1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι δύο οποιδήποτε πό τ τµήµτ του σχήµτος, µπορούµε ν υπολογίζουµε τ υπόλοιπ. 3. Το ύψος ορθογωνίου τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγων όµοι προς το ρχικό άρ κι µετξύ τους.
ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν υπολογίσετε το ύψος κι τις διγώνιες ισοσκελούς τρπεζίου µε βάσεις =, = 10 κι µη πράλληλες πλευρές ίσες µε 5. Φέρνουµε τ ύψη Κ κι Λ. Τ ορθογώνι τρίγων Κ κι Λ είνι ίσ διότι = υπόθεση, κι Κ = Λ κάθετ τµήµτ µετξύ πρλλήλων Άρ Κ = Λ ΚΛ ορθογώνιο ΚΛ = = λλά Κ + ΚΛ + Λ = 10 Κ + = 10 Κ = 3 Πυθγόρειο στο τρίγωνο Κ : Κ = Κ Κ = 5 9 Κ = 16 Κ = Πυθγόρειο στο τρίγωνο Λ : = Λ + Λ = 9 + 16 = 65 5 K 10 Λ 5 = 65
3. ίνετι ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς. Ν υπολογιστούν συνρτήσει του i) Το ύψος του ii) Η πόστση της κορυφής πό το µέσο της διµέσου. i) Έστω διάµεσος κι ύψος κι Ε το µέσο της Πυθγόρειο στο τρίγωνο : = ii) = = = 3 3 3 3 φού =, θ είνι Ε = Πυθγόρειο στο τρίγωνο Ε : Ε = + Ε Ε = Ε = Ε = + 7 16 7 3 16 Ε
3. 0 ίνετι ορθογώνιο µε υποτείνουσ. ν = 60 κι = κ, ν υπολογιστούν συνρτήσει του κ οι πλευρές του τριγώνου, οι προβολές των κθέτων πλευρών στην υποτείνουσ κι το ύψος στην υποτείνουσ. Έστω το ύψος στην υποτείνουσ Στο ορθογώνιο τρίγωνο είνι ɵ =30 ο, άρ = κ = = κ Πυθγόρειο στο τρ. : = + κ = κ + = κ 3 Στο ορθογώνιο τρίγωνο είνι = 30 ο, άρ = κ 3κ = = κ = = κ 3κ = = = 3κ κ 3 κ κ =. ν οι διγώνιες ενός τετρπλεύρου είνι κάθετες, δείξτε ότι + = + Έστω Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων Tρ. Ο : = Ο + Ο Τρ. Ο : = Ο + Ο Προσθέτουµε κτά µέλη : + = Ο + Ο + Ο + Ο (1) Τρ. Ο : = Ο + Ο Τρ. Ο : = Ο + Ο Προσθέτουµε κτά µέλη : + = Ο + Ο + Ο + Ο () (1), () + = + Ο
5 5. ύο κύκλοι (Ο, R) κι (Κ, ρ) µε R > ρ εφάπτοντι εξωτερικά. ν είνι κοινό εφπτοµενικό τους τµήµ, ν ποδείξετε ότι = Rρ Φέρω την διάκεντρο ΟΚ, τις κτίνες Ο κι Κ κι την Κ Ο Το Κ είνι προφνώς ορθογώνιο µε = Κ κι = Κ = ρ Τότε Ο = Ο = R ρ κι προφνώς ΟΚ = R + ρ πό το ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουµε Κ = ΟΚ Ο Πρέπει ν συσχετίσουµε τ, R, ρ Ο Κ = (R + ρ) (R ρ) Κ = Rρ Κ = Rρ A B Κ 6. ύο κύκλοι (Ο, ρ) κι (Κ, ρ) έχουν διάκεντρο δ = 6ρ. Ν βρείτε το µήκος του κοινού εσωτερικού εφπτόµενου τµήµτος τους συνρτήσει του ρ. Έστω το κοινό εσωτερικό εφπτόµενο τµήµ των δύο κύκλων Φέρω την Ο Κ. Τότε το Ο είνι ορθογώνιο µε = Ο κι = Ο = ρ πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚ έχουµε ότι Ο = ΟΚ Κ Ο =36ρ 5ρ Ο = ρ 11 Οπότε = Ο = ρ 11 Ο Κ
6 7. Θεωρούµε τρίγωνο µε 0. ν R είνι η κτίν του = 90 περιγεγρµµένου κύκλου δείξτε ότι + = R. Έστω Ο το κέντρο του περιγεγρµµένου κύκλου. Φέρω τη διάµετρο Ο. Ο Τότε = 90 ο σν εγγεγρµµένη σε ηµικύκλιο. Όµως = φ, άρ φ = 90 ο ω φ σ Επειδή πό την υπόθεση είνι ɵ =90 ο, θ ισχύει φ = ɵ = σ Εποµένως = άρ //, δηλδή το τετράπλευρο είνι τρπέζιο κι επειδή = θ είνι ισοσκελές. Εποµένως θ έχει ίσες διγώνιες δηλδή = πό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµε = + Το R = (R) = διάµετρος στο τετράγωνο, οδηγεί στο ν φέρουµε βοηθητική διάµετρο R = +
7 8. ίνετι ηµικύκλιο διµέτρου Ο κι κτίνς Ο = R. Με διµέτρους τις κτίνες Ο κι Ο γράφουµε άλλ ηµικύκλι εντός υτού. Ν υπολογίσετε την κτίν του κύκλου που εφάπτετι των τριών ηµικυκλίων συνρτήσει του R. Έστω (Η, ρ) ο κύκλος που εφάπτετι των τριών R ηµικυκλίων Κ,, R Λ,, (Ο, R). Φέρω τις δικέντρους ΚΛ, ΚΗ κι ΗΛ κθώς επίσης κι την κτίν Ο R Κ ρ Η ρ ρ Ο R Λ Το τρίγωνο ΗΚΛ είνι ισοσκελές µε ΗΚ = ΗΛ = R + ρ κι η ΗΟ είνι διάµεσός του, άρ θ είνι κι ύψος του. Εποµένως το τρίγωνο ΗΟΚ είνι ορθογώνιο στο Κ µε πλευρές ΗΚ= R + ρ, ΚΟ = R κι ΟΗ = Ο Η = R ρ Οπότε ΗΚ = ΗΟ + ΚΟ R +ρ = R (R ρ) + R + R ρ + ρ = R Rρ + ρ + 3Rρ = R R ρ = R 3
8 9. ίνετι κύκλος (Ο, ρ) κι διάµετρος του. Με διάµετρο την Ο γράφουµε κύκλο κι πό έν σηµείο της Ο φέρνουµε κάθετη στην που τέµνει τον µικρό κύκλο στο κι τον µεγάλο στο Ε. είξτε ότι Ε =. Φέρω τις Ε, Ε, κι Ο Επειδή η γωνί ɵ Ε είνι εγγεγρµµένη σε ηµικύκλιο θ είνι ορθή. Εποµένως το τρίγωνο Ε είνι ορθογώνιο κι το Ε είνι το ύψος στην υποτείνουσ πό γνωστή µετρική σχέση έχουµε ότι Ε = Ε = ρ (1) Οµοίως στο ορθογώνιο τρίγωνο Ο έχουµε Ε = Ο = ρ () Ο ιιρώντς τις (1) κι () κτά µέλη : Ε ρ = ρ Ε = Ε = Ε =
9 10. ν οι µη πράλληλες πλευρές ενός τρπεζίου είνι κάθετες, δείξτε ότι το άθροισµ των τετργώνων των διγωνίων του ισούτι µε το άθροισµ των τετργώνων των βάσεων του. Έστω το τρπέζιο του οποίου οι µη πράλληλες πλευρές τέµνοντι στο Ο κι Ο έτσι ώστε Ο = 90 ο πό τ ορθογώνι τρίγων Ο κι Ο έχουµε = Ο + Ο κι = Ο + Ο Προσθέτοντς κτά µέλη : + = Ο + Ο + Ο + Ο (1) πό τ ορθογώνι τρίγων Ο κι Ο επίσης έχουµε = Ο + Ο κι = Ο + Ο Προσθέτοντς κτά µέλη : + = Ο + Ο + Ο + Ο () πό τις (1), () + = +
10 11. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσ, δείξτε ότι i) β γ = υ ii) β + γ iii) + υ > β + γ iν) Τ β + γ, υ, + υ είνι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. i) β γ = υ β = υ γ πράγµ που ισχύει διότι τ τρίγων κι είνι όµοι φού β = = 90 ο κι ɵ = σν οξείες µε κάθετες πλευρές. ii) β + γ (β + γ) υ γ β + γ +βγ β + γ +βγ (β + γ ) β + γ βγ 0 (β γ) 0 η οποί είνι προφνής iii) + υ > β + γ ( + υ ) > (β + γ) + υ +υ > β + γ +βγ + υ +υ > +βγ υ +υ > βγ κι µε βάση το (i) υ +βγ > βγ υ > 0 η οποί είνι προφνής iν) Επειδή + υ > β + γ κι + υ > υ η µεγλύτερη πλευρά είνι η + υ. ρκεί λοιπόν ν δείξουµε ότι ( + υ ) = (β + γ) + υ + υ +υ = β + γ + βγ + + υ +υ = + βγ + υ υ υ = βγ η οποί ισχύει λόγω του (i)
11 1. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο δείξτε ότι, το άθροισµ των τετργώνων των διµέσων του ισούτι µε τ 3 του τετργώνου της υποτείνουσς. Έστω, Ζ κι Ε οι διάµεσοι του ορθογωνίου τριγώνου. Τρ. Ζ : Ζ = + Ζ Ε Ζ = + Ζ = + (1) Ζ Τρ. Ε : Ε = + () Είνι = = (3) (1) + () + (3) Ζ + Ε + = + + + + = ( + + ) + + = 3 + + =.
1 13. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ο 3 ) ισχύει υ =. Ν βρείτε i) Τ µήκη των προβολών των κθέτων πλευρών στην υποτείνουσ ii) Τις γωνίες κι i ) Έστω = x κι = y. 3 Είνι xy = υ xy = (1) 16 κόµ είνι κι x + y = () Λύνοντς το σύστηµ των (1), () βρίσκουµε 3 ( x = κι y = ) ή (x = 3 κι y = ) Εποµένως οι προβολές των κθέτων πλευρών στην υποτείνουσ είνι ii) ν = τότε εφ = = 3 = ν = 3 τότε, οµοίως βρίσκουµε, = 30 ο y x 3 κι 3, οπότε = 60 ο άρ ɵ = 30 ο άρ ɵ = 60 ο
13 1. ν Ε είνι σηµείο της διγωνίου ενός τετργώνου, δείξτε ότι i) Ε = Ε Ε ii) Ε + Ε = Ε. i) Φέρνω κι την διγώνιο, τότε Ο = Ο = Ο = Ο Tρ. AOB : = Ο + Ο = Ο (1) Τρ. ΟΕ : Ε = Ο +ΟΕ Ε = Ο +ΟΕ () (1) () Ε = Ο Ο ΟΕ Ε = Ο ΟΕ Ε = (Ο ΟΕ) (Ο + ΟΕ) E O Ε = (Ο ΟΕ) (Ο + ΟΕ) Ε = Ε Ε ii) Είνι Ε + Ε = (Ε + Ε) Ε Ε = Ε Ε (3) Τρ. : = + = Η (3) γίνετι Ε + Ε = Ε Ε κι λόγω του (i) Ε + Ε = AB + AE = AE
1 15. ίνετι τετράγωνο πλευράς. Εξωτερικά υτού κτσκευάζουµε τ ισόπλευρ τρίγων Ε, Ζ, Η, Θ. είξτε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είνι τετράγωνο του οποίου η πλευρά ισούτι µε + 3 Τ τρίγων ΘΕ, ΕΖ, ΖΗ κι ΗΘ είνι ίσ διότι π χ τ ΘΕ, ΕΖ δύο πό υτά, έχουν Θ = Ε = Ε =Ζ = κι Θ ΘΕ = ΕΖ = 360 ο 90 60 ο 60 ο =150 ο Άρ ΘΕ = ΕΖ = ΖΗ = ΗΘ Επειδή κάθε έν πό τ πρπάνω τρίγων είνι ισοσκελές µε γωνί της κορυφής του 150 ο, κάθε µί πό τις προσκείµενες στην βάση του γωνίες θ είνι 15 ο. Ε 1 150 Ο 1 30 Ο Κ Η Ζ Έτσι λοιπόν πχ η γωνί ΘΕΖ ɵ = Ε ɵ +Ε+ ɵ Ε ɵ 1 =15 ο +60 ο +15 ο = 90 ο Οπότε όλες οι γωνίες του ΕΖΗΘ είνι ορθές κτά συνέπει υτό είνι τετράγωνο. Τώρ προεκτείνω την Ε έως ότου τµήσει την Ζ σε σηµείο Κ. Επειδή η γωνί Ε Ζ = 150 ο θ είνι Κ Ζ = 30 ο. Εποµένως η Κ είνι διχοτόµος της γωνίς Ζ, άρ θ είνι κι ύψος στο ισόπλευρο τρίγωνο Ζ. Συνεπώς ΕΚ = Ε + Κ = + 3 πό το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΚΖ έχουµε ότι ΕΖ = ΕΚ + ΚΖ = + 3 + = + 3 = ( + 3 ) Άρ ΕΖ = + 3