ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ Επιβλέπων: Καραμπετάκης Νικόλαος Επικ.Καθηγητής Α.Π.Θ Θεσσαλονίκη, Απρίλιος 9

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ Επιβλέπων: Καραμπετάκης Νικόλαος Επίκ. Καθηγητής Α.Π.Θ Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή.. Ν. Καραμπετάκης Α. Βαρδουλάκης Μ. Γουσίδου Επ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ Α.Π.Θ Θεσσαλονίκη, Απρίλιος 8

.. Αλέξανδρος Ευριπίδου Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyrght Αλέξανδρος Ευριπίδου, 9. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. A rghts reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρεμβολή, με πολυώνυμα ή άλλες συναρτήσεις είναι μάλλον μια παλιά μέθοδος στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Αυτό υποδηλώνεται από το γεγονός ότι η λέξη «παρεμβολή» έχει εισαχθεί από τον J.Was κάπου στο 655. Σε σύγκριση με το γεγονός αυτό, η πολυωνυμική παρεμβολή με πολλές μεταβλητές είναι σχετικά νέο αντικείμενο και πιθανόν να ξεκίνησε το δεύτερο μισό του προηγούμενου αιώνα. Στις μέρες μας η παρεμβολή αποτελεί θέμα προς έρευνα από ένα κομμάτι της μαθηματικής κοινότητας και είναι βασικό ζήτημα στην Aριθμητική Aνάλυση με εφαρμογές σε πολλά μαθηματικά προβλήματα. Φυσικά, έχει επηρεαστεί από την διαθεσιμότητα των υπολογιστικών διευκολύνσεων και αυτός είναι και ο λόγος που έχουν δημοσιευθεί περισσότερα γραπτά γι αυτό το θέμα τα τελευταία 5 χρόνια από ότι τα προηγούμενα 75. Το γεγονός ότι η πολυωνυμική παρεμβολή πολλών μεταβλητών είναι κάπως πρόσφατο αντικείμενο έρευνας δεν μας επιτρέπει να αναφερθούμε επ ακριβώς σε αποτελέσματα που εμφανίστηκαν κάπου με όχι και τόσο σαφή τρόπο. Ο λόγος αυτός μας οδηγεί ώστε στην παρούσα εργασία να επικεντρωθούμε στην Hermte-Lagrage παρεμβολή δύο μεταβλητών, η οποία είναι η πιο κατανοητή από την σχετική βιβλιογραφία. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στην μονομεταβλητή περίπτωση των παρεμβολών Hermte και Lagrage και την συναφή με αυτές παρεμβολή Newto. Δηλώνουμε τους στοιχειώδεις ορισμούς ενώ παραθέτουμε κάποια θεμελιώδη θεωρήματα για την ύπαρξη και την μοναδικότητα της παρεμβολής. Επίσης λύνουμε κάποια παραδείγματα με βάση τις πιο πάνω μεθόδους. Στο δεύτερο κεφάλαιο, το κύριο μέρος αυτής της εργασίας, γίνεται μια εκτενής αναφορά στο πρόβλημα παρεμβολής Hermte-Lagrage δύο μεταβλητών, αποδεικνύουμε το θεμελιώδες θεώρημα για την ευστάθεια της παρεμβολής όταν αυτή εφαρμόζεται σε ισαπέχοντα σημεία στους κύκλους ενώ δηλώνουμε και κάποιες άλλες σημαντικές αρχές της μεθόδου. Για την καλύτερη κατανόηση εφαρμόζουμε την μέθοδο σε πρόβλημα εύρεσης του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη πολυωνύμων δύο μεταβλητών και στον υπολογισμό της ορίζουσας πολυωνυμικού πίνακα. Τέλος 5

συγκρίνουμε την μέθοδο με έναν γνωστό αλγόριθμο που βασίζεται στον Διακριτό Μετασχηματισμό Fourer. Στο τελευταίο κεφάλαιο προτείνουμε έναν αλγόριθμο υπολογισμού του αντίστροφου πολυωνυμικού πίνακα, που δίνεται με την βοήθεια ενός παραδείγματος, πρόβλημα το οποίο συχνά έχουμε να αντιμετωπίσουμε σε ζητήματα Θεωρίας Ελέγχου και Συστημάτων. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Hermte-Lagrage παρεμβολή, Ευστάθεια παρεμβολής, Ισαπέχοντα σημεία, Διακριτός Μετασχηματισμός Fourer. 6

ABSTRACT Poyoma terpoato s a method used for may years ow. Joh Was frst metoed about terpoato somewhere 655 as t refers []. Istead of ths, mutvarate terpoato s a ew subect Approxmato Theory sce frst troduced the secod haf of prevous cetury. The costat research about ths topc ed to some terestg resuts but of course eeds more atteto. Mutvarate poyoma terpoato s today a ma pot Numerca Aayss ad s apped to may mathematca probems. It s deveopmet s reated wth the computatoa factes. Because of ths we have more papers about ths subect the recet 5 years. The fact that the terpoato poyoma severa varabes s a rather ew subect, s dffcut to refer exacty about resuts that appeared somewhere ot wth precso. Hece ths wor we focus o Hermte-Lagrage terpoato probem two varabes. I the frst secto we refer poyoma terpoato oe varabe, Hermte ad Lagrage ad the reatve, Newto s terpoato. We state some deftos ad some mportat theorems for exstece ad uqueess of the terpoato. We aso gve exampes for each case. I the secod secto, the ma part of ths wor, we cosder the Hermte- Lagrage terpoato two varabes. We proof the fudameta theorem of posedess o equdstad pots o crces. We appy the method o Greatest Commo Dvsor probem ad for the estmato of determat of poyoma matrx. We aso compare the method wth ow agorthm based o Dscrete Fourer Trasform. I the ast secto we suggest a agorthm for approxmato of the verse of a poyoma matrx two varabes, whch s a ofte probem Cotro Theory. KEY WORDS Hermte-Lagrage terpoato, Posedess of terpoato, Equdstad pots, Dscrete Fourer Trasform. 7

8

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών, στην ειδίκευση Θεωρητικής Πληροφορικής και Θεωρίας Συστημάτων και Ελέγχου και αποτελεί την μεταπτυχιακή διπλωματική μου εργασία υπό την επίβλεψη του Επίκουρου Καθηγητή Νικόλαου Καραμπετάκη. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω όσους συνέβαλαν με οποιοδήποτε τρόπο στην ολοκλήρωση των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Νικόλαο Καραμπετάκη για την ανάθεση της παρούσας εργασίας, την συνεργασία και την καθοδήγηση που μου παρείχε σε όλη την διάρκεια της διπλωματικής μου εργασίας. 9

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελίδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT. 7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ.. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ LAGRANGE-HERMITE ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 3.: Ορισμοί... 3.: Ύπαρξη και μοναδικότητα του πολυωνύμου παρεμβολής. 4.3: Πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage 6.4: Πολυώνυμο παρεμβολής Hermte 8.4.: Διαιρεμένες διαφορές 8.4.: Παρεμβολή Hermte χρησιμοποιώντας τους συντελεστές Lagrage.5: Σφάλμα παρεμβολής. 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ LAGRANGE-HERMITE ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. 5.: Ορισμοί και πρόβλημα παρεμβολής Hermte 5.: Ισαπέχοντα σημεία. 7.3: Μέση τιμή ολοκληρώματος και cubature τύπος 3.4: Αυθαίρετα, διακεκριμένα σημεία στον κύκλο.. 37.5: Εφαρμογές με την χρήση πολυωνυμικής παρεμβολής Hermte-Lagrage 39.6: Ο Διακριτός Μετασχηματισμός Fourer (DFT) στην πολυωνυμική παρεμβολή... 65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ-ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ... 75 3.: Σχόλια-συμπεράσματα 8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 83

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ LAGRANGE-HERMITE ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. Ορισμοί: Η παρεμβολή αποτελεί μια από τις πλέον διαδεδομένες προσεγγιστικές τεχνικές στον τομέα της αριθμητικής ανάλυσης και των υπολογιστικών μαθηματικών. Με τον όρο παρεμβολή εννοούμε το πρόβλημα της προσέγγισης μιας συνάρτησης f της οποίας είναι γνωστές οι τιμές σε διακεκριμένα σημεία x,,,,..., =, από μια άλλη συνάρτηση g πιο εύχρηστη. Όταν η προσεγγιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται είναι πολυώνυμο τότε η μέθοδος καλείται «πολυωνυμική παρεμβολή». Το κλασσικό πρόβλημα παρεμβολής με πολυώνυμα διατυπώνεται όπως πιο κάτω: Πρόβλημα: Ας είναι + διακεκριμένα σημεία x x,..., x, στα οποία οι τιμές f ( x ), f( x),..., f( x ), της συνάρτησης f είναι γνωστές. Να βρεθεί πολυώνυμο p ( x ), βαθμού, το οποίο να εμφανίζει τις ίδιες τιμές με την f στα ίδια + σημεία. Δηλαδή ψάχνουμε ένα πολυώνυμο p ( ) κάτω «συνθήκες παρεμβολής» x τέτοιο ώστε να ικανοποιεί τις πιο p ( x) = f( x), για,,..., = (.) Τα σημεία x x,..., x καλούνται «σημεία παρεμβολής» ή «κόμβοι παρεμβολής», ενώ το p ( x ) «πολυώνυμο παρεμβολής» βαθμού. 3

. Ύπαρξη και μοναδικότητα του πολυωνύμου παρεμβολής Θεώρημα.: Για οποιοδήποτε σύνολο + διακεκριμένων σημείων x x,..., x, και των αντίστοιχων τιμών της συνάρτησης f υπάρχει μοναδικό πολυώνυμο p( x) P τέτοιο ώστε f ( x) = p( x) για =,,..., Απόδειξη: Θα δώσουμε δύο τρόπους απόδειξης. Στον δεύτερο τρόπο η ύπαρξη και η μοναδικότητα του πολυωνύμου παρεμβολής χωρίζεται σε δύο σκέλη. ος τρόπος: Ένα πολυώνυμο p( x) = ax ικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής, = σχέση (.), αν-ν οι συντελεστές a αποτελούν λύση του γραμμικού συστήματος a + ax +... + a x = f( x ) a + ax +... + a x = f( x)... a + ax +... + a x = f( x ) Αυτό το σύστημα έχει μοναδική λύση αν-ν η ορίζουσα του δεν μηδενίζεται. Μια τέτοια ορίζουσα καλείται ορίζουσα του Vadermode και συμβολίζεται με VDM ( x, x,..., x ). Έτσι με x x... x x x x... x x VDM ( x, x,..., x ) =......... VDM ( x, x,..., x ) = ( x x ) <........ x x... x x Αφού τα σημεία παρεμβολής είναι διακεκριμένα, δηλαδή x x για ορίζουσα δεν μηδενίζεται και το πρόβλημα έχει μια και μοναδική λύση., τότε η 4

ος τρόπος: Ύπαρξη: ας είναι {} μια βάση του χώρου = το p( x) P P των πολυωνύμων βαθμού. Τότε μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης, δηλαδή να παρασταθεί ως με την ιδιότητα p( x) = b( x) (.) = (.3) p( x) = b ( x) = f( x), =,,..., = o Αν ορίσουμε τα τότε x x P : ( x) =,,,..., x x = ( x ) = δ : = {,,, = = (.4) οπότε από την (.3) προκύπτει ότι b = f( x) Άρα το πολυώνυμο παρεμβολής υπάρχει και έχει την μορφή Μοναδικότητα: p( x) = f( x) ( x) = υποθέτουμε ότι υπάρχει ακόμα ένα πολυώνυμο παρεμβολής το qx ( ) P που παρεμβάλλει την f στα + διακεκριμένα σημεία x x,...,, άρα ικανοποιεί τις πιο κάτω συνθήκες παρεμβολής Έστω Από τι σχέσεις (.),(.),(.3) έπεται ότι x και q ( x) = f( x), =,,..., (.5) r ( x) = p ( x) q ( x) (.6) r ( x) = p ( x) q ( x) =, =,,..., Οπότε το πολυώνυμο r ( x ) που ανήκει στο P και έχει + διακεκριμένες ρίζες θα πρέπει να είναι ταυτοτικά μηδέν. Άρα από την (.6) προκύπτει ότι 5

r ( x) = p ( x) q ( x) = => p ( x) q ( x), που επιβεβαιώνει ότι το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικό..3 Πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage Όπως αναφέρθηκε στην η παράγραφο αν έχουμε + διακεκριμένα σημεία x x,..., x, όχι απαραίτητα ισαπέχοντα, και αν f μια συνάρτηση για την οποία είναι, γνωστές οι τιμές της f ( x), =,...,, η συνάρτηση αυτή μπορεί να προσεγγιστεί από ένα πολυώνυμο p( x) P. Για το p( x ) ισχύει f ( x) = p( x), για =,,..., Τότε μπορούμε να θεωρήσουμε την συνάρτηση L( x) ( x x )( x x )...( x x )( x x )( x x ) x x + = = ( x x )( x x )...( x x )( x x )( x x ) = x x + (.7) για =,,...,, που στην ουσία είναι ένα πολυώνυμο βαθμού που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες L( x ) = για = και (.8) L( x ) = για Έστω τώρα το πολυώνυμο p( x ) είναι της μορφής p( x) = bl( x) (.9) = o Τότε από τις συνθήκες παρεμβολής και τις σχέσεις (.8), (.9) προκύπτει και η (.9) γίνεται p( x) = f( x) = b για =,,..., p( x) = f( x) L( x) (.) = o Η σχέση (.) καλείται πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage και τα πολυώνυμα L ( x ) συντελεστές Lagrage. 6

Παράδειγμα.: Να βρεθούν οι συντελεστές Lagrage και η τιμή της συνάρτησης f ( x ) στο σημείο x = 3 όταν είναι γνωστά τα ακόλουθα: για x = => f () =.5, x = 4 => f (4) =.5, x = 5 => f (5) =.. Λύση: Υπολογίζουμε από τον τύπο (.7) τους συντελεστές Lagrage για x =, x = 4 και για x = 5. Τότε έχουμε: L ( x) L( x) L ( x) ( x x )( x x ) ( x 4)( x 5) ( x 4)( x 5) ( )( ) ( 4)( 5) 6 = = = x x x x ( x x )( x x ) ( x )( x 5) ( x )( x 5) ( )( ) (4 )(4 5) = = = x x x x ( x x )( x x ) ( x )( x 4) ( x )( x 4) ( )( ) (5 )(5 4) 3 = = = x x x x Αντικαθιστούμε στον τύπο (.) τους συντελεστές Lagrage και για f( x ) =.5 f( x ) =.5 f( x ) =. παίρνουμε το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage. p( x) = f( x) L( x) = ( x 4)( x 5) ( x )( x 5) ( x )( x 4) = + 8 5 Αντικαθιστούμε όπου 3 x = και παίρνουμε f (3) p(3) =.35. 7

.4 Πολυώνυμο παρεμβολής Hermte Σκοπός της παρεμβολής Hermte είναι ο προσδιορισμός ενός πολυωνύμου το οποίο να συμφωνεί όχι μόνο με τις τιμές μιας συνάρτησης σε διακεκριμένα σημεία αλλά και με τις τιμές των παραγώγων αυτής στα ίδια σημεία. Δηλαδή ένα πρόβλημα παρεμβολής Hermte επιπρόσθετα με τις τιμές της συνάρτησης f στα σημεία x x,..., x διαχειρίζεται και τις τιμές της, M f C ([ a, b]) στο διάστημα [ ab, ], οι συνθήκες παρεμβολής είναι: ( ) f στα x x,..., x. Για,, δηλαδή η συνάρτηση έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι M τάξης ( ) ( ) p ( x) f ( x) για =,,..., και =,,..., m όπου m M. Εισάγουμε την έννοια των διαιρεμένων διαφορών = (.).4. Διαιρεμένες διαφορές Διαιρεμένη διαφορά πρώτης τάξης στα σημεία f ( x ) f( x ) x x και συμβολίζεται με f [ x, x ]. Δηλαδή x, x καλείται το πηλίκο f[ x, x ] = f ( x ) f( x ) x x Σαν διαιρεμένη διαφορά ης τάξης στα σημεία x, x, x ορίζεται (.) f[ x, x, x ] = f [ x, x ] f[ x, x ] x x (.3) ενώ σαν διαιρεμένη διαφορά τάξης στα σημεία x x,..., x ορίζεται, f [ x, x,..., x ] f[ x, x,..., x ] f[ x, x,..., x ] = x x (.4) 8

Ο πίνακας διαιρεμένων διαφορών είναι: x f f [,] f [,,] f [,,...,] x f ( x ) f [ x, x ] x x.... x f ( x ) f [ x, x, x ]. f [ x, x ] f ( x ).. f ( x ). f [ x, x ] f [ x, x, x ]. f [ x, x,..., x ]. Οι πεπερασμένες διαφορές έχουν εφαρμογή στο πολυώνυμο παρεμβολής του Newto το οποίο είναι για x x,..., x σημεία παρεμβολής, p ( x) = f( x ) + f[ x, x ]( x x ) + f[ x, x, x ]( x x )( x x) +... + δηλαδή, + f [ x, x,..., x ]( x x )( x x)...( x x ) (.5) p ( x) = f[ x,..., x] ( x x ) = = Σημειώνουμε ότι αν υποθέσουμε ότι x συγκλίνει στο x τότε f[ x, x ] = f ( x ) f( x ) x x [, ] ( ) συγκλίνει στην f ( x ) από τον ορισμό της παραγώγου. Δηλαδή f x x = f x και γενικότερα f [ x, x] = f ( x) (.6) ενώ αν και x συγκλίνει στο x τότε f[ x, x, x ] = f ( x )! Γενικά αν έχουμε τα σημεία x x... x, από τα οποία μερικά μπορεί να είναι τα ίδια, δηλαδή... x = x = = x, τότε η πεπερασμένη διαφορά τάξης δίνεται + + 9

f[ x,..., x ] ( f ) ( x )! + = (.7). Επιστρέφοντας στην παρεμβολή Hermte, αυτή μπορεί να θεωρηθεί σαν παρεμβολή σε πολλαπλά σημεία. Οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα των διαιρεμένων διαφορών και το πολυώνυμο του Newto. Έστω ότι έχουμε x τα σημεία x, στα οποία μας είναι γνωστές οι τιμές της συνάρτησης f και της παραγώγου αυτής,f. Τότε μπορούμε να επιτύχουμε παρεμβολή Hermte στα σημεία x, x θεωρώντας το καθένα βαθμού πολλαπλότητας. Ο πίνακας διαιρεμένων διαφορών γίνεται p( x ) ( ) = f x x f x p ( x ) f ( x ) = x p( x) ( ) = f x x p ( x ) f ( x) = x f x ( ) f ( x ) f ( x ) f [ x, x, x ] f [ x, x ] f [ x, x, x, x ] f ( x ) f [ x, x, x ] f ( x ) ( ) Τότε το πολυώνυμο παρεμβολής γίνεται p( x) = f( x ) + f ( x )( x x ) + f[ x x, x ]( x x ), + f[ x, x, x, x ]( x x ) ( x x ) ή λόγω της μοναδικότητας του πολυωνύμου παρεμβολής p( x) = f( x ) + f ( x )( x x ) + f[ x x, x ]( x x ), + f[ x, x, x, x ]( x x ) ( x x ) Γενικά, το πολυώνυμο παρεμβολής Hermte που παρεμβάλλει την f και την f σε + σημεία x x,..., x είναι βαθμού ( + ),. Για να παράγουμε το

πολυώνυμο παρεμβολής Hermte, που ορίζεται στα πιο πάνω σημεία, χρησιμοποιούμε την σχέση z = z = x, για,,..., + και ορίζουμε μια νέα ακολουθία σημείων, = (.8) zz,..., z + (.9) Κατασκευάζουμε τον πίνακα των διαιρεμένων διαφορών με τα νέα σημεία και την σχέση f [ z, z ] f ( x) + που είναι η αντίστοιχη της f [ x, x] f ( x) =. = (.) Τέλος χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής του Newto, το πολυώνυμο παρεμβολής Hermte μπορεί να παρασταθεί ως ακολούθως: + (.) H ( x) = f( z ) + f[ z, z,..., z ] ( x z ) + = = Παράδειγμα.: Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Hermte που παρεμβάλλει την συνάρτηση f x στα σημεία p( 3) = f ( 3) = p ( 3) = f ( 3) = p() = f () = 3 p () = f () = 6 = 3, x = και για το οποίο ισχύουν οι εξής συνθήκες παρεμβολής: Λύση: Ορίζουμε νέα ακολουθία σημείων με την βοήθεια της σχέσης οπότε θα έχουμε: z = z = x, για =, + για = => z = 3 και z = 3 για = => z = και z = 3 Κατασκευάζουμε τον πίνακα διαιρεμένων διαφορών

z = 3 f( z ) = f ( z ) = z = 3 f( z ) = f[ z, z, z ] = 5 33 f[ z, z ] = f[ z, z, z, z ] = 3 5 5 9 z = f( z ) = 3 f[ z, z, z ] = 3 5 f ( z ) = 6 z = 3 3 f( z ) = 3 f ( z ) = f[ z, z ] και f ( z ) = f[ z, z ]. 3 όπου Τότε από την σχέση (.) το πολυώνυμο Hermte προκύπτει να έχει την μορφή p( z) = f( z ) + f ( z )( z z ) + f[ z, z, z ]( z z )( z z ) + f [ z, z, z, z ]( z z )( z z )( z z ) 3 ενώ αντικαθιστώντας τις τιμές παίρνουμε που είναι και το επιθυμητό. 33 94 49 = + 5 5 5 5 3 p( z) z z z.4. Παρεμβολή Hermte χρησιμοποιώντας τους συντελεστές Lagrage Η παρεμβολή Hermte μπορεί να αξιοποιήσει τους συντελεστές Lagrage όταν εκτός των δοθέντων τιμών της συνάρτησης f στα διακεκριμένα σημεία x x,..., x, είναι γνωστές και οι τιμές της f στα ίδια + σημεία. Δηλαδή αν δίνονται οι τιμές της συνάρτησης f ( x ) και οι τιμές της πρώτης παραγώγου f ( x ), =,,..., τότε υπάρχει μοναδικό πολυώνυμο p( x ), το πολύ βαθμού +, το οποίο να ικανοποιεί τις πιο κάτω συνθήκες παρεμβολής : p( x) = f( x) και p ( x) = f ( x) για (.) =,,..., και το οποίο έχει την παρακάτω παράσταση:

(.3) = p( x) = [ H ( x) f( x) + Hˆ ( x) f ( x)] όπου H x x x L x L x ( ) = [ ( ) ( )][ ( )], Hˆ ( x) = ( x x)[ L( x)] (.4) είναι οι συντελεστές Hermte και L ( x ) οι συντελεστές Lagrage. Η σχέση (.3) είναι η Lagrage μορφή του πολυωνύμου παρεμβολής Hermte. Παράδειγμα.3: Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Hermte που παρεμβάλλει την συνάρτηση f x στα σημεία p() = f () = p () = f () = p() = f () = 7 p () = f () = 53 =, x = και για το οποίο ισχύουν οι εξής συνθήκες παρεμβολής: Λύση: Υπολογίζουμε τους συντελεστές Lagrage και τις πρώτες παραγώγους αυτών για x =, x =. Για x = έχουμε L x x x = = x ( ) x x και L ( x) = Για x = έχουμε L ( x) και L ( x) = x x = = x x Υπολογίζουμε τους συντελεστές Hermte από τις σχέσεις (.4) x 3

Για x = έχουμε και Για x = έχουμε και H x x L x L x x x 3 = [ ( ) ( )][ ( )] = 3 + ˆ ( ) ( )[ ( ] 3 H x = x x L x = x x + x H = [ ( x x ) L ( x)][ L( x)] = x + 3x Hˆ ( x) = ( x x )[ L( x] = x x 3 3 Αντικαθιστώντας τώρα στον τύπο (.3) τους συντελεστές Hermte παίρνουμε το πολυώνυμο παρεμβολής p x x x x 3 ( ) = 3 + + +.5 Σφάλμα παρεμβολής Η προσέγγιση μιας συνάρτησης f από μια άλλη συνάρτηση g εισάγει κάποιο σφάλμα. Έτσι και στην πολυωνυμική παρεμβολή, είναι δυνατό η σχέση της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης f και του πολυωνύμου παρεμβολής p να είναι, =,... οπότε έχουμε ένα σφάλμα πολυωνυμικής παρεμβολής ε τέτοιο ώστε ε ( x) = f( x) p( x). (.5) Το σφάλμα παρεμβολής συνδέεται άμεσα με την εκλογή του συνόλου των σημείων παρεμβολής. Το σφάλμα παρεμβολής στην περίπτωση της παρεμβολής Lagrage της παραγράφου δίνεται από τον τύπο ( + ) f ( ξ ) ε ( x) = f( x) p( x) = ( x x) ( + )! = (.6) για κάποιο ξ ( ab, ), όπου [ ab, ] το διάστημα στο οποίο ανήκουν τα διακεκριμένα σημεία x x,..., x και, + f C [ a, b]. Αντίστοιχα για το σφάλμα του πολυωνύμου Hermte έχουμε: για ξ ( ab, ), =,,... (+ ) + f ( ξ ) ε ( x) = f( x) H ( x) = ( x z ) + ( + )! = + f C [ a, b], + (.7) =, z = z = x και f [ z, z ] f ( x) + 4

KΕΦΑΛΑΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ LAGRANGE-HERMITE ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η παρεμβολή Hermte συνταιριάζει προκαθορισμένα δεδομένα, τιμές συνάρτησης και συνεχείς κανονικές παραγώγους, σε ένα σύνολο σημείων σε διάφορους κύκλους που έχουν κέντρο την αρχή των αξόνων. Περιλαμβάνει την παρεμβολή Lagrage σαν ειδική περίπτωση, όταν δεν περιλαμβάνονται στα δεδομένα τιμές των παραγώγων της συνάρτησης. Η μοναδικότητα της παρεμβολής πετυχαίνεται όταν τα σημεία που ανήκουν στον ίδιο κύκλο είναι ισαπέχοντα, αν και τα σημεία σε διαφορετικούς κύκλους μπορεί να διαφέρουν σε αυθαίρετες περιστροφές. Αυτό οδηγεί σε ολοκλήρωμα δύο ή περισσοτέρων διαστάσεων στον μοναδιαίο κύκλο το οποίο μπορεί να δοθεί ακριβώς χωρίς να ξέρουμε τον ακριβή τύπο του πολυωνύμου παρεμβολής...ορισμοί και πρόβλημα παρεμβολής Hermte Θεωρούμε ένα πρόβλημα παρεμβολής Hermte με πολυώνυμα δύο μεταβλητών. Τα σημεία παρεμβολής βρίσκονται σε διάφορους κύκλους με κέντρο την αρχή των αξόνων και παρεμβολή διαχειρίζεται προκαθορισμένα δεδομένα από τιμές συνάρτησης και συνεχών κανονικών παραγώγων αυτής. Όταν δεν παρεμβάλλονται τιμές παραγώγων,τότε το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα παρεμβολής Lagrage. Εισάγουμε την έννοια του ολικού βαθμού του πολυωνύμου Pxy (, ) δύο μεταβλητών x και y ο οποίος δίνεται από τον τύπο = max{ + : x y P( x, y),, =,... } (.) Συμβολίζουμε με ολικού βαθμού. Π τον χώρο των πολυωνύμων Pxy (, ) δύο μεταβλητών, 5

= (.), = = Pxy (, ) c xy Η διάσταση του χώρου Π είναι dm Π = ( + )( + )/. Θεωρούμε την περίπτωση που ο αριθμός των συνθηκών παρεμβολής είναι ίσος με την διάσταση του χώρου Π. Αν υπάρχει μοναδική λύση σε ένα πρόβλημα παρεμβολής, λέμε ότι το πρόβλημα είναι «ευσταθές». Αντίθετα με την παρεμβολή με πολυώνυμα μιας μεταβλητής, παρεμβολή Hermte ή Lagrage, η παρεμβολή με πολυώνυμα πολλών μεταβλητών δεν είναι πάντοτε ευσταθής. Κανονική παράγωγος: P P P = cosθ + sθ, ( x, y) ( rcos θ, rs θ ) r x y = (.3) Για θετικό αριθμό r > συμβολίζουμε τον κύκλο ακτίνας r με κέντρο την αρχή των αξόνων με Sr () = {(, xy): x + y = r}, και με [ t ] το ακέραιο μέρος του t. Το πρόβλημα παρεμβολής: Ας είναι ο θετικός ακέραιος ο ολικός βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής, r r r λ < < <... < και ας είναι μ μ,..., μ θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε, λ μ + μ +... + μ [ / ] λ = + (.4) Συμβολίζουμε με {( x, y ) : m} (.5),, διακεκριμένα σημεία στον κύκλο Sr ( ), όπου m= [( + ) / ] και λ (.6) Χαρακτηρίζουμε τα σημεία για τα οποία το πρόβλημα έχει μοναδική λύση στο Π για οποιαδήποτε προκαθορισμένα δεδομένα f με τις εξισώσεις:,, P (, x y ) = f r,,,, όπου μ, λ, m. (.7) Οι πιο πάνω εξισώσεις αποτελούν τις συνθήκες παρεμβολής του προβλήματος. Με άλλα λόγια, το πρόβλημα απαιτεί παρεμβολή στις μέχρι ( μ ) οστής τάξης κανονικές παραγώγους στα m + διακεκριμένα σημεία στον οστό κύκλο, 6

=,,..., λ. Θυμίζουμε ότι ο αριθμός των συνθηκών παρεμβολής (.7) είναι ίσος με την διάσταση του χώρου Π, δηλαδή ίσος με ( + )( + )/. Αν για όλα τα, μ =, τότε το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα παρεμβολής Lagrage σε λ = [ /] + κύκλους. Αν λ =, υπάρχει μόνο ένας κύκλος, τον οποίο διαλέγουμε να έχει ακτίνα r =, και το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα Hermte στον μοναδιαίο κύκλο. Η πιο κοινή επιλογή σημείων παρεμβολής στον κύκλο Sr ( ) είναι τα ισαπέχοντα σημεία, Όπου ( + a ) π ( x, y ) = ( rcos θ, rs θ ), θ =, m,,,,, m + a είναι αριθμός ανεξάρτητος του. Ο αριθμός (.8) a δηλώνει ότι τα ισαπέχοντα σημεία σε διαφορετικούς κύκλους μπορεί να διαφέρουν εκ περιστροφής. Θα δώσουμε τώρα το κύριο αποτέλεσμα αυτού του κεφαλαίου. Θεώρημα.:Το πρόβλημα παρεμβολής Hermte (.7) που βασίζεται στα ισαπέχοντα σημεία (.8) είναι ευσταθές. Το θεώρημα αποδεικνύεται στην δεύτερη παράγραφο αυτού του κεφαλαίου, όπου επίσης παραθέτουμε πορίσματα αυτού και διάφορες ιδιότητες του μοναδικού πολυωνύμου παρεμβολής. Το αποτέλεσμα αυτό είναι νέο ακόμα και για την παρεμβολή Lagrage. Αργότερα μια άλλη απόδειξη του πιο πάνω θεωρήματος δόθηκε ανεξάρτητα από τους Haopa και Ismae[5]. Ολοκληρώνοντας το πολυώνυμο παρεμβολής P στο θεώρημα, δίνει έναν cubature τύπο στον μοναδιαίο δίσκο B = {( x, y) : x + y }. Παρόλο που ο ακριβής τύπος του P είναι δύσκολο να βρεθεί, η μέση τιμή του ολοκληρώματος του P πάνω στον κύκλο ακτίνας r μπορεί να θεωρηθεί σαν η λύση ενός προβλήματος παρεμβολής μιας μεταβλητής. Αυτό μας επιτρέπει να δώσουμε σαφείς τύπους για τους cubature τύπους. Αυτά τα αποτελέσματα θα συζητηθούν στην τρίτη παράγραφο. Στην τέταρτη παράγραφο θεωρούμε το πρόβλημα παρεμβολής (.7) για αυθαίρετα σύνολα σημείων στον κύκλο. Για την ειδική περίπτωση του λ = (παρεμβολή στον μοναδιαίο κύκλο), θα δείξουμε ότι το πρόβλημα είναι ευσταθές μόνο όταν =. 7

. Ισαπέχοντα σημεία Ξεκινούμε με την εξής παρατήρηση. Συμβολίζουμε με βαθμού με δύο μεταβλητές, δηλαδή P τα ομογενή πολυώνυμα P = spa{ x y : + =,, } (.9) Επειδή τα σημεία παρεμβολής βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο είναι πιο βολικό να χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες, x = r cosθ και y= rsθ όπου r και θ π Χρησιμοποιώντας τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες προκύπτει ότι σε πολικές συντεταγμένες, = {, cos θ, s θ, } P spa r r r και (.) = + + {, cos( + + ) θ, s( + ) θ, } + P spa r r r Για πολυώνυμα P Π, συνήθως γράφουμε Pr (, θ ) = Pr ( cos θ, rs θ) %. Τότε κάθε πολυώνυμο P Π μπορεί να παρασταθεί ως % = = (.) = Pr (, θ ) Pr (cos θ, rs θ) q( θ) r όπου rq( θ ) P και q ( θ ) είναι τριγωνομετρικά πολυώνυμα βαθμού που δίνονται ως εξής: (.) q ( θ ) = α + ( a cosθ + b s θ),,,, = (.3) q ( θ ) = ( a cos( ) θ + b s( ) θ),,, = Αυτή η έκφραση είναι χρήσιμη στην παρεμβολή με αυθαίρετα σημεία στον κύκλο. Για την απόδειξη του θεωρήματος. χρησιμοποιούμε διαφορετική έκφραση. Λήμμα.: Για, σε πολικές συντεταγμένες κάθε πολυώνυμο P Π μπορεί να γραφεί ως εξής: (, θ ) = ( ) + [ ( )cos ( θ + )s θ], = P% r A r r A r r B r όπου A () t B () t είναι πολυώνυμα βαθμού [( ) / ] και. 8

Αυτό προκύπτει αν ξαναγράψουμε την (.) σαν άθροισμα των cos θ και s θ. Το γεγονός ότι τα σημεία είναι ισαπέχοντα στους κύκλους βοηθά στο να απλοποιήσουμε την τύπο σε αυτά τα σημεία. Ας είναι { a a Θ = θ : θ = ( + a) π /(m+ ), =,..., m, a }, (.4) a Λήμμα.3: Για θ Θ και α P Π με = m ή = m m m + θ m + = P% (, r ) = A ( r ) + [( r A ( r ) + r C ( r ))cosθ + ( rb( r) r D ( r))s θ ] m + m + όπου C ( r ) = A ( r )cos απ + B ( r )sαπ, m + m + m + D ( r ) = A ( r )s απ B ( r )cosαπ m + m + m + και υποθέτουμε ότι A B m = = αν = m. m Με σκοπό να δείξουμε ότι το πρόβλημα παρεμβολής Hermte (.7) είναι κανονικό, θα πρέπει να δείξουμε ότι αν dp% (, ) r θ = dr P Π και, μ, λ, θ Θ α (.5) τότε το P είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Χρησιμοποιώντας το λήμμα (.3) για P%, οι συνθήκες παρεμβολής συνεπάγονται το πιο κάτω. Λήμμα.4: Ας είναι P όπως στο λήμμα.3, = m ή = m. Αν P% ικανοποιεί τις (.5), τότε για m, d dr d dr m + [ ra( r) + r C ( r)] =, m + r= r μ, λ, [ rb( r) + r D ( r)] =, μ, λ, m + m + r= r όπου υποθέτουμε ότι A B = = για > και B =. Απόδειξη: Ας είναι m.3, οι συνθήκες παρεμβολής (.5) μπορούν να γραφούν =. Χρησιμοποιώντας την παράσταση του P στο λήμμα 9

+ d dr d dr ( ) m [ d ( ( ) m + ( A r + r A r r C r )) cos θ r= r + m + r= r = dr ( rb( r) r D ( r)) s θ ] = m + m + r= r για θ Θ α και m. Η πιο πάνω παράσταση είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο βαθμού m, το οποίο παίρνει την τιμή σε m + διακεκριμένα σημεία στο διάστημα [, π ). Τότε προκύπτει από την μοναδικότητα της τριγωνομετρικής παρεμβολής ότι οι συντελεστές των cos θ και s θ είναι, το οποίο δίνει τις πιο πάνω εξισώσεις. Όμοια αποδεικνύεται και η περίπτωση για = m. Η απόδειξη της μοναδικότητας της παρεμβολής Hermte εξαρτάται από το πιο κάτω αποτέλεσμα που αναφέρεται σε πολυώνυμα μιας μεταβλητής. Λήμμα.5: Ας είναι σταθερός ακέραιος τέτοιος ώστε s m+. Ας είναι μ, μ,..., μ που ικανοποιούν μ + μ +... + μ s λ λ = +. Ας είναι p() t πολυώνυμο βαθμού s = d dr. Αν, qt () πολυώνυμο βαθμού και qt () = αν m + [ ( ) ( )], μ, r= r r p r + r q r = λ (.6) τότε p = και q =. Είμαστε σε θέση τώρα να αποδείξουμε το κύριο αποτέλεσμα, το θεώρημα (.), το οποίο επαναδιατυπώνουμε. Θεώρημα.6: Για κάθε a, a,..., a, το πρόβλημα παρεμβολής (.7) που βασίζεται στα ισαπέχοντα σημεία,, θ Θ στους κύκλους ( ), α Απόδειξη: Αν = m, τότε το C + είναι βαθμού [( ) / ] m με = ή = και s m ( x, y ) = ( rcos θ, rs θ ), Sr είναι ευσταθές. A στο λήμμα.4 είναι βαθμού m [( + ) / ] και. Για αυτό το λήμμα.5 μπορεί να χρησιμοποιηθεί = για να αποδείξουμε ότι οι εξισώσεις στο λήμμα 3

.4 συνεπάγονται A = και C + = για m, και όμοια B = και D m + = για m. Από τον ορισμό των A ( r )cos aπ + B ( r )saπ =, m + m + m + m + m C και D προκύπτει A ( r )s aπ + B ( r )cosaπ =, το οποίο συνεπάγεται ότι A + = B + = αφού η ορίζουσα των συντελεστών είναι -. Συνεπώς, καταλήγουμε και m ότι P και το θεώρημα αποδείχτηκε. Αν = m, τότε βαθμού m [( + ) / ] και Cm + είναι βαθμού [( 3)/ ].5 μπορεί να χρησιμοποιηθεί με A στο λήμμα.4 είναι m. Για αυτό το λήμμα = ή = + και s = m για να δείξουμε ότι οι εξισώσεις στο λήμμα.4 συνεπάγονται ότι A = και C + = για m, και όμοια B = και D + = για m. Ξανά προκύπτει ότι A B m + m + m = = και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. m Δίνουμε έμφαση στο ότι τα a μπορεί να διαφέρουν για διαφορετικούς κύκλους. Δύο περιπτώσεις μπορεί να ενδιαφέρουν ειδικότερα. Η πρώτη είναι όλα τα a =, στην οποία όλα τα σημεία παρεμβολής επίσης βρίσκονται σε ακτίνες που ξεκινούν από τη αρχή των αξόνων. Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν τα σημεία σε γειτονικούς κύκλους διαφέρουν εκ περιστροφής κατά π /(m + ).(για παράδειγμα a = και a + = ) Όταν όλα τα μ =, η παρεμβολή Hermte γίνεται παρεμβολή Lagrage. Δηλώνουμε την περίπτωση αυτή με το πιο κάτω πόρισμα. Πόρισμα.7: Ας είναι < r < r <... < r [ = οι ακτίνες των κύκλων Sr ( ), /] [ /]. Ας είναι Θ το σύνολο των σημείων στον κύκλο ( ) a Sr όπως ορίζεται στο λήμμα.5. Τότε το πρόβλημα παρεμβολής Lagrage Pr ( cos θ r, s θ ) = f, [ /],, θ Θ α είναι ευσταθές στο Π. Για μ, λ και m, ας συμβολίσουμε με,, θεμελιώδη πολυώνυμα παρεμβολής στο σημείο,, ( x, y ) που ορίζονται: L τα 3

υ L,, ( r cos θ, r sθ υ ) = δ δ δ r u u, u u,,, u, υ για υ μ, u λ, m. (.7) Ας είναι P το μοναδικό πολυώνυμο παρεμβολής που ικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής (.7). Τότε το P μπορεί να γραφεί λ μ m Pxy (, ) f L ( xy, ). = = = o =,,,, Προκύπτει ότι όλα τα L μπορούν να παραχθούν από τα L με περιστροφή.,,,, Θεώρημα.8: Για μ, λ και m, L r r = L r r αν a = και με ( cos θ, s θ) ( cos( θ θ ), s( θ θ )),,,,, β = π /(m + ) L r r = L r + r + αν α =. ( cos θ, s θ) ( cos( θ θ β), s( θ θ β)),,,,, Επιπλέον τα πολυώνυμα L ( xy, ) είναι άρτια στο y όταν a =.,, Αυτό το θεώρημα μας επιτρέπει να ανάγουμε το πρόβλημα της εύρεσης ακριβούς τύπου για τα,, L στην περίπτωση του =. Όμως η εύρεση ακριβούς τύπου για τα L δεν είναι εύκολο. Ακόμα και στην περίπτωση λ =, δηλαδή της,, παρεμβολής στον μοναδιαίο κύκλο, δεν ξέρουμε την γενική μορφή του τύπου. Πιο κάτω δίνουμε τους τύπους για τις δύο πρώτες περιπτώσεις για λ =. Αφού υπάρχει μόνο ένας κύκλος διαλέγουμε τύποι δίνονται σε πολικές συντεταγμένες. α = και γράφουμε L ( xy, ): L ( xy, ),, =. Οι περίπτωση = με λ = : L x y r r (, ) = ( + 4 cos θ cos θ ) /3, L x y = + r r + r. (, ) ( 4 cos θ 4 cos θ ) / 6 περίπτωση = 3 με λ = : L x y = + r r + r r, 3 3 (, ) ( (3 )cos θ 6 cos θ 4 cos3 θ ) /5 3 (, ) = ( + ( )cos θ + 4 cos θ 4 cos3 θ ) / L x y r r r r r 3

Σημειώνουμε ότι οι τύποι δεν περιέχουν όρους του s θ. Στην πραγματικότητα,το γεγονός ότι τα L ( xy, ) είναι άρτια στο y σημαίνει ότι δεν υπάρχουν όροι του s θ στις πολικές συντεταγμένες..3 Μέση τιμή ολοκληρώματος και cubature τύπος Παρόλο που δεν γνωρίζουμε τον ακριβή τύπο του πολυωνύμου παρεμβολής γενικότερα, το γεγονός ότι τα ισαπέχοντα σημεία στους κύκλους έχουν την ιδιότητα της περιστροφικής σταθερότητας μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα του πολυωνύμου παρεμβολής. Στην πραγματικότητα η μέση τιμή του ολοκληρώματος ενός πολυωνύμου πάνω σε ένα κύκλο ακτίνας r μπορεί να υπολογισθεί από ένα πολυώνυμο παρεμβολής μιας μεταβλητής. r r... r λ και μ + μ +... + μ [ / ] λ = + όπως Ας είναι στο (.7). Θεωρούμε το πιο κάτω πρόβλημα παρεμβολής μιας μεταβλητής: εύρεση ενός πολυωνύμου q βαθμού [ / ] + έτσι ώστε r όπου ( ) q ( r) g, r =, λ λ + =, μ, λ (.8), ενώ επίσης υποθέτουμε μλ + = για λ. Αυτό είναι το πρόβλημα παρεμβολής Hermte που έχει [ / ] + συνθήκες παρεμβολής. Έχει μοναδική λύση. Το μοναδικό πολυώνυμο παρεμβολής που ικανοποιεί τις (.8) μπορεί να γραφεί: μ λ μ qr () g (), r = (.9) = =,, όπου είναι θεμελιώδη πολυώνυμα που ορίζονται, ( r ) = δ δ, ( υ ), u, υ u, μ μλ υ μ u, u λ. Ας είναι Ω ( x) = ( x r)...( x r ). λ Τότε τα πολυώνυμα δίνονται:, μ μ Ω ( r) Ω( r) d ( r r) () r = ( r r), μ r= r!( r r) =! dr Ω( r) Ω( r) για λ. Αφού τα σημεία της παρεμβολής είναι συμμετρικά, είναι εύκολο να () r = () ( r). λ + δούμε ότι,, 33

Συμβολίζουμε με Pxy (, ) την μοναδική λύση στο θεώρημα.6. Ας είναι π pr () = Pr (cos θ, rs θ) dθ, r π (.) Αφού p() r είναι πολυώνυμο ως προς r, ο ορισμός του μπορεί να επεκταθεί στο r R. Προκύπτει ότι το p μπορεί να γραφεί σε όρους των θεμελιωδών πολυωνύμων του (.8). Θεώρημα.9: Ας είναι όπως ορίζονται στο (.9). Τότε ο μέσος της μοναδικής, παρεμβολής του θεωρήματος.6 δίνεται: όπου για λ μ p() r = F [ () r + ( r)] = =,,, = m ή = m, οι συντελεστές, F,,, m = F ορίζονται m = f +, μ, λ Τα πολυώνυμα () r είναι πολυώνυμα παρεμβολής μιας μεταβλητής, γι, αυτό μπορούν να δοθούν ακριβώς. Δίνουμε δύο περιπτώσεις πιο κάτω. Η πρώτη είναι όταν για όλα τα, μ =, δηλαδή η περίπτωση της παρεμβολής Lagrage. Πόρισμα.: Ας είναι Pxy (, ) το μοναδικό πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage του πορίσματος.7. Τότε ο μέσος p() r στο (.) δίνεται: όπου, για [ /] p() r = F[() r + ( r)], = = m ή = m, τα F = [ /] r+ r [ /] r r () r = ( ) ( ) r + r r r F ορίζονται m f,, m + [ /] = = =,. Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν λ =, δηλαδή παρεμβολή σε έναν κύκλο, τον οποίο διαλέγουμε να είναι ο μοναδιαίος. Διαλέγουμε a =. 34

Πόρισμα.: Ας είναι Pxy (, ) το μοναδικό πολυώνυμο παρεμβολής Hermte που ικανοποιεί P r (cos θ,s θ ) = f,, Τότε η μέση τιμή p() r του (.) δίνεται: [ /], m. [ /] [ /] ( ) F p() r = [ /] + =! = r + r + r r + [ /] + [ /] +. όπου τα F δίνονται από τον ίδιο τύπο όπως στο προηγούμενο πόρισμα. Σε αυτό το σημείο θα δώσουμε τον ορισμό του cubature τύπου. r r Θεωρούμε ένα ολοκλήρωμα I[ f] = w( x) f( x) dx r Ω με wx ( ) >. Ω πάνω σε αυθαίρετο πεδίο Ορισμός.: Ένας cubature τύπος είναι μια προσέγγιση για το ολοκλήρωμα I[ f ], της μορφής Οι μη μηδενικοί σταθεροί N () [ ] = w f( x ) = Q f w καλούνται βάρη και τα cubature τύπος έχει βαθμό d αν I[ f] Q[ f] r () x r καλούνται κόμβοι. Ένας =, f P. d Ο ακριβής τύπος της μέσης τιμής του πολυωνύμου παρεμβολής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να πάρουμε cubature τύπους. Αυτό προκύπτει από τον πιο κάτω τύπο. π f ( x, y) dxdy = r f ( r cos θ, r s θ) dθdr (.) B ο οποίος δείχνει ειδικότερα ότι τι ολοκλήρωμα του πολυωνύμου παρεμβολής Pxy (, ) πάνω στο B ανάγεται στο ολοκλήρωμα του μέσου p() r. 35

Θεώρημα.3: Ας είναι W() r μια περιττή συνάρτηση βάρους που ορίζεται στο [,]. Ας είναι (), r το θεμελιώδες πολυώνυμο παρεμβολής του.9.τότε B (, ) ( + ) λ μ a a = Λ ( cos θ, s θ ), = = f x y W x y dxdy r r για f, όπου τα βάρη δίνονται να είναι π Λ = rw() r dr m +,, Μια ενδιαφέρουσα ειδική περίπτωση είναι όταν μ = για όλα τα, για την οποία δεν εμφανίζονται τιμές παραγώγων στον τύπο. Αυτό αντιστοιχεί στην Lagrage παρεμβολή που συζητήθηκε στο πόρισμα.. Θεώρημα.4: Ο πιο κάτω cubature τύπος ισχύει για f, B [ /] m a a (, ) ( + ) = λ (cos,s ), θ θ = = f x y W x y dxdy f όπου τα cubature βάρη λ δίνονται από τον τύπο π gr ( ) λ = () rw r dr, gr r r m+ ( r r) g'( r) [ /] () = ( + ). = Ακόμα μια ειδική περίπτωση που μπορεί να είναι ενδιαφέρουσα προέρχεται από την παρεμβολή Hermte στον μοναδιαίο κύκλο, για την οποία ο ακριβής τύπος του μέσου p() r δίνεται από το πόρισμα.. Θεώρημα.5: Ο πιο κάτω cubature τύπος ισχύει για B όπου οι συντελεστές d f dr f. [ /] m (, ) = Λ (cos,s ), θ θ = = f x y dxdy Λ δίνονται: s+ s [( ) / ] ( ) s s Γ ( + + ) Γ ( + ) Λ =.! = = Γ ( + + + ) 36

.4 Αυθαίρετα διακεκριμένα σημεία στον κύκλο Σε αυτή την παράγραφο θεωρούμε το πρόβλημα παρεμβολής (.) για αυθαίρετα σύνολα σημείων στον κύκλο. Θα περιοριστούμε στην περίπτωση λ =, άρα θεωρούμε πρόβλημα παρεμβολής στον μοναδιαίο κύκλο. Πρόβλημα: δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό πολυώνυμο συνθήκες παρεμβολής P (cos θ,s θ ) = f,, r [ /], { f } για οποιαδήποτε δεδομένα,, όπου + m= {( x, y ) = (cos θ,s θ ) : m} P Π που ικανοποιεί τις (.) είναι σύνολο από διακεκριμένα σημεία στον μοναδιαίο κύκλο. Το πρόβλημα παρεμβολής (.) χρησιμοποιεί τον ίδιο αριθμό σημείων για = m ή = m. Προκύπτει ότι για την ευστάθεια της παρεμβολής χρειάζεται μόνο να θεωρήσουμε την περίπτωση = m. Πρόταση.6: Ας είναι ( x, y ), m, σύνολο διακεκριμένων σημείων στον μοναδιαίο κύκλο. Αν το πρόβλημα παρεμβολής (.) έχει μοναδική λύση για = m τότε έχει μοναδική λύση και για m =. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι το πρόβλημα παρεμβολής (.) δεν έχει μοναδική λύση για = m. Ας είναι P ένα μη μηδενικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε P (, ),, x y = m m r Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το P είναι της μορφής (.). Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι το πολυώνυμο P Q= P r είναι πολυώνυμο βαθμού = m, r και το Q είναι μη μηδενικό αφού διαφορετικά P r q ( θ ), = το οποίο δεν μπορεί να ικανοποιεί τις πιο πάνω συνθήκες παρεμβολής. Τελικά το Q και οι παράγωγοι αυτού τάξης μέχρι m μηδενίζονται στα ( x, y ), για m, γεγονός το οποίο 37

δείχνει ότι το πρόβλημα παρεμβολής (.) δεν είναι ευσταθές για = m. Άτοπο. Γι αυτό, από εδώ και στο εξής χρειάζεται να θεωρούμε μόνο = m. Για αυθαίρετα σημεία, χρησιμοποιούμε παράσταση για τα πολυώνυμα P, όμοια με αυτήν του (.), m Pr (, θ) = q() θ r/! = Ας είναι Θ= { θ : m}. Με σκοπό να δείξουμε ότι το πρόβλημα (.) είναι ευσταθές, χρειάζεται να δείξουμε ότι το P Π ικανοποιεί m dp (, θ ) = q ( ) /( )!, m,, θ = θ Θ (.3) dr = συνεπάγεται P. Στην περίπτωση του m =, αυτό το σύστημα των εξισώσεων αντιστοιχεί στην παρεμβολή Lagrage με τριγωνομετρικά πολυώνυμα βαθμού, σε 3 διακεκριμένα σημεία, γι αυτό έχει μοναδική λύση. m Πρόταση.7: Ας είναι {(cos θ,s θ ), } σύνολο από 3 διακεκριμένα σημεία στον μοναδιαίο κύκλο. Τότε το πρόβλημα παρεμβολής (.) έχει μοναδική λύση για = και =. Για 3, χρειάζονται επιπλέον συνθήκες στα σημεία για ευστάθεια. Στην περίπτωση = 3 και = 4 έχουμε: Πρόταση.8: Ας είναι {(cos θ,s θ ), 4} σύνολο από διακεκριμένα σημεία στον μοναδιαίο κύκλο. Το πρόβλημα παρεμβολής (.) έχει μοναδική λύση για = 3 και = 4 αν-ν Θ= { θ : 4} επιτρέπει μοναδική τριγωνομετρική παρεμβολή στον χώρο spa{, cos θ, s θ, cos3 θ, s 3 θ }. Αν υποθέσουμε ότι το P είναι της μορφής (.) με = 3, τότε εύκολα δείχνεται ότι το σύστημα των εξισώσεων (.) είναι μοναδικά επιλύσιμο αν-ν c + c cosθ + c sθ + c cos3θ + c sθ =, θ Θ, όπου Θ περιέχει 5 3 4 διακεκριμένα σημεία. 38

Παρόμοια αποτελέσματα ισχύουν και για την περίπτωση = 5. Πρόταση.9: Ας είναι {(cos θ,s θ ), 6}, σύνολο από διακεκριμένα σημεία στον μοναδιαίο κύκλο. Το πρόβλημα παρεμβολής (.) έχει μοναδική λύση για = 5 και = 6 αν η τριγωνομετρική παρεμβολή στο Θ= { θ : 6} επιτρέπει μοναδική λύση στους χώρους spa{,cos θ,s θ,cos θ,s θ,cos4 θ,s4 θ} και spa{,cos θ,s θ,cos3 θ,s3 θ,cos5 θ,s5 θ }.5 Εφαρμογές με την χρήση πολυωνυμικής παρεμβολής Hermte- Lagrage Σε αυτήν την παράγραφο θα δούμε πως εφαρμόζεται η μέθοδος Hermte- Lagrage στην εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) πολυωνύμων μεταβλητών όπως και στον υπολογισμό της ορίζουσας πολυωνυμικού πίνακα μεταβλητών. Επίσης θα κάνουμε αναφορά στον διακριτό μετασχηματισμό Fourer (Dscrete Fourer Trasform) και πως αυτός εφαρμόζεται σε προβλήματα παρεμβολής και ειδικότερα στην προσέγγιση της ορίζουσας πίνακα με στοιχεία πολυώνυμα μεταβλητών. Παράδειγμα.: Εύρεση του ΜΚΔ πολυωνύμων δύο μεταβλητών Πρόβλημα: Να βρεθεί ο ΜΚΔ των πιο κάτω πολυωνύμων δύο μεταβλητών με παρεμβολή Hermte-Lagrage gxy (, ) = ( x+ y)( x+ ) () qxy (, ) = ( x+ y)( y + ) () Συμβολίζουμε με p( xy, ) τον ΜΚΔ. Βήμα ο : Υπολογίζουμε την μορφή του πολυωνύμου παρεμβολής. = m{deg ( g( x, y)),deg ( q( x, y))} x x = m{3,} = 39

= m{deg ( g( x, y)),deg ( q( x, y))} y = m{,3} = y Άρα ο βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής θα είναι το πολύ, ολικού βαθμού =.(με τον όρο ολικός βαθμός εννοούμε το μέγιστο των εκθέτων συμπεριλαμβανομένου και του αθροίσματος των εκθέτων σε όρο του πολυωνύμου που περιέχει γινόμενο των x και y, π.χ το πολυώνυμο 3 p( xy, ) x y xy = + +, έχει ολικό βαθμό 4, ενώ το πολυώνυμο = + +, έχει ολικό βαθμό 5 3 p( xy, ) x y xy 5). Οπότε ο ΜΚΔ θα είναι της μορφής p( xy, ) = p + p x+ p y+ p xy+ p x+ p y,,,,,, Βήμα ο : Βρίσκουμε τις λύσεις της εξίσωσης μ + μ +... + μ [ / ] λ = + για =. μ + μ +... + μ [ / ] λ = + = [/] + = Παίρνουμε την περίπτωση όπου όλα τα μ =, λ, οπότε έχουμε μ + μ = => μ = μ =, άρα πρόκειται για πρόβλημα παρεμβολής Lagrage σε λ = [ /] + = κύκλους ( ) Sr, με r r < <. Βήμα 3 ο : Βρίσκουμε τα σημεία παρεμβολής. Συμβολίζουμε με,, {( x, y ) : m} διακεκριμένα σημεία στους κύκλους Sr ( ), όπου m= [( + ) / ] = [3/ ] = και λ για. Άρα έχουμε =, {( x, y ),( x, y ),( x, y )}, τα σημεία που ανήκουν στον κύκλο,,,,,, Sr ( ) και =, {( x, y ),( x, y ),( x, y )}, τα σημεία που ανήκουν στον κύκλο,,,,,, για Sr ( ). Παίρνουμε τα σημεία να είναι ισαπέχοντα στους κύκλους, δηλαδή π ( x, y ) = ( rcos θ, rs θ ), θ =,,,,,, m + m 4

Για τον κύκλο Sr ( ) με r = έχουμε: θ = => ( x, y ) = (,),, (.α) για, (.β) για, (.γ) για, π 3 θ = => ( x, y ) = (, ),, 3 4 4 4π 3 θ = => ( x, y ) = (, ),, 3 4 4 Για τον κύκλο Sr ( ) με r = έχουμε: θ = => ( x, y ) = (,),, (.α) για, (.β) για, (.γ) για, π 3 θ = => ( x, y ) = (, ),, 3 4π 3 θ = => ( x, y ) = (, ),, 3 Βήμα 4 ο : Κατασκευάζουμε τις συνθήκες παρεμβολής. P (,,, ), x y = f,, r όπου μ, λ, m με λ = και m =, ενώ μ =, δηλαδή =. Άρα οι συνθήκες παρεμβολής γίνονται Px (, y ) f,,, Υπολογίζουμε τους ΜΚΔ p% ( x, y) των πολυωνύμων g x,,,, όλα τα =. (, y), q( x y ), όπου x = /, x = /4, x = /4, x =, x = /, x = /, για να,,,,,, τους χρησιμοποιήσουμε σαν τα δεδομένα f., Για τα σημεία στον κύκλο ακτίνας Για x = /, έχουμε, r = : 5 g, y = + y + = + y 4 4 ( ) ( ) q, y = + y y + ( )( ) 4

με ΜΚΔ p % ( y) = y+ ο οποίος για y = δίνει p = = f,,, Για x = /4, έχουμε, 7 g, y = + y + = y 4 6 6 q, y = + y ( y + ) = ( y + ) y 4 με ΜΚΔ p% ( y) = y ο οποίος για, %. y = 3 3 4 δίνει p = = f, 4, Για x = /4, όμοια με την προηγούμενη περίπτωση, p ( y) = y, % ο οποίος για Για τα σημεία στον κύκλο ακτίνας r = : Για x =, έχουμε, (, ) = ( + ) g y y (, ) = ( + )( + ) q y y y %. y = 3 3 4 δίνει p = = f, 4, %. με ΜΚΔ p % ( y) = y+ ο οποίος για y = δίνει p = = f,,, Για x = /, έχουμε, 5 g, y = y 4 ( ) q, y = y + y ( )( ) %. με ΜΚΔ p% ( y) = y ο οποίος για y = 3 3, δίνει p = = f,, Για x = /, όμοια με την προηγούμενη περίπτωση, %. p% ( y) = y ο οποίος για y = 3 3, δίνει p = = f,, Αφού το πολυώνυμο που ψάχνουμε είναι της μορφής,,,,,, %. p( xy, ) = p + p x+ p y+ p xy+ p x+ p y τότε θα έχουμε τις εξής εξισώσεις ως συνθήκες παρεμβολής: 4

. Για το σημείο,, p p p + + = 4,,,. Για το σημείο,, ( x, y ) = (,) 3 ( x, y ) = (, ) 4 4 3 p, 3 3 p, 3 p + p p + p + = +,,,, 4 4 6 6 6 4 3. Για το σημείο,, 3 ( x, y ) = (, ) 4 4 3 p, 3 3 p, 3 p p + p + p + =,,,, 4 4 6 6 6 4 4. Για το σημείο ( x, y ) = (,),, p + p + p =,,, 5. Για το σημείο,, 3 ( x, y ) = (, ) 3 p, 3 3 p, 3 p + p p + p + = +,,,, 4 4 4 6. Για το σημείο,, 3 ( x, y ) = (, ) 3 p, 3 3 p, 3 p p + p + p + =,,,, 4 4 4 Από τις 6 εξισώσεις και χρησιμοποιώντας mathematca παίρνουμε τους συντελεστές p = p,,, =. Οι υπόλοιποι συντελεστές είναι απειροελάχιστοι. Οπότε το ζητούμενο πολυώνυμο, ο ΜΚΔ των πολυωνύμων gxy (, ) = ( x+ y)( x+ ), qxy (, ) = ( x+ y)( y + ) είναι το p( xy, ) = x+ y. 43

Παράδειγμα.: Εύρεση ορίζουσας πολυωνυμικού πίνακα με παρεμβολή Πρόβλημα: Να βρεθεί η ορίζουσα του πιο κάτω πίνακα πολυώνυμων δύο μεταβλητών με παρεμβολή. x xy+ Α= y xy Συμβολίζουμε με p( xy, ) το πολυώνυμο με το οποίο θα παρεμβάλουμε την ορίζουσα του πίνακα. Βήμα ο : Υπολογίζουμε την μορφή του πολυωνύμου παρεμβολής p( xy, ). = max{deg ( a ) /, =,} =, x, = max{deg ( a ) /, =,} =. y, Οπότε στο πολυώνυμο παρεμβολής πιθανόν να περιέχεται ο όρος ( x ) ( y ), όπου = η διάσταση του πίνακα. Άρα το πολυώνυμο που ψάχνουμε είναι βαθμού το πολύ = 4, δηλαδή της μορφής 4 p( xy, ) p xy = = =, p( x, y) = p + p x + p y + p xy + p x + p y + p x y + p xy + p x y 3 3 3 3 4 4 + p x + p y + p x y+ p xy + p x + p y,,,,,.,,, 3,,3 3,,3 4,,4 Βήμα ο : Βρίσκουμε τις λύσεις της εξίσωσης μ + μ +... + μ [ / ] λ = + για = 4. μ + μ +... + μ [ / ] λ = + = [4/] + = 3 Περίπτωση η : Παίρνουμε την περίπτωση όπου όλα τα μ =, λ, οπότε έχουμε 44

μ + μ + μ = 3=> μ = μ = μ =, άρα πρόκειται για πρόβλημα παρεμβολής 3 3 Lagrage σε λ = [ /] = [4/] + = 3 κύκλους ( ) Sr, με r r r 3 < < <. Βήμα 3 ο : Βρίσκουμε τα σημεία παρεμβολής. Συμβολίζουμε με,, {( x, y ) : m} διακεκριμένα σημεία στους κύκλους Sr ( ), όπου m= [( + ) / ] = [5/ ] = και λ. Άρα έχουμε για =, {( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y )}, τα σημεία που ανήκουν,,,,,,,3,3,4,4 στον κύκλο Sr ( ), =, {( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y )}, τα σημεία που,,,,,,,3,3,4,4 για ανήκουν στον κύκλο Sr ( ), και τέλος =, {( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y )}, τα σημεία που 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,3 3,3 3,4 3,4 για 3 ανήκουν στον κύκλο Sr ( ). 3 Παίρνουμε τα σημεία να είναι ισαπέχοντα στους κύκλους, δηλαδή π ( x, y ) = ( rcos θ, rs θ ), θ =,,,,,, m + Για τον κύκλο Sr ( ) με r = έχουμε: 4 θ = => ( x, y ) = (,),, 4 (.α) για, (.β) για, (.γ) για, (.δ) για,3 (.ε) για,4 m π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)),, 5 6 8 4π θ = => ( x,, y, ) = ( ( 5), (5 5)) 5 6 8 6π θ = => ( x,3, y,3 ) = ( ( 5), (5 5)) 5 6 8 8π θ = => ( x,4, y,4 ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 5 6 8 45

Για τον κύκλο Sr ( ) με r = έχουμε: θ = => ( x, y ) = (,),, (.α) για, (.β) για, (.γ) για, (.δ) για,3 (.ε) για,4 π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)),, 5 8 4 4π θ = => ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)),, 5 8 4 6π θ = => ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)),3,3 5 8 4 8π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)),4,4 5 8 4 Για τον κύκλο Sr ( ) με r = έχουμε: 3 3 θ = => ( x, y ) = (,) 3, 3, (3.α) για 3, (3.β) για 3, (3.γ) για 3, (3.δ) για 3,3 (3.ε) για 3,4 π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 3. 3. 5 4 4π θ = => ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)) 3, 3, 5 4 6π θ = => ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)) 3,3 3,3 5 4 8π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 3,4 3,4 5 4 Βήμα 4 ο : Κατασκευάζουμε τις συνθήκες παρεμβολής. P (,,, ), x y = f,, r όπου μ, λ, m με λ = 3 και m = μ =, δηλαδή =. Άρα οι συνθήκες παρεμβολής γίνονται Px (, y ) f =.,,,, ενώ όλα τα 46

Αντικαθιστούμε τα x και y στον πίνακα, με τις συνιστώσες διαφορετικού σημείου κάθε φορά. Υπολογίζουμε την τιμή της ορίζουσας για κάθε σημείο που αντικαθιστούμε και τις τιμές αυτές θα τις χρησιμοποιήσουμε σαν τα δεδομένα f,, δηλαδή τις τιμές του πολυωνύμου στα αντίστοιχα σημεία. Για τον κύκλο με ακτίνα r = έχουμε: 4 f = για το σημείο (.α), 4 f =.37967 για το σημείο (.β), f =.656864 για το σημείο (.γ), f =.347557 για το σημείο (.δ),3 f =.5474 για το σημείο (.ε),4 Για τον κύκλο με ακτίνα r = έχουμε: f = για το σημείο (.α), f =.65363 για το σημείο (.β), f =.93643 για το σημείο (.γ), f =.6855 για το σημείο (.δ),3 f =.7479 για το σημείο (.ε),4 Για τον κύκλο με ακτίνα r 3 = έχουμε: f = για το σημείο (3.α) 3, f =.44876 για το σημείο (3.β) 3, f =.88545 για το σημείο (3.γ) 3, f =.96 για το σημείο (3.δ) 3,3 f =.773 για το σημείο (3.ε) 3,4 47

Δημιουργούμε τις συνθήκες παρεμβολής χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω δεδομένα.. Για το σημείο ( x, y ) = (,) 3, 3, p + p + p + p + p =,,, 3, 4,. Για το σημείο 3. 3. ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 4 p +.397 p +.9557 p +.93893p +.95495p +,,,,,.9458 p +.9878 p +.7958p +.86379 p +.,,,.9585p +.8639 p +.864 p +.6588p + 3,,3 3,,3.9863p +.8836 p =.44876 4,,4 3. Για το σημείο 3, 3, ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)) 4 p.897 p +.587785p.47558p +.65458p +,,,,,.34549 p +.3847p.7958p +.67 p.5958p +.,,, 3,.375 p.337 p.649p +.4838p +.9364 p =.88545,3 3,,3 4,,4 4. Για το σημείο 3,3 3,3 ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)) 4 p.897 p.587785p +.47558p +.65458p +,,,,,.34549 p.3847p.7958p +.67 p.5958p.,,, 3,.375p +.337 p +.649p +.4838p +.9364 p =.96,3 3,,3 4,,4 5. Για το σημείο 3,4 3,4 ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 4 p +.397 p.9557 p.93893p +.95495p +,,,,,.9458 p.9878 p +.7958p +.86379 p +.9585p.,,, 3,.8639 p.864 p.6588p +.9863p +,3 3,,3 4,.8836 p =.773,4 48

6. Για το σημείο,, ( x, y ) = (,) p +.5 p +.5p +.5 p +.65p =.5,,, 3, 4, 7. Για το σημείο,, ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 8 4 p +.5458p +.47558p +.73473 p +.3879 p +,,,,,.67 p +.35 p +.349386 p +.53983p +.,,,.368856 p +.753p +.754 p +.6643p + 3,,3 3,,3.56994 p +.5335 p =.65363 4,,4 8. Για το σημείο,, ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)) 8 4 p.4458p +.93893p.888 p +.6367 p +,,,,,.86379 p +.48888p.349386 p +.439 p.,,,.66886 p +.53844 p.9453p.68 p + 3,,3 3,,3.67738p +.7467 p =. 93643 4,,4 9. Για το σημείο,3,3 ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)) 8 4 p.4458p.93893p +.888 p +.6367 p +,,,,,.86379 p.48888p +.349386 p +.439 p.,,,.66886 p.53844 p +.9453p +.68 p + 3,,3 3,,3.67738p +.7467 p =. 6855 4,,4. Για το σημείο,4,4 ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 8 4 p +.5458 p.47558 p.73473 p +.3879 p +,,,,,.67 p.35 p +.349386 p +.53983p +.,,,.368856 p.753p.754 p.6643p + 3,,3 3,,3.56994 p +.5335p =.7479 4,,4. Για το σημείο,, ( x, y ) = (,) 4 p +.65 p +.565 p +.3965 p =.5,, 3, 4, 49

. Για το σημείο,, ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 6 8 p +.7754 p +.37764 p +.83683p +.5968 p +,,,,,.56538 p +.493p +.43673 p +.337394 p +,,,,.467 p +.344 p +.966 p +.3839 p +.35696. 3,,3 3,,3 p + 39584 p =.37967 4,,4 3. Για το σημείο,, ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)) 6 8 p.54 p +.46946 p.975p +.4968p +,,,,,.593 p +.6p.43673 p +.88339 p,,,,.87357 p.3734 p.577 p +.6476 p +.67336 p.4 3,,3 3,,3 + 6667 p =.656864 4,,4 4. Για το σημείο,3,3 ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)) 6 8 p.54 p.46946 p +.975p +.4968p +,,,,,.593 p.6p.43673 p +.88339 p,,,,.87357 p.3734 p +.577 p.6476 p +.67336 p.4 3,,3 3,,3 + 6667 p =.347557 4,,4 5. Για το σημείο,4,4 ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)) 6 8 p +.7754 p.37764 p.83683p +.5968 p +,,,,,.56538 p.493p +.43673 p +.337394 p +,,,,.467 p.344 p.966 p.3839 p +.35696. 3,,3 3,,3 p + 39584 p =.5474 4,,4 Από τις 5 εξισώσεις και χρησιμοποιώντας mathematca παίρνουμε τους συντελεστές, p, p, p και p,,,,, ενώ οι υπόλοιποι συντελεστές είναι μηδέν ή πολύ κοντά σε αυτό. Άρα το πολυώνυμο που παρεμβάλλει την ορίζουσα του πίνακα A είναι το p( xy, ) x y xy xy = +. 5

Περίπτωση η : Παίρνουμε την περίπτωση όπου 3 έχουμε σημεία σε κύκλους, Διαλέγουμε τις ακτίνες μ + μ = => μ = και μ = λ =, τον ( ). Δηλαδή Sr και τον Sr ( ) με r r < <. r = και r =. Σημειώνουμε ότι σε αυτή την περίπτωση εκτός από τις τιμές του πολυωνύμου στα σημεία θα παρεμβάλουμε και τις τιμές της πρώτης παραγώγου αυτού. Συνεχίζουμε την διαδικασία από το 3 ο βήμα της πρώτης περίπτωσης. Βήμα 3 ο : Βρίσκουμε τα σημεία παρεμβολής. Χρησιμοποιούμε στοιχεία από την η περίπτωση στην οποία είχαμε ασχοληθεί με τους δύο κύκλους. Συμβολίζουμε με,, {( x, y ) : m} διακεκριμένα σημεία στους κύκλους Sr ( ), όπου m= [( + ) / ] = [5/ ] = και λ έχουμε για =, {( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y )}, τα σημεία που ανήκουν,,,,,,,3,3,4,4 στον κύκλο Sr ( ) και για =, {( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y ),( x, y )}, τα σημεία που,,,,,,,3,3,4,4 ανήκουν στον κύκλο Sr ( ).. Άρα Για τον κύκλο Sr ( ) με r = έχουμε: θ = => ( x, y ) = (,),, (.α) για, (.β) για, (.γ) για, (.δ) για,3 (.ε) για,4 π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)),, 5 8 4 4π θ = => ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)),, 5 8 4 6π θ = => ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)),3,3 5 8 4 8π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)),4,4 5 8 4 5

Για τον κύκλο Sr ( ) με r = έχουμε: θ = => ( x, y ) = (,),, (.α) για, (.β) για, (.γ) για, (.δ) για,3 (.ε) για,4 π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)).. 5 4 4π θ = => ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)),, 5 4 6π θ = => ( x, y ) = ( ( 5), (5 5)),3,3 5 4 8π θ = => ( x, y ) = ( ( + 5), (5+ 5)),4,4 5 4 Βήμα 4 ο : Κατασκευάζουμε τις συνθήκες παρεμβολής. P (,,, ), x y = f,, r όπου μ, λ, m με λ = και m =, ενώ μ = και μ =. Για τον κύκλο Sr ( ) επειδή μ = τότε το = και άρα το πρόβλημα μας είναι να βρούμε μόνο τις τιμές του πολυωνύμου στα σημεία που ανήκουν στον κύκλο. Άρα οι συνθήκες παρεμβολής γίνονται για αυτόν τον κύκλο Px (, y ) f =.,,, Αντικαθιστούμε, όπως και στην πρώτη περίπτωση τις συνιστώσες κάθε σημείου στον πίνακα A και βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της ορίζουσας. Αυτή είναι και η τιμή του πολυωνύμου στο κάθε σημείο. Οπότε έχουμε: f =, για το σημείο (.α) f =.65363 για το σημείο (.β), f =.93643, για το σημείο (.γ) f =.6855,3 για το σημείο (.δ) f =.7479,4 για το σημείο (.ε) 5