C. Každé reálne číslo, ktoré nie je racionálne, nazývame iracionálnym číslom. V každom číselnom obore používame základné operácie sčítanie a násobenie. Ostatné operácie odčítanie, delenie a umocňovanie môžeme definovať pomocou sčítania a násobenia. Uvedieme vlastnosti týchto operácií k tomu potrebujeme pojem premenná. Niektorí autori zahŕňajú do množiny prirodzených čísel aj číslo 0. 6

Keď chceme jedným zápisom vyjadriť viaceré konkrétne čísla (konkrétne číslo je číslo, ktoré môžeme zapísať číslicami s prípadným použitím dohodnutých symbolov napr. 3,3 a tiež sin 5,), alebo keď chceme vyjadriť jediným zápisom rovnaké počtové úkony s číslami, tak používame písmená. Takéto písmená nazývame premenné, napr. x, y, z, u, v. Grécke písmeno π je zvyčajne vyčlenené na označenie Ludolfovho čísla. Ak hovoríme o premennej, takmer vždy je nevyhnutné poznať obor premennej O, čo je číselná množina, ktorej prvky premenná zastupuje. Obor reálnych čísel tvorí najdôležitejšiu číselnú množinu. Vymedzíme ju popisom základných vlastností operácií a usporiadania (odporúčame premyslieť si, či sú tieto vlastnosti splnené v ostatných číselných množinách). Nech a, b, c sú ľubovoľné reálne čísla. Potom operácie sčítania a násobenia sú uzavreté v R, t. j. a + b R, a b R; platí komutatívnosť sčítania a násobenia: a + b = b + a ; a b = b a ; platí asociatívnosť sčítania a násobenia: a + (b + c) = (a + b) + c ; a (b c) = (a b) c ; platí distributívnosť násobenia vzhľadom k sčítaniu: a (b + c) = a b + a c ; existuje práve jedno číslo 0 R také, že a + 0 = a ; existuje práve jedno číslo R, 0, také, že a = a ; k číslu a R existuje práve jedno x R také, že a + x = 0. Toto číslo x nazývame opačným číslom k číslu a a označujeme ho ( a) ; ak a 0, tak existuje práve jedno číslo y také, že a y =. Toto číslo nazývame prevráteným číslom k číslu a a označujeme ho zápisom /a, a alebo a. Odčítanie a delenie reálnych čísel a, b definujeme takto: a b = a + ( b), a b = a b pre b 0 Každé reálne číslo je na číselnej osi zobrazené práve jedným bodom. Každý bod číselnej osi je obrazom práve jedného reálneho čísla. 7

Veta. Nech a, b, c, d R, b 0, d 0. Potom. a b = c d 3. a b + c d práve vtedy, keď ad = bc ;. ab db = a d ; = ad + bc bd ; 4. a b c d = ac bd ; 5. a b : c d = ad bc pre c 0. Usporiadanie reálnych čísel má tieto vlastnosti: trichotómia usporiadania, t. j. pre každé dve reálne čísla a, b platí práve jeden z nasledujúcich troch vzťahov a < b, a = b, a > b ; tranzitívnosť usporiadania, t. j. ak a < b, b < c, tak a < c; ak a < b, tak a + c < b + c pre každé c R; ak 0 < a, 0 < b, tak 0 < ab. Veta. Nech a, b, c, d sú ľubovoľné reálne čísla. Potom a) ak a < b a c < d, tak a + c < b + d; b) ak a < b a c > 0, tak ac < bc; c) ak a < b a c < 0, tak ac > bc; d) ak 0 < a < b, tak b < a ; e) ak 0 < a < b a 0 < c < d, tak ac < bd. Zápis a b (a b) znamená, že a < b (a > b) alebo a = b. Platí napr.: ak a b a súčasne b a, tak a = b. Premyslite si, v ktorých častiach vety. môžeme znak <, resp. >, zameniť za znak, resp.. Z podmnožín množiny reálnych čísel sa najčastejšie používajú intervaly a ich zjednotenia. Ohraničené intervaly s krajnými bodmi a, b, a < b sú tieto množiny: a, b = {x R; (a, b) = {x R; a, b) = {x R; (a, b = {x R; a x b} uzavretý interval; a < x < b} otvorený interval; a x < b}; a < x b}. Posledné dva intervaly nazývame polootvorené alebo polouzavreté. Dĺžka (veľkosť) ľubovoľného z týchto štyroch intervalov je d = b a. Neohraničené intervaly s krajným bodom a R sú tieto množiny: (, a = {x R; x a}, (, a) = {x R; x < a} ; a, + ) = {x R; x a}, (a, + ) = {x R; x > a}. 8

Obor reálnych čísel R zapisujeme tiež ako interval (, + ). Pri symbole + často znak + vynechávame. Absolútna hodnota čísla a R je číslo a definované takto: a = { a pre a 0; a pre a < 0. (.) Pre absolútnu hodnotu platia tieto základné vlastnosti: Veta.3 Nech a, b sú ľubovoľné reálne čísla. Potom platí:. a 0, pričom a = 0 práve vtedy, keď a = 0;. a = a ; 3. a b = a b ; 4. a = a pre b 0; 5. a b a + b a + b. b b Nech a je ľubovoľné reálne číslo. n-tú mocninu čísla a (označujeme a n ) definujeme takto:. ak n =, tak a = a;. ak n N a n >, tak a n = } a a {{... a } ; n činiteľov 3. ak n = 0, a 0, tak a 0 = ; 4. ak n N, tak pre a 0 je a n = a n. Veta.4 Pre každé a R, a 0 a každé n N existuje práve jedno číslo x R, x 0, také, že x n = a. Nech a je nezáporné reálne číslo a n prirodzené číslo. n-tú odmocninu čísla a definujeme ako nezáporné číslo x, pre ktoré platí x n = a. Zapisujeme x = n a. n-tú odmocninu, kde n je nepárne číslo, zo záporného reálneho čísla a definujeme takto: n a = n a (a < 0). Ak n je párne číslo, tak n-tú odmocninu zo záporného čísla v R nedefinujeme. Poznamenávame, že vyššie definovaná n-tá odmocnina reálneho čísla je v množine R uzavretá. Pripomíname, že pre ľubovoľné a R platí a = a, ale 3 a3 = a pre každé a R. Tieto rovnosti môžeme takto zovšeobecniť: n an = a pre párne n a n an = a pre nepárne n. (.) 9

Nech a > 0 je reálne číslo a m n je racionálne číslo (t. j. m Z a n N). Potom definujeme tzv. racionálnu mocninu čísla a takto: a m n = n a m. (.3) Neuvedieme presnú definíciu mocniny a r, kde a R, a > 0, pre reálny exponent r, ale uvedieme vlastnosti tejto všeobecnej mocniny. Veta.5 Nech r, s sú ľubovoľné reálne čísla. Potom platí:. a r a s = a r+s ;. (a r ) s = a rs ; 3. a r b r = (ab) r ; 4. a r a s = a r s ; ( a ) r 5. ar b r = ; b 6. ak 0 < a < b a r > 0, tak a r < b r ( nerovnosť sa zachová ), ale ak 0 < a < b a r < 0, tak a r > b r ( nerovnosť sa obráti ;) 7. ak a > a r < s, tak a r < a s ( nerovnosť sa zachová ), ale ak 0 < a < a r < s, tak a r > a s ( nerovnosť sa obráti ); 8 r = pre každé r R, 0 r = 0 pre každé r > 0. Odporúčame čitateľovi, aby si premyslel otázku platnosti vzťahov 7 z vety.5 pre záporné reálne čísla a, b v prípade, keď r, s sú z množiny N, resp. Z, resp. Q. Algebrický výraz je zápis, skladajúci sa z čísel a písmen, ktoré označujú premenné. Tieto čísla a písmená sú pospájané znakmi operácií: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocnenie, odmocnenie. Obyčajne obsahujú aj zátvorky, ktoré určujú poradie naznačených operácií. Úprava výrazu V je jeho nahradenie jednoduchším výrazom V, pričom V = V (na definičnom obore výrazu V, ktorý zadefinujeme o chvíľu). Zjednodušenie výrazu je taký súbor úprav, po ktorých dostaneme výraz napríklad s menším počtom členov, zátvoriek, premenných dá sa povedať, že obsahuje menej znakov operácií ako obsahoval pôvodný algebrický výraz. Zvyčajne požadujeme, aby zjednodušený výraz bol napríklad v tvare súčinu alebo v tvare zlomku, ktorý sa nedá krátiť alebo aby neobsahoval odmocninu v menovateli zlomku (pozri príklad.). Pri úprave výrazu treba často vymedziť, pre ktoré hodnoty premenných má výraz zmysel. Určujeme pritom množinu všetkých tých hodnôt premenných, pre ktoré má výraz zmysel (uvažovanú množinu nazývame definičným oborom výrazu a označujeme D). To obyčajne vedie k riešeniu rovníc alebo nerovníc. 0

Pretože touto problematikou sa budeme zaoberať neskôr, odporúčame riešiteľovi cvičení, aby sa v prípade nejasností vrátil k tejto záležitosti po precvičení príslušných úloh z rovníc a nerovníc. Pri samotnej úprave výrazu využívame už skôr uvedené vlastnosti reálnych čísel. Pri výrazoch, ktoré obsahujú zlomky, často využívame známu vlastnosť a c b c = a b pre b 0, c 0 (tzv. krátenie zlomku). K tomu je potrebné upraviť výrazy v čitateli a v menovateli tak, aby obsahovali činitele s rovnakým základom (v predchádzajúcom vzorci je uvažovaný rovnaký základ reprezentovaný písmenom c). To si vyžaduje istú rutinu, zbehlosť v úpravách výrazov do tvaru súčinu (tieto úpravy nám pomôžu aj pri riešení rovníc a nerovníc). Uvedieme základné metódy na dosiahnutie tohto cieľa: vytknutie pred zátvorku, napr. 6x 5 + 8x 3 x = x (3x 3 + 4x 6); ak upravovaný výraz je kvadratický trojčlen ax + bx + c, a 0, ktorého korene (nulové body) sú čísla x a x (pozri kapitolu o kvadratických rovniciach), tak napr. 3x 4x 4 = 3(x ) ( x + 3) ; ax + bx + c = a(x x )(x x ), (.4) zovšeobecnením predchádzajúcej metódy je rozklad polynómu na súčin v prípade, ak poznáme nejaký koreň tohto polynómu to je ale v náplni učebných osnov prvého semestra na našej fakulte. Napr. číslo je koreňom polynómu y 4 + y 3 + y 4, a preto y 4 + y 3 + y 4 = (y + )(y 3 + y ); po združení vhodných častí výrazu vytknutie spoločného výrazu pred zátvorku, napr. 3a + az 6a z α = 3a(a ) + z(a ) β = (a )(3a + z), kde α v rovnosti = sme združili prvý a tretí člen daného výrazu a druhý člen so štvrtým. V oboch prípadoch sme tieto združené výrazy upravili so spoločným činiteľom (a ); v rovnosti β = sme vytkli pred zátvorku tento spoločný činiteľ.

často nám pomôžu nižšie uvedené vzorce, ktoré umožňujú zapísať istý typ výrazu v tvare súčinu. Pre ľubovoľné reálne čísla a a b platí: a b = (a b)(a + b) (.5) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) (.6) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) (.7) a ± ab + b = (a ± b) (.8) a 3 ± 3a b + 3ab ± b 3 = (a ± b) 3. (.9) všeobecné výrazy typu a n b n, n, môžeme zapísať v tvare súčinu, kde jeden z činiteľov je (a b); výraz typu a n +b n, n k, kde k N, môžeme zapísať v tvare súčinu, kde jeden z činiteľov je (a s + b s ), s N. Ukážky týchto úprav sú uvedené v príklade.. Výrazy a + b, a 4 + b 4, a 8 + b 8 atď, sa nedajú zapísať v tvare súčinu s nejakým činiteľom typu a s + b s, s N. Zdôrazňujeme, že tieto úvahy platia v množine R (neplatia v C). Príklad. Vyjadrime číslo a = 3 + 3 + 3 3 použitím čo najmenšieho počtu druhých odmocnín. Riešenie. a = α ( 3 + ) ( 3 )( 3 + )) + ( 3 3) ( 3 + 3)( 3 3) 3 β = 3 3 β = ( 3 + ) 3 3 + 3 γ = 6 3 + 6 3 + 3 4 3 = 6 3 6 3 + 9 =, 6 kde v rovnosti = α sme odstránili pomocou tzv. združených výrazov odmocniny (iracionality) z menovateľov jednotlivých zlomkov: prvý zlomok sme vynásobili vhodnou jednotkou v tvare ( 3 + ) ( ( 3 3), druhý zlomok 3 + ) ( a tretí zlomok 3 3) 3 3 ; v rovnosti β = sme upravili čitatele a menovatele zlomkov; v rovnosti γ = sme upravili zlomky na najmenší spoločný menovateľ.

Príklad. Rozložme na súčin: a) (5n + ) (n + 5) ; b) a 4 b 4 ; c) a 6 + b 6 ; d) a 3 3a + ; e) x 3 + 3x 4x. Riešenie. a) (5n + ) (n + 5) α = [(5n + ) + (n + 5)] [(5n + ) (n + 5)] = = (7n + 7)(3n 3) = (n + )(n ), kde v rovnosti α = sme v známom vzorci (.5) položili a = 5n + a b = n + 5. b) a 4 b 4 = ( a ) ( b ) α = (a b )(a + b ) β = (a b)(a + b)(a + b ), kde v rovnosti α = sme vo vzorci (.5) nahradili a s a a b s b a v rovnosti β = sme použili samotný vzorec (.5). c) a 6 + b 6 = ( a ) 3 + ( b ) 3 α = (a + b )(a 4 a b + b 4 ), kde v rovnosti α = sme vo vzorci (.7) nahradili a s a a b s b. d) a 3 3a + α = a 3 a a + β = a(a )(a + ) (a ) γ = γ = (a )(a + a ) δ = (a )(a )(a + ) = = (a ) (a + ), kde v rovnosti α = sme nahradili výraz 3a výrazom a a; v rovnosti = β sme urobili túto úpravu: a 3 a = a(a ) = a(a )(a + ); v rovnosti = γ sme vytkli pred zátvorku výraz a a upravili sme vzniknutý výraz v zátvorke; δ v rovnosti = sme podľa (.4) upravili trojčlen a + a = (a )(a + ) jeho korene sú čísla a. e) V tejto úlohe využijeme predchádzajúce poznatky: x 3 + 3x 4x = x (x + 3) 4(x + 3) = (x + 3)(x 4) = = (x + 3)(x )(x + ). Príklad.3 Upravme v R výraz x x + 36 3 4 x 4 + 3 x 3 tak, aby neobsahoval odmocninu. Riešenie. x x + 36 3 4 x 4 + 3 x 3 α = (x 6) 3 4 x 4 + 3 x 3 β = β = x 6 3 x +x, kde v rovnosti α = sme podľa (.8) upravili výraz x x+36 na tvar (x 6) a v rovnosti β = sme využili poznatok (.) Je nevyhnutné ovládať dopĺňanie kvadratického trojčlena ax +bx+c, a 0, na úplný štvorec. Cieľom tejto úpravy je vyjadriť tento kvadratický trojčlen v tvare ax + bx + c = a(x m) + s, (.0) 3

kde m a s sú konkrétne čísla ináč povedané: upraviť výraz ax + bx + c na tvar, v ktorom premenná x vystupuje len v tvare druhej mocniny (t. j. štvorca ) výrazu typu x mínus číslo m. Mohli by sme dokázať, že platí ( ax + bx + c = a x b }{{} a m Ak porovnáme (.) s (.0), tak ľahko zistíme, že m = b a a s = ) + 4ac b 4a } {{ } s 4ac b 4a.. (.) Nie je potrebné zaťažovať si mozgovú kapacitu vzťahom (.). Stačí si uvedomiť ideu dopĺňania na štvorec pozri príklad.4 a neriešené príklady. Príklad.4 Doplňme daný kvadratický výraz na úplný štvorec: a) x x + 5; b) 3x 6x; c) y 8y 4; d) 5 7z. Riešenie. Hlavná idea dopĺňania na štvorec spočíva vo vhodnom použití jedného zo vzorcov (.8): a ± ab + b = (a ± b). a). Najprv vo výraze x x + 5 združíme kvadratický a lineárny člen, t. j. x x + 5 = (x x) + 5;. potom vytkneme pred zátvorky číslo, ktoré je pri x (týmto krokom dostaneme v zátvorkách x ): (x x) + 5 = (x 6x) + 5; 3. výraz v zátvorkách upravíme tak, aby bol v tvare a ±ab+b ľavej strany vzorca (.8): ak položíme a= x, tak výraz ba získame úpravou 6x = 3 x. Ak teraz položíme b =3, tak potrebujeme ešte získať b =3 : (x 6x) + 5 = (x 3 x) + 5 α = (x 3 x + 3 3 ) + 5, kde v rovnosti α = sme pripočítali a súčasne odčítali číslo 3 ; 4. konečne podľa (.8) dostaneme (x 3 x + 3 3 ) + 5 = [ (x 3) 3 ] + 5; Z tejto rovnosti by sme mohli dokázať vzorec (.3) na výpočet koreňov kvadratickej rovnice. 4

5. jednoduchou úpravou pravej strany dostaneme x x + 5 = (x 3) 3, čo je výraz v požadovanom tvare a(x m) +s, kdea =,m =3 as = 3. b) Zopakujeme postup z časti a) tohto príkladu. Poradové čísla zodpovedajúcich krokov sme zaznamenali nad znakom =: 3x 6x. = ( 3x 6x) +. = 3(x + x) + = 3. = 3(x + x + )+ = 4. 3 [ (x + ) ] + = 5. 3 [x ( )] +5. Ak porovnáme získaný výraz s (.0), tak vidno, že tentoraz je a = 3, m = a s =5. c) To bude jednoduchšie, lebo druhý krok nie je potrebný (premenná je teraz y): y 8y 4 =. (y 8y) 4 = 3. (y 4 y + 4 4 ) 4 = 4. = [ (x 4) 4 ] 4 = 5. (x 4) 0. Pripomíname, že a =, m =4 a s = 0. d) Koeficient pri z je vo výraze 5 7z rovný nule. V takomto prípade nemusíme dopĺňať na štvorec, lebo daný výraz je v tvare (.0). Stačí si uvedomiť, že 5 7z = 7 (z 0) + 5. Odtiaľ vidno, že a = 7, m =0 a s =5. Je potrebné mať istú zručnosť aj v úpravách výrazov, v ktorých vystupujú zlomky. Tu sa musíme vo väčšine prípadov držať týchto hlavných zásad: ak sa nejaký zlomok vo výraze dá krátiť, tak najprv zlomok krátime a potom robíme ďalšie prípadné úpravy; v prípade sčitovania alebo odčitovania zlomkov nepodceniť najmenší spoločný menovateľ zlomkov. Ukážeme to na jednoduchom prípade úprav racionálnych čísel: máme upraviť číslo 9 + 0 4 5. Ak nebudeme rešpektovať spomínané zásady, tak môžeme za spoločného menovateľa zobrať súčin menovateľov: 9 + 0 4 9 0 5 + 5 4 0 = =. 5 0 5 Tu by sme sa asi bez kalkulačky pomýlili. Ak si ale všimneme, že prvý zlomok môžeme po krátení upraviť na tvar 9 = 3 4, tak dostaneme 3 4 + 0 4 3 0 5 + 4 5 4 4 0 = =. 5 4 0 5 5

To už bolo o máličko lepšie, ale ak si uvedomíme, že najmenším spoločným menovateľom je číslo 60, tak 3 4 + 0 4 5 = 3 5 4 5 + 6 0 6 4 4 45 + 6 6 = = 35 5 4 60 60 = 7. Je evidentné, že posledné úpravy boli najvhodnejšie. V predchádzajúcich dvoch prípadoch sme dostali zlomky, ktoré sa dajú krátiť (hoci sme ich čitatele nevyčíslili). A teraz si predstavme, že by sme upravovali výraz s premennými a nedodržali by sme obe hlavné zásady úprav zlomkov. Dostali by sme zlomok, ktorý sa vo väčšine prípadov bude dať krátiť, ale jeho úprava bude oveľa náročnejšia. Príklad.5 Zjednodušme v R daný výraz V a určme kedy má zmysel: ( ) x + 5 a) V (x) = x 8 + x + 7 x : 8x + 8 b) V (a, b, x, y) = 9x ( )( y 4a a 3 3b 7xy c) V (u) = 3 6 u 5 u 7 u 4 6 ) 4a b 3 ; 5 3 : u 8 0 u 9 ( ) x + 3 + x x 9 9 + x ; ( ) d) V (a, x) = a 9 : x a 3a + 9a 3a x3 7 9 3x 3a + ax 3a ( r + r e) V (r, s) = s r r s + r ) r s r s r + : r s s 3 ; u 3 f) V (x, y) = ( x y) 3 + x x + y y x x + y + 3 xy 3y. y x y Riešenie. ( a) V (x) = α x + 5 (x 9)(x + 9) + x + 7 (x 9) 0 ; ) (x 9) (x + 3) x + x + 9 = β (x + 5)(x 9) + (x + 7)(x + 9) (x 9) = (x 9) (x + 9) (x + 3) x + x + 9 = γ = x + x + 8 (x + 9) (x + 3) x + x + 9 = 6 ;

δ = (x + 3) (x + 9)(x + 3) x + x + 9 = x + 9 x + x + 9 = x x + 9 pre x R { 3; 9; 9}, kde v rovnosti = α sme urobili tieto úpravy: podľa (.5) je x 8 = (x 9)(x+9) ( ) a na základe (.8) je x 8x + 8 = (x 9) a delenie zlomkom sme nahradili násobením zlomkom (x 9) (x+3) ; x+3 x 9 v rovnosti β = sme sčítali prvé dva zlomky: ich najmenší spoločný menovateľ je (x 9) (x + 9); v rovnosti γ = sme upravili čitateľa prvého zlomku v rovnosti δ = sme podľa (.8) takto upravili čitateľa prvého zlomku: x + x + 8 = (x + 6x + 9) = (x + 3) výrazy, ktorými boli jednotlivé zlomky upravené krátením sme typograficky zvýraznili (rovnako budeme postupovať aj v ďalších častiach tohto príkladu). b) V (a, b, x, y) = 9 4 8 3 a3 b 3 xy 3 7 a 3 b xy pričom sme viacnásobne využili poznatky vety.5. ( 5 u c) V (u)= = ( u 5 u 7 3 u 4 ) 6 :( u 8 5 ) 6 : ( u 5 = b pre a 0, b 0, x 0, y 0, ) 0 ) 6 =( u 5 7 3 + ( 8 4 : u 5 9 0 + ) 3 0 = u 9 0 u 3 ) 0 = u 5 u 43 3 = u 3 pre u > 0, pričom sme opäť použili vetu.5 a definíciu (.3). ( d) V (a, x) = α β = = 3a(a + 3) (a 3)(a + 3) x a ) 3a x 3 7 = (x 3)(a 3) 3a 3a(x 3 x + a) (a 3)(x a)(x 3) (x 3)(x + 3x + 9) = 3a a 3 (a 3)(x a) (x + 3x + 9) = x + 3x + 9 x a pre x a, a 0, a ±3. Tu sme použili tieto úpravy: v rovnosti = α je a 9 = (a 3)(a + 3), ďalej 3a + 9a = 3a(a + 3), delenie zlomkom x a 3a(a+3) 3a +9a sme nahradili násobením prevráteným zlomkom x a a napokon sme použili úpravu na súčin: 9 3x 3a + ax = (x 3)(a 3); v rovnosti β = sme po krátení výrazom (a + 3) upravili zlomky v zátvorkách na najmenší spoločný menovateľ (a 3)(x a)(x 3) a podľa (.6) sme dostali x 3 7 = x 3 3 3 = (x 3)(x + 3x + 9). 7

e) V (r, s) = α (r + r s ) + (r r s ) (r r s )(r + s 3 = r s ) r s β = (r s ) s 3 γ ( r s)( r + s)s s = r s ( = s( r + s) r s) pre r > s > 0, s r, kde v rovnosti α = sme sčítali prvé dva zlomky; v rovnosti β = sme upravili čitateľa a menovateľa vzniknutého zlomku; v rovnosti γ = sme krátili zlomok výrazom s a vzhľadom na to, že menovateľ druhého zlomku je v tvare r s, tak sme výraz r s na základe (.5) zapísali takto: r s = ( r) s = ( r s)( r + s), čo nám umožní krátenie vzniknutého výrazu. f) V (x, y) = (x x 3x y + 3y x y y) + x x + y y ( x) 3 + ( + y) 3 3 y( x y) + ( x y)( x + y) = 3 x(x xy + y) ( x + y)(x xy + y) + 3 y = x + y = 3( x + y) x + y = 3 pre x > 0, y 0, x y, kde sme postupne použili tieto úpravy: podľa (.9) je ( x y) 3 = x x 3x y + 3y x y y; je zrejmé, že x x = x x; podľa (.7) je x x + y y = ( x) 3 + ( y) 3 = ( x + y)(x xy + y); čitateľ prvého zlomku má po úprave tvar 3x x 3x y + 3y x a taktiež ho môžeme zapísať takto v tvare súčinu: 3 x(x xy + y); keďže čitateľ 3 xy 3y druhého zlomku môžeme zapísať v tomto tvare súčinu: 3 xy 3y = 3 y( x y), tak na základe (.5) zapíšeme jeho menovateľa takto: x y = ( x) ( y) = ( x y)( x + y), čo nám umožní zlomok krátiť výrazom ( x y). Na záver tohto oddielu uvádzame väčšie množstvo neriešených úloh na úpravy výrazov. Odporúčame vám, aby ste sa pokúsili vyriešiť čo najviac úloh. Nedajte sa odradiť prípadným neúspechom. Na vlastných chybách sa človek najlepšie učí. Môže vám to pomôcť v nadobudnutí zbehlosti v riešení tých úloh, ktoré vás očakávajú. 8

Cvičenia. Rozložte v R na súčin: a) (6n + 7) (n 3) ; [35(n + )(n + 4)] b) (x + y) 4 (x y) 4 ; [8xy(x + y ) c) a 4 + a 3 + 6a + 5a + 5 ; [(a + 5)(a + a + )] d) (x 3) 3 + (x + 3) 3 ; [x(x + 7)] e) 7b 3 54b + 36b 8 ; [(3b ) 3 ] f) 7b 3 3b + b 8. [(3b )(9b + 5b + 4)]. Doplňte daný výraz na štvorec: a) x + 0x + ; [(x + 5) 3] b) 6y y ; [ (y 3) + 9] c) 8 7a ; [ 7a + 8] [ d) 3x 5x + ; 3(x 5/6) / ] e) z z ; [ (z + 3) + 0 ] f) x x. [ (x 3) 0 ] 3. Zjednodušte dané výrazy a určte ich definičné obory: [ ( ) 3 ( ) a a) 3b 3 9b4 5c ] 4c 3 : 5c 3a 3a ; [a /(9b 5 ); a 0, b 0, c 0] b) (x + y)a+ (u v) a (u v) a+ (x y)a+ (x y ) a+ (u v), kde a N ; [x y; u v, x ±y] c) ax+3y b 4x 5y a 5x y b 3x+y : a4x+5y b x 4y a 8x+y b x+y pre a > 0, b > 0; [a x+y ] ( a b 4 ) 3 ( a 3 b 3 ) d) c 3 d : c d ; [b 6 /(c 5 d ); a 0, b 0, c 0, d 0] e) f) ( a + ) ( b 3 ( ab b a) ab) ; [a/(ab ); a 0, b 0, ab ±] r + s r s r s r + s r + s ; [ r/s ; r ±s, s 0] r s 9

a 4 b 4 g) ) a b ( ) ; [(a + b)/(a b) ; a 0, b 0, a b] + ( b ab a + a b ( h) z + z ) ( ) z z ) ( i) j) ( + 6ac a 3 8c 3 a c ( a a a ) : a + : ; [/z; z R {0; ; }] a 3 8c 3 a + ca + 4c ) ; [ + a c; a c, a c ] a 0,5a 4 a 3 + 4a 8 ; [a a + 4; a / {0; ±}] x k) x + x + + x + x + x + x + x + x x ; [/x 3 ; x 0] x + x ( ) l) a + : a3 8 + 0,5a a + + ; [/a; a / {0, ±}] a a ( a x + a x ) ( a x a x ) m) b y + b y b y b y n) ( a x ) b y : ( a x ) + b y ; + [b y /a x ; x 0, y 0, a > 0, b > 0, a,b ] [ a + 3 (3 a) 6 9 a + 3 a ] 4a (a + 3) : 8 a 4 + a a ; [; a / {0; ±3}] 9 o) x + ( ) x + 5 x + 9 + x 8 + x + 7 x : 8x + 8 ( p) + 4y y 8y 3 + : y 4y y + q) b + a (4a b )a b 3 + ab 3a b r) 8 3x x + ( ) x + 3 ; [; x / { 3; ±9}] x 8 ) 4y + y ; [/(y ) ; y ±0,5] a3 b + a b + ab 3 4a b a b ; [(a b)/(a + b); a 0, b 0, a ±b, b 3a] ( ) ( 3x + 9 x 3 3x 9 + ) 9 x x ; + 3x [3/x; x / {0; ±3}] 0

( a s) + 4 + a a ) ( ) a : + a a + + 4 a 3 ; [a/; a / {0; ±}] 4a t) a ( ) ( 5 + : a u) v) [ 3 + a + 4a 3 4a + a a ) 8a 3 4a + a + a ; + a [0,; a / {0; ±0,5}] ( ) ] [ ] x (x + ) x + (x ) + 3 x3 + x 3 ; [(x )/(x + ); x ±] ( a x a + 4 ) ax 3 a x a + 4 ax 4 ax ; [ 4 ax; a 0, b 0, a 0] w) x) ( a,5 b,5 a b ( a 0,5 + b 0,5) ) 0,5 ; [0; (a = 0 b > 0) (b = 0 a > 0)] ( ) ( ) ( ) ( ) b a a b a + b + a a b b a + b + b a b a ; [a; a ±b] [ ] y) ab ab(a + ab) : z) A) B) ( m + n m + n : + m + n mn ab b a b ; [a; ab > 0, a b] n m nm x ax a ( x + + x ax a ( ) ( 3x m nm + n ); ) 3x + x ; 3 + x [ m n; m, n > 0, n m] [/a; a 0, x, 3, a] ) 9x 9x ( ) 9x ; [/(3x + ); x ±/3] 3x + C) x x + 4 4 x3 + x x 4 x + ; [ x; x > 0] x + [ ] x [ D) (x ) + + x + ( x) + x + x ] ; [/(x + ); x 0; ) {}]

E) a b 3 a 3 b a + b 3 a + 3 b ; [ 3 ab; b ±a] F) G) a b a3 b 3 ; [ ab/( a + b); a 0, b 0, a b] a b a b ; x x x + x [/(x ) pre x > a x /( x) pre x < ] ( 4 x3 4 x H) x + + ) ( x 4 + + / ; x x x) [/( + x); x > 0, x ] ( ) x I) + + x : ( x x ); x J) K) [ x ; x 0, x < ] ( ) ( ) s( s 3 s s) + : s + s + ; [ s( s); 0 < s < ] s ( 3p r + 3pr 4 ) ( 7p 3 r 3 : 9p + 3pr + r + r ) r 3 7p 3 ; [3p + r + ; r 3p, 3p + r ] L) ( a ) + b 4b ( (a b) : b + 3 a ) : a + 9b + 6 ab a + ; [/(ab); a > 0, b > 0, a b.] b. Rovnice. Lineárne a kvadratické rovnice Rovnica je zápis rovnosti dvoch výrazov (tzv. ľavá, resp. pravá strana rovnice), v ktorom treba určiť hodnotu premennej z daného číselného oboru tak, aby sme po dosadení tejto hodnoty premennej do rovnice dostali pravdivý výrok. Ak napr. x je označenie premennej a výraz Ľ (x), resp. P (x), je ľavou, resp. pravou stranou, tak pod rovnicou rozumieme zápis Ľ (x) = P (x). (.)

Číselný obor, v ktorom hľadáme túto hodnotu premennej, nazývame obor riešenia rovnice O (obor premennej O) 3. Premennú v rovnici nazývame neznáma, hodnotu premennej (číslo), pre ktorú sa obidva výrazy rovnajú, nazývame koreň rovnice v množine O. Namiesto termínu koreň rovnice často používame termín riešenie rovnice. Pod riešením rovnice rozumieme aj postup, ktorým hľadáme koreň rovnice. Množinu všetkých koreňov rovnice (v danom obore premennej O) označujeme písmenom K. Teda ak D je množina, na ktorej sú definované oba výrazy Ľ (x) a P (x), tak koreňom rovnice (.) je každé číslo a O D, pre ktoré platí rovnosť Ľ (a) = P (a). Pri hľadaní koreňov (t. j. pri riešení rovnice) rovnicu upravujeme tzv. dôsledkovými (implikačnými) úpravami na množine O D. Najbežnejšie dôsledkové úpravy rovníc sú:. Vzájomná výmena strán rovnice.. Nahradenie ľubovoľnej strany rovnice výrazom, ktorý sa jej rovná na množine O D. 3. Pripočítanie výrazu, ktorý je definovaný na množine O D, k obidvom stranám rovnice. 4. Vynásobenie obidvoch strán rovnice výrazom, ktorý a) je definovaný na množine O D, b) nadobúda nenulové hodnoty na množine O D. 5. Umocnenie obidvoch strán rovnice a) na druhú, tretiu, štvrtú, atď. b) na druhú, štvrtú, šiestu atď., ak obe strany rovnice nadobúdajú na množine O D nezáporné hodnoty. 6. Odmocnenie obidvoch strán rovnice, ak obe strany nadobúdajú na množine O D nezáporné hodnoty. Vyššie uvedené úpravy (okrem úprav 4a, 5a) patria medzi tzv. ekvivalentné úpravy rovnice. Poznámka. Samotný postup pri hľadaní koreňov danej rovnice môžeme rozložiť na tieto tri časti: 3 Nás bude zaujímať hlavne prípad O=R a na záver prípad O=C. 3

Od danej rovnice sa usilujeme prejsť rôznymi dôsledkovými úpravami k rovnici, ktorej riešenie je zrejmé. Nech A je množina všetkých koreňov rovnice, ktorú sme dostali z pôvodnej rovnice pomocou dôsledkových úprav a K je množina všetkých koreňov pôvodnej rovnice. Potom K A, kde množinu A poznáme. Urobíme tzv. skúšku správnosti, ktorej cieľom je zistiť, ktoré z prvkov množiny A sú z množiny K, t. j. ktoré z nich sú riešeniami (koreňmi) pôvodnej rovnice. Skúšku urobíme tak, že postupne dosadíme každý prvok x z množiny A do obidvoch strán pôvodnej rovnice. Ak zistíme, že L, (x) = P (x), kde L, (x), resp. P (x), je hodnota ľavej, resp. pravej strany rovnice v čísle x, tak x je koreňom pôvodnej rovnice (t. j. x K). V opačnom prípade x K. Pripomíname, že ak pri riešení rovnice použijeme len ekvivalentné úpravy, tak K = A a skúška nie je potrebná 4. Pri zápisoch výsledkov cvičení je uvádzaná množina K, napr. K = {±4} (tu nie je dôležité označenie neznámej) alebo sú uvedené všetky možné hodnoty riešenia úlohy (napr. x = ±4). Rovnicu ax + b = 0, kde a, b sú reálne čísla, a 0, x je neznáma z daného číselného oboru, nazývame lineárnou rovnicou s reálnymi koeficientmi a, b, alebo krátko lineárna rovnica. Táto rovnica má v R jediný koreň x = b a, t. j. K = { b a Rovnicu ax + bx + c = 0, kde a, b, c sú reálne čísla, a 0, x je neznáma z daného číselného oboru, nazývame kvadratickou rovnicou s reálnymi koeficientmi a, b, c, alebo krátko kvadratická rovnica. Výraz ax nazývame kvadratickým členom, bx lineárnym členom a c absolútnym členom kvadratickej rovnice. Výraz D = b 4ac nazývame diskriminantom danej kvadratickej rovnice. Ak neznáma x je z množiny R, tak platí: { b + D ak D > 0, tak K = a { b ak D = 0, tak K = a ; b D a } }. }, t. j. rovnica má jeden koreň; ak D < 0, tak K =, t. j. rovnica nemá reálny koreň., t. j. rovnica má dva rôzne korene; Ak označíme korene kvadratickej rovnice symbolmi x, x, tak x, = b ± b 4ac. (.3) a 4 Ale môže byť užitočná, lebo sme mohli urobiť nejakú chybu v úpravách. 4

Poznamenávame, že ak D = b 4ac = 0, tak kvadratická rovnica má v R jediný tzv. dvojnásobný koreň (vtedy v (.3) je x = x ). Ak D < < 0, tak kvadratická rovnica nemá reálny koreň, ale má dva korene v množine komplexných čísel, ktoré sú určené vzorcom x, = b ± i D a, (.4) kde i je imaginárna jednotka (pozri kapitolu o komplexných číslach). Príklad.6 Vyriešme v R rovnice: a) 7x 3 + 5 + 3x = 5x 6; b) y y + = y + y 8 4y ; c) s 5 s = 5s 3 3s + 5 ; d) x x = 3; e) x + 3 x = x. Riešenie. a) Úpravami danej rovnice dostaneme (určte typ úprav!) (7x ) + 3(5 + 3x) = 6(5x 6); 4x + 5 + 9x = 30x 36; 49 = 7x; x = 7. Použili sme len ekvivalentné úpravy, ale napriek tomu urobíme skúšku správnosti: skúška: Ľ (7) = 7 7 + 5 + 3 7 = 6 + 3 = 9; 3 P (7) = 5 7 6 = 9. Preto K = {7}. b) Definičný obor danej rovnice je množina D = R {±0,5}. Obidve strany rovnice vynásobíme výrazom (y + )(y ) a dostaneme (y ) = (y + ) 8; 4y 4y + = 4y + 4y + 8; 8y = 8; y =. Keďže D, tak K = {}. Tento záver sme mohli dostať aj na základe poznámky.. V tom prípade by sme nemuseli určovať množinu D, ale stačilo by overiť, či pre danú rovnicu platí rovnosť Ľ () = P (). 5

c) Rovnicu vynásobíme výrazom (s )(3s + 5), pričom nebudeme skúmať, či ide o ekvivalentnú úpravu. Potom 6s 5s 5 = 5s 8s + 3; s + 3s 8 = 0, čo je kvadratická rovnica s koeficientmi a =, b = 3 a c = 8, ktorej diskriminant je D = 3 4 ( 8) =. Teda podľa (.3) x, = 3 ± { 4; = 7. Skúškou správnosti sa ľahko presvedčíme, že K = {4; 7}. d) Použijeme poznámku. (t. j. nebudeme skúmať, či použité úpravy sú ekvivalentné a ani D definičný obor rovnice nás nebude trápiť ): ak umocníme obidve strany rovnice na druhú, tak dostaneme x(x ) = 9; x x 9 = 0. Opäť sme získali kvadratickú rovnicu, ktorej diskriminant je a na základe (.3) je D = ( ) 4 ( 9) = 40 x, = ± 0 { + 0, = 0. (.5) Teraz je skúška správnosti nevyhnutná! Overte, že 0 K a K = { + 0}. Keby sme príklad riešili cez definičný obor rovnice, tak by sme mohli postupovať takto: výraz x je definovaný pre x 0 a výraz x pre x. Teda definičným oborom danej rovnice je množina D = ; ). Teraz by sme sa tými istými úpravami ako predtým dopracovali k možným koreňom rovnice z (.5). Keďže 0 / D a + 0 D, tak K = {+ 0}. e) Obe strany rovnice vynásobíme výrazom x. Dostaneme x + 3 =, t. j. x =. Skúškou ľahko overíme, že číslo nie je koreňom danej rovnice lebo D, a preto K =. 6

Pri riešení rovnice používame také úpravy, ktoré nám zabezpečia to, aby každý koreň rovnice bol súčasne aj koreňom upravenej rovnice (tá môže mať aj viac koreňov). Je potrebné dávať pozor na také úpravy, pri ktorých by sa korene strácali. Napríklad rovnica (x + ) = (x + )(3 x) má korene K = {; }; ak túto rovnicu upravíme tak, že obidve strany delíme výrazom x +, tak dostaneme rovnicu x + = 3 x, pre ktorú K = {}. Pri delení sme vykonali úpravu, ktorou sme koreň x = stratili 5. Príklad.7 Vyriešme v množine komplexných čísel rovnicu x + 6x + 8 = 0. Riešenie. Máme kvadratickú rovnicu so záporným diskriminantom preto podľa (.4) D = b 4ac = 6 4 8 = 36, x, = 6 ± i 36 a teda K = { 3 + 3i; 3 3i}. = 3 ± 3i, Cvičenia Vyriešte v R rovnice: 3 x ( 7 x. 3. x 3x/ 4 x + 3 4 x/4 3 ) + 7 x 9 + 7x + x = 0; [] 6 8 = ; [] 3. + x x = x + 3 x + ; [/3] 4. y 3 y + = y + 6 ; [ 4/7] 5. x + x = ; [K = R {; }] x 5 Pretože pre x = sme delili nulou! 7

6. 7. 8. 9. 0. x x + x + = 3x + 3 x + 4 ; [K = ] x 3 x x + = x (x ) + (x 3) x x 3 ; [/3] 5 x + 3 x 3 = 7 x ; [ 3 ± 30] x x + + 4x = 3x 6x 3 ; [K = ] ( x + ) ( x ) ; = [ /3; ] x x 3. 4x 7 6x 3 = x 4 3x 7 ; [3]. 3 x + = x + 3 + x. [7] Vyriešte v R dané rovnice s neznámou x a parametrom a R (urobte diskusiu o riešení vzhľadom na parameter):. a 3 x + 8 a x = a 3 ; [x = (a + a + 4)/a pre a / {0; }; pre a = 0 nemá riešenie; pre a = je K = R]. a ax + = 6 ; [x = (a 3)/(5a); pre a {0; /} je K = ] x + 3. x + x = a + a ; [x {a, a }; pre a = 0 úloha nemá zmysel] 4. 5. 6. x x a + x + a x a x = a x ; [x = ±a/3; pre a = 0 je K = ] a + x x + a = x a ; [K = {( a )/a} pre a 0; K = pre a = 0] ax x a = a + ; [K = {a + ; + a } pre a 0; ináč K = ] 7. x a a x = x + a a a x. [x = a pre a 0, ináč nemá zmysel] 8

.3 Sústavy lineárnych rovníc Lineárna rovnica s dvoma neznámymi x, y je každá rovnica, ktorá má tvar ax + by = c, (.6) pričom a, b, c sú dané konštanty z daného číselného oboru bežne ich nazývame koeficientmi rovnice a aspoň jedno z čísel a, b je rôzne od nuly. Jej riešením je usporiadaná dvojica čísel [x, y], ktoré po dosadení spĺňajú rovnosť (.6). V predchádzajúcich úvahách požadujeme, aby koeficienty a neznáme boli z oboru, v ktorom rovnicu riešime (obyčajne z množiny reálnych čísel). Pod sústavou lineárnych rovníc rozumieme systém lineárnych rovníc typu (.6) s rovnakými neznámymi. Riešením sústavy lineárnych rovníc s dvoma neznámymi je taká usporiadaná dvojica čísel [x, y], ktorá je riešením každej rovnice sústavy. Obdobne definujeme lineárnu rovnicu a aj sústavu lineárnych rovníc s n neznámymi (n 3) a ich riešenie, pričom aj metódy na jej získanie sú podobné. Poznámka. Ak sú všetky koeficienty a neznáme z množiny reálnych čísel, tak sústava lineárnych rovníc môže mať jediné riešenie (pozri príklad.8a), alebo nekonečne mnoho riešení (pozri príklad.8b), alebo nemá riešenie (vyriešte napr. príklad.8b, v ktorom zameňte v tretej rovnici číslo 0 za hocijaké iné). Zápisom R = R R označujeme množinu všetkých usporiadaných dvojíc [x, y] reálnych čísel x a y; podobne označujeme R 3 = R R R = {[x, y, z]; x R, y R, z R}, R 4, R 5 atď. Postup, ktorým dostaneme riešenie sústavy lineárnych rovníc, spočíva obyčajne vo vylúčení jednej neznámej v niektorej z rovníc sústavy. Nato slúžia napríklad tieto metódy: a) sčítacia metóda rovnice sústavy násobíme vhodne zvolenými číslami tak, aby sa po sčítaní rovníc jedna neznáma vylúčila; b) dosadzovacia metóda vyjadríme jednu neznámu z jednej rovnice sústavy a dosadíme do ostatných rovníc sústavy, čím sa táto neznáma z týchto rovníc vylúči. Príklad.8 Riešme v R, resp. v R 3, sústavy rovníc: a) 3x 8y = 5; b) x + y z = 0; x 7y = 0. 3x + 5y + z = 0; x + y + 3z = 0. 9

Riešenie. a) Riešime sčítacou metódou 3x 8y = 5 / prvú rovnicu násobíme číslom x 7y = 0 / ( 3) druhú rovnicu násobíme číslom ( 3) 6x 6y = 30 6x + y = 0 5y = 30 y = 6. obidve rovnice sčítame Ak dosadíme napr. do druhej rovnice x 7y = 0 za y získanú hodnotu 6, tak dostaneme x 7 6 = 0, t. j. x =. Riešením sústavy je usporiadaná dvojica [x, y] = [; 6]. b) Riešime dosadzovacou metódou. Napr. z prvej rovnice je x = z y. Po dosadení za x do druhej a tretej rovnice dostaneme 3(z y) + 5y + z = 0 (z y) + y + 3z = 0 y + 4z = 0 / ( ) y + 4z = 0 0 = 0. Sústava má nekonečne veľa riešení. Zvolíme napríklad z = t, kde t je ľubovoľné reálne číslo; potom z rovnice označenej symbolom dostaneme vzťah y = 4z + 0 = 4t + 0. Napokon z prvej rovnice danej sústavy je x = z y = t (4t + 0) = 7t 0. Všetky riešenia danej sústavy môžeme zapísať v tvare [x, y, z] = [ 7t 0, 4t+0, t], (.7) kde t R je ľubovoľné reálne číslo. Sústava má teda nekonečne veľa riešení. Poznámka.3 Ak sústava lineárnych rovníc má nekonečne veľa riešení, tak zápis jej riešenia nie je jednoznačný. Napr. v časti b) predchádzajúceho príkladu by sme mohli zapísať riešenie danej sústavy v podstate nekonečne veľa spôsobmi. Presvedčte sa, že aj [x, y, z] = [,5 7s, 4s,,5+s], s R, je jedna z možností zápisu riešenia tejto sústavy rovníc. 30

Príklad.9 Dvaja bežci trénujú na uzavretej bežeckej dráhe štadiónu, ktorá je 390 m dlhá. Ak súčasne vyštartujú z jedného miesta, a to každý konštantnou rýchlosťou, a bežia opačnými smermi, tak sa stretnú o 30 sekúnd; ak bežia tým istým smerom, tak sa opäť stretnú o 3 minút. Aká je rýchlosť bežcov? Riešenie. Nech v je rýchlosť prvého a v rýchlosť druhého bežca (v m/s) a nech napr. v > v. Prvá podmienka úlohy sa dá vyjadriť rovnicou (v +v ) 30 = 390 a druhá podmienka rovnicou (v v ) 3 60 = 390. Po jednoduchej úprave druhej rovnice dostaneme dve lineárne rovnice, ktoré môžeme vyriešiť napr. sčítacou metódou: v + v = 3 v v = 0,5 v = 3,5 v = 6,75 v = 6,5 Rýchlosť prvého bežca je 6,75 m/s a druhého 6,5 m/s. Príklad.0 Vyriešme v R sústavu rovníc ax+y =, x+ay = s neznámymi x, y a parametrom a R. Riešenie. Použijeme dosadzovaciu metódu: napr. z prvej rovnice vyjadríme neznámu y. Dostaneme y = ax (.8) a toto vyjadrenie dosadíme do druhej rovnice: x + a( ax) =. Na ľavej strane upravíme členy, ktoré obsahujú x, a parameter a prenesieme na pravú stranu: x( a ) = a. (.9) Teraz stačí deliť obe strany rovnice výrazom ( a ). Po jednoduchej úprave dostaneme x = a a = a ( a)( + a) = + a. Odtiaľ vzhľadom na (.8) je Teda y = ax = a [x, y] = a + = a +. [ ] a + ;. (.0) a + 3

To ale nie je všetko! Musíme preskúmať, či sme použili len ekvivalentné úpravy. Nie je tomu tak, lebo rovnicu (.9) sme delili výrazom ( a ). A deliť nulou nesmieme. Teda riešenie (.0) danej sústavy si vyžaduje, aby ( a ) 0, t. j. a {, } Ak a =, tak sa presvedčte, že daná sústava rovníc má nekonečne veľa riešení, ktoré môžeme zapísať napr. v tvare [x, y] = [t; t], kde t je ľubovoľné reálne číslo. Ak a =, tak daná sústava má tvar x + y =, x y =. Na prvý pohľad vidno, že táto sústava nemá riešenie. Ak to nevidíte, tak sčítajte tieto rovnice: dostanete 0 =, čo nie je pravda. Poznámka.4 V našich úlohách sme sa obmedzili na sústavy lineárnych rovníc s najviac troma neznámymi, pričom počet rovníc sústavy sa vždy rovnal počtu neznámych. To však nemusí byť vždy splnené. Aj v týchto prípadoch by sme mohli aplikovať uvedené postupy, ale často by boli neprehľadné. Tomu môžeme predísť minimálnymi znalosťami z teórie matíc. Potom napr. Gaussova eliminačná metóda je výborným prostriedkom na zvládnutie aj napr. štyroch lineárnych rovníc so šiestimi neznámymi. Ale to až v prvom semestri štúdia na našej fakulte. Cvičenia. Vyriešte v R, resp. v R 3 sústavu rovníc: a) 5x + 5y + z =, b) x 3y + z =, 3x 4y 3z =, x y + 9z = 4, x + y + z = ; x + y + 8z = 0; c) 0 x + 5 + y + =, d) 4 x + y x y =, 5 x + 5 y + = ; 0 x + y + 3 x y = ; e) x + y + 5z =, f) x + y + =, 3x + 4y + 7z =, 4 = y + z + ; 7x + 8y + z = 4 ; z + 3 x + =. [a) [x, y, z] = [; ; ]; b) nemá riešenie; c) [x, y] = [0; ]; d) [x, y] = [3;,5]; e) napr. [x, y, z] = [3s; ( 8s)/; s], kde s R; f) [x, y, z] = [5; ; 0] ] 3

. Dva vklady, z ktorých jeden je uložený na %-né a druhý na 3%-né ročné úrokové miery, vyniesli za rok 66 e úrokov. Keby sme vymenili ich úrokové miery, vyniesli by vklady za rok o 7 e menej úrokov. Aké veľké sú tieto vklady? [900 e, 600 e] 3. Ak zväčšíme jeden rozmer kvádra o m, zväčší sa jeho povrch o 58 m, ak zväčšíme druhý rozmer pôvodného kvádra o m, zväčší sa jeho povrch o 04 m, a ak zväčšíme tretí rozmer pôvodného kvádra o 3 m, zväčší sa jeho povrch o 38 m. Určte rozmery kvádra. [0 m, 3 m, 6 m]. 4. Vyriešte v R dané sústavy rovníc s parametrom p R (urobte diskusiu o riešení vzhľadom na parameter): a) px + 6y = p, b) ps t = 0, c) 3u + v = 6, x + py = 6p; 4s + 3t = ; pu + 4v =. d) px y =, e) x + py = p, p x + py = p; px + y = ; [ p 96p [a) [x, y] = p 6 ; 6p p ] p pre p ±4, pre p = ±4 nemá riešenie; 6 [ ] 6 b) [s, t] = 3p + ; p pre p 3p + 3, pre p = nemá riešenie; 3 c) [u, v] = [0; 3] pre p 6, pre p = 6 je [u, v] = [(3 t)/3; t], kde t R; d) [x, y] = [/p; 0] pre p 0, pre p = 0 je [x, y] = [t; ], t R; e) [x, y] = [ /(p + ); (p + )/(p + )], pre p = nemá riešenie a pre p = je [x, y] = [t; t], t R. ].4 Polynómy a ich rozklad na súčin. Korene mnohočlena. Algebrické rovnice Nech n je dané prirodzené číslo, a n, a n,..., a, a 0 sú reálne čísla a x je premenná. Výraz P (x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0, kde a n 0, nazývame polynómom (mnohočlenom) n-tého stupňa s jednou premennou x a s koeficientmi a n, a n,..., a, a 0 z oboru reálnych čísel. Číslo a 0 nazývame aj absolútnym členom polynómu. Oborom premennej x je množina všetkých reálnych čísel. Pod číselnou hodnotou polynómu P v danom čísle (bode) x 0 R rozumieme číslo P (x 0 ), ktoré dostaneme, ak do výrazu P (x) dosadíme za premennú x číslo x 0. Napríklad pre P (x) = 3x 4x+3 je P () = 3 4 + 3 =. 33

Každému číslu α, pre ktoré platí P (α) = 0, hovoríme koreň (alebo nulový bod) polynómu P. Rovnicu typu P (x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 = 0, a n 0, (.) nazývame algebrickou rovnicou stupňa n. Pod riešením algebrickej rovnice v danej číselnej množine rozumieme všetky korene polynómu P z tejto číselnej množiny. Ak v (.) je n =, tak je to nám už známa lineárna rovnica; ak n =, tak ide o kvadratickú rovnicu. Tieto dva typy rovníc vieme riešiť vo všeobecnom prípade, t. j. vieme určiť ich riešenie v závislosti od koeficientov polynómu P. Pre n 3 zvyčajne riešime algebrickú rovnicu rozkladom polynómu P na súčin polynómov alebo vhodnou substitúciou. Rozklad polynómu na súčin získame obyčajne vynímaním pred zátvorku alebo podľa známych vzorcov 6. Neskúšajte aplikovať tieto metódy na ľubovoľnú algebrickú rovnicu (zdôvodnenie tejto rady by si vyžadovalo hlbšie poznatky o polynómoch). Medzi koreňmi K polynómu P a jeho koeficientmi existuje určitý súvis. Napríklad pre tzv. kvadratický trojčlen P (x) = x + px + q platí: x, x sú korene polynómu x + px + q práve vtedy, keď platí x + x = p a x x = q. (.) Vyplýva to z rozkladu polynómu x + px + q na súčin (pozri (.4)) x + px + q = (x x )(x x ). Príklad. Určme všetky reálne korene (riešenia) rovníc: a) 3x 4 + x 3 x 4x = 0; b) 3x 4 + x 3 + x + 4x = 0; c) x (x 4)(x + 4) = 4 x (x + 5). Riešenie. a) Polynóm danej rovnice rozložíme na súčin 3x 4 + x 3 x 4x = x(3x 3 + x x 4) = x[x (3x + ) 4(3x + )] = = x(x 4)(3x + ) = x(x )(x + )(3x + ) a danú rovnicu môžeme ekvivalentne zapísať v tvare x(x )(x + )(3x + ) = 0. Na určenie všetkých koreňov tejto rovnice stačí zistiť, kedy sú jednotlivé činitele jej ľavej strany rovné nule. Ľahko nahliadneme, že K = {0; ; ; /3}. 6 Zopakujte si techniky úpravy výrazu na súčin z. kapitoly. Existujú aj iné metódy rozkladu polynómu na súčin niektoré z nich sú v náplni. semestra. 34

b) Obdobne ako v časti a) dostaneme (porovnaj typograficky zvýraznené odlišnosti: v časti a) je to (x 4) a v nasledujúcich úpravách (x + 4)) 3x 4 + x 3 + x + 4x = x(x + 4)(3x + ), pričom výraz x +4 sa v R už nedá rozložiť. Pretože v množine R je x +4 0, tak K = {0; /3}. c) Po jednoduchých úprave môžeme rovnicu zapísať v tvare 3(x 4 x 8) = 0. Je evidentné, že táto rovnica je po substitúcii x = t ekvivalentná s kvadratickou rovnicou t t 8 = 0. Jej diskriminant je D = ( ) 4 ( 8) = 36 a jej korene sú t, = ± 36 = { 4;. Teda x = 4 alebo x =. Prvá rovnica má v R riešenie x = ± a druhá v R nemá riešenie. Preto K = {; }. Odporúčame čitateľovi, aby sa presvedčil o tom, že rozklad skúmaného polynómu v R na súčin má tvar 3(x 4 x 8) = 3(x )(x + )(x + ). Príklad. V rovnici x + px + q = 0 určme čísla p a q tak, aby boli súčasne koreňmi tejto rovnice. Riešenie. Pre čísla p a q musí platiť (stačí si uvedomiť, že v (.) je napr. x = p a x = q): p + q = p a p q = q. Z prvej rovnice je q = p a po dosadení do druhej rovnice dostaneme rovnicu p ( p) = p. Jej riešením je p = 0 alebo p =. Odtiaľ q = 0 (ak p = 0) alebo q = (ak p = ). Výsledok môžeme zapísať takto: [p, q] {[0, 0]; [, ]}. Cvičenia. Rozložte dané polynómy na súčin polynómov s reálnymi koeficientmi čo najnižšieho stupňa a určte ich reálne korene K: a) 3x x ; [3(x )(x + /3), K = {; /3}] b) 3x 3x + ; [nedá sa v R rozložiť a nemá reálne korene] c) u 4 3u + 36 ; [(u 3)(u + 3)(u )(u + ), K = {±3; ±}] 35

d) u 4 + 6u + 7 ; [(u + 9)(u + 4), K = ] e) s 3 7s s + 7 ; [(s )(s + 3)(s 9), K = {; 3; 9}] f) x 3 + x x ; [(x )(x + ), K = {; }] g) x 3 + x + x +. [(x + )(x + ), K = { }]. Určte všetky korene (riešenia) rovníc z R: a) x 4 9x + 9 = 0 ; [K = {±3; ±/ }] b) v 4 5v + 4 = 0 ; [K = {±; ±}] c) v 4 3v 4 = 0 ; [K = {±}] d) 5 x 5 4x = ; [K = {}] x 3x + e) 3x x 3 x 4 x + 3 = 5x 3 x 9 ; ( ) 3 x f) x + 3 x + 3 x = 0; g) [K = { 5/}] [ /] x 4x + 0 x + 4x = 6; [3; ] h) (x + x) (x + ) = 55. [ 4; ] 3. V množine R riešte sústavu rovníc: a) x + y = 7, xy = 5; [[; 5]; [5/; ]] b) x y + y x = 34 5, x + y = 34; [[3; 5]; [5; 3]] c) d) x + y + x y =, 3 x + y + 4 = 7,; [[; 0]] x y x 3y + 8 3x y = 3, 7 3x y = ; [[5; 3]] x 3y e) x y = 7, x + y = 5. [[/4; /3], [/3; /4]] 4. Určte číslo s R, ak 6x + x = 0, kde x, x sú korene rovnice a) x + 5x + s = 0; b) x sx 6 = 0; c) sx 5x + = 0. [ 54] [±5] [ 3] 36

.5 Riešenie nerovníc. Kvadratické nerovnice Úlohy, v ktorých treba určiť v danej číselnej množine všetky prvky spĺňajúce dané nerovnosti medzi dvoma výrazmi, nazývame nerovnice. Nerovnicou s premennou x R je napríklad zápis 3(x ) > x + 5. Výraz 3(x ) tvorí ľavú stranu a výraz x + 5 pravú stranu tejto nerovnice. Pri nerovniciach sú dôležité tieto pojmy: obor nerovnice (označenie O): je to číselná množina, v ktorej hľadáme prvky spĺňajúce danú nerovnosť 7 ; definičný obor nerovnice (označenie D): je to číselná podmnožina množiny O, v ktorej majú všetky výrazy v nerovnici zmysel; množina riešení alebo koreňov nerovnice (označenie K): je to množina všetkých tých prvkov množiny D, ktoré spĺňajú požadovanú nerovnosť. Zrejme platí K D O. Pri riešení nerovníc obyčajne používame tieto ekvivalentné úpravy nerovníc:. Nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej na D rovná.. Pripočítanie výrazu, ktorý je definovaný na D, k obidvom stranám nerovnice. 3. Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý na D nadobúda kladné hodnoty, záporné hodnoty a súčasne obrátime znak nerovnosti. 4. Ak obidve strany nerovnice nadobúdajú na D nezáporné hodnoty, tak umocnenie obidvoch strán nerovnice na druhú, štvrtú atď., odmocnenie obidvoch strán nerovnice. 5. Nepárne umocnenie a odmocnenie oboch strán nerovnice. Vhodná metóda na riešenie nerovníc v obore reálnych čísel je tzv. intervalová metóda alebo tiež metóda nulových bodov. Exaktné zdôvodnenie tejto metódy nepodáme vyžadovalo by si to hlbšie poznatky napr. o funkciách. Je to jednoduchá a bezpečná metóda. Jej jednotlivé kroky sú vysvetlené pri riešení nasledujúceho príkladu. Príklad.3 Riešme v R nerovnicu 5 x x + + 4x (x + ) <. 7 My sústredíme pozornosť na prípad, keď O je množina reálnych čísel R. 37

Riešenie. Vysvetlíme si jednotlivé kroky intervalovej metódy.. Vyrobíme si na jednej strane nerovnice nulu: v našom prípade stačí k obidvom stranám nerovnice pripočítať číslo ( ) (tým sme vlastne preniesli pravú stranu nerovnice na jej ľavú stranu ). Dostaneme 5 x x + + 4x (x + ) < 0.. Upravíme nenulovú stranu nerovnice na jeden zlomok V (x)/v (x). V našom prípade dostaneme ekvivalentnú nerovnicu x + 3 (x )(x + ) < 0, čo je nerovnica typu V (x) = V (x) < 0, (.3) V (x) kde V (x) = x + 3 a V (x) = (x )(x + ). 3. Určíme nulové body výrazov V (x) a V (x) (t. j. vyriešime rovnice V (x) = 0, resp. V (x) = 0 nech K, resp. K sú ich riešeniami). V riešenom príklade to vyzerá takto: a teda K = { 3} a K = {; }. x + 3 = 0, (x )(x + ) = 0, 4. Na číselnej osi znázorníme nulové body K menovateľa V (x) prázdnymi krúžkami 8 nulové body K čitateľa V (x) prázdnymi krúžkami v prípade ostrej nerovnice typu < alebo >; plnými krúžkami v prípade nerovnice typu alebo. V našom prípade ide o ostrú nerovnicu, a preto znázorníme na číselnej osi všetky body K = { 3} a K = {; } prázdnymi krúžkami (pozri obr..): + + 3 Obr..: Ilustrácia intervalovej metódy 5. Krúžky z predchádzajúceho kroku nám rozdelili číselnú os na intervaly. Na každom z týchto intervalov nadobúda výraz V (x)/v (x) 8 Prázdny krúžok znamená, že zodpovedajúce číslo nepatrí do riešenia danej nerovnice; plný krúžok znamená, že zodpovedajúce číslo patrí do riešenia danej nerovnice. 38