. Aalýza závslos dvoch velčí Pr sracovaí dá sa veľm časo sreávame s úlohou zsť, č dve áhodé velč sú sochasck ezávslé. Nar. ás môže zaímať, č v sledovae oulác e farba očí a farba vlasov ezávslá alebo č oče dí ráceeschoos a vek racovíka sú ezávslé. Vzťah ede velč k druhe, res.závslosť ede velč a druhe (regresa), e možé zo súčase meraých, ozorovaých dá. Ak sa redokladá, že medz dvoma remeým esue väzba kore slu vadrue soločý rozl (kovaraca), ýcho remeých, e možé omocou eo formáce aromovať edu remeú, omocou druhe a vvorť regresý model (RM), regresú závslosť remeých. Regresé model umožňuú leše, hlbše ozae sozae skúmaých avov v súvslosach, omocou vzťahov medz remeým. Vhodosť u regesého modelu sa hodoí omocou koreláce,.. číselého vadrea esos, evos väzb medz remeým. Koreláca sa hodoí odľa vbraých krérí, z korých aúčeše e číselé vadree omocou koefceu koreláce. Voľba vhodého u závslos vchádza z bodového dagramu,.. a začaku sracovaa dvorozmerého súboru dá e orebé vesť do grafu dvoce hodô {, } a z eho odhadúť možý rebeh závslos. Pr skúmaí závlso sa reša dve základé úloh:. určee u regresého modelu sa ozačue ako regresá úloha,. zsťovae sl vzťahu medz remeým, korelačá úloha korelačého oču. Podľa oho, koľko ezávsle remeých sa bere r rešeí korelačého oču do úvah, sa hovorí o: edoduche alebo árove korelác (korelác dvoch remeých), ak sa uvažue le s edou ezávsle remeou, vacásobe korelác, ak e oče uvažovaých ezávsle remeých väčších ako eda.. Určee u regresého modelu (regresá úloha).. Jedoduchá leára regresa leár regresý model Ak o veseí hodô {, } má bodový dagram red rame závslos (edolvé bod leža a ramke (Y = B + B X) alebo sa od e eare odchľuú), bodovým odhadom eo regrese ramk e = b + b a áo závslosť e aleším odhadom leáreho regresého modelu. Košaa b r grafckom zobrazeí regrese ramk určue bod, v korom ramka reía os. Koefce b osúva ramku v reore, reo sa azýva a lokuúcou košaou. Koefce b, e smerca regrese ramk a udáva, o koľko merých edoek sa v remere zmeí závsle remeá, ak sa ezávsle remeá zmeí o edu merú edoku. Práve eo koefce dáva formáce o rebehu závslos a azýva sa regresým koefceom.
Koefce b, b sa urča meódou ameších švorcov a ch vadree e možé zaísať v vare b. b b a bodový odhad ramk e možé vadrť v vare, b. Uvedeý os leáre závslos laí re ríad že, Y e závsle a X ezávsle remeou. Medz zakm však môže bť závlosť a X od Y. Túo závslosť chrakerzue ramka X = A + A Y a e odhadom e ramka = a + a. Pr výoče koefceov a a a sa osuue aalogck ako r výoče koefceov b a b. Ak esue obosraá závslosť ramk sa azývaú združeé regresé ramk (leáre regresé model oboch ov vora združeé regresé model) a ch regresé koefce združeé regresé koefce. Leáre regrsé ramk (model) solu vváraú zv. korelačé ožce. Čím sú vac ovoreé závslosť e meša, a aoak... Neleára regresa eleár regresý model Ak závslosť medz remeým Y a X e e leára, vadrí sa e rebeh vhodou eleárou regresou fukcou, rčom sa môžu oužť eleáre fukce s dvom alebo vacerým arameram.
Koefce eleáreho regresého modelu e možé určť ramo omocou meód ameších švorcov, alebo eramo oužím rasformáce a leáru fukcu. Načaseše oužívaé eleáre fukce s dvoma arameram e možé rasformovať a fukcu, kore odhadom e regresá fukca w = b + b z, kde w = g(), z = g (), w, z sú rasformovaé fukce g() a g(z). Na uvedeý var w = b + b z e možé rasformovať ar.: b herbolu. suňa b rasformáca: herbolu z b b rasformáca: z logarmckú fukcu rasformáca: z = l eoecále krvk: a a b b l rasformáca: w = log, z =, o rasformác sa získa fukca log = log a + z.log a, b = log a, b = log a b a rasformáca: w = log, z = log, fukca: log = log a + b.log, b = log a b / a e rasformáca: w = l, z =/, fukca: l = l a + a / b = l a, b. a e rasformáca: w = l, z =, fukca: l = l a + a. b = l a Ak sa uskuočí leára rasformáca ďalší osu e ako r leáre závslos. Pr voľbe u fukce, e dôležé zvolť fukcu, korá e arlehaveša,.. aleše vshue rebeh závslosť remee Y od remee X. Od voľb sráveho u regese fukce závsí, do ake mer vshe vzťah medz remeým, a eda rozhoduu aký fukce sa zvolí, e orebé veovať veľkú ozorosť. Pr voľbe u regrese fukce (regesého modelu) sa musí sáať zalosť rebehu edolvých ov krvek s formácam o skúmaom ave a rozložeí emrckých údaov. Prom zvčae omáha zobrazee bodového dagramu. T regrese fukce sa volí ak, ab čo areseše vhovovala rozložeu bodov v dagrame a logckým súvslosam daých avov. Pre lešu oreácu sú a asleduúcch obrázkoch zázoreé ekoré oužívaé krvek. Výber avhodešeho u regrese fukce (regesého modelu) emusí bť vžd zremý od rve chvíle, reo sa za avhodeší ovažue e: korý e alogckeší,
r korom sa rozdelee rezduálch odchýlok blíž avac k ormálemu rozdeleu, korý zabezečue že rozdelee rezduálch odchýlok bude mať rblže rovakú varablu, r korom sô rezduále odchýlk ameše, korý vkazue aväčšu esosť závslosí, korý e aedoduchšou krvkou.. Korelačá úloha.. Párová koreláca Rozozae suňa závslos remee Y od remee X e dôležá úloha. Čím e sueň závslos medz remeým všší, ým e väčša a vovedaca sla regrese fukce (regresého modelu). Sueň závslos medz remeým charakerzuú mer esos šascke závslos. Teo sa ohbuú v eve saoveom ervale a v rámc oho ervalu rasú so suňom závlsos. Sú ezávslé od veľkos hodô skúmaých zakov a od oužívaých edoek. To umožňue z ch veľkos ramo usudzovať o su závslos a orovávať mer esos šascke závslos za rôze šascké súbor. Korelačý omer e odmoca z odelu súču švorcov odchýlok odmeeých remerov závsle remee od e celkového remeru a celkového súču švorcov odchýlok od eo remee. Nadobúda hodo od do. Čím e aký koefce blžší, ým e závslosť medz daým dvom velčam sleša a čím e blžší, ím e slabša. Korelačý omer e avšeobecešou merou esos šascke závslos, korú e možé očíať bez ohľadu a o, č sa už rešla regresá úloha. m m m m m m Ide deermáce e odel súču švorcov odchýlok eoreckých hodô od celkového remeru závsle remee k celkovému súču švorcov e odchýlok. Ako mera esos šascke závslos sa oužíva druhá odmoca deu deermáce a azýva sa de koreláce. m m re redeé údae
m re eredeé údae Ide koreláce charakerzue sueň závslos remee Y od X za redokladu, že e rebeh vshue regresá fukca (regresý model). Hodo koré adobúda a sôsob hodoea závslosí e aalogcký ako v ríade korelačého omeru. Vužíva sa ved, keď sa hodoí vhodosť eleáre regrese fukce (regresého modelu). Koefce koreláce hodoí meru leáre šascke závslos. Nadobúda hodo z ervalu (-,) a oužíva sa a ako mera esos závslos rasformovaých remeých. Výoče sa realzue z eredeých remeých. Na hodoee vhodos regesého modelu sa vužíva a druhá moca koefcea koreláce zv. koefce deermáce r. Koefce koreláce e možé vočíať vacerým sôsobm: ako súč ekorého zo združeých regresých koefceov a odelu smerodae odchýlk ezávsle remee ku smerodae odchýlke závsle remee s s r b a s s ako odel kovarace remeých X ay a ch smerodaých odchýlok cov. r s s s s koefce koreláce e geomerckým remerom zo združeých regresých koefceov. r a b Koefce koreláce má asledové vlasos: mera esosť závslos medz X a Y obosrae,.. Y od X, ale súčase X od Y, môže bť kladý ale a záorý, rčom eho zameko vadrue charaker závslos: ak e závlsosť rama, má koefce koreláce kladé zameko, r erame závslos e záorý.
.3 Tesovae hoéz o ezávslos Tesueme H : ρ = ro obosrae aleraíve H : ρ (res. ro ľavosrae aleraíve H : ρ < res. ro ravosraé aleraíve H : ρ > ). Tesovace krérum má R var: T. Ak laí ulová hoéza, oom T ~ (-). Krcký obor re es H R ro obosrae aleraíve: W, / /,, ro ľavosrae aleraíve: W, a ro ravosrae aleraíve: W,. H zameame a hlade výzamos α, keď T W. Príklad 7.: Máme k dsozíc výsledk esov z dvoch redmeov zseých u ôsmch áhode vbraých šudeov určého odboru. Číslo šudea 3 4 5 6 7 8 Poče bodov v. ese 8 5 36 58 4 6 56 68 Poče bodov v. ese 65 6 35 39 48 44 48 6 Na hlade výzamos,5 esue hoézu, že výsledk oboch esov e sú klade korelovaé. Rešee: Narv sa musíme resvedčť, že uvedeé výsledk e možé ovažovať za realzáce áhodého výberu z dvorozmerého ormáleho rozdelea. Je možé ak učť oreače omocou dvorozmerého bodového dagramu. Bod b mal vvorť elsový obrazec. 8 6 Y 4 4 6 8 X Obrázok svedčí o om, že redoklad dvorozmere ormal e oráveý a že medz očam bodov z. a. esu bude esovať určý sueň rame leáre závslos. Tesovaá e H : ρ = ro ravosrae aleraíve H : ρ >. Výočom sa zsí: R =,6668, T =,97. V abuľkách sa áde,95 (6) =,943. Krcký obor: W,943 ;. Preože T W, hoézu o eesec klade koreláce výsledkov z. a. esu zameame a hlade výzamos,5.
.3. Porovae koefceu koreláce s daou košaou Ak c e reála košaa. Tesue sa H : ρ = c ro H : ρ c. (Teo es sa vkoáva ar. ved, ak eermeáor orováva vlasos svoch dá s vlasosťam uvádzaým c c v leraúre.) Tes e založeý a esovacom kréru U Z l 3, c korá má za laos H re asmock rozdelee N(,), rčom Z R l R e zv. Fsherova Z-rasformáca. Krcký obor re es H ro obosrae aleraíve eda e W, u / u /,. H sa zamea a asmocke hlade výzamos α, keď U W. Príklad 7.: V 6 vzorkách rud bol saoveý obsah železa dvoma aalckým meódam s výberovým koefceom koreláce,85. V leraúre sa uvádza, že koefce koreláce ýcho dvoch meód má bť,9. Na asmocke hlade výzamos,5 esue hoézu H : ρ =,9 ro H : ρ,9.,85 Rešee: Z l, 56,,85,9,9 U,56 l 6 3 5,976, u,975 =,96,,9 6 W,,96,96,. Preože U W, H zameame a asmocke hlade výzamos,5..3. Porovae dvoch korelačých koefceov Ak sú daé dva ezávslé áhodé výber o rozsahoch a * z dvorozmerých ormálch rozdeleí s korelačým koefcem ρ a ρ *. Tesue sa H : ρ = ρ * ro H : ρ ρ *. Ozačí sa R výberový korelačý koefce. výberu a R * výberový korelačí koefce * R * R. výberu. Položí sa Z l a Z l. Ak laí H *, oom esovace R R krérum 3 * * 3 Z Z U má asmock rozdelee N(,). Krcký obor re es H ro obosrae aleraíve e W, u / u /,. H sa zamea a asmocke hlade výzamos α, ak U W. Príklad 7.3: Lekársk výskum sa zaoberal sledovaím kocerác láok A a B v moč aceov racch určou oblčkovou chorobou. Pr zdravých edcoch bol výberový korelačý koefce medz kocerácam oboch láok,65 a v ríade 4 osôb racch zmeeou chorobou bol,37. Na asmocke hlade výzamos,5 esue hoézu, že korelačé koefce v oboch skuách sa elíša.
Rešee:,65 *,37 Z l,7753, Z l,3884,,65,37,7753,3884 U,94, u,975 =,96, W,,96,96,. Preože 3 4 3 U W, H sa zamea a asmocke hlade výzamos,5..3.3 Ierval soľahlvos re korelačý koefce V ríade že, dvorozmerý áhodý výber rozsahu ochádza z dvorozmerého ormáleho rozdelea, korého korelačý koefce sa rílš elíš od ul ( ρ <,5) a rozsah výberu e dosaoče veľký ( ), (-α)% erval soľahlvos re ρ má R medze R u /. 3 Ak e sú uvedeé odmek sleé, oom e e možé eo vzorec oužť, reože rozdelee výberového korelačého koefceu e rílš zoškmeé. V akom ríade sa vuže o, že áhodá velča Z R l má r malom rozsahu výberu rblže R ormále rozdelee so sredou hodoou E Z l (. sčíaec e možé r väčšom zaedbať) a rozlom D Z. Šadardzácou velč Z sa získa 3 velča U Z E(Z), korá má asmock rozdelee N(,). Teda (-α)% D(Z) asmocký erval soľahlvos re l bude mať medze soľahlvos re ρ oom sa získa säou rasformácou. Z u /. Ierval 3 Vzhľadom a o, že Z = arcgh R, dosaeme R = gh Z a medze ervalu u / e e soľahlvos re ρ e možé aísať v vare gh Z, rčom gh. 3 e e Príklad 7.4: Pracovík ersoáleho oddelea urče frm skúma, č esue vzťah medz očom dí absece za rok (velča Y) a vekom racovíka (velča X). Preo áhode vbral údae o racovíkoch. Č. rac. 3 4 5 6 7 8 9 X 7 6 37 3 46 58 9 36 64 4 Y 5 6 8 9 7 4 5 8 Za redokladu, že uvedeé údae vora číselé realzáce áhodého výberu rozsahu z dvorozmerého ormáleho rozdelea, vočíae výberový korelačý koefce a a hlade výzamos,5 esue hoézu, že X a Y sú ezávslé áhodé velč. Zosroe 95% asmocký erval soľahlvos re skuočý korelačý koefce ρ.
Rešee: Predoklad o dvorozmere ormale dá overíme oreače omocou dvorozmerého bodového dagramu. 3 5 5 Y 5-5 - - 4 6 8 X Vzhľad dagramu svedčí o om, že redoklad e oráveý. Tesueme H : ρ = ro H : ρ. Vočíame R = -,935, eda medz vekom racovíka a očom dí racove eschoos esue slá erama leára závslosť. Tesovace krérum: T = -7,353, kval,975 (8) =,36, krcký obor W,,36,36,. Vzhľadom k omu, že T W, zameame a hlade výzamos,5 hoézu o ezávslos velčí X a Y. R,935 Vočíame Z l l, 677. Medze 95% asmockého R,935 ervalu soľahlvos re ρ sú gh,677,96 7, eda -,984 < ρ < -,7336 s ravdeodobosťou rblže,95. Tesovae hoéz o ezávslos sa vkoáva rôzm sôsobm odľa oho, akého u sú daé áhodé velč č sú omále, ordále, ervalové alebo omerové. Koefceom koreláce sa hodoí mera šascke závslos ervalových, omerových velčí. Nasledove budú uvedeé hodoea mer šascke závslos a es ezávslos omálch a ordálch velčí..3.4 Tesovae ezávslos omálch velčí Ak X,Y sú dve omále áhodé velč (. obsahová erreáca e možá le r relác rovos). Ak X adobúda hodo [],..., [r] a Y adobúda hodo [],..., [s]. Získame dvorozmerý áhodý výber rozsahu z rozdelea, korým sa rad dvorozmerý dskré áhodý vekor (X, Y). Zseé absolúe očeos k dvoce hodô ( [], [k] ) usoradame do kogeče abuľk: []... [s]. k []... s.............
[r] r... rs r..k.....s Tesue sa hoéza H : X, Y sú sochasck ezávslé áhodé velč ro H : X, Y e sú sochasck ezávslé áhodé velč. Tesovace krérum TK má var: K )(s-)). r s k k... k.k. Ak laí H, oom K sa asmock rad rozdeleím χ ((r- Hoézu o ezávslos velčí X, Y eda zameame a asmocke hlade výzamos α, ak TK (K) KH (χ -α((r-)(s-))). Podmek dobre aromáce.. k Výraz sa azýva eorecká očeosť. Rozdelee esovaceho kréra K e možé aromovať rozdeleím χ ((r-)(s-)), okaľ eorecké očeos asoň v 8% ríadoch adobúdaú hodo väčše alebo rové 5 a v osaých % eklesú od. Ak e e sleá odmeka dobre aromáce, odorúča sa zlučovae ekorých hodô. Merae sl závslos K Cramérov koefce: V, kde m = m{r,s}. Teo koefce adobúda (m ) hodo medz a. Čím blžše e k, ým e eseša závslosť medz X a Y, čím blžše e k, ým e áo závslosť voleša. Príklad 7.5: V socologckom reskume bol z uchádzačov o šúdum a vsokých školách získaý áhodý výber rozsahu 36. Mmo ých sa zsťovala socála skua, z kore uchádzač ochádza a škol, a korú sa hlás. Výsledk sú zazameaé v kogeče abuľke: T škol Socála skua. I II III IV uverzý 5 3 5 4 echcký 3 5 ekoomcký 3 5.k 9 6 36 Na asmocke hlade výzamos,5 esue hoézu o ezávslos u škol a socále sku. Vočíae Cramérov koefce. Rešee: Výoče TK:
4.. 9.. 4..3 4 6.. 35, 38,9, 3,3, 36 36 36.. 9....3 6.. 4 7,5, 3,6, 8,3, 36 36 36.. 9....3 6.. 4 7,5, 3,6, 8,3, 36 36 36 K 5 35 3 38,9 5 33,6 35 38,9 33,6 76,84, Saovee KH: r = 3, s = 4, χ,95(6) =,6. 4 36 36 36 4,8, 33,6, 33,6, Rozhodue. Preože TK KH hoézu o ezávslos u škol a socále sku zameame a asmocke hlade výzamos,5. 76,4 Cramérov koefce: V, 367. 36 Švorolé abuľk Ak r = s =. Poom sa hovorí o švorole kogeče abuľke a oužíva sa ozačee: = a, = b, = c, = d. X Y. [] [] [] a b a+b [] c d c+d.k a+c b+d Pre úo abuľku avrhol R. A. Fsher resý (eaký) es ezávslos zám ako Fsherov fakorálový es. STATISTICA oskue -hodou re eo es. Ak e výsledok α, oom hoézu o ezávslos zameame a hlade výzamos α. ad V švorolých abuľkách sa oužíva charakerska OR, korá sa azýva odel bc šací (odds rao). Je možé s redsavť, že okus sa vkoáva za erovakých okolosí a môže skočť buď úsechom alebo eúsechom. Výsledok okolos. okusu I II úsech a b a+b eúsech c d c+d.k a+c b+d Pomer oču úsechov k oču eúsechov (zv. šace) za. okolosí e c a, za druhých b ad okolosí e. Podel šací e OR. Pomocou (-α)% asmockého ervalu d bc soľahlvos re odel šací e možé a asmocke hlade výzamos α esovať
hoézu o ezávslos omálch velčí X a Y. Asmocký (-α)% erval soľahlvos re rrodzeý logarmus skuočého odelu šací má medze: l OR u /. Ak o odlogarmovaí ezahre erval soľahlvos, a b c d oom hoézu o ezávslos zameeme a asmocke hlade výzamos α. Príklad 7.6: V ríade 35 uchádzačov o šúdum a sú fakulu bol hodoeý doem, akým zaôsobl a komsu a úse rímace skúške. Na asmocke hlade výzamos,5 esue hoézu, že rae a fakulu ezávsí od zaechaého domu a rímace skúške. raí doem. dobrý zlý áo 7 8 e 39 58 97.k 56 69 5 Rešee: ad 7 58 OR,98, l OR,83,,439, u,975 bc 39 a b c d 7 39 58 l d,83,439,96,8, l h,83,439,96,69,8,69 d e,97, h e 5,433 Preože erval (,97; 5,433) obsahue číslo, a asmocke hlade výzamos,5 ezameame hoézu o ezávslos domu a rímace skúške a rae a fakulu.,96.3.5 Tesovae ezávslos ordálch velčí Ak X,Y sú dve ordále áhodé velč (. obsahová erreáca e možá le v ríade reláce rovos a reláce usoradaa). Získame dvorozmerý áhodý výber (X, Y ),..., (X, Y ) z rozdelea, korým sa rad áhodý vekor (X, Y). Ozačíme R orade áhode velč X a Q orade áhode velč Y, =,...,. Tesueme hoézu H : X, Y sú oradovo ezávslé áhodé velč ro obosrae aleraíve H : X, Y sú oradovo závslé áhodé velč (res. ro ľavosrae aleraíve H : medz X a Y esue erama oradová závslosť res. ro ravosrae aleraíve H : medz X a Y esue rama oradová závslosť). Tesovace krérum sa azýva Searmaov koefce oradove koreláce a má var: 6 r S R Q. H sa zamea a hlade výzamos α a) v rosech obosrae aleraív, ak r S r S,-α () b) v rosech ľavosrae aleraív, ak r S - r S,-α () c) v rosech ravosrae aleraív, ak r S r S,-α (), kde r S,-α () e krcká hodoa, korá sa re α =,5 alebo, a 3 áde v abuľkách. Pre > 3 H sa zamea a
asmocke hlade výzamos α v rosech obosrae aleraív, ak (aalogck re edosraé aleraív). r S u Searmaov koefce r S súčase mera slu oradove závslos áhodých velčí X, Y. Nadobúda hodo z ervalu,. Čím e eho hodoa blžša - (res.), ým e sleša erama (res. rama) oradová závslosť velčí X, Y. Čím e eho hodoa blžša, ým e slabša oradová závslosť velčí X, Y. Príklad 7.7: Dva lekár hodol sav sedmch aceov o rovakom chrurgckom zákroku. Posuoval ak, že avšše orade dosal aťažší ríad. Číslo acea 3 4 5 6 7 Hodoee. lekára 4 6 5 3 7 Hodoee. lekára 4 5 6 3 7 Vočíae Searmaov koefce r S a a hlade výzamos,5 esue hoézu, že hodoee oboch lekárov sú oradovo ezávslé. r S Rešee: Výoče TK: 6 4 4 6 7 7 Saovee KH: Krcká hodoa: r S,,95 (7) =,745. 5 5 6 3 3 7 7,857. Rozhodue: Preože TK (,857) KH (,745), ulovú hoézu zameame a hlade výzamos,5.
. Úvod do dee aalýz Tao kaola sa zaoberá orovávaím ukazovaeľov v dáových súboroch, koré sa líša buď časovo alebo resorovo alebo vece. Nadôležeše e orovávae ukazovaeľov z časového hľadska. Pod omom ukazovaeľ sa rozume velča, korá vovedá o akes socále ekoomcke hromade skuočos. K uvedeému orovávau veľm časo slúža rôze de. Budeme sa veovať košruovau a erreác ýcho deov. Ukazovaeľ a eho druh Ukazovaeľ e velča, korá charakerzue socále ekoomcký av v určom resore a v určom čase (okamh č erval). Príklad ukazovaeľov: oče obvaeľov SR ku dňu 3..5, veľkosť HDP v SR v r. 5, oče sobášov v SR v r. 5 ad. Rozlíšee ukazovaeľov z vecého hľadska Eezý ukazovaeľ: charakerzue eezu skúmaého avu (ar. obem, veľkosť, možsvo). Je vadreý číslom v urče mere edoke. Sravdla sa ozačue alebo Q (od slova uaum možsvo). Príklad eezých ukazovaeľov: rozloha oľohosodárske ôd v SR v r., oče arodeých deí v SR v r. 5 aď. Iezí ukazovaeľ: charakerzue ezu sledovaého avu. Vzká ako omer dvoch eezých ukazovaeľov, medz korým esue logcký vzťah. Sravdla sa ozačue (od slova rce cea). Príklad ezých ukazovaeľov: remerá obá locha bu radaúca a edého obvaeľa SR v r. 5, hekárový výos šece v SR v r. aď. Samosaú skuu vora ukazovaele šrukúre. Šrukúr ukazovaeľ e odelom edého delčeho ukazovaeľa k celkovému ukazovaeľu, korý e súčom delčích ukazovaeľov. Je o bezrozmeré číslo, koré udáva, ako sa delčí (logck odradeý ukazovaeľ) odeľa a celkovom ukazovael (logck adradeom). Nadobúda hodo medz a. Príklad šrukúrch ukazovaeľov: odel mládeže do 8 rokov a celkovom oču obvaeľov SR v r. 5, odel remslove výrob v SR v r. a hrubom domácom roduke aď. Rozdelee ukazovaeľov z hľadska rovorodos Rovorodý ukazovaeľ Eezý: eho hodo e možé saovť súčom. Nar. e možé sočíať ržb v maloobchode za edolvé mesace, oč racovíkov v edolvých závodoch odku aď. Rovorodý ukazovaeľ ezý: vzká ako odel dvoch rovorodých ukazovaeľov eezých, ar. hekárový výos urče lod. Nerovorodý ukazovaeľ: emá v edolvých časach (resorových, časových alebo vecých) rovakú aurálu odobu ako v celku. Zhrňovae súčom emá logcký zmsel. Nar. erovorodým eezým ukazovaeľom e ukazovaeľ obemu remslové rodukce Sr (auomobl, uhle, ábok aď.)
Ide, dferece a ch.3.. T orovávaa hodô ukazovaeľov Absolúe orovávae: omocou dferecí. Dfereca e rozdel dvoch hodô ukazovaeľa. Relaíve orovávae: omocou deov. Ide e odel dvoch hodô ukazovaeľa..3.. Druh orovávaa hodô ukazovaeľov Časové orovávae: výsledkom sú časové de a dferece (adôležeší druh orovávaa). Nar.: remerá mesačá mzda racovíkov v remsle v % SR v r. 5 a 4. Presorové orovávae: výsledkom sú resorové de a dferece. Nar.: remerá mesačá mzda racovíkov v remsle v r. 5 v ČR a SR. Vecé orovávae: výsledkom sú vecé de a dferece. Na: remerá mesačá mzda racovíkov v remsle a v oľohosodársve v SR v r. 5. Ide možsva úrove súhré dvduále súhré dvduále edoduché zložeé edoduché zložeé Obr.: Schéma druhov deov.3.3. Rozdelee deov z hľadska vecého obsahu Ide možsva: orováva hodo eezého ukazovaeľa v dvoch suácách. Ide úrove: orováva hodo ezého ukazovaeľa v dvoch suácách..3.4. Rozdelee deov z hľadska rovorodos Idvduál de: orováva hodo rovorodého ukazovaeľa v dvoch suácách. Súhrý de: hodo erovorodého ukazovaeľa v dvoch suácách..3.5. Rozdelee deov z hľadska resorového vmedzea Jedoduchý de: orováva dve hodo rovorodého ukazovaeľa v edom resore. Zložeý de: orováva dve hodo rovorodého ukazovaeľa vo vacerých resoroch, v korých sa údae red vlasým orovávaím musa zhrúť.
.4. Idvduále de a dferece.4.. Jedoduché dvduále de a dferece Ak e hodoa eezého ukazovaeľa v bežom období a v základom období. Jedoduchý dvduál de možsva: I () (dfereca: Δ() = ). Ak e hodoa ezého ukazovaeľa v bežom období a v základom období. Jedoduchý dvduál de úrove: I () (dfereca: Δ() = ). Príklad 8.: Zauíma ás vývo ce, redaého možsva a ržb za reda masla v ede reda v mesacoch seember a okóber roku 999. Údae sú v abuľke. Cea (Sk/kg) Preda (kg) Tržba (Sk) seember okóber seember okóber seember okóber 88 94 4 8 496 3 Rešee: = 88, =94, I() = 94/88 =,68, z., že cea v okóbr vzrásla oro seember o 6,8%,. o Δ() = 94 88 = 6 Sk za kg. = 4, = 8, I() = 8/4 =,9, z., že reda v okóbr oklesol oro seembru o 9,9%,. o Δ() = 8 4 = -4 kg Q = 496, Q = 3, I(Q) = 3/496 =,963, z., že ržba v okóbr oklesla oro seembru o 3,7%,. o Δ(Q) = 3 496 = -464 Sk..4.. Bázcké a reťazové de Ak esuú k dsozíc hodo ukazovaeľa (ar. eezého) za obdobe,,...,, oom vývo ukazovaeľa e možé oísať radou za sebou dúcch dvduálch deov, a o buď bázckých ebo reťazových. Bázcké de: edo obdobe sa zvolí ako základé (ačaseše rvé,, B = ) a 3 osaé obdoba sa s ím orovávaú: I/ B(),I3/ B(),,I / B(). B B B Reťazové de: vzkaú orovaím dvoch o sebe asleduúcch čleov rad: 3 I /(),I3/ (),,I / (). Vzťah medz bázckým a reťazovým dem: I () I k / k () I k / B k / B, k =, 3,..., () I k / B() IB / B() IB / B () Ik / k (), k =, 3,..., Príklad 8.: V abuľke sú uvedeé údae o sorebe mäsa (v kg) a edého obvaeľa SR v rokoch 985 až 99. rok 985 986 987 988 989 99 soreba 89,3 9,6 93,5 96, 97,4 96,5 Charakerzue vývo soreb mäsa omocou bázckých a reťazových deov.
Rešee: rok 985 986 987 988 989 99 Bázcké,6,47,76,9,8 de Reťazové de,6,,8,4,99 Ierreáca: Nar. v r. 987 súla soreba mäsa o 4,7% oro roku 985, ale le o,% oro roku 986..4.3. Zložeé dvduále de a dferece Máme dva eezé ukazovaele, Q a ede ezý ukazovaeľ = Q/. Hodo ukazovaeľov v základom období sa ozača, Q, a v bežom období, Q,. Načaseše sa vkoáva časové orovae. Predokladá sa, že údae sú z resorového alebo vecého hľadska čleeé do sfér. Pr výoče zložeých dvduálch deov a dferecí sa vchádza z asleduúce abuľk. Číslo sfér E. ukazovaeľ v období E. ukazovaeľ Q v období I. ukazovaeľ v období základom bežom základom bežom základom bežom,, Q, Q,,,,, Q, Q,,,.....................,, Q, Q,,, I ( Zložeý dvduál de možsva: Q) Q Q,, Q Q, I ( ) res. Teo de orovávaú možsvo v bežom období oro možsvu v základom období, a o cez všek sfér. Odovedaúce dferece:, Q Q Q, Zložeý dvduál de úrove: I Q Q,,,,,,,,,, V čael e celkový výos zo všekých sfér redeleý možsvom zo všekých sfér re bežé obdobe. V meovael sú e sé velč, ale re základé obdobe.,
Odovedaúce dferece:. Príklad 8.3: V abuľke sú údae o ceách, reda a ržbách za čersvé a solové maslo v ede reda v seembr a okóbr roku 999. Druh Cea (Sk/kg) Preda (kg) Tržba (Sk) masla seember okóber seember okóber seember okóber čersvé 88 94 4 8 496 3 solové 8 85 5 3 5 celkom 67 6 746 35 Pomocou zložeých dvduálch deov možsva a úrove oíše vývo ce, redaa a ržb čersvého a solového masla celkom. Rešee: Pre možsvo redaého masla: I(Σ) = 6/67 =,974, z., že možsvo redaého masla v okóbr okleslo oro seembru o,6%,. o Δ(Σ) = 6 67 = -7 kg. Pre ržbu za redaé maslo: I(ΣQ) = 35/746 =,, z., že ržba v okóbr vzrásla oro seembru o,%,. o Δ(ΣQ) = 35 746 = 56 Sk. 35 Pre ceu: I 6, 5, z., že remerá cea masla vzrásla v okóbr oro 746 67 35 746 seembru o 5%,. o 4, 4 Sk. 6 67. Súhré de a dferece Slúža k relaívemu res. absolúemu orovau erovorodých eezých ukazovaeľov. Pr ch výoče sa vchádza z asleduúce abuľk: Druh výrobku Možsvo výrobku () Cea () za edoku Zákl. obdobe Bež. obdobe Zákl. obdobe Bež. obdobe,,,,,,,,...............,,,,.5.. Súhré de možsva Paascheho de možsva: I (P) (),,,,. Vadrue relaívu zmeu obemu rodukce r ceove hlade odovedaúce bežému obdobu. Odovedaúca P dfereca:
Laseresov de možsva: I (L) (),,,,. Vadrue relaívu zmeu obemu rodukce r ceove hlade odovedaúce základému obdobu. Odovedaúca L dfereca:.5.. Súhré de úrove (ce) Paascheho ceový de: I (P) (),,,,. Vadrue relaívu zmeu ce r obeme rodukce odovedaúce bežému obdobu. Odovedaúca dfereca: P Laseresov ceový de: I (L) (),,,,. Vadrue relaívu zmeu ce r obeme rodukce odovedaúc základému obdobu. Odovedaúca dfereca: L Príklad 8.4: Máme k dsozíc údae o veľkoobchodých ceách a rodukc edého elého odku v rokoch 99 a 99. výrobok Cea (Sk/m) Produkca (v m) Tržba (Sk) 99 99 99 99 99 99 zama 65 7 3 3 mečeser 3 3 4 35 4 flael 4 3 8 36 39 celkom 6 7 55 694 Posúďe omocou súhrých deov možsva, ako sa zmela ržba odku v r. 99 oro roku 99.Posúďe omocou súhrých ceových deov, ako sa zmela cea ovaru v r. 99 oro roku 99. Rešee: (P) 7 3 3 4 4 8 644 ad a) I (), 86, z., že celková 7 3 4 3 593 rodukca odku v r. 99 meraá ceam roku 99 vzrásla o 8,6%. (L) 65 3 3 4 8 5758 I (),96, z., že celková 65 3 3 55 rodukca odku v r. 99 meraá ceam roku 99 vzrásla o 9,6%.
(P) 644 ad b) I (), 8, z., že r rodukc elu a úrov roku 99 5758 ce vzrásl o,8%. I (L) () ce vzrásla o,9%. 593 55,9, z., že r rodukc elu a úrov roku 99
3. Časové rad K orovau hodô ukazovaeľov v dvoch obdobach slúža meód dee aalýz. Ak e však orebé ozať určé zákoos vo vývo daého ukazovaeľa, e ué mať k dsozíc eho hodo za vacero období vo forme časového rad. Časové rad vzkaú v rírodých vedách alebo echke (ar. sezmcký zázam v geofzke, údae o remerých ročých eloách v klmaológ), v bologckých vedách (očeos výsku určého škodca v ekoľkých o sebe asleduúcch rokoch), v socológ (vývo rozvodovos), v ekoóm (obem oľohosodárske rodukce v ekoľkých o sebe asleduúcch rokoch, vývo výmeého kurzu) aď. Časovým radom sa rozume rad hodô,, určého ukazovaeľa usoradaý odľa rrodzee časove osuos <... <. Prom e ué dbať a o, ab vecá álň ukazovaeľa eho resorové vmedzee bol zhodé v celom sledovaom časovom období. Ak sú časové erval (, ),..., ( -, ) rovako dlhé (ekvdsaé), zedodušee sa zasue časový radu ako,...,. 3. Druh časových radov a) Časový rad okamhový: ríslušý ukazovaeľ udáva, koľko avov esue v daom časovom okamhu (ar. oče obvaeľsva k určému dňu). b) Časový rad ervalový: ríslušý ukazovaeľ udáva, koľko avov vzklo č zaklo v určom časovom ervale (ar. oče sobášov očas roka). Ak e sú edolvé časové erval ekvdsae, e ué vkoať očsee časove rad od dôsledkov kaledárch varác. Príklad 9.: Máme k dsozíc údae o ržbe obchode orgazáce (v s. Sk) v edolvých mesacoch roku 995: 4, 34, 47, 445, 894, 3354, 355, 355, 35, 363, 694, 6. Vočíae očseé údae. Rešee: Premerá dĺžka mesaca e 365/ dňa. Očseá hodoa re auár e eda 365 ( o) 4 354,84 3, re február 365 ( o) 34 38, 8 8. Pre osaé mesace aalogck dosaeme 36,7; 478,96; 839,54; 34,58, 3448,86; 3448,86; 369,79; 35,36; 73,4; 55,8. 3. Grafcké zázoree časového radu a) Okamhový časový rad sa grafck zázorňue omocou socového dagramu. Na vodorovú os sa vášaú časové okamh,...,, a zvslú os odovedaúce hodo,...,. Dvoce bodov (, ), =,..., sa soa úsečkam. Príklad 9.: Časový rad obsahue údae o oče zamesacov urče akcove soločos v rokoch 989 996 vžd k 3.. 989 99 99 99 993 994 995 996 6 67 63 635 64 64 63 65 Zázore eo časový rad grafck.
Rešee: 64 64 638 636 634 oce 63 63 68 66 64 6 6 988 989 99 99 99 993 994 995 996 997 rok b) Iervalový časový rada sa ačaseše zázorňue sĺcovým dagramom. Je o súsava obdĺžkov, kde šírka obdĺžíka e rová dĺžke ervalu a výška odovedá hodoe ukazovaeľa v daom ervale. K zázoreu ervalového časového radu e možé oužť socový dagram, rčom a vodorovú os sa vášaú sred ríslušých ervalov. Príklad 9.3: Máme k dsozíc údae o rodukc určého odku (v sícoch výrobkov) v rokoch 99-996. 99 99 993 994 995 996 4 6 7 6 37 Zázore eo časový rad grafck. Rešee: 4 35 3 5 rodukce 5 5 99 99 99 993 994 995 996 997 rok 3.3 Posé charakersk časových radov 3.3. Premer okamhového časového radu Ako rvé sa vočíaú remer re edolvé delče erval (, ), (, 3 ),..., ( -, 3 ):,,,. Ak sú všek eo erval rovako dlhé, vočía sa edoduchý chroologcký remer okamhového časového radu:. Ak emaú erval rovakú dĺžku, vočía sa d = -, =,..., a ouže sa vážeý chroologcký remer okamhového časového radu: d. d
Príklad 9.4: Časový rad vadrue oče obvaeľsva ČSSR (v sícoch) v rokoch 965 až 974 vžd ku 3.. Rok 965 966 967 968 969 97 97 97 973 974 oče 494 47 4333 4387 4443 4345 449 4576 463 4738 Charakerzue úo časovú radu chroologckým remerom. 494 4738 Rešee: 47 463 443. 9 3.3.. Premer ervalove časove rad. Príklad 9.5: Vočíae remerú hodou roče časove rad HDP ČR (v mlardách Kč) v rokoch 994 až. 994 995 996 997 998 999 33, 38, 447, 43, 4, 39, 433, 6 7 8 3 6 8 Rešee: 33,6 433,8 398, 7. 7 3.3. Damcké charakersk časových radov 3.3.. Absolúe rírask. dfereca:,,,. dfereca:, 3,, aď. (Dferecovae má veľký výzam r odhade redu časove rad regresým meódam.) Premerý absolú rírasok: 3.3.. Relaív rírasok,,, (Relaív rírasok o vásobeí udáva, o koľko erce sa zmela hodoa v čase oro času -.)
3.3..3 Koefce rasu (emo rasu) k,,, (Koefce rasu o vásobeí udáva, a koľko erce hodo v čase - vzrásla č oklesla hodoa v čase.) Premerý koefce rasu k k k 3 k Premerý relaív rírasok k Príklad 9.6: Pre časovú radu HDP ČR v rokoch 994 až (v mlardách Kč) vočíae základé charakersk damk a grafck zázore. dferece a koefce rasu. Rešee: rok HDP Δ k δ 994 33,6 995 38, 77,5,59,59 996 447,7 66,6,48,48 997 43,8-4,7,99 -, 998 4,3-3,5,978 -, 999 39,6 -,7,99 -,8 433,8 43,,3,3 Premerý absolú rírasok: 433,8 33,6 6, 7, z., že v období 994 rásol HDP remere o,7 mlárd Kč roče. Premerý koefce rasu: k 433,8 6 33,6, 6, z., že v období 994 rásol HDP remere o,6% roče. Graf. dferecí:.7 Graf koefceov rasu: 8 6.6.5.4. dferece 4 koefce růsu.3....99 -.98-4 994 995 996 997 998 999.97 994 995 996 997 998 999 rok rok 3.4 Rozbor edolvých zložek časového radu Časové rad vzkaú ako dôsledok ôsobea odsaých a eodsaých čeľov a skúmaý socálo ekoomcký av. Teo čele môžeme rozdelť a: redové - vývoové, koré ôsoba eusále a určuú hlavý smer vývoa,.. red v ČR (T )
erodcké, koré sôsobuú ravdelé kolísae hodô ČR okolo redu, môžeme ch rozdelť a cklcké (C )- v dlhodobých ČR (hosodárske ckl) sezóe (S )- krákodobých ČR (sezóe kolísae ce, sezó do..), sezóou obvkle e rok áhodé čele (E ) - ôsoba áhode, eravdele. Teo čele ôsoba a vývo každého skúmaého ukazovaeľa v šaske Na základe oho rozčleea môžme dekomoovať - rozložť ČR a r zložk: redovú (T ) erodckú (C ), res. (S ) áhodú (E ) Medz zložkam môže bť : adív vzťah : mullkaív vzťah: Y = T + S + E, alebo Y = T. S. E 3.4. Aalýza redu v časovom rade Pr dekomozčom rísue e aalýza redu založeá: a aalckom vrovaí vývoa hodô skúmaého ukazovaeľa vhodou redovou fukcou de o aalógu edoduche regrese aalýz, rčom odhadovaé hodo sú fukcou časove remee,, = f () redová fukca e oom oužá ele ku hodoeu kval rogóz e-os, ale a a rogóz e-ae Predokladá sa, že re časovú radu,..., laí model = f() + ε, =,...,, kde f() e ezáma redová fukca (red), korá sa ovažue za ssemackú (deermsckú) zložku časove rad (osue hlavú edecu dlhodobého vývoa časove rad) a ε e áhodá zložka časove rad zahŕňaúca odchýlk od redu. Náhodá zložka sĺňa redoklad E(ε ) =, D(ε ) = σ, C(ε, ε +h ) =, ε ~ N(, σ ) (hovorí sa, že ε e bel šum). Regresá aalýza redu má obasť vzťah medz závsle remeou velčou a časom. Predokladá sa, že red f() závsí (leáre č eleáre) a ezámch arameroch β, β,..., β k a zámch fukcách φ (), φ (),..., φ k (), koré už eobsahuú žade ezáme aramere,. f() = g(β, β,..., β k ; φ (), φ (),..., φ k ()). Odhad b, b,..., b k ezámch aramerov β, β,..., β k e možé získať ar. meódou ameších švorcov a oom vadrť odhad f () fukcí φ (), φ (),..., φ k (),. f () ezámeho redu v bode omocou odhadov b, b,..., b k a = g(b, b,..., b k ; φ (), φ (),..., φ k ()). 3.5.3. Nadôležeše redových fukcí Voľba u redove fukce sa vkoáva - a základe eoreckých zalosí a skúseosí zo skúmaou velčou - omocou grafu časove rad - omocou formaívch esov založeých a edoduchých charakerskách časove rad a) Leár red
Aalcké vadree: f () Iformaív es:. dferece sú rblže košaé b) Kvadracký red Aalcké vadree: f () Iformaív es:. dferece maú rblže leár red,. dferece sú rblže košaé. c) Eoecál red Aalcké vadree: f (). Model e možé learzovať logarmckou rasformácou: l f () l l Iformaív es: koefce rasu sú rblže košaé. d) Modfkovaý eoecál red Aalcké vadree: f (). Iformaív es: rada odelov susedých. dferecí e rblže košaá. e) Logscký red Aalcké vadree: f () Iformaív es: rebeh. dferecí e odobý Gaussove krvke a odel sú rblže košaé. f) Gomerzova krvka Aalcké vadree: f () Iformaív es: odel l l l l sú rblže košaé. Model (a), (b), (c) sú leáre alebo e ch možé learzovať a odhad aramerov sa získaú meódou ameších švorcov. Model (d), (e), (f) sú eleáre a odhad aramerov sa získavaú šecálm umerckým meódam. 3.4.. Šascké osúdee vhodos redove fukce Posúdee vhodos redove fukce sa vkoáva omocou: Ideu koreláce, Ideu deermáce (. odel vsvelee a celkove varabl závsle remee velč) b mal bť blízk, koré vadruú kvalu rogóz e-os Proré e však vecé osúdee vhodos redove fukce, reože e orebé zvažovať ako sa as môže skúmaý ukazovaeľ v budúcch obdobach vvíať 3.4. Aalýza sezóe zložk v časovom rade Dekomozčý rísu redokladá: mullkaív model ČR: Y = T. S. E
aalýzu redu v ČR (ak e ríomý) vhodou redovou fukcou: T =, = f() aalýzu sezóe zložk oom omocou sezóch deov: S,, kde, sú hodo získaé vrovaím časového radu vhodou redovou fukcou re =, T Aalýza sezóe zložk se časo vkoáva až o očseí dá od redove zložk. V odsae r e de o určee časového úseku, o korého uluí maú dáa zas rovakú hodou, rí. ovlveú redovou a áhodou zložkou. Pre šúdum sezóe zložk se oužívá ekoľko ov modelov. V ekoomckých modeloch býva sravdla zremá veľkosť eród (švrťrok, mesac), v ých ríadech e ué úo dĺžku odhadovať (v hdrogeolog ar. výšku hlad sodých vôd). Používa sa u harmocka aalýza, korá modelue rebeh dá omocou ekoľkých čleov Fourerového radu. Paramere se určuú oužím umerckých meód. Príklad 9.7: Časový rad, 49, 38, 354, 58, 867 udáva zsk (v sícoch dolárov) se soločos v rvých šesch rokoch e esece. a) Grafck zázore rebeh oho časového radu. b) Vočíae koefce rasu c) Z grafu časove rad a vadrea koefceov rasu e možé usúdť, že časový rad má eoecál red f (). Odhade eho aramere. d) Náde odhad zsku soločos v 7. a 8. roku e esece. e) Zse de deermáce a zosroe graf f (),f (), =,..., 6. Rešee: ad a) 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 ad b) Koefce rasu: 49/ =,33, 38/49 =,597, 354/38 =,487, 58/354 =,68, 867/58 =,495. Vdíme, že koefce rasu sú rblže košaé. ad c) Model f () learzueme a meódou ameších švorcov získame odhad l b = 4, 7983, l b =,499. Odlogarmováím dosaeme b = 68,57875, b =,565. 7 8 ad d) 68,57875,565 99, 68,57875,565 977 7 8
ad e) ID =,996 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 Ako de deermáce, ak a graf f (),f () sráve. svedča o om, že model bol zvoleý 3.4.3 Odhad redu časového radu omocou kĺzavých remerov Predokladá sa, že časový rad sa rad adívm modelom oísaým v 3.5.. Odhad redu v bode získame určým sremerovaím ôvodých ozorovaí z sého okola uvažovaého časového okamhu. Môžeme s redsavť, že ozdĺž dae časove rad kĺže okeko, v korého rámc sa remerue. Nech oo okeko zahŕňa d čleov aľavo od bodu a d čleov aravo od bodu. Hovoríme oom o vhladzovacom okeku šírk h = d +. Prvých a osledých d hodô redu eodhadueme, reože re,,d d,, e e vhladzovace okeko smercké. Odhad redu v srede vhladzovaceho okeka e daý vzťahom: d fˆ () d d d d k, = d+,..., -d. d d k Veľm dôležou oázkou e saovee šírk vhladzovaceho okeka. Ak e okeko rílš šroké, bude sa odhad redu blížť ramke (hovorí sa, že e rehladeý) a zároveň sa sraí veľký oče čleov a začaku a a koc časove rad. Ak e okeko úzke, bude sa odhad redu blížť ôvodým hodoám (hovorí sa, že odhad e odhladeý). Načaseše sa volí šírka okeka h = 3, 5, 7. Príklad 8.: Časový rad 5, 9,, 35,, 7, 87, 4, 74, 7,, 7 udáva ročé obem vývozu va (v mlóoch lrov) z Českosloveska v rokoch 98 až 99. Odhade red eo časove rad omocou kĺzavých remerov s vhladzovacím okekom šírk 3 a oom 5. Grafck zázore rebeh časove rad s odhaduým redom. Rešee: rok vývoz k3 k5 98 5 98 9 8,667 98 5,333 8,6 983 35 9,667 7 984 4,667,6 985 7 98,667 7 986 87 99,333 94,8 987 4 88,333 88,8 988 74 83,333 87,6 989 7 8,333 4,6
99 5 99 7 Grafcké zázoree časového radu s odhaduým redom h = 3 h = 5 8 8 6 6 4 4 8 8 6 978 98 98 984 986 988 99 99 rok 6 978 98 98 984 986 988 99 99 rok