Fungsi Dua Peubah atau Lebih dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015
dengan Dua Peubah Real
dengan Dua Peubah Real Pada fungsi satu peubah f : D R R D adalah daerah asal (domain) suatu fungsi yang merupakan himpunan bagian dari R. Grafik fungsi f = {(x, y) y = f (x), x D f } berupa himpunan titik di R 2, berbentuk garis (lurus atau lengkung).
Contoh: Fungsi dengan Dua Peubah atau Lebih f (x) = x 2 + 5x + 6 dengan D f = {x : 5,..., 5}, maka dengan Dua Peubah Real
dengan Dua Peubah Real dengan Dua Peubah Real
dengan Dua Peubah Real Pada fungsi dua peubah f : D R 2 R D adalah daerah asal (domain) dari suatu fungsi yang merupakan himpunan bagian dari R 2 dan daerah hasilnya berupa himpunan nilai R. Grafik fungsi f = {(x, y, z) z = f (x, y), (x, y) D f } berupa himpunan di R 3, berbentuk luasan.
dengan Dua Peubah Real Contoh: Perhatikan! f (x, y) = 2x y 2 (1) g(x, y) = 2x y (2) f ( 1, 4) = 2( 1) 4 2 = 18 g( 1, 4) = 2( 1) 4 = 4
dengan Dua Peubah Real Grafik Fungsi f (x, y)
dengan Dua Peubah Real Grafik Fungsi g(x, y)
dengan Dua Peubah Real Himpunan D disebut daerah asal atau domain suatu fungsi. Jika tidak dinyatakan secara spesifik, maka D dinyatakan sebagai daerah asal alami (natural domain), yaitu himpunan seluruh titik (x, y) pada suatu bidang di mana fungsi tersebut masuk akal dan menghasilkan nilai bilangan real. 1 Untuk f (x, y) = 2x y 2 daerah asal alaminya adalah semua bilangan real 2 Untuk f (x, y) = 2x y daerah asal alaminya adalah D f = {(x, y) : x R, y 0}
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan daerah asal alami dari fungsi 1 f (x, y) = x 2 +y 2 25 x
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan daerah asal alami dari fungsi 1 f (x, y) = x 2 +y 2 25 x Solusi: Domain dari f adalah semua pasangan (x, y) yang memenuhi x 2 + y 2 25 dan x 0.
dengan Dua Peubah Real 2 f (x, y) = y x 2 x 2 +(y 1) 2
dengan Dua Peubah Real 2 f (x, y) = y x 2 x 2 +(y 1) 2 Solusi: Domain dari f adalah semua pasangan (x, y) yang memenuhi y x 2 dan (x, y) (0, 1).
dengan Dua Peubah Real 3. g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 16
dengan Dua Peubah Real 3. g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 16 Solusi: Domain dari g(x, y, z) adalah semua (x, y, z) yang memenuhi x 2 + y 2 + z 2 16.
dengan Dua Peubah Real Grafik fungsi dua peubah merupakan grafik fungsi z = f (x, y). Grafik ini berupa permukaan. Karena masing-masing (x, y) hanya berhubungan dengan satu nilai z, maka setiap garis yang tegak lurus terhadap bidang xy akan hanya memotong permukaan di satu titik.
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan domain dan range dari fungsi berikut kemudian sketsakan grafiknya. z = f (x, y) = 25 x 2 y 2
dengan Dua Peubah Real Domainnya adalah himpunan titik-titik (x, y) yang memenuhi x 2 + y 2 25, sedangkan rangenya adalah 0 z 5 karena semua nilai di dalam akar yang mungkin adalah bervariasi antara 0 dan 25.
dengan Dua Peubah Real Perhatikan jejak permukaan z = f (x, y) = 25 x 2 y 2 dengan bidang koordinat dengan bidang xy (z = 0): x 2 + y 2 = 25 dengan bidang yz (x = 0): y 2 + z 2 = 25 dengan bidang xz (y = 0): x 2 + z 2 = 25 untuk z = 3 3 = 25 x 2 y 2 atau x 2 + y 2 = 16, jadi pada bidang z = 3 yang sejajar dengan bidag xy, jejak berupa lingkaran yang berpusat di (0, 0, 3) dengan jari-jari 4 untuk z = 4 4 = 25 x 2 y 2 atau x 2 + y 2 = 9, jadi pada bidang z = 4 yang sejajar dengan bidag xy, jejak berupa lingkaran yang berpusat di (0, 0, 4) dengan jari-jari 3
dengan Dua Peubah Real Sehingga diperoleh grafik
Fungsi dengan Dua Peubah atau Lebih dengan Dua Peubah Real Sumber: Kalkulus Lanjut; Fungsi Skalar, Koko Martono
dengan Dua Peubah Real Turunan parsial dari fungsi z = f (x, y) terhadap x (y dianggap konstan), dinotasikan f x, f x, atau z x yaitu f x = lim f (x + h, y) f (x, y) h 0 h Turunan parsial dari fungsi z = f (x, y) terhadap y (x dianggap konstan), dinotasikan f y, f y, atau z y yaitu f y = lim f (x, y + h) f (x, y) h 0 h
dengan Dua Peubah Real Contoh: 1. Jika z = 2x 3 x 2 y 3 + 3y 2, carilah f x (1, 2) dan f y (1, 2).
dengan Dua Peubah Real Contoh: 1. Jika z = 2x 3 x 2 y 3 + 3y 2, carilah f x (1, 2) dan f y (1, 2). Penyelesaian:
dengan Dua Peubah Real Contoh: 1. Jika z = 2x 3 x 2 y 3 + 3y 2, carilah f x (1, 2) dan f y (1, 2). Penyelesaian: f x (x, y) = 6x 2 2xy 3 f x (1, 2) = 6(1 2 ) 2(1)(2 3 ) = 10 f y (x, y) = 3x 2 y 2 + 6y f y (1, 2) = 3(1 2 )(2 2 ) + 6(2) = 0
dengan Dua Peubah Real 2. Jika z = x 2 sin (xy 2 ), tentukan z x dan z y.
dengan Dua Peubah Real 2. Jika z = x 2 sin (xy 2 ), tentukan z x Penyelesaian: dan z y.
dengan Dua Peubah Real 2. Jika z = x 2 sin (xy 2 ), tentukan z x Penyelesaian: dan z y. z x = 2x sin (xy 2 ) + x 2 cos (xy 2 ) (y 2 ) = 2x sin (xy 2 ) + x 2 y 2 cos (xy 2 ) z y = x 2 cos (xy 2 ) (2xy) = 2x 3 y cos (xy 2 )
dengan Dua Peubah Real 3. Volume gas tertentu berhubungan dengan suhu T dan tekanan P-nya berdasarkan hukum gas PV = 10T, di mana V diukur dalam satuan inci kubik, P dalam satuan pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat Kelvin (K). Jika V dijaga agar tetap konstan pada nilai 50, berapakah laju perubahan tekanan terhadap suhu ketika T = 200?
dengan Dua Peubah Real 3. Volume gas tertentu berhubungan dengan suhu T dan tekanan P-nya berdasarkan hukum gas PV = 10T, di mana V diukur dalam satuan inci kubik, P dalam satuan pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat Kelvin (K). Jika V dijaga agar tetap konstan pada nilai 50, berapakah laju perubahan tekanan terhadap suhu ketika T = 200? Penyelesaian:
dengan Dua Peubah Real 3. Volume gas tertentu berhubungan dengan suhu T dan tekanan P-nya berdasarkan hukum gas PV = 10T, di mana V diukur dalam satuan inci kubik, P dalam satuan pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat Kelvin (K). Jika V dijaga agar tetap konstan pada nilai 50, berapakah laju perubahan tekanan terhadap suhu ketika T = 200? Penyelesaian: Karena P = 10T P V, maka T = 10 V, jadi P T T =200,V =50 = 10 50 = 1 5
yang Lebih Tinggi dengan Dua Peubah Real Jika f adalah fungsi dua peubah, maka turunan parsialnya f x dan f y juga fungsi dua peubah, sehingga kita dapat menghitung turunan parsial kedua dari f. Jika z = f (x, y), kita gunakan notasi: (f x ) x = f xx = x (f x ) y = f xy = y (f y ) x = f yx = x (f y ) y = f yy = y ( ) f x ( ) f x ( ) f y ( ) f y = 2 f x 2 = 2 f y x = 2 f x y = 2 f y 2
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan empat turunan parsial kedua dari f (x, y) = xe y sin (x/y) + x 3 y 2
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan empat turunan parsial kedua dari f (x, y) = xe y sin (x/y) + x 3 y 2 Penyelesaian:
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan empat turunan parsial kedua dari f (x, y) = xe y sin (x/y) + x 3 y 2 Penyelesaian: f x = e y 1 y cos (x/y) + 3x 2 y 2 f y = xe y + x y 2 cos (x/y) + 2x 3 y
dengan Dua Peubah Real f xx = 1 2 sin (x/y) + 6xy y 2 f yy = xe y + x 2 2x 3 sin (x/y) cos (x/y) + 2x y 4 y 3 f xy = f yx = e y x 1 sin (x/y) + y 3 y 2 cos (x/y) + 6x 2 y
Fungsi dengan Lebih dari Dua Peubah dengan Dua Peubah Real Misalkan f adalah fungsi dengan tiga peubah x, y, dan z. Turunan parsial f terhadap x dinyatakan dengan f x (x, y, z) didefinisikan sebagai f x (x, y, z) = lim h 0 f (x + h, y, z) f (x, y, z) h Jadi, f x (x, y, z) diperoleh dengan menurunkan fungsi f terhadap x dan memperlakukan y dan z sebagai konstanta. Begitu juga dengan turunan parsial terhadap y dan z.
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan f x, f y, dan f z dari fungsi f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx.
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan f x, f y, dan f z dari fungsi f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx. Penyelesaian:
dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan f x, f y, dan f z dari fungsi f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx. Penyelesaian: f x = y + 3z f y = x + 2z f z = 2y + 3x
Fungsi dengan Dua Peubah atau Lebih dengan Dua Peubah Real 1. Tentukan daerah asal alami dari fungsi-fungsi berikut: a. f (x, y) = y x + xy b. f (x, y) = x 2 y + y c. f (x, y) = x 2 + y 1 16 4x 2 y 2 d. f (x, y) = y x 2 4 e. f (x, y) = 2x 2 4y + 1
dengan Dua Peubah Real 2. Tentukan semua turunan parsial pertama dari a. f (x, y) = cos (2x + 3y) b. f (x, y) = e y sin x c. f (x, y) = e y 2 x 2
dengan Dua Peubah Real 3. Tunjukkan bahwa fungsi f (x, y) = e x sin y memenuhi f xx + f yy = 0 dan f xy = f yx. 4. Volume V dari suatu silinder lingkaran tegak dinyatakan dengan V = πr 2 h, r adalah jari-jari dan h adalah tingginya. Jika h dipertahankan tetap pada h = 10 inci, tentukan laju perubahan V terhadap r jika r = 6 inci.