Αποτίμηση Αξιογράφων

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Χρηματοοικονομικής και Τραπεζικής ιοικητικής Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Αποτίμηση Αξιογράφων Φεβρουάριος 20 ημήτρης Μαλλιαρόπουλος Καθηγητής e-mail: dmalliaropoulos@eurobank.gr

Περιεχόμενα: Εισαγωγή: Το DNA των υποδειγμάτων αποτίμησης αξιογράφων... 4 Κεφάλαιο : Ο καθορισμός του προεξοφλητικού επιτοκίου... 8.. Η τιμή του χρόνου και του κινδύνου... 8..2. Το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο... 9..3. Ο αναμενόμενος Πληθωρισμός... 0..4. Το αναμενόμενο ασφάλιστρο ρευστότητας... 0..5. Το αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου....2. Τιμή, απόδοση και προεξοφλητικό επιτόκιο... 2.2.. Η έννοια της μελλοντικής αξίας... 2.2.2. Η έννοια της παρούσας αξίας... 4 Κεφάλαιο 2: Αποτίμηση Μετοχών. Σταθερός συντελεστής προεξόφλησης... 20 2.. Στοχαστική διαδικασία μερίσματος... 24 2.2. Στοχαστική διαδικασία της τιμής της μετοχής... 26 2.3. Υπόδειγμα Gordon με βάση τα κέρδη... 30 Στοχαστική διαδικασία της τιμής... 3 Κεφάλαιο 3: Κυμαινόμενος συντελεστής προεξόφλησης... 33 3.. Γραμμική προσέγγιση του υποδείγματος παρούσας αξίας με κυμαινόμενο συντελεστή προεξόφλησης... 36 3.3. Αποδόσεις και προσδοκίες της αγοράς... 49 Κεφάλαιο 4: Θεωρία αποτίμησης αξιογράφων με βάση την κατανάλωση 62 4.. Το υπόδειγμα καταναλωτή και ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης...62 4.2. Το βασικό υπόδειγμα αποτίμησης...64 4.3. Οριακός λόγος υποκατάστασης και στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης.66 4.4. Το Υπόδειγμα παρούσας αξίας με στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης...68 Μαθηματικά εργαλεία... 7 _Toc287305478Κεφάλαιο 5: Επιτόκια και ασφάλιστρα κινδύνου...72 5.. Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου...72 5.2. ιόρθωση τιμολόγησης για κίνδυνο...76 Κεφάλαιο 6: Στατιστικά δεδομένα και χαρακτηριστικά του στοχαστικού συντελεστή προεξόφλησης...83 Κεφάλαιο 7: Εμπειρικοί έλεγχοι του CCAPM...86 7.. Αναμενόμενες αποδόσεις και bea...86 7.2. ιαστρωματικοί έλεγχοι του CCAPM...87 7.3. Μακροχρόνιοι οικονομικοί κίνδυνοι...94 Κεφάλαιο 8: Το αποδοτικό όριο των επενδυτικών δυνατοτήτων της οικονομίας...98 2

Κεφάλαιο 9: Το παζλ του ασφάλιστρου κινδύνου των μετοχών...02 9. Το παζλ του επιτοκίου μηδενικού κινδύνου...03 Κεφάλαιο 0: Είναι οι αποδόσεις προβλέψιμες;... Κεφάλαιο : Στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης και πολυπαραγοντικά υποδείγματα αποτίμησης... 4. Επιλογή παραγόντων... 7 Κεφάλαιο 2: Το Υπόδειγμα Αποτίμησης Κεφαλαιακών Στοιχείων (CAPM... 20 2.2. ιαστρωματικοί έλεγχοι του CAPM...22 Κεφάλαιο 3: εσμευμένα και αδέσμευτα υποδείγματα αποτίμησης...26 3

Εισαγωγή: Το DNA των υποδειγμάτων αποτίμησης αξιογράφων Η αποτίμηση αξιογράφων είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα αντικείμενα της χρηματοοικονομικής. Ποιοι παράγοντες καθορίζουν τις τιμές και τις αποδόσεις μετοχών, ομολόγων, εντόκων γραμματίων του δημοσίου και άλλων αξιογράφων; Πως αλλάζουν τιμές και αποδόσεις στη διάρκεια του οικονομικού κύκλου; Γιατί κάποια αξιόγραφα δίνουν μεγαλύτερες αποδόσεις από άλλα; Αυτά είναι μερικά από τα ερωτήματα στα οποία η θεωρία αποτίμησης αξιογράφων προσπαθεί να δώσει απαντήσεις. Τα θεωρητικά υποδείγματα αποτίμησης είναι αρκετά και τα εφαρμοσμένα υποδείγματα είναι ακόμη περισσότερα: CAPM, ICAPM, APT και παραγοντικά υποδείγματα είναι μερικά από αυτά. Οι διαφορές μεταξύ των υποδειγμάτων αυτών είναι σημαντικές τόσο όσον αφορά τις βασικές υποθέσεις πάνω στις οποίες στηρίζονται όσο και όσον αφορά τους παράγοντες κινδύνου τους οποίους θεωρούν σημαντικούς για την αποτίμηση αξιογράφων. Πέρα από τις διαφορές τους όμως, ένα από τα κεντρικά συμπεράσματα της βιβλιογραφίας των τελευταίων 0-5 ετών είναι ότι όλα αυτά τα υποδείγματα είναι διαφορετικές εκδόσεις ενός βασικού υποδείγματος αποτίμησης, του υποδείγματος αποτίμησης αξιογράφων του καταναλωτή (Consumpion Capial Asse Pricing Model, C- CAPM. Το υπόδειγμα αυτό είναι μια επέκταση του βασικού υποδείγματος της επιλογής κατανάλωσης και αποταμίευσης σε δυο περιόδους της μικροοικονομικής θεωρίας. Στο υπόδειγμα αυτό η αξία ενός τίτλου καθορίζεται από την οριακή 4

χρησιμότητα του καταναλωτή από την κατανάλωση των αναμενόμενων πληρωμών του τίτλου. Ο συντελεστής προεξόφλησης των μελλοντικών πληρωμών είναι στοχαστικός καθώς εξαρτάται από την οριακή χρησιμότητα του καταναλωτή η οποία αλλάζει κατά τη διάρκεια του οικονομικού κύκλου. Αρκετά από τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης μπορούν να αναχθούν σε ειδικές περιπτώσεις αυτού του βασικού υποδείγματος. Η σημασία αυτής της πρότασης είναι πολλαπλή. Πρώτον, διότι τα διάφορα υποδείγματα αποτίμησης δένουν μεταξύ τους πάνω σε μια συμπαγή θεωρητική βάση. Ως αποτέλεσμα, η επιλογή των παραγόντων κινδύνου που καθορίζουν τις αποδόσεις δεν είναι αυθαίρετη, αλλά συνδέεται με την οριακή χρησιμότητα, δηλαδή τις προτιμήσεις του καταναλωτή. Πέραν τούτου όμως, η οριακή χρησιμότητα και κατά συνέπεια ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης αλλάζει στο χρόνο ως συνάρτηση μιας σειράς παραγόντων που καθορίζονται από την τεχνολογία της οικονομίας και την αβεβαιότητα όσον αφορά το οικονομικό περιβάλλον. Συγκεκριμένα, η τεχνολογία της οικονομίας καθορίζει το μέσο ρυθμό μεταβολής του δυνητικού προϊόντος και της κατανάλωσης στο χρόνο, επομένως και τη μέση μεταβολή της οριακής χρησιμότητας, ενώ η διακύμανση της οικονομικής δραστηριότητας γύρω από το μέσο ρυθμό δυνητικής ανάπτυξης καθορίζει τις διακυμάνσεις της μεταβολής της οριακής χρησιμότητας γύρω από το μέσο της. Τέλος, η αβεβαιότητα όσον αφορά την ένταση των οικονομικών διακυμάνσεων οδηγεί τους επενδυτές στη δημιουργία επιπλέον αποταμιεύσεων για να 5

αντιμετωπίσουν μια πιθανή μελλοντική μείωση του εισοδήματός τους και επηρεάζει τις απαιτούμενες αποδόσεις των αξιογράφων. εύτερον, διότι δείχνει ότι όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης έχουν κληρονομήσει το DNA του CCAPM. Κατά συνέπεια, δεν μπορεί κανείς εύκολα να απορρίψει εμπειρικά το CCAPM χωρίς να απορρίψει και όλα τα υποδείγματα που βασίζονται σε αυτό. Αυτό μας οδηγεί σε μια νέα θεώρηση της εμπειρικής έρευνας στα υποδείγματα αποτίμησης. Σύμφωνα με την άποψη αρκετών ερευνητών, το CAPM είναι σε θέση να εξηγήσει καλύτερα τις παρατηρούμενες αποδόσεις μετοχών και μετοχικών χαρτοφυλακίων από το CCAPM. Το συμπέρασμα αυτό είναι προφανώς λανθασμένο καθώς απόρριψη του CCAPM συνεπάγεται αυτόματα και απόρριψη του CAPM ως μια ειδική περίπτωση του CCAPM. Το σωστό συμπέρασμα είναι ότι ένα ειδικό υπόδειγμα αποτίμησης μπορεί να είναι καλύτερο από το CCAPM διότι έχει κληρονομήσει τα καλύτερα χαρακτηριστικά του όπως και τα παιδιά μπορεί να είναι πιο χαρισματικά από τους γονείς τους διότι έχουν κληρονομήσει μόνο τα καλά τους χαρακτηριστικά. Όλη η θεωρία αποτίμησης βασίζεται σε μια κεντρική αρχή: Τιμή = προεξοφλημένη αξία μελλοντικών πληρωμών Όλα τα υπόλοιπα είναι υποθέσεις όσον αφορά τον συντελεστή προεξόφλησης και μαθηματικοί μετασχηματισμοί. Μπορούμε να συνοψίσουμε όλη την θεωρία αποτίμησης σε δύο εξισώσεις: P = E( M M X = f ( δεδομένα, παράμετροι όπου P: τιμή αξιόγραφου, X: πληρωμή, Μ: στοχαστικός συντελεστής 6

προεξόφλησης. Κάθε ειδικό υπόδειγμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια υπόθεση σχετικά με την συνάρτηση f(.. Όπως θα δούμε, όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης είναι γραμμικά: M = a bf όπου F είναι ένας παράγοντας (ή ένα σετ παραγόντων κινδύνου. Τα επιμέρους υποδείγματα διαφοροποιούνται ως προς το F. Έτσι για παράδειγμα, το CCAPM υποθέτει ότι: F = ρυθμός μεταβολής κατανάλωσης, c, το CAPM υποθέτει ότι: F = απόδοση χαρτοφυλακίου πλούτου, το ICAPM υποθέτει ότι: F = c μεταβλητές κατάστασης. Στις σημειώσεις αυτού του μαθήματος θα βρείτε μια συστηματική παρουσίαση των θεωρητικών βάσεων της αποτίμησης αξιογράφων. Σκοπός της παρουσίασης είναι να συνδεθούν όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης μεταξύ τους για να γίνουν καλύτερα αντιληπτές οι διαφορές τους αλλά και οι περιορισμοί τους. Για το σκοπό αυτό θα ξεκινήσουμε με το απλούστερο υπόδειγμα τιμολόγησης, το γνωστό υπόδειγμα παρούσας αξίας με σταθερούς συντελεστές προεξόφλησης. Μετά θα παρουσιάσουμε το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές προεξόφλησης και στη συνέχεια στο υπόδειγμα του καταναλωτή με στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης. Με βάση το υπόδειγμα αυτό θα ορίσουμε στη συνέχεια τα πιο γνωστά υποδείγματα αποτίμησης ως ειδικές περιπτώσεις. ημήτρης Μαλλιαρόπουλος 7

Κεφάλαιο : Ο καθορισμός του προεξοφλητικού επιτοκίου.. Η τιμή του χρόνου και του κινδύνου Όταν ένα άτομο κάνει μια επένδυση σε ένα τίτλο, θυσιάζει ένα ποσό σήμερα το (οποίο θα μπορούσε να είχε χρησιμοποιήσει για κατανάλωση για ένα συχνά αβέβαιο ποσό στο μέλλον. Γενικά, η επένδυση είναι μια θυσία βέβαιης σημερινής κατανάλωσης για μια συχνά αβέβαιη μελλοντική κατανάλωση. Ο επενδυτής θα απαιτήσει μια αποζημίωση ο ο Για τον χρόνο αναμονής μέχρι την πώληση του τίτλου και Για τον κίνδυνο που υπάρχει κατά τη διάρκεια του χρόνου αυτού. Αν επικεντρώσουμε την προσοχή μας σε επενδύσεις σε τίτλους στην αγορά χρήματος και ομολόγων, μπορούμε να αναλύσουμε το ονομαστικό επιτόκιο (καθαρή απόδοση στη λήξη στα εξής συστατικά του: Ονομαστικό επιτόκιο (r = r = ρ π λ z Αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο (ρ αναμενόμενος πληθωρισμός (π αναμενόμενο ασφάλιστρο ρευστότητας ( λ αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου ( z Η φόρμουλα αυτή μπορεί να γενικευθεί σε άλλα είδη επενδύσεων (π.χ. μετοχές όπου αντί επιτοκίου έχουμε απόδοση. 8

..2. Το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο Σε μια οικονομία χωρίς πληθωρισμό και κίνδυνο το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο είναι το επιτόκιο που εξισώνει την προσφορά πόρων ατόμων που επιθυμούν να δανείσουν (αποταμίευση με την ζήτηση πόρων ατόμων που επιθυμούν να δανειστούν. Τι καθορίζει ποια άτομα θέλουν να δανείσουν και ποια άτομα θέλουν να δανειστούν; Η απάντηση έγκειται στο γεγονός ότι τα άτομα αξιολογούν διαφορετικά μελλοντική κατανάλωση. Σε πιο τεχνικούς όρους, τα άτομα έχουν διαφορετικό λόγο υποκατάστασης μεταξύ παρούσας και μελλοντικής κατανάλωσης (marginal rae of subsiuion (MRS ή elasiciy of ineremporal subsiuion (EIS ή rae of ime preference. Ο λόγος υποκατάστασης μεταξύ παρούσας και μελλοντικής κατανάλωσης ονομάζεται επίσης υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης και χρησιμοποιείται για την μετατροπή μελλοντικών εσόδων σε σημερινή αξία. ο Αν ο υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης ενός ατόμου είναι 0% το χρόνο (0,0, αυτό σημαίνει ότι για να προτρέψουμε αυτό το άτομο να θυσιάσει EUR σήμερα, θα πρέπει να το ανταμείψουμε με ένα 0,0 EUR σε ένα χρόνο. Το πραγματικό επιτόκιο εξισορροπεί την αγορά προσφοράς και ζήτησης αποταμιεύσεων (βλέπε ιάγραμμα 9

Individual Individual 2 Period 2 Period 2 I I 2 C 2 Y 2 Y 2 C 2 r r Y C Period C Period Borrowing Lending Figure : Deerminaion of real ineres rae Y..3. Ο αναμενόμενος Πληθωρισμός Το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο είναι το επιτόκιο που ισχύει σε μια οικονομία χωρίς πληθωρισμό. εδομένου ότι το άτομο ενδιαφέρεται για την πραγματική αξία μιας επένδυσης, δηλαδή για την ποσότητα αγαθών που μπορεί να αγοράσει στο μέλλον με την ονομαστική απόδοση της επένδυσης, απαιτεί μια χρηματική αποζημίωση για τον αναμενόμενο πληθωρισμό (π Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα : r = ρ π..4. Το αναμενόμενο ασφάλιστρο ρευστότητας Αν ο επενδυτής επιθυμεί ρευστότητα τότε προτιμά να δανείσει μόνο για μικρά χρονικά διαστήματα. Για να έχει κίνητρο να επενδύσει σε τίτλους μεγάλης διάρκειας, πρέπει να 0

αποζημιωθεί με ένα ασφάλιστρο ρευστότητας ( λ. Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα : r = ρ π λ Βλέπε ιάγραμμα 2. Nominal ineres rae (r Liquidiy premium (λ Expeced inflaion (π Real ineres rae (ρ Term o mauriy Figure 2: Decomposiion of nominal ineres rae..5. Το αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου Το τελευταίο συστατικό του ονομαστικού επιτοκίου είναι το αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου. Το ασφάλιστρο κινδύνου διαφέρει μεταξύ διαφόρων επενδύσεων. Ο καθορισμός των παραγόντων που διέπουν το ασφάλιστρο κινδύνου είναι μια από τις πιο βασικές επιδιώξεις της θεωρίας αποτίμησης και των επιμέρους υποδειγμάτων της (CAPM, CCAPM, ICAPM, APT κλπ.. ο ο Μετοχές : συστηματικός κίνδυνος Ομόλογα : κίνδυνος αθέτησης (πτώχευσης, κίνδυνος αλλαγής επιτοκίων.

Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα : r = ρ π λ z Βλέπε ιάγραμμα 3. Nominal ineres rae (r Risk premium Liquidiy premium (λ Expeced inflaion (π Real ineres rae (ρ Term o mauriy Figure 3: Decomposiion of nominal ineres rae.2. Τιμή, απόδοση και προεξοφλητικό επιτόκιο.2..η έννοια της μελλοντικής αξίας Η μελλοντική αξία F ενός χρηματικού ποσού P με σταθερή αναμενόμενη απόδοση r είναι συνάρτηση της διάρκειας T και της συχνότητας ανατοκισμού m. Η μελλοντική αξία F με ανατοκισμό μια φορά ανά περίοδο (έτος ορίζεται ως: ο F = P( r T ο Παράδειγμα : Αν P = 000 EUR, r = 0, 0 ( 0%, T = 2 χρόνια F = 000( 0, 2 = 20 EUR 2

Η μελλοντική αξία F με ανατοκισμό m φορές ανά περίοδο ορίζεται ως : ο F = P( r m mt ο Παράδειγμα: r = 0, 0 ( 0%, T = 2 χρόνια, m = 2 F = 000( 0,/ 2 4 = 25,5 EUR Η συχνότητα ανατοκισμού αυξάνει την ετησιοποιημένη απόδοση Η επίδραση της συχνότητας ανατοκισμού στην ετησιοποιημένη απόδοση φαίνεται στο εξής παράδειγμα : r = 0, (0% r Ετησιοποιημένος επιτοκιακός συντελεστής = ( m Πίνακας : Συχνότητα ανατοκισμού και μελλοντική αξία m Συχνότητα Επιτοκιακός F ανατοκισμού Συντελεστής Ετήσια ( r,00000 Εξαμηνιαία ( 2 r 2 Τριμηνιαία ( 4,02500 r 4 Μηνιαία ( 2,0383 r 2 Ημερήσια ( 365,0473 r 365,0556 Το όριο της φόρμουλας F r mt = P( m όταν ο ανατοκισμός είναι συνεχής ( m είναι 3

rt F = Pe m / r Όπου = lim( = 2, 7828. e m m / r Στο παραπάνω παράδειγμα, ο ετησιοποιημένος επιτοκιακός συντελεστής με r συνεχή ανατοκισμό είναι e = (2.7828 0, =, 057.2.2.Η έννοια της παρούσας αξίας Αν ένα ποσό F αναμένεται να εισπραχθεί σε T περιόδους, η παρούσα αξία του είναι ίση με ένα ποσό P το οποίο αν επενδυθεί σήμερα θα δώσει ανατοκισμένο ποσό F σε T περιόδους. Η διαδικασία της εύρεσης της παρούσας αξίας μιας μελλοντικής είσπραξης καλείται προεξόφληση και είναι το αντίθετο του ανατοκισμού. Προεξόφληση μια φορά ανά περίοδο (έτος Η παρούσα αξία P ενός ποσού F το οποίο αναμένεται να εισπραχθεί σε T χρόνια είναι: P = = F( r F T ( r T Παράδειγμα : Η παρούσα αξία ενός ομολόγου zero coupon σταθερού επιτοκίου 0% με λήξη 5 έτη και ονομαστική τιμή 000 EUR είναι T P = F( r = 000( 0, 5 = 620,92 EUR Ο συντελεστής ( r T καλείται συντελεστής προεξόφλησης Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την παρούσα αξία ευρώ που αναμένεται να εισπραχθεί μετά από, 2, 0 χρόνια. Το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 3,6%. 4

.200 Συντελεστές Προεξόφλησης (/(r T Παρούσα αξία ευρώ που θα εισπραχθεί σε Τ χρόνια.000 0.800 0.97 0.93 0.90 0.87 0.84 0.8 0.78 0.75 0.73 0.70 0.600 0.400 0.200 0.000 2 3 4 5 6 7 8 9 0 r=3,6% χρόνος (Τ Προεξόφληση περισσότερες φορές ανά περίοδο Όταν η προεξόφληση γίνεται m φορές το χρόνο, η παρούσα αξία P ενός ποσού F το οποίο αναμένεται να εισπραχθεί σε T χρόνια είναι : P = = F( F r mt ( m r mt m Όταν ο ανατοκισμός είναι συνεχής ( m, το όριο της φόρμουλας P = = F( F r mt ( m r mt m είναι P = Fe Γενικά, όταν αναμένονται εισροές d για τις χρονικές περιόδους rt =,..., T, και ο συντελεστής προεξόφλησης ( είναι σταθερός στο χρόνο, η παρούσα αξία είναι r 5

T P 0 ( r = = ( d.3. Αποτίμηση Ομολόγων Η παρούσα αξία ενός ομολόγου διάρκειας Τ περιόδων, το οποίο πληρώνει κουπόνια d για τις περιόδους =,..., T, έχει ονομαστική αξία F και επιτόκιο στη λήξη r, είναι: P 0 T T ( d F( r = ( r = Το επιτόκιο στη λήξη r είναι το επιτόκιο το οποίο εξισώνει την παρούσα αξία (τιμή αγοράς του ομολόγου με το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών και την προεξοφλημένη τελική πληρωμή (ονομαστική αξία F. Εφαρμογές: Η αποτίμηση των ομολόγων του Ελληνικού ημοσίου πριν και μετά την δημοσιονομική κατάρρευση του 2009.. Το Ελληνικό ημόσιο εξέδωσε την //2006 ένα 0-ετές ομόλογο ΒΒ (κωδικός Bloomberg: EF239324 με λήξη στις 20/7/206 και κουπόνι 3,6% (3,6 ευρώ το χρόνο ανά 00 ευρώ ονομαστική αξία. Ποια ήταν η παρούσα αξία του ομολόγου την ημέρα της έκδοσής του; Ο παρακάτω πίνακας δίνει τους συντελεστές προεξόφλησης με επιτόκιο προεξόφλησης 3,6% (2 η στήλη, την αξία των κουπονιών σε ευρώ που πληρώνει το ομόλογο κάθε χρόνο (3 η στήλη και την παρούσα αξία των κουπονιών του ομολόγου (4 η στήλη μέχρι τη λήξη του σε 0 χρόνια. Το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών για τα 0 χρόνια μέχρι τη λήξη του είναι 29,80 6

ευρώ. Η παρούσα αξία του ομολόγου την ημέρα της έκδοσής του (//2006 ήταν 00, δηλ. το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών (29,80 ευρώ συν την προεξοφλημένη αξία της τελικής πληρωμής των 00 ευρώ στη λήξη του ομολόγου την 20/7/206 (0.702*00 = 70,20 ευρώ. Χρόνος T Συντ. Προεξ. (/(0,036 T Κουπόνι Παρούσα αξία 0.965 3.600 3.475 2 0.932 3.600 3.354 3 0.899 3.600 3.238 4 0.868 3.600 3.25 5 0.838 3.600 3.07 6 0.809 3.600 2.92 7 0.78 3.600 2.8 8 0.754 3.600 2.73 9 0.727 3.600 2.69 0 0.702 3.600 2.528 Άθροισμα 36.00 29.80 29.800.702*00 = 00 2. Τον Ιανουάριο 20, το επιτόκιο στη λήξη του 5-ετούς πλέον ομολόγου ήταν 2,3% και η τιμή του στη δευτερογενή αγορά 65,37 ευρώ. Η αγορά ομολόγων προεξοφλεί ότι η Ελληνική ημοκρατία (ακόμη και αν καταβάλει το ετήσιο κουπόνι μέχρι τη λήξη δεν θα πληρώσει στο ακέραιο τους κατόχους του ομολόγου, δηλ. οι κάτοχοι του ομολόγου δεν θα εισπράξουν την ονομαστική αξία (00 αλλά θα υπάρξει ένα haicu x%, άρα θα εισπράξουν 00(-x. Ποια είναι η αναμενόμενη ονομαστική αξία στη λήξη και κατά συνέπεια το haircu σύμφωνα με τις αποτιμήσεις της αγοράς; Ο παρακάτω πίνακας δίνει τους συντελεστές προεξόφλησης (με επιτόκιο προεξόφλησης 2,3% και την παρούσα αξία των κουπονιών του ομολόγου μέχρι 7

τη λήξη του σε 5 χρόνια. Χρόνος Τ Συντελεστές Προεξόφλησης Κουπόνι Παρούσα Αξία 0.89 3.60 3.2 2 0.79 3.60 2.85 3 0.7 3.60 2.54 4 0.63 3.60 2.26 5 0.56 3.60 2.02 Άθροισμα 2,88 Η τιμή του ομολόγου στην αγορά αντανακλά το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών και την προεξοφλημένη ονομαστική αξία του ομολόγου στη λήξη (0,56*F. Καθώς το επιτόκιο στη λήξη αυξήθηκε, μειώθηκε σημαντικά ο συντελεστής προεξόφλησης της 5-ετίας (από 0.838 σε 0.56, με άλλα λόγια, η σημερινή (παρούσα αξία ενός ευρώ που θα εισπραχθεί σε 5 χρόνια μειώθηκε από 83,6 λεπτά σε 56 λεπτά. Κατά συνέπεια, τα 00 ευρώ ονομαστικής αξίας του ομολόγου σε 5 χρόνια αξίζουν σήμερα 56 ευρώ. Το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών είναι 2,88 ευρώ. Ποια είναι η αναμενόμενη ονομαστική αξία; P 0 5 = ( ( r = d F( r 65,37 = 2,88 F * 0,56 65,37 2,88 F = = 93,7 0,56 Η αγορά περιμένει ότι στη λήξη θα εισπράξει 93,7 ευρώ αντί 00, δηλ. θα υπάρξει haircu 6,3%. (Το haircu θα είναι πολύ υψηλότερο περίπου 30% -- αν γίνει μετά από ένα χρόνο αντί πέντε, καθώς οι ομολογιούχοι πιθανόν να χάσουν τα κουπόνια των επόμενων τεσσάρων ετών. 5 3. Που θα πάει η τιμή του ομολόγου αν η αγορά πειστεί ότι δεν θα υπάρξει 8

haircu και το επιτόκιο στη λήξη πέσει στο 8% (από 2,3%; Η παρούσα αξία των κουπονιών αυξάνεται στα 4,37 ευρώ καθώς τα κουπόνια προεξοφλούνται με χαμηλότερα επιτόκια. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει πως αλλάζουν οι συντελεστές προεξόφλησης όταν το επιτόκιο μειώνεται από 2,3% στο 8%..00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.0 0.00 Συντελεστές Προεξόφλησης (/(r T Παρούσα αξία ευρώ που θα εισπραχθεί σε Τ χρόνια 0.93 0.89 0.86 0.79 0.79 0.7 0.74 0.63 0.68 0.56 0.63 0.50 0.58 0.44 0.54 0.40 0.50 0.46 0.35 0.3 2 3 4 5 6 7 8 9 0 χρόνος (Τ r=2.30% r=8% Η παρούσα αξία του ομολόγου αυξάνει στα 82,4 ευρώ (από 65,37 ευρώ, δηλ. αυξάνεται κατά 26%: P P 0 0 5 = ( ( r = d F( r 5 = 4,37 00*0,68 = 82,4 9

Κεφάλαιο 2: Αποτίμηση Μετοχών. Σταθερός διαχρονικά συντελεστής προεξόφλησης Ορολογία: P : Τιμή μετοχής D : Μέρισμα r : Αναμενόμενη καθαρή πραγματική απόδοση β = : (υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης r Προσοχή: Όλες οι μεταβλητές είναι εκφρασμένες σε πραγματικούς όρους (σταθερές τιμές, δηλαδή αποπληθωρισμένες με τον Γενικό είκτη Τιμών Καταναλωτή. Για λόγους απλούστευσης θα ασχοληθούμε κατ αρχήν με τα πιο απλά υποδείγματα με σταθερό συντελεστή προεξόφλησης. Το υπόδειγμα υποθέτει ότι η αναμενόμενη πραγματική απόδοση της μετοχής, Ε(r, είναι σταθερή διαχρονικά, Ε(r=r. Το r αποτελείται από δύο μέρη: r = ρ z, όπου ο ρ : πραγματικό επιτόκιο μηδενικού κινδύνου ο z : ασφάλιστρο κινδύνου Υποθέσεις : Το μέρισμα D καταβάλλεται μια φορά το χρόνο (στο τέλος του έτους Το r είναι σταθερό διαχρονικά 20

Ερώτηση: Ποια είναι η τιμή που είναι διατεθειμένος να πληρώσει ο επενδυτής σήμερα για την μετοχή (fair price; ο Η απάντηση εξαρτάται από τον επενδυτικό ορίζοντα Επενδυτικός ορίζοντας = περίοδος (έτος Η τιμή (fair price την οποία είναι διατεθειμένος να πληρώσει ένας επενδυτής σήμερα για μια μετοχή που σκοπεύει να κρατήσει μια περίοδο είναι: E( D E( P P0 = ( r r P 0 όταν E( P E( D r Ο όρος r καλείται συντελεστής προεξόφλησης. Ο ρόλος του έγκειται στο να μεταφράζει μελλοντικά έσοδα σε σημερινές τιμές. Σύμφωνα με την (, η τιμή στην οποία ένας επενδυτής είναι διατεθειμένος να πληρώσει σήμερα για μια μετοχή ισούται με το άθροισμα του μερίσματος και της αναμενόμενης τιμής πώλησης, μεταφρασμένα σε σημερινές τιμές με ένα σταθερό συντελεστή προεξόφλησης. Επενδυτικός ορίζοντας = 2 περίοδοι (έτη Από την ( P = E( D2 E( P2 r r (2 ( 2 στην ( 2

P 0 = E( D E( D r ( r 2 2 E( P ( r 2 2 (3 Επενδυτικός ορίζοντας = T περίοδοι (έτη Αυξάνοντας τον επενδυτικό ορίζοντα μέχρι Τ P 0 = T = E( D ( r E( P ( r T T (4 Η (4 εκφράζει τη τιμή ισορροπίας ως το άθροισμα των προεξοφλημένων αναμενόμενων μερισμάτων (πρώτος όρος και της προεξοφλημένης αναμενόμενης μελλοντικής τιμής της μετοχής (δεύτερος όρος. Ο τελευταίος όρος ονομάζεται συχνά κερδοσκοπική φούσκα. Κερδοσκοπική φούσκα : Η τιμή ανεβαίνει σήμερα όταν οι επενδυτές προσδοκούν άνοδο της τιμής στο μέλλον : E( PT P αν E P καθώς 0 ( T ( r T Παράδειγμα : NASDAQ 998-2000. Για να εξαλείψουμε την κερδοσκοπική φούσκα, αφήνουμε το Τ να πάει στο άπειρο, T. Από την ( 4 : P 0 = = E( d ( r E( PT lim T T ( r (5 P 0 = = E( d ( r (6 22

ε άν lim r E( PT ( T = 0. T ( Η κερδοσκοπική φούσκα εξαφανίζεται υπό την προϋπόθεση ότι lim E ( P <, δηλαδή η αναμενόμενη τιμή δεν τείνει στο άπειρο. T T Προσέξτε ότι ο όρος T ( r τείνει στο άπειρο όταν, T εφόσον r > 0. Η σχέση ( 6 εκφράζει την τιμή της μετοχής ως την παρούσα αξία όλων των αναμενόμενων μερισμάτων με προεξοφλητικό επιτόκιο r. Η παρούσα άξια της μετοχής (τιμή είναι αρνητική συνάρτηση του επιτοκίου προεξόφλησης. ο Ο λόγος είναι ότι ένα υψηλότερο επιτόκιο προεξόφλησης σηματοδοτεί ότι οι επενδυτές προσδίδουν μικρότερη αξία στα μελλοντικά έσοδα τους σε σύγκρισή με έσοδα σήμερα. Καθώς r = ρ z, η τιμή μιας μετοχής είναι τόσο μικρότερη, όσο υψηλότερο είναι το πραγματικό επιτόκιο ρ κι όσο υψηλότερο είναι το ασφάλιστρο κινδύνου z. Σημείωση : Η αξία της μετοχής καθορίζεται αποκλειστικά από την ικανότητα της να πληρώνει μερίσματα. Αν υποθέσουμε στην (5 E ( = 0, =,..., τότε P 0 = 0. D ο Γενικά: Η αξία κάθε τίτλου καθορίζεται αποκλειστικά από την ικανότητά του να δημιουργεί εισόδημα στο μέλλον. Σημείωση 2: Ο συντελεστής προεξόφλησης r στο παραπάνω υπόδειγμα θεωρείται σταθερός διαχρονικά. ο Η υπόθεση αυτή είναι μη ρεαλιστική καθώς υπάρχουν εμπειρικές ενδείξεις ότι τόσο το πραγματικό επιτόκιο ρ όσο και το ασφάλιστρο κινδύνου αλλάζουν στο 23

χρόνο. ο Αργότερα θα γνωρίσουμε υποδείγματα αποτίμησης τα οποία προσπαθούν να εξηγήσουν την μεταβλητότητα του συντελεστή προεξόφλησης στο χρόνο. ο Προς το παρόν, όμως, θα συνεχίσουμε να θεωρούμε το r σταθερό. Πρακτικά η σχέση (6 δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό της σημερινής τιμής ισορροπίας P 0 καθώς περιέχει προσδοκίες μελλοντικών μερισμάτων. Για να καθορίσουμε το P 0, πρέπει να εξαλείψουμε τις προσδοκίες μελλοντικών μερισμάτων. Για το σκοπό αυτό πρέπει να κάνουμε μια υπόθεση σχετικά με την στοχαστική διαδικασία D. 2.. Στοχαστική διαδικασία μερίσματος 2... Τυχαίος περίπατος Ας υποθέσουμε ότι το μέρισμα ακολουθεί την στοχαστική διαδικασία ενός τυχαίου περίπατου (random walk: D = D ε (7 όπου ε : τυχαία διατάραξη με μαθηματική ελπίδα = 0 και σταθερή διακύμανση. Τότε το αναμενόμενο μέρισμα για κάθε μελλοντικό χρόνο (δεδομένης της σημερινής πληροφόρησης ( I 0 είναι ίσο με το σημερινό μέρισμα. 24

25 Αυτό ισχύει διότι : 0 0 0 0 / ( / ( D I D E I D E = = ε 0 0 2 0 0 0 2 / ( / ( / ( D I D E I D E I D E = = = ε ε ε... 0 0 2 0 0 0 /...... ( / ( / ( D I D E I D E I D E T T T T = = = ε ε ε ε Καθώς, 0 / ( 0 = I E ε, 0 / ( 0 2 = I E ε,..., 0 / ( 0 3 = I E ε. 0 / ( 0 = I E T ε Από την (6 και την (7 προκύπτει: r D P ( 0 0 = = r D ( 0 = = r r D ( ( 0 0 = =... ( ( ( ( 2 0 = r r r D = r r D 0 ( = r r r D ( 0 (8 Καθώς το μέρισμα είναι σταθερό, η τιμή είναι η παρούσα αξία του σημερινού μερίσματος, δηλαδή μια σταθερά. Με άλλα λόγια, η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής, r, είναι ίση με τη r D P 0 0 =

μερισματική της απόδοση. Στοχαστική διαδικασία της τιμής της μετοχής Τι προκύπτει από την (7 σχετικά με την στοχαστική διαδικασία που ακολουθεί η τιμή P ; Από ( E P / I = ( r P E( D / I. Αλλά από την (7 E( D o = D και / I Από την (8 D = r. 0 ( o 0 o 0 P 0 Επομένως : E( P o P rp = P / I = ( r 0 0 0 Γενικά ισχύει E( P / I o = P0, δηλαδή η τιμή ακολουθεί και αυτή μια στοχαστική διαδικασία τυχαίου περίπατου, όπως και το μέρισμα. Η καλύτερη πρόβλεψη της μελλοντικής τιμής είναι ότι θα μείνει σταθερή στα σημερινά της επίπεδα. 2..2. Τυχαίος περίπατος με τάση: το υπόδειγμα Gordon Ας υποθέσουμε ότι ο αναμενόμενος ρυθμός αύξησης του μερίσματος είναι σταθερός και ισούται με g (αυτό αντιστοιχεί σε μια στοχαστική διαδικασία τυχαίου περίπατου με τάση -- random walk wih drif-- σε λογαρίθμους, d = ln( D : 26

E (9 ( D = ( g D E( D = ( g D 0 Αντικαθιστώντας στην (6 P 0 = D 0 = ( g ( r = D 0 = δ ( g όπου δ = (. Επομένως, r P 0 2 = D0δ ( δ δ... = D0δ ( δ = D 0 g r g r g P0 = D0 (0 r g Η σχέση (0 είναι το υπόδειγμα του Gordon. Σύμφωνα με την ( 0, η τιμή μιας μετοχής είναι θετική συνάρτηση του μερίσματος και του αναμενόμενου ρυθμού αύξησης του μερίσματος και αρνητική συνάρτηση της απαιτούμενης πραγματικής απόδοσης. Η τιμή είναι υψηλή σε σχέση με το σημερινό μέρισμα όταν ο αναμενόμενος ρυθμός μεταβολής του μερίσματος είναι υψηλός ή όταν η αναμενόμενη απόδοση είναι χαμηλή. Μετοχές με αναμενόμενη υψηλή κερδοφορία στο μέλλον (g έχουν υψηλά P/D. Παράδειγμα: μετοχές τεχνολογίας. Μεταξύ δυο μετοχών με ίδια κερδοφορία (g η μετοχή που έχει υψηλότερο 27

ασφάλιστρο κινδύνου (δηλ. υψηλότερο r έχει χαμηλότερο P/D. 2.2. Εφαρμογές Το παρακάτω γράφημα δείχνει τον. S&P 500: αποπληθωρισμένος δείκτης τιμών του χρηματιστηρίου των ΗΠΑ (S&P 500. 2. Παρούσα αξία των μελλοντικών μερισμάτων με σταθερό συντελεστή προεξόφλησης. Η αξία αυτή ορίζεται ως P (=(D(P(/(mean(R, όπου D(= το αποπληθωρισμένο μέρισμα και mean(r=exp(mean(ln(r( η μέση αποπληθωρισμένη λογαριθμική απόδοση του S&P 500. Η αξία του δείκτη το 200 (τελική παρατήρηση ορίζεται σύμφωνα με το υπόδειγμα Gordon ως D(200*(g/(r-g, Ως μελλοντικό μέσο ρυθμό μεταβολής των μερισμάτων (g και μέση αναμενόμενη απόδοση του S&P 500 (r υποθέσαμε g=0.02, r=0.042. 28

0000 Πραγματικές τιμές του S&P 500 και προεξοφλημένη αξία μελλοντικών μερισμάτων S&P 500 000 Price Προεξοφλημένη αξία μερισμάτων 00 0 860 880 900 920 940 960 980 2000 2020 Year 29

2.3. Υπόδειγμα Gordon με βάση τα κέρδη Συχνά το υπόδειγμα Gordon ορίζεται με βάση τα κέρδη (Ε των εταιρειών και όχι με βάση τα μερίσματα. Ο λόγος είναι ότι τα κέρδη αντικατοπτρίζουν καλύτερα την ικανότητα των εταιρειών να προσδίδουν μελλοντική αξία στις μετοχές τους. Το υπόδειγμα (0 μπορεί να μεταφραστεί εύκολα σε όρους Ε, αν υποθέσουμε ότι το μέρισμα είναι ένα σταθερό ποσοστό τ, των κερδών ( τ : payou raio. D = τ E ( Αντικαθιστώντας την ( στην (0 : g P0 = τ E0 (2 r g Σύμφωνα με την (2, εταιρείες που έχουν υψηλά ( P / E πρέπει να έχουν υψηλούς αναμενόμενους ρυθμούς ανόδου των κερδών τους (για σταθερό r και τ. Η υπόθεση μιας σταθερής σχέσης μεταξύ μερισμάτων και εταιρικών κερδών είναι αρκετά γενναία. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει ότι ο λόγος αυτός έχει μεγάλες διακυμάνσεις στο χρόνο. Μακροχρόνια, οι εταιρείες φαίνεται να πληρώνουν ένα σχετικά σταθερό ποσοστό των κερδών τους σε μερίσματα. Όμως βραχυχρόνια τείνουν να κρατούν τα μερίσματα σταθερά με αποτέλεσμα να αλλάζει ο λόγος μερίσματος προς κέρδη, ιδιαίτερα σε περιόδους ύφεσης, όταν τα εταιρικά κέρδη μειώνονται σημαντικά (βλέπε στο διάγραμμα την μεγάλη ύφεση/αποπληθωρισμό 30

της περιόδου 922-933 και την ύφεση του 2008..8 Λόγος μερίσματος προς κέρδη (D/Ε του S&P 500.6.4.2.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 87 878 885 892 899 906 93 920 927 934 94 948 955 962 969 976 983 990 997 2004 20 Στοχαστική διαδικασία της τιμής Τι συνεπάγεται η υπόθεση ενός σταθερού ρυθμού ανόδου των μερισμάτων για την στοχαστική διαδικασία που ακολουθούν οι τιμές των μετοχών ; Από την ( E P / I = ( r P E( D / I. ( o 0 o Αλλά από την (9 E D / I o = ( g. Επομένως : E( P o D / I = ( r P0 ( g ( D0 g Από την (0 έχουμε : P = D. Επομένως : 0 0 0 r g E( P / I o = ( r P0 ( r g P0 = ( g P0. 3

Γενικά, E P / I = ( g P. ( o 0 Η τιμή ακολουθεί επίσης έναν τυχαίο περίπατο με τάση σε λογάριθμους, E(ln( P / I = ln( P0 g. o ο Οι τιμές βραχυχρόνια δεν είναι προβλέψιμες. ο Μακροχρόνια όμως αναμένεται να αυξάνονται με ρυθμό g. 32

Κεφάλαιο 3: Κυμαινόμενος συντελεστής προεξόφλησης Τόσο τα επιτόκια μηδενικού κινδύνου όσο και τα ασφάλιστρα κινδύνου κυμαίνονται στο χρόνο. Όταν η οικονομία βρίσκεται σε τροχιά ανάπτυξης, η κεντρική τράπεζα αυξάνει τα επιτόκια παρέμβασης για να τιθασεύσει τον αυξανόμενο πληθωρισμό. Τα πραγματικά επιτόκια αυξάνουν. Όταν, αντίθετα, η οικονομία μπαίνει σε ύφεση, η κεντρική τράπεζα μειώνει τα επιτόκια για να βοηθήσει την πραγματική οικονομία. Τα πραγματικά επιτόκια μειώνονται. Στο παρακάτω διάγραμμα, φαίνεται η πορεία του πραγματικού επιτοκίου στις ΗΠΑ (Fed Funds rae Πληθωρισμός ΤΚ. 0.0 US: Real Ineres Rae 7.5 5.0 2.5 0.0-2.5-5.0 Fed Funds rae - CPI inflaion 960 965 970 975 980 985 990 995 2000 2005 200 33

Τα ασφάλιστρα κινδύνου έχουν επίσης μεγάλη διακύμανση στο χρόνο καθώς η διακύμανση των αποδόσεων μεταβάλλεται. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την πορεία της τυπικής απόκλισης των αποδόσεων του S&P 500 στο χρόνο. Η πετρελαϊκή κρίση του 975, η απότομη διόρθωση της αγοράς το 987 και η πρόσφατη χρηματοοικονομική κρίση του 2008 οδήγησαν σε σημαντική αύξηση της διακύμανσης των χρηματιστηρίων. Γενικά, σε περιόδους ανοδικών αγορών η διακύμανση είναι χαμηλή, ενώ σε περιόδους πτωτικών αγορών η διακύμανση αυξάνεται απότομα. 90 US: Volailiy of S&P 500 80 70 60 50 40 30 20 0 0 2-monh moving window 960 965 970 975 980 985 990 995 2000 2005 200 Κατά συνέπεια, οι αναμενόμενες αποδόσεις των μετοχών μεταβάλλονται στο χρόνο. Ας υποθέσουμε ότι οι επενδυτές απαιτούν μια διαφορετική απόδοση σε κάθε μελλοντικό χρονικό σημείο για να είναι διατεθειμένοι να κρατήσουν μια μετοχή. Τότε, το επιτόκιο προεξόφλησης μελλοντικών μερισμάτων (αναμενόμενη απόδοση μεταβάλλεται στο χρόνο: r = ρ z β = r 34