Σχεδιασµός IIR φίλτρων. Ένα αναλογικό ζωνοδιαβατό φίλτρο έχει συνάρτηση H(). Σχεδιάστε ( + )( + ) ένα IIR φίλτρο µε την µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης µε συχνότητα δειγµατοληψίας 0 H. Η απάντηση να δοθεί σαν εξίσωση διαφορών µεταξύ εισόδουεξόδου. Με τη χρήση της εντολής reidue του Matlab ή µε τη βοήθεια των ολοκληρωτικών υπολοίπων η συνάρτηση H() αναλύεται σε µερικά κλάσµατα ως εξής: H() p + p + + Μπορούµε τώρα να βρούµε την συνάρτηση του φίλτρου στο -domain: H() p T e e + p T Αντικαθιστώντας λαµβάνουµε : Η() 0. e όπου Τ περίοδος δειγµατοληψίας 0. ec. 0.99 -. 0. e.73 + 0.7408 Θεωρούντες Η()Y()/X() Υ()-.73Y() - +0.7408Y() - X()-0.99X() -. Εφαρµόζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό και έχουµε : y(n)-.73y(n-)+0.7408y(n-)x(n)-0.99x(n-) y(n).73y(n-)-0.7408y(n-)+x(n)-0.99x(n-).. Να σχεδιαστεί ένα Butterworth υψιπερατό ψηφιακό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω 0.7π. Η απόκριση πρέπει να είναι τουλάχιστον 30dB «κάτω» για ω 0.5π και 50dB «κάτω» για ω 0.3π. Ποιά είναι η ελάχιστη τάξη του φίλτρου; Ένα υψιπερατό φίλτρο Butterworth, έχει την γενική µορφή: H() + N Εδώ tan(0.7π/).966 rad Επίσης tan(0.5π/).0 rad και tan(0.3π/)0.5095 rad
Για, Α30dB άρα: 300log N.966 + Ν5.7 ή Ν6. Οµοίως για 0.5095, Α50dB. Ν4.686 ή Ν5. Εποµένως επιλέγουµε Ν6. 3. Ζητείται να υπολογισθεί ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως µε κεντρική συχνότητα f 0.5 KH και εύρος ζώνης f 0.5 KH. Η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι 0 KH. Επειδή πρόκειται για ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως, η συνάρτησή του είναι: Η() a + a + o Όπου α, και 0 είναι η κεντρική αναλογική συχνότητα. πf Η συχνότητα 0 αυτή θα υπολογιστεί από τον τύπο: 0 εφ f 0 0 rad/ec Για το a έχω : a (+ 0 ) εφ ω, a (+ 0 π f ) εφ f τελικά a π/40 0.078 rad/ec Εποµένως η (αναλογική) συνάρτηση είναι η εξής : H() Εφαρµόζoντας τον διγραµµικό µετασχηµατισµό + 0.078( )( + ) H() ( 0.078) +.078 0.04( )( + +.08 ) π / 40. + π / 40 + λαµβάνουµε: 4. Να σχεδιαστεί ένα υψιπερατό IIR φίλτρο ης τάξεως µε συχνότητα δειγµατοληψίας f 0kH και συχνότητα αποκοπής (3dB εξασθένηση), kh. Να επανασχεδιαστεί ώστε η συχνότητα kh να αντιστοιχεί σε εξασθένηση 0.46dB. (α) Ένα κανονικοποιηµένο () υψιπερατό φίλτρο ης τάξεως έχει τη µορφή: H(). + Μας δίνεται η συχνότητα δειγµατοληψίας f0kh και η συχνότητα αποκοπής (-3dB) fckh.
Αρα η αναλογική συχνότητα αποκοπής P tan(π f / f ) 0.349 rad/ec. Η (αναλογική) συνάρτηση H() γίνεται: Από αυτή αντικαθιστώντας H() H() + +.349( p + P + 0.349 λαµβάνουµε την αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η(): H() 0.675.349 + 0.349 + + + 0.349( + ).349 0.676 0.7548 0.5095 ) (β) Θα επανασχεδιάσουµε το φίλτρο ώστε η συχνότητα kh να αντιστοιχεί σε εξασθένηση 0.46dB. Στην περίπτωση αυτή η συχνότητα αποκοπής είναι άγνωστη, έστω c. Εποµένως έχουµε ότι: H() + + Με βάσει τα δεδοµένα, θα πρέπει για συχνότητα fkh να έχουµε εξασθένηση 0.46dB Η αντίστοιχη είναι tan(π f / f ) 0.349 rad/ec και 0 log 0 (H() j A 0 log ) 0 log 0 ( 0 ( + ) + ) 0 A 0 + 0 A 0 0.349 0 0.046 0.349 0.086 Για την ζητούµενη ψηφιακή συνάρτηση έχουµε: H() H() + H() + 0.086( + ) 0.900 0.804 3
5. Nα σχεδιασθεί ένα βαθυπερατό φίλτρο Butterworth µε τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης ω p 0.π (rad/ample) εξασθένηση R p db ζώνη αποκοπής ω 0.3π (rad/ample) εξασθένηση Α 5dB Συχνότητα δειγµατοληψίας kh H σχεδίαση να γίνει µε την impule invariant µέθοδο. α. Βρίσκουµε τις συχνότητες του αναλογικού φίλτρου: p 0.π 000400π,.600π (rad/ec) H() β. Βρίσκουµε την τάξη Ν και την συχνότητα του Butterworth φίλτρου. + N 0logH() 0log + Για p 0log[+(400π/ ) N ] (400π/ ) N 0 0. - Nlog(400π/ )-0.5868 Για 50log[+(600π/ ) N ] (600π/ ) N 0.5 - Nlog(600π/ ).486 Αφαιρώντας βρίσκουµε την τάξη Ν του φίλτρου: Nlog(4/6) -0.5868-.486-.078 N5.885 6 Για την συχνότητα αποκοπής έχουµε: log(400π/ ) -0.5868/( 6) -0.0489 400π/ 0-0.0489 0.8935 406.4 rad/ec Βρίσκουµε από το Matlab τους συντελεστές του αναλογικού φίλτρου:[b,a]butter(6, 406.4,''); Και τους συντελεστές του αντίστοιχου ψηφιακού φίλτρου [b,a]impinvar(b,a,) ; b 0.0000 0.0006 0.00 0.06 0.004 0.000 0 a.0000-3.3635 5.0685-4.759.067-0.5707 0.066 N 0 H(ω) db -0-40 -60-80 0 00 400 600 800 000 Συχνότητα H 4
6. Ένα 5 ης τάξεως Butterworth φίλτρο έχει ζώνη διέλευσης 0-.3kH και ζώνη µετάβασης 600H. Ποία είναι η εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής; Η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι 0 kh. Eνα Butterworth αναλογικό φίλτρο 5 ης τάξεως έχει την µορφή: H() Θεωρούµε ότι ο σχεδιασµός γίνεται µε τον διγραµµικό + µετασχηµατισµό. Η (αναλογική)συχνότητα στη ζώνη διέλευσης (άκρο) είναι: 0 4 tan(π.3/0)8654.8 rad/ H (ψηφιακή) συχνότητα αποκοπής είναι: ω.3+0.6.9kh Η (αναλογική) συχνότητα αποκοπής 0 4 tan(π/0.9)359 rad/ec Αρα: H( ) 0.04 ή 9.65 db 0 359 + 8654.8 0 7. Σχεδιάστε µε την µέθοδο "impule invariant" ένα 5ης τάξεως Butterworth βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής 0.6 H. Η συχνότητα δειγµατοληψίας f H. (µε το Matlab). βρίσκουµε την ψηφιακή συχνότητα (rad/ample) ω p 0.6/*π0.6π r/ample. βρίσκουµε την αντίστοιχη αναλογική p ω p f 0.6π*.π r/ec 3. βρίσκουµε το αναλογικό φίλτρο butterworth 5ης τάξεως:[b,a]butter(5,.*pi,''); 4. βρίσκουµε το αντίστοιχο ψηφιακό µε την µέθοδο "impule invariant" [b,a]impinvar(b,a,); 5. Ελέγχουµε το αποτέλεσµα: freq(b,a) [b,a]butter(5,.*pi,''); [b,a]impinvar(b,a,); freq(b,a) 5