e-mail@p-theodoropoulos.gr

Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων από τα Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου, οι οποίες παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, µε σκοπό να βοηθήσουµε τους µαθητές της Γ Λυκείου της Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης να εµπεδώσουν τις αντίστοιχες διαδικασίες και να µπορούν να τις εφαρµόζουν στη λύση παρόµοιων ασκήσεων. Για την καλύτερη εµπέδωση των διαδικασιών όλες οι περιπτώσεις εκτός από τα λυµένα παραδείγµατα πλαισιώνονται και από ασκήσεις που προτείνονται για λύση.. Εύρεση ενός γεωµετρικού τόπου Θα αναφερθούµε µόνο στην εύρεση του γεωµετρικού τόπου των εικόνων µιας οικογένειας µιγαδικών αριθµών w, οι οποίοι συνδέονται αλγεβρικά µε µία άλλη οικογένεια µιγαδικών αριθµών z για τους οποίους γνωρίζουµε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων τους (δίνεται µία σχέση που ικανοποιούν οι µιγαδικοί z από την οποία προκύπτει ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων τους). Εδώ διακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις.. Οι µιγαδικοί z µπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των w και γνωρίζουµε ή µπορούµε να βρούµε εξίσωση µε µιγαδική µεταβλητή για τους µιγαδικούς z Στην περίπτωση αυτή ένας σύντοµος και καλός τρόπος είναι να εκφράσουµε τους µιγαδικούς z συναρτήσει των w λύνοντας την δοθείσα σχέση που τους συνδέει ως προς z και να αντικαταστήσουµε το z εκφρασµένο συναρτήσει του w στην δοθείσα εξίσωση που ικανοποιούν οι µιγαδικοί z. Από την εξίσωση που προκύπτει εξάγεται ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w. Χαρακτηριστικό είναι το επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα: Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει η σχέση z 3 + i = 8 και τους µιγαδικούς w που δίνονται από τη σχέση w = z - 5i. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών w. Λύση: Προφανώς ισχύει η ισοδυναµία: w+ 5i w = z - 5i z = (). (Λύνουµε ως προς z) Αντικαθιστώντας στη συνέχεια το z σύµφωνα µε τη σχέση () στη δοθείσα εξίσωση που ικανοποιούν οι µιγαδικοί z, παίρνουµε µία εξίσωση που ισχύει για τους µιγαδικούς w, δηλαδή έχουµε: w+ i z 3+ i = 8 3+ i = 8 w 3+ 7i = 8 w (3 7 i) = 8. () 5 Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος µε κέντρο την εικόνα του µιγαδικού αριθµού z o = 3-7i και ακτίνα ρ = 8.

Άσκηση: Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει η σχέση 3z z = και τους µιγαδικούς w που δίνονται από τη σχέση w=. Να βρείτε z+ τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών w.. Οι µιγαδικοί z δεν µπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των w ή η εξίσωση των z διατυπώνεται µόνο αναλυτικά Εδώ έχουµε τις παρακάτω δύο υποπεριπτώσεις:.α. Το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος των µιγαδικών z µπορούν να εκφραστούν συναρτήσει του πραγµατικού ή του φανταστικού µέρους των w Στην περίπτωση αυτή συνήθως εκφράζουµε το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος των z συναρτήσει του πραγµατικού ή του φανταστικού µέρους των w και αντικαθιστού- µε τις παραστάσεις που βρίσκουµε στην αναλυτική εξίσωση των z και µετά από επεξεργασία προκύπτει ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w. Χαρακτηριστικό είναι το ε- πόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα: Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει η 4 σχέση z = 4 και τους µιγαδικούς w που δίνονται από τη σχέση w= z+. Να z βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w. Λύση: Έστω z = a + βi και w = + yi, α, β,, y IR. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα ισχύει η σχέση: a + β = 6 (). Αντικαθιστώντας τους µιγαδικούς z και w στη δοθείσα σχέση παίρνουµε 4 4( α βi) + yi= α + βi+ = α + βi+ = α + βi+ ( α βi ), α + βi α + β 4 από όπου προκύπτουν οι σχέσεις: 4 α = και 5 4y β = (). 3 Αντικαθιστώντας στη συνέχεια τα a και β όπως εκφράζονται στις σχέσεις () στην ισότητα () παίρνουµε: y 4 4 6 6 ( ) + y = 6 + y = 6 + =. 5 3 5 9 5 9 Από την τελευταία ισότητα συµπεραίνουµε ότι οι εικόνες των µιγαδικών w ανήκουν στην έλλειψη + =. 5 9 y Για να συµπεράνουµε όµως ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w είναι η έλλειψη µε την παραπάνω εξίσωση πρέπει να εξετάσουµε αν κάθε σηµείο της έλλειψης αυτής είναι εικόνα κάποιου w που προκύπτει µε τον δοθέντα τρόπο. Έστω λοιπόν Μ(, y ) ένα σηµείο της έλλειψης + =. Προφανώς το σηµείο Μ(, y ) y 5 9 είναι εικόνα του µιγαδικού w = + y i. Αν θεωρήσουµε τον µιγαδικό αριθµό

3 4 4y z = + i, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι ο z ανήκει στον κύκλο µε κέντρο 5 3 4 το Ο(0, 0) και ακτίνα ρ = 4 και ακόµη ότι ισχύει η σχέση w' = z ' +. z ' y Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών w είναι η έλλειψη + =. 5 9 Σηµείωση: Η παραπάνω άσκηση αποτελεί µία διασκευή της άσκησης 9 της σελίδας 0 του σχολικού βιβλίου. είτε και http://www.p-theodoropoulos.gr/geogebra/l3/gtopos.html Σχόλιο: Όταν ζητείται ένας γεωµετρικός τόπος πρέπει να εξετάζουµε αν κάθε σηµείο του σχήµατος στο οποίο καταλήγουµε έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα των σηµείων του γεωµετρικού τόπου. Αν δεν έχουν όλα τα σηµεία του σχήµατος αυτού την χαρακτηριστική ιδιότητα των σηµείων του γεωµετρικού τόπου, τότε εντοπίζουµε ποια ση- µεία την έχουν και προσδιορίζουµε έτσι τον ζητούµενο γεωµετρικό τόπο. Όταν όµως µας ζητείται να αποδείξουµε µόνο ότι το σηµείο κινείται (ανήκει) σε κάποιο σχήµα, τότε δεν απαιτείται η παραπάνω εξέταση, αλλά στην περίπτωση αυτή δεν µπορούµε να µιλάµε για γεωµετρικό τόπο, γιατί δεν γνωρίζουµε αν όλα τα σηµεία του σχήµατος στο οποίο καταλήγουµε έχουν την δοθείσα ιδιότητα. Ασκήσεις: ) Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει η σχέση Im(z) = Re(z) + και τους µιγαδικούς w που δίνονται από τη σχέση w= ziz. + Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w. i ) Αν οι µιγαδικοί z και w συνδέονται µε τη σχέση w wi= z και οι µιγαδικοί z z είναι φανταστικοί, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των w κινούνται σε µια υπερβολή..β. εν µπορεί να εκφραστεί το πραγµατικό ή το φανταστικό µέρος των z συναρτήσει του πραγµατικού ή του φανταστικού µέρους των w Σε µια τέτοια περίπτωση το συµπέρασµα προκύπτει σύµφωνα µε τα στοιχεία στα οποία καταλήγουµε µετά την επεξεργασία που κάνουµε. Σχετική είναι η επόµενη άσκηση. Άσκηση: Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει η σχέση z = και τους µιγαδικούς w που δίνονται από τη σχέση w= z 4. Να βρείτε z τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w.. Η εξίσωση f - () = Για την επίλυση µιας τέτοιας εξίσωσης, αν δεν είναι δυνατή η εύρεση του τύπου της f -, µπορούµε να εφαρµόζουµε την ισοδυναµία: f - () = f() =, D D f f

4 (Αν η γραφική παράσταση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης y = f() τέµνει την ευθεία y = σε ένα σηµείο, τότε στο ίδιο σηµείο την τέµνει και η γραφική παράσταση της αντίστροφής της). Παράδειγµα: Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = 3 + 3 3 είναι αντιστρέψι- µη και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση f () =. Λύση: Αποδεικνύεται εύκολα (είτε αλγεβρικά, είτε µε τη βοήθεια της µονοτονίας) ότι η f είναι -, οπότε αντιστρέφεται. Επειδή όµως δεν µπορούµε να βρούµε την α- ντίστροφη συνάρτηση της f, για να λύσουµε τη δοθείσα εξίσωση, µπορούµε να λύσουµε την ισοδύναµή της f () =, δηλαδή την εξίσωση 3 +3 3 =, που λύνεται εύκολα. 3 Άσκηση: Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) = 4 + + 5 0 είναι αντιστρέψιµη και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση f () =. 3. Όριο γινοµένου δύο συναρτήσεων Μία ειδική περίπτωση Θα µελετήσουµε την περίπτωση κατά την οποία θέλουµε να βρούµε το όριο µιας συ- X IR, +, στην περίπτωση νάρτησης h() = f()g() όταν το τείνει στο { } που υπάρχει το lim f ( ) και είναι ίσο µε 0 και η g δεν έχει ή δεν γνωρίζουµε αν έχει X o όριο στο Χ ο. Αποδεικνύεται εύκολα ότι: Αν η συνάρτηση g είναι φραγµένη σε περιοχή του Χ ο, τότε η h() = f()g() έχει lim f ( ) g( ) = 0. όριο στο Χ ο και ισχύει ( ) X o Αν όµως η συνάρτηση g δεν είναι φραγµένη σε περιοχή του Χ ο, τότε µπορεί η h να έχει όριο στο Χ ο, όπως π.χ. lim 3 = ή να µην έχει, όπως π.χ. η συνάρτηση h( ) = ηµ συν, η οποία δεν έχει όριο στο +. + Ας δούµε τώρα ένα παράδειγµα στην περίπτωση κατά την οποία ο ένας παράγοντας είναι µία φραγµένη συνάρτηση σε περιοχή του Χ ο και ο άλλος µία συνάρτηση που έ- χει όριο 0 στο Χ ο. + 3 Παράδειγµα: Να βρείτε το όριο lim ηµ +. + + 3 Λύση: Παρατηρούµε ότι lim + = 0, ενώ η συνάρτηση g( ) = ηµ δεν + έχει όριο στο +. + 3 + 3 Όµως η συνάρτηση g( ) = ηµ είναι φραγµένη, αφού g( ) = ηµ για κάθε D g = (,) (, + ). Έτσι, έχουµε: από όπου παίρνουµε: + 3 ηµ + + o, IR { }

Επειδή 5 + 3 { } ηµ, IR + + + lim + + κριτήριο της παρεµβολής συµπεραίνουµε ότι = lim = 0, αφού lim + + + = 0, σύµφωνα µε το + lim + + 3 ηµ = 0. + Σχόλιο: Στις ασκήσεις µπορεί να συναντήσουµε οποιαδήποτε φραγµένη συνάρτηση σε περιοχή του Χ ο (δηλ. οι τιµές τους ανήκουν σε ένα φραγµένο διάστηµα για κάθε τιµή του στην περιοχή αυτή του Χ ο ). Αξίζει να σηµειωθεί όµως ότι φραγµένες συναρτήσεις που δεν έχουν όριο και εµφανίζονται συχνά σε ασκήσεις και πρέπει να ε- φαρµόζουµε την παραπάνω διαδικασία είναι συναρτήσεις της µορφής y = ηµu και y = συνu µε την παράσταση u να έχει µη πεπερασµένο όριο στο Χ ο, όπως η συνάρτηση g( ) = ηµ στο παραπάνω παράδειγµα. + 3 Άσκηση: ίνεται η συνάρτηση f : IR IR για την οποία για κάθε IR ισχύει f 5 () + f 3 () + f() = + ηµ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σηµείο ο = 0.. 4. Παράγωγος µιας συνάρτησης που ικανοποιεί µια συνθήκη Αν δίνεται ότι µία συνάρτηση f ικανοποιεί µία συνθήκη της µορφής f( + y) = ή της µορφής f(y) = και ζητείται η παράγωγός της, τότε εργαζόµαστε ως εξής:. Αν δίνεται ότι η f είναι παραγωγίσιµη, τότε µπορούµε να παραγωγίσουµε τα µέλη της δοθείσας σχέσης ως προς y και στη συνέχεια να αντικαταστήσουµε το y µε 0 αν είναι της πρώτης µορφής ή µε αν είναι της δεύτερης µορφής και να βρούµε έτσι µία σχέση για την f.. Αν δίνεται ότι είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της και ζητείται να αποδείξουµε ότι είναι παραγωγίσιµη, τότε θα εφαρµόζουµε τον ορισµό της παραγώγου για τυχαίο σηµείο του πεδίου ορισµού της και θα βρίσκουµε έτσι µία σχέση για την f. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγµα που ακολουθεί. Παράδειγµα: Έστω µία συνάρτηση f : IR IR για την οποία για κάθε, y IR ισχύει η σχέση: f( + y) = e f(y) + e y f() + y α. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο IR, να αποδείξετε ότι για κάθε IR ισχύει: f () = f() + f (0)e +. β. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0, να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιµη σε όλο το IR και ισχύει f () = f() + f (0)e + για κάθε IR. Λύση: α. Παραγωγίζοντας τα µέλη της δοθείσας ισότητας ως προς y παίρνουµε: f ( + y) = e f (y) + e y f() +. Αντικαθιστώντας στη συνέχεια στην τελευταία ισότητα το y µε 0 παίρνουµε: β. Για κάθε IR και h 0 έχουµε: f () = f() + f (0)e +

6 f ( + h) h f ( ) e = f ( h) + e h f ( ) + h h f ( ) = e h f ( h) e + f ( ) + h h Αντικαθιστώντας στη δοθείσα σχέση τις µεταβλητές και y µε 0 προκύπτει ότι f(0) = 0, οπότε: f ( h) f ( h) f (0) lim = lim = f (0), αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο 0. Επίσης ισχύει h 0 h h 0 h e h lim =. Εποµένως έχουµε: h 0 h f ( + h) f ( ) lim = e f (0) + f ( ) + h 0 h Άρα η f είναι παραγωγίσιµη σε όλο το IR και ισχύει f () = f() + f (0)e + για κάθε IR. Άσκηση: ίνεται η συνάρτηση f : (0, + ) IR, η οποία είναι παραγωγίσιµη και για κάθε, y (0, + ) ισχύει: f(y) = f() + f(y) + κ, όπου κ IR. Να βρείτε τον τύπο της f, αν ακόµη είναι γνωστό πως η C f τέµνει τον άξονα στο e και ότι η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(, f()) είναι παράλληλη στη διχοτόµο της πρώτης και τρίτης γωνίας. 5. Σύνολο τιµών συνάρτησης Πλήθος πραγµατικών ριζών εξίσωσης Η εύρεση του συνόλου τιµών µιας συνάρτησης f για ένα διάστηµα στο οποίο ορίζεται η f µπορεί να γίνει είτε γραφικά προβάλλοντας την γραφική παράσταση της f στον άξονα y y, είτε αλγεβρικά µε τη βοήθεια ανισώσεων και εξισώσεων, είτε µε τη βοήθεια της µονοτονίας και της συνέχειας της f στο διάστηµα. Εδώ θα ασχοληθούµε µε την τρίτη περίπτωση. Αν θέλουµε να βρούµε το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f για ένωση διαστηµάτων όπου σε κάθε διάστηµα η f είναι γνησίως µονότονη και συνεχής, τότε βρίσκουµε τα σύνολα τιµών σε κάθε διάστηµα χωριστά και τα ενώνουµε. Παράδειγµα: ίνεται η συνάρτηση: f ( ) 3 + + < 6 9, 3 = + 4 5, 3 α. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. β. Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης f() = 0. Λύση: α. Μελετώντας την f ως προς τη συνέχεια συµπεραίνουµε ότι είναι παντού συνεχής (στο σηµείο ο = 3 ο έλεγχος γίνεται µε τη βοήθεια των πλευρικών ορίων και του ορισµού). Για να µελετήσουµε την f ως προς την µονοτονία βρίσκουµε την παράγωγό της, που είναι:

7 + < f ( ) = 4, > 3 3 9, 3 (µε τη βοήθεια των πλευρικών ορίων προκύπτει ότι η f στο σηµείο ο = 3 δεν είναι παραγωγίσιµη). Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: - 3 + f + 0 - + +0 f Επειδή η f είναι συνεχής στα διαστήµατα (-, ], [, 3] και [3, + ), το σύνολο τιµών της f είναι: f ( IR) = ( lim f ( ), f ()] [ f (3), f ()] [ f (3), lim f ( )) = (,6] [, 6) [, + ) + = (, + ) = IR β. Παρατηρούµε ότι το 0 ανήκει στις τιµές της f που αντιστοιχούν µόνο στο διάστηµα (-, ] και πως η f είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα αυτό. Άρα η εξίσωση f() = 0 έχει µία µόνο πραγµατική ρίζα. Σχόλιο: Στο ερώτηµα, εάν απαιτείται να γίνει ο έλεγχος αν η f είναι παραγωγίσιµη στο συνοριακό σηµείο ο = 3 η απάντηση είναι η εξής: Αν γράψουµε τη συνάρτηση της παραγώγου της f (όπως παραπάνω) τότε απαιτείται, ενώ αν αναφέρουµε απλώς τα διαστήµατα µονοτονίας και το είδος µονοτονίας της f για κάθε διάστηµα, τότε δεν απαιτείται. Να σηµειωθεί ότι στην τελευταία περίπτωση απαιτείται ο έλεγχος µόνο για τη συνέχεια της f στο σηµείο ο = 3. Παρατήρηση: Αν µία συνάρτηση f µηδενίζεται σε ένα σηµείο ο ενός διαστήµατος (αυτό µπορεί να προκύπτει µε διάφορους τρόπους, όπως π.χ. µε το θεώρηµα του Bolzano, µε το σύνολο τιµών, µε προφανή ρίζα κλπ.) και η f είναι γνησίως µονότονη στο, τότε το ο είναι µοναδική ρίζα της εξίσωσης f() = 0 στο. Εποµένως, αν µας ζητείται να απαντήσουµε στο ερώτηµα πόσες πραγµατικές ρίζες έχει µία εξίσωση της µορφής f() = c, c IR στο D f, τότε θα βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας της f και θα εξετάζουµε αν το c ανήκει στις τιµές που παίρνει η f για κάθε διάστηµα µονοτονίας της. Άσκηση: ίνεται η συνάρτηση f() = 3 + λ + 4, λ IR. α. Να υπολογίσετε τα όρια: lim f () και lim f (). - + β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 για οποιαδήποτε τιµή του λ έχει µία τουλάχιστον πραγµατική ρίζα. γ. Να βρείτε το πλήθος των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης f() = 0 για τις διάφορες τιµές του λ.

6. Κανόνες de L Hospital Πόσες φορές µπορούµε να παραγωγίζουµε; 8 ϕ( ) Αν θέλουµε να βρούµε ένα όριο της µορφής lim, o IR όπου φ και σ παραγωγίσιµες συναρτήσεις µε φ( o ) = σ( o ) = 0, τότε ως γνωστόν µπορούµε να εφαρµό- o σ ( ) ϕ ( ) σουµε, εάν υπάρχει το lim, τον κανόνα του de L Hospital. Για να βρούµε στη o σ ( ) ϕ ( ) συνέχεια το lim (εάν υπάρχει) συνήθως αντικαθιστούµε το µε o και εκτελούµε τις πράξεις. Εδώ όµως χρειάζεται προσοχή, o σ ( ) γιατί: Αν δεν γνωρίζουµε ότι οι συναρτήσεις φ και σ είναι συνεχείς στο o, τότε δεν µπορούµε να αντικαταστήσουµε το µε το o. Αυτό για παράγωγο οποιασδήποτε τάξης. Σε µια τέτοια περίπτωση πρέπει να επινοήσουµε άλλον τρόπο για να βρούµε το όριο, ο οποίος βέβαια θα υπαγορεύεται από τα δεδοµένα της άσκησης. Κατατοπιστικό είναι το παράδειγµα που ακολουθεί. Παράδειγµα: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο IR και η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(0, 0) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 5, να βρεθεί το όριο: f ( t) dt lim 0 0 συν Λύση: Παρατηρούµε ότι οι συναρτήσεις των όρων του κλάσµατος είναι συνεχείς, οπότε εφαρµόζοντας τις ιδιότητες των ορίων και αντικαθιστώντας το µε 0 οδηγού- µαστε στην απροσδιόριστη µορφή 0. Εφαρµόζοντας τον κανόνα του de L Hospital, 0 αφού οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες, παίρνουµε: f ( t) dt 0 f ( ) lim = lim 0 συν 0 ηµ Αντικαθιστώντας το µε 0 στις συναρτήσεις των όρων του κλάσµατος στο τελευταίο όριο, αφού είναι συνεχείς, βρίσκουµε πάλι την απροσδιόριστη µορφή 0 0. Τώρα, αφού οι συναρτήσεις των όρων του κλάσµατος αυτού είναι παραγωγίσιµες, αν εφαρ- µόσουµε πάλι τον κανόνα του de L Hospital, τότε δεν θα µπορέσουµε να αντικαταστήσουµε το µε 0 στον αριθµητή, επειδή δεν γνωρίζουµε αν η f είναι συνεχής στο 0. Γνωρίζουµε όµως ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο 0, οπότε εργαζόµαστε ως εξής: lim 0 f ( ) f ( ) = lim = lim ηµ 0 ηµ 0 f ( ) f (0) 0 ηµ = f (0) = (Σχηµατίζουµε στον αριθµητή το πηλίκο διαφορών το όριο του οποίου µας δίνει την παράγωγο της f στο 0).

Άρα 9 f ( t) dt lim 0 0 συν =. Άσκηση: Έστω η συνάρτηση f : IR IR, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιµη µε f () 0 για κάθε IR και η C f εφάπτεται στον άξονα στο ση- µείο που εφάπτεται στον ίδιο άξονα και η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) = ( ) ( + ). α. Να λύσετε την εξίσωση f() = 0 και β. Να υπολογίσετε το όριο f ( t) dt lim f ( ). 7. Εύρεση του τύπου µιας συνάρτησης Πολλές φορές µας δίνεται µία ισότητα την οποία ικανοποιεί µία συνάρτηση και ζητείται να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης αυτής. Εδώ θα µελετήσουµε το πρόβληµα σε δύο γενικές περιπτώσεις, που είναι οι ακόλουθες: 7. Η ισότητα περιέχει την ζητούµενη συνάρτηση και µία τουλάχιστον παράγωγό της Στην περίπτωση αυτή επεξεργαζόµαστε τη δοθείσα ισότητα και προσπαθούµε να σχη- µατίσουµε κάποιον κανόνα παραγώγισης ή την παράγωγο γνωστής συνάρτησης και να µπορέσουµε έτσι να βρούµε τον τύπο της συνάρτησης. Παράδειγµα: Έστω µία παραγωγίσιµη συνάρτηση f : IR IR µε f(0) =. Αν για κάθε IR ισχύουν οι σχέσεις f() 0 και f () = f (), να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. Λύση: Όπως προαναφέραµε, πρέπει να σχηµατίσουµε έναν κανόνα παραγώγισης που να περιέχει την f. Αυτό επιβάλλει να φέρουµε την παράσταση f () στο πρώτο µέλος της ισότητας. Το ότι δεν µηδενίζεται η f µας προϊδεάζει να διαιρέσουµε και τα δύο µέλη της ισότητας µε την παράσταση f (). Έχουµε λοιπόν διαδοχικά: f ' f ( ) f ( ) ( ) = f ( ) = = = f ( ) Από την τελευταία ισότητα παίρνουµε: f f ( ) = + ( ) c, f ( ) ( ) ' όπου c µία σταθερά, η τιµή της οποίας θα προσδιοριστεί µε τη βοήθεια της δοθείσας τιµής της f. Αντικαθιστώντας λοιπόν το µε 0 στην τελευταία ισότητα παίρνουµε: αφού f(0) = -. = 0 + c c=, f (0)

0 Άρα ο τύπος της συνάρτησης f είναι: f ( ) =. + 7. Η ισότητα περιέχει κάποιο ολοκλήρωµα στο οποίο περιέχεται η ζητούµενη συνάρτηση Εδώ συνήθως παραγωγίζουµε τα µέλη της δοθείσας ισότητας ή µιας ισοδύναµής της, ώστε να «φύγει» το ολοκλήρωµα και στη συνέχεια βρίσκουµε τη συνάρτηση όπως προηγουµένως. Χαρακτηριστικό είναι το επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα: Έστω f : (0, + ) IR µία συνεχής συνάρτηση για την οποία για κάθε > 0 ισχύει η σχέση: f ( t) f ( ) = + dt. t Να βρείτε τον τύπο της f. Λύση: Προφανώς η f είναι παραγωγίσιµη, οπότε παραγωγίζοντας τα µέλη της δοθείσας ισότητας παίρνουµε: f ( ) f ( ) = +, > 0. Η ισότητα αυτή για > 0 είναι ισοδύναµη µε την ισότητα: f ( ) f ( ) = Από την τελευταία ισότητα παίρνουµε: ή την ισότητα f ( ) ' ' = (ln ). f ( ) = ln + c () όπου c προσδιοριστέα σταθερά. Για να προσδιορίσουµε τώρα την σταθερά c αντικαθιστούµε στη δοθείσα ισότητα το µε και παίρνουµε f() =. Στη συνέχεια αντικαθιστώντας στην () το µε παίρνου- µε c =. Άρα ο τύπος της συνάρτησης f είναι: f() = + ln. Σχόλιο: Όταν παραγωγίζουµε τα µέλη µιας τέτοιας ισότητας προκειµένου να «απαλλαγούµε» από το ολοκλήρωµα θα πρέπει να αντικαταθιστούµε στη δοθείσα σχέση τον τύπο της f που βρίσκουµε για να δούµε αν την επαληθεύει, διότι η ισότητα που προκύπτει µε την παραγώγιση δεν είναι ισοδύναµη της αρχικής. Στην προκειµένη περίπτωση όµως αυτό δεν είναι αναγκαίο διότι, αφού βρήκαµε µία τιµή της f από τη δοθείσα ισότητα εξυπακούεται πως ο τύπος της f που βρήκαµε θα επαληθεύει τη δοθείσα ισότητα. Πράγµατι, αν ονοµάσουµε g την συνάρτηση του δευτέρου µέλους της δοθείσας ισότητας, τότε θα έχουµε τις σχέσεις: (i) f () = g (), > 0 & (ii) f() = g() Από την (i) συνεπάγεται ότι f = g + c και από την (ii) ότι c = 0. Άρα τελικά έχουµε f = g. Να σηµειωθεί ότι η παραπάνω διαδικασία αποτελεί και µία µέθοδο απόδειξης της ισότητας δύο συναρτήσεων. Στην περίπτωση τώρα που η ανεξάρτητη µεταβλητή της ζητούµενης συνάρτησης βρίσκεται µαζί µε την µεταβλητή του ολοκληρώµατος (πλασµατική) στο όρισµα της συνάρτησης που είναι µέσα στο ολοκλήρωµα, τότε πρέπει πρώτα να την «βγάζουµε έξω» ολο-

κληρώνοντας µε τη µέθοδο της αντικατάστασης και µετά να παραγωγίζουµε. Χαρακτηριστικό είναι το επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα: Έστω f : [0, + ) IR µία συνεχής συνάρτηση, η οποία για κάθε 0 ικανοποιεί τις σχέσεις f() 0 και Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. f ( ) = f ( t) dt. Λύση: Παρατηρούµε ότι η ανεξάρτητη µεταβλητή της συνάρτησης f βρίσκεται στο όρισµα της συνάρτησης που είναι µέσα στο ολοκλήρωµα. Πρέπει λοιπόν να τη «βγάλου- µε έξω» ολοκληρώνοντας µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Έχουµε λοιπόν: Έστω u = t, οπότε du = dt. Επίσης, αν t = 0, τότε u = 0 και αν t =, τότε u =. Επο- µένως έχουµε: 0 f ( ) = f ( t) dt = f ( t) dt = f ( u) du 0 0 0 Παραγωγίζοντας ως προς παίρνουµε: f ( ) = f ( ) και συνεχίζουµε όπως στα προηγούµενα παραδείγµατα.