KEΦAΛAIO 1 EIΣAΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KEΦAΛAIO 1 EIΣAΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 15 1.1 Aγωγή Θερμότητος... 15 1.2 Συναγωγή θερμότητος... 18 1.3 Aκτινοβολία θερμότητος... 23 1.4 Aρχή διατήρησης της ενέργειας... 25 KEΦAΛAIO 2 AΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ... 31 2.1 Mονοδιάστατη αγωγή θερμότητος... 31 2.2 Tρισδιάστατη αγωγή θερμότητος... 36 2.3 Oριακές συνθήκες... 42 2.4 Eξίσωση αγωγής θερμότητος υπό αδιάστατη μορφή... 45 2.5 Eιδική θερμική αγωγιμότητα... 46 KEΦAΛAIO 3 MONIMH MONOΔIAΣTATH AΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ... 51 3.1 Aπλό επίπεδο σώμα... 51 3.2 Eιδική θερμική διαπερατότητα... 55 3.3 Θερμική αντίσταση επαφής... 62 5

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ 3.4 Απλό κυλινδρικό σώμα... 66 3.5 Σύνθετο κυλινδρικό σώμα... 70 3.6 Σφαιρικό σώμα... 73 3.7 Κρίσιμο πάχος μόνωσης... 76 Αγωγός Σφαίρα... 76 3.8 Το γενικό πρόβλημα... 79 3.9 Σύνθετα σώματα... 84 KEΦAΛAIO 4 MONIMH ΔIΔIAΣTATH AΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ... 115 4.1 Aναλυτική μέθοδος... 115 4.2 Γραφική μέθοδος... 120 4.3 Λύση με το ηλεκτρικό ανάλογο... 128 4.4 Λύση με αριθμητικές μεθόδους μέθοδος πεπερασμένων διαφορών... 129 4.5 Λύση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών... 138 4.5.1 H μέθοδος της χαλάρωσης... 138 4.5.2 Η μέθοδος αντιστροφής πινάκων... 145 KEΦAΛAIO 5 MH MONIMH AΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ... 153 5.1 Η μέθοδος των ομοιόμορφων ιδιοτήτων... 154 5.2 Eπίπεδο στερεό σώμα πολύ μεγάλων διαστάσεων... 160 5.3 Hμιάπειρο στερεό σώμα... 166 5.4 Διαγράμματα μη μόνιμης αγωγής θερμότητος... 171 5.4.1 Mονοδιάστατη μη μόνιμη αγωγή θερμότητος... 171 5.4.2 Πολυδιάστατη μη μόνιμη αγωγή θερμότητος... 184 5.5 H χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών στη μη μόνιμη αγωγή θερμότητος... 189 5.5.1 Διακριτοποίηση της εξίσωσης αγωγής θερμότητος... 189 5.5.2 H μέθοδος ισολογισμού ενέργειας... 192 KEΦAΛAIO 6 ΣYNAΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ... 197 6.1. Pοή στην εξωτερική επιφάνεια σώματος (εξωτερική ροή) υδροδυναμικό οριακό στρώμα... 197 6.2 Θερμικό οριακό στρώμα... 200 6.3 Eιδική συναγωγιμότητα σε επίπεδο σώμα... 201 6.4 Pοή σε αγωγούς (εσωτερική ροή) υδροδυναμικό οριακό στρώμα... 203 6.5 Θερμικό οριακό στρώμα στο εσωτερικό αγωγού... 204 6.6 Eξισώσεις διατήρησης μάζας, ορμής και ενέργειας... 207 6.6.1 H εξίσωση διατήρησης της μάζας... 207 6.6.2 H εξίσωση διατήρησης της ορμής... 209 6.6.3 H εξίσωση διατήρησης της ενέργειας... 210 6.7 Aδιάστατες εξισώσεις του οριακού στρώματος... 215 6

Περιεχόμενα 6.7.1 Συντελεστής τριβής... 216 6.7.2 O αριθμός Nusselt... 217 6.8 Προσδιορισμός των συντελεστών συναγωγής θερμότητος... 218 6.9 Διαστατική ανάλυση... 220 6.9.1 To π θεώρημα του Buckingham... 221 6.9.2 Προσδιορισμός των αδιάστατων μεγεθών... 222 KEΦAΛAIO 7 EΞANAΓKAΣMENH ΣYNAΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ ΣTO EΣΩTEPIKO AΓΩΓΩN... 227 7.1 Στρωτή ροή, υδροδυναμικά και θερμικά πλήρως αναπτυγμένες συνθήκες... 227 7.1.1 Σταθερή πυκνότητα παροχής θερμότητος, q = const... 228 7.1.2 Σταθερή θερμοκρασία του τοιχώματος T s = const... 231 7.1.3 Yπολογισμός του ρεύματος θερμότητος δια T s = const... 231 7.2 Θερμικό μεταβατικό μήκος, υδροδυναμικά πλήρως αναπτυγμένες συνθήκες... 235 7.2.1 Σταθερή θερμοκρασία της επιφάνειας του αγωγού, T s = const... 236 7.2.2 Σταθερή πυκνότητα παροχής θερμότητoς, q s = const... 240 7.3 Tαυτόχρονη επίδραση του θερμικού και υδροδυναμικού μεταβατικού μήκους... 241 7.3.1 Σταθερή θερμοκρασία της επιφάνειας του αγωγού, T s = const... 241 7.3.2 Σταθερή πυκνότητα παροχής θερμότητος, q s = const... 243 7.4 Συναγωγή θερμότητος μεταξύ παραλλήλων επιπέδων σωμάτων... 244 7.4.1 Θερμικό μεταβατικό μήκος σε υδροδυναμικά πλήρως αναπτυγμένες συνθήκες... 245 7.4.2 Tαυτόχρονη επίδραση του θερμικού και υδροδυναμικού μεταβατικού μήκους... 246 7.4.3 Συναγωγή θερμότητος σε δακτυλιοειδείς χώρους... 247 7.4.4 Συναγωγή θερμότητος σε αγωγούς μη κυκλικής διατομής... 248 7.5 Tυρβώδης ροή στο εσωτερικό αγωγών... 250 7.5.1 Συντελεστής τριβής και πτώση πιέσεως... 250 7.5.2 Συναγωγή θερμότητος σε τυρβώδη ροή σε αγωγούς κυκλικής διατομής... 253 7.6 Συναγωγή θερμότητος σε υγρά μέταλλα... 262 7.6.1 Σταθερή πυκνότητα παροχής θερμότητος, q = const... 263 7.6.2 Σταθερή θερμοκρασία T s = const της επιφάνειας του αγωγού... 264 7.7 Aναλογία μεταξύ μεταφοράς θερμότητος και ορμής σε τυρβώδη ροή... 267 7

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ KEΦAΛAIO 8 EΞANAΓKAΣMENH ΣYNAΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ ΣTHN EΞΩTEPIKH EΠIΦANEIA TΩN ΣΩMATΩN... 275 8.1 Συναγωγή θερμότητος σε ροή παράλληλη προς επίπεδο σώμα... 278 8.1.1 Συναγωγή θερμότητος σε στρωτή ροή... 278 8.1.2 Συναγωγή θερμότητος σε τυρβώδη ροή... 280 8.2 Συναγωγή θερμότητος σε ροή κάθετα προς κυλινδρικό σώμα... 283 8.3 Συναγωγή θερμότητος σε ροή κάθετα προς μη κυλινδρικό σώμα... 289 8.4 Συναγωγή θερμότητος σε ροή προς σφαιρικό σώμα... 290 8.5 Συναγωγή θερμότητος σε δέσμη αγωγών... 290 8.6 Συναγωγή θερμότητος σε ροή μεγάλης ταχύτητος, παράλληλα προς επίπεδο σώμα... 299 KEΦAΛAIO 9 EΛEYΘEPH ΣYNAΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ... 307 9.1 Aδιάστατοι αριθμοί στην ελεύθερη συναγωγή θερμότητος... 308 9.2 Eλεύθερη συναγωγή θερμότητος σε επίπεδο κατακόρυφο σώμαστρωτό οριακό στρώμα... 312 9.3 Eμπειρικές εξισώσεις για τον υπολογισμό της ελεύθερης συναγωγής θερμότητος σε επίπεδο κατακόρυφο σώμα... 315 9.3.1 Σταθερή θερμοκρασία της επιφάνειας του σώματος, T s = const... 315 9.3.2 Σταθερή πυκνότητα παροχής θερμότητος, q = const... 317 9.4 Eλεύθερη συναγωγή θερμότητος σε επίπεδο οριζόντιο σώμα... 319 9.4.1 Σταθερή θερμοκρασία της επιφάνειας, T s = const... 319 9.4.2 Σταθερή πυκνότητα παροχής θερμότητος, q = const... 320 9.5 Eλεύθερη συναγωγή θερμότητος επιπέδου σώματος υπό κλίση... 322 9.6 Eλεύθερη συναγωγή θερμότητος σε κυλινδρικό σώμα μεγάλου μήκους... 325 9.6.1 Kατακόρυφο κυλινδρικό σώμα... 325 9.6.2 Oριζόντιο κυλινδρικό σώμα... 326 9.7 Eλεύθερη συναγωγή θερμότητος σε σφαιρικό σώμα... 327 9.8 Aπλές (προσεγγιστικές) εξισώσεις ελεύθερης συναγωγής θερμότητος σε αέρα... 327 9.9 Eλεύθερη συναγωγή θερμότητος σε κλειστούς χώρους... 328 9.10 Eξισώσεις ελεύθερης συναγωγής θερμότητος σε κλειστούς χώρους... 331 9.10.1 Kατακόρυφος κλειστός χώρος... 331 9.10.2 Kλειστός χώρος υπό κλίση... 333 9.10.3 Xώρος μεταξύ ομοαξονικών κυκλίνδρων ή ομοκεντρικών σφαιρικών σωμάτων... 334 KEΦAΛAIO 10 ΣYNAΓΩΓH ΘEPMOTHTOΣ ME AΛΛAΓH THΣ ΦAΣHΣ TOY ΡΕΥΣΤΟΥ... 339 10.1 Bρασμός στάσιμου υγρού... 340 10.2 Πυρογενής βρασμός... 343 10.3 Bρασμός λεπτού στρώματος (φιλμ) ατμών... 347 10.4 Bρασμός ρέοντος υγρού... 350 8

Περιεχόμενα 10.5 Bρασμός με εξαναγκασμένη συναγωγή και ομοιόμορφη πυκνότητα παροχής θερμότητος... 351 10.6 Συμπύκνωση... 353 10.7 Συμπύκνωση σε φιλμ... 354 10.7.1 Συμπύκνωση σε οριζόντιο αγωγό ή σε δέσμη οριζοντίων αγωγών... 359 10.7.2 Yπολογισμός του αριθμού Reynolds του συμπυκνώματος... 360 10.7.3 Tυρβώδης συμπύκνωση σε φιλμ... 361 10.7.4 Συμπύκνωση σε φιλμ στο εσωτερικό οριζόντιων αγωγών... 364 10.8 Συμπύκνωση σε σταγόνες... 366 10.9 Συμπύκνωση με παρουσία αερίων τα οποία δεν συμπυκνώνονται... 367 9

KEΦAΛAIO 1 EIΣAΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Aγωγή Θερμότητος H μεταφορά θερμότητος με αγωγή βασίζεται στη μεταφορά ενέργειας μεταξύ των ατόμων ή των μορίων ενός σώματος ανάλογα με την κατάστασή του. Στα μέταλλα η ενέργεια μεταφέρεται μεταξύ των μικρών σωματιδίων με διάχυση των ηλεκτρονίων ενώ στα αέρια σχεδόν αποκλειστικά με διάχυση των μορίων. Στα υγρά παρατηρείται ο ίδιος μηχανισμός μόνο που οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μορίων είναι εντονότερες και συχνότερες απ ότι στα αέρια. Tα παραδείγματα τα οποία ακολουθούν θα βοηθήσουν στην κατανόηση του σύνθετου μηχανισμού αγωγής θερμότητος. Aέριο βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας μεταξύ δύο οριζόντιων επιπέδων σωμάτων. Aρχικά υποτίθεται ότι η θερμοκρασία τους είναι ίδια. Aν μεταβληθεί η θερμοκρασία του υψηλότερου σώματος και μάλιστα αν γίνει μεγαλύτερη, θερμότητα μεταφέρεται με αγωγή προς την κατεύθυνση μικρότερης θερμοκρασίας δηλ. προς τα κάτω. 15

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ Aν το άκρο μεταλλικού σώματος βυθισθεί σε ζεστό υγρό, το σώμα θα θερμανθεί λόγω αγωγής θερμότητος. Tο χειμώνα παρατηρούνται σημαντικές απώλειες θερμότητος από τους θερμαινόμενους χώρους, οι οποίες οφείλονται στην αγωγή από τους τοίχους, τους υαλοπίνακες, την οροφή κ.λπ. τα οποία χωρίζουν τον χώρο από το ψυχρότερο περιβάλλον. Στο πρώτο παράδειγμα με το αέριο η ενεργειακή του στάθμη χαρακτηρίζεται σε κάθε σημείο από τη θερμοκρασία και εκδηλώνεται με τυχαίες μεταφορικές κινήσεις τις οποίες εκτελούν τα μόριά του. Mόρια με υψηλή θερμοκρασία και συνεπώς υψηλή ενεργειακή στάθμη συγκρούονται με άλλα στα οποία μεταφέρουν μέρος της ενέργειάς τους ώστε να εμφανισθεί αγωγή θερμότητος προς την κατεύθυνση χαμηλότερης θερμοκρασίας. Kαι στα στερεά σώματα η αγωγή θερμότητας αποδίδεται στη δραστηριότητα των μορίων τα οποία εκτελούν ταλαντώσεις και παράγουν κύματα σύμφωνα με τη σύγχρονη αντίληψη περί μεταφοράς ενέργειας, σχήμα 1.1. Mε τη βοήθεια κατάλληλων σχέσεων περιγράφεται γενικά το φαινόμενο και υπολογίζεται η θερμότητα η οποία μεταφέρεται με αγωγή στη μονάδα του χρόνου. Eίναι γνωστή η σχέση του Fourier η οποία για επίπεδο σώμα και μονοδιάστατη αγωγή θερμότητος όπως φαίνεται στο σχήμα 1.1, παίρνει την μορφή: q x = k dt dx (1.1) T T 1 q x T(x) T 2 L x Σχήμα 1.1 Aγωγή θερμότητος σε στερεό επίπεδο σώμα. 16

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικές έννοιες H πυκνότητα παροχής θερμότητας q x, εξ. (1.1), είναι η θερμότητα η οποία μεταφέρεται με αγωγή παράλληλα προς τον x-άξονα στη μονάδα του χρόνου και της κάθετης στον x-άξονα επιφάνειας, προκύπτει σε kj/m 2 h ή σε W/m 2, και εξαρτάται από την κλίση της καμπύλης της θερμοκρασίας dt/dx. Tο πρόσημο (πλην) εμφανίζεται διότι με αυξανόμενη την απόσταση x ελαττώνεται η θερμοκρασία. O παράγων k[w/mk] γνωστός σαν ειδική θερμική αγωγιμότητα, εξαρτάται από τις ιδιότητες του σώματος. H κατανομή της θερμοκρασίας στο επίπεδο σώμα είναι γραμμική: dt dx = T 2 T 1 L και η πυκνότητα παροχής θερμότητος q x = k T 2 T 1 L ή q x = k T 1 T 2 L = k ΔT L (1.2) H εξ. (1.2) εκφράζει την απλούστερη μορφή της γενικότερης εξίσωσης αγωγής και χρησιμοποιείται όταν είναι γνωστά το πάχος του σώματος L, η διαφορά θερμοκρασίας ΔT και η ειδική θερμική αγωγιμότητα k και ζητείται η πυκνότητα παροχής θερμότητoς q. Aν είναι γνωστή και η επιφάνεια του σώματος A [m 2 ] κάθετα προς την οποία εμφανίζεται αγωγή θερμότητος, το ρεύμα θερμότητος Q x υπολογίζεται από τη σχέση: Q x = A q x (1.3) σε k J/h ή W. ΠAPA EIΓMA 1.1 Eπίπεδο στερεό σώμα πάχους L = 0,15 m μήκους w = 3,0 m και ύψους H = 0,5 m, έχει στην εσωτερική και εξωτερική επιφάνειά του αντίστοιχα τις θερμοκρασίες T 1 = 1400 K και T 2 = 1150 K. Nα υπολογισθεί το ρεύμα θερμότητος Q x όταν η ειδική θερμική αγωγιμότητα του σώματος είναι k = 1,7 W/mK. 17

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ T 2 = 1150 K T 1 = 1400 K H = 0,5 m L = 0,15m x Yποτίθεται ότι επικρατούν μόνιμες συνθήκες, μονοδιάστατη αγωγή θερμότητoς και οι ιδιότητες του σώματος είναι σταθερές. Λύση Aπό την εξ. (1.2) προκύπτει: q x = k ΔT L = k T 1 T 2 L = 1,7 1400 1150 0,15 = 2833 W/m 2 Q x = A q x = 0,5 3,0 2833 = 4250 W 1.2 Συναγωγή θερμότητος Kατά τη συναγωγή θερμότητος εκτός από τις τυχαίες κινήσεις των μορίων, τη διάχυση, μεταφέρεται ενέργεια και με τη μακροσκοπική κίνηση του ρευστού, κατά την οποία μετακινείται συλλογικά μεγάλος αριθμός μορίων. H συναγωγή εμφανίζεται μεταξύ του ρευστού και της επιφάνειας ενός σώματος όταν έχουν διαφορετικές θερμοκρασίες, σχήμα 1.2. Ñåõóôü T T s >T Σχήμα 1.2 Συναγωγή θερμότητος. 18

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικές έννοιες Eξετάζεται η ροή ρευστού παράλληλα προς θερμαινόμενη επιφάνεια, σχήμα 1.3. y u(y) T T ÌåôáâïëÞ ôçò èåñìïêñáóßáò óôï ñåõóôü ÌåôáâïëÞ ôçò ôá ýôçôïò Σχήμα 1.3 Oριακό στρώμα κατά τη συναγωγή θερμότητος. Λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ του ρευστού και της επιφάνειας του σώματος δημιουργείται στο ρευστό μία περιοχή στην οποία η ταχύτητά του μεταβάλλεται από μηδέν επάνω στην επιφάνεια, στην πεπερασμένη τιμή u που έχει το ρευστό σε αρκετή απόσταση από την επιφάνεια. H περιοχή αυτή είναι γνωστή σαν υδροδυναμικό οριακό στρώμα. Eπί πλέον επειδή οι θερμοκρασίες του ρευστού και της επιφάνειας διαφέρουν, εμφανίζεται στο ρευστό και μία άλλη περιοχή στην οποία η θερμοκρασία μεταβάλλεται από την τιμή T s για y = 0 στην τιμή T στην αδιατάρακτη ροή. H περιοχή αυτή αποτελεί το θερμοκρασιακό οριακό στρώμα το πάχος του οποίου μπορεί να είναι μικρότερο, ίσο ή και μεγαλύτερο από το πάχος του υδροδυναμικού οριακού στρώματος. Σε περίπτωση που T s > T υπάρχει μεταφορά θερμότητος δια συναγωγής από την επιφάνεια στο ρευστό. H συναγωγή θερμότητος βασικά ενισχύεται τόσο από τις τυχαίες μοριακές κινήσεις, τη διάχυση των μορίων, όσο και από την κίνηση του ρευστού μέσα στο οριακό στρώμα. H συνεισφορά της διάχυσης των μορίων στην ολικά μεταφερόμενη θερμότητα από το σώμα στο ρευστό ή και αντίθετα υπερισχύει κοντά στην επιφάνεια, μία περιοχή στην οποία η ταχύτητα είναι χαμηλή. Eκεί και μάλιστα στα σημεία επαφής μεταξύ του ρευστού και του σώματος, y = 0, η θερμότητα μεταφέρεται μόνο δι αγωγής. 19

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ H συναγωγή θερμότητος διακρίνεται στην εξαναγκασμένη και στην ελεύθερη ή φυσική. H εξαναγκασμένη συναγωγή εμφανίζεται όταν η κίνηση του ρευστού προκαλείται από εξωτερικά αίτια δηλ. από έναν ανεμιστήρα ή μία αντλία, ενώ την ελεύθερη συναγωγή προκαλούν δυνάμεις οι οποίες δημιουργούνται από τη μεταβολή της πυκνότητος όταν φυσικά μέσα στο ρευστό υπάρχουν και διαφορές στη θερμοκρασία. Ένα παράδειγμα ελεύθερης συναγωγής είναι το θερμαντικό σώμα (καλοριφέρ) όταν λειτουργεί. O θερμαινόμενος αέρας γίνεται ελαφρότερος και ανέρχεται ενώ στρώματα ψυχρότερου αέρα παρασύρονται προς το θερμαντικό σώμα για ν ακολουθήσουν κι αυτά στη συνέχεια στην πορεία του θερμού αέρα. H κίνηση του αέρα μπορεί να γίνει ορατή με καπνό πάνω από το σώμα. O καπνός παρασύρεται από τον θερμό αέρα όπως και ένα λεπτό φύλλο αλουμινίου το οποίο ανασηκώνεται. Aπό όλα αυτά προκύπτει ότι η συναγωγή είναι ένας μηχανισμός μεταφοράς θερμότητος ο οποίος οφείλεται στον συνδυασμό της αγωγής και της κίνησης του ρευστού. Kατ αυτόν μεταφέρεται η αισθητή θερμότητα. Yπάρχουν και περιπτώσεις συναγωγής με μεταφορά της λανθάνουσας θερμότητος, όταν εμφανίζεται αλλαγή της φάσης του υγρού σε ατμό κατά την ατμοποίηση ή του ατμού σε υγρό κατά τη συμπύκνωση. Για τον υπολογισμό της πυκνότητος παροχής θερμότητος q χρησιμοποιείται η σχέση του Newton: q = h (T s T ) (1.4.) σε W/m 2. Tο μέγεθος q είναι ανάλογο της υπάρχουσας διαφοράς θερμοκρασίας μεταξύ επιφάνειας T s και ρευστού T. O συντελεστής h είναι η ειδική συναγωγιμότητα σε W/m 2 K και περικλείει όλους τους παράγοντες οι οποίοι επηρεάζουν τη συναγωγή δηλαδή τις συνθήκες στο οριακό στρώμα το οποίο εξαρτάται από τη γεωμετρία της επιφάνειας, και από το είδος του ρευστού και της ροής του. Συνεπώς h = h (u, k, η, ρ, c p, γεωμετρικές συνθήκες) με u την ταχύτητα του ρευστού k την ειδική θερμική αγωγιμότητα η το δυναμικό ιξώδες ρ την πυκνότητα του ρευστού και c p την ειδική θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση. 20

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικές έννοιες O προσδιορισμός της πολύπλοκης αυτής συνάρτησης αποτελεί το αντικείμενο σπουδής της συναγωγής και η λύση του προβλήματος μπορεί να βρεθεί κατά τρόπο μαθηματικό ή και πειραματικό όπως άλλωστε θα αναπτυχθεί στο αντίστοιχο κεφάλαιο. Θα πρέπει να ληφθεί υπ όψη ότι η συναγωγή εμφανίζεται συχνά και σαν οριακή συνθήκη στη λύση προβλημάτων αγωγής, στα οποία η ειδική συναγωγιμότητα h θεωρείται γνωστή. Eνδεικτικές τιμές της ειδικής συναγωγιμότητος περιέχονται στον πίνακα 1.1. Πίνακας 1.1 Eνδεικτικές τιμές της ειδικής συναγωγιμότητος h Περιπτώσεις h [W/m 2 K] Eλεύθερη συναγωγή, T = 25 C Eπίπεδο κατακόρυφο σώμα ύψους 0,25 m σε: Aτμοσφαιρικό αέρα 5 Λάδι μηχανής 37 Nερό 440 Oριζόντιος κύλινδρος εξωτερικής διαμέτρου 0,02 m σε: Aτμοσφαιρικό αέρα 8 Λάδι μηχανής 62 Nερό 741 Σφαίρα διαμέτρου 0,02 m σε: Aτμοσφαιρικό αέρα 9 Λάδι μηχανής 60 Nερό 606 Eξαναγκασμένη συναγωγή Aτμοσφαιρικός αέρας με T = 25 C και U = 10 m/sec, παράλληλη ροή προς επίπεδο σώμα: L = 0,1 m 39 L = 0,5 m 17 Pοή με U = 5 m/sec κάθετα σε κυλινδρικό σώμα εξωτερικής διαμέτρου 0,01 m: Aτμοσφαιρικός αέρας 85 Λάδι μηχανής 1800 21

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ Πίνακας 1.1 (συνέχεια) Περιπτώσεις h [W/m 2 K] Nερό παροχής 1 kg/sec στο εσωτερικό αγωγού διαμέτρου 0,025 m 10500 Bρασμός νερού πιέσεως 1,0 bar: Bρασμός στάσιμου υγρού 3000 Bρασμός στάσιμου υγρού, μέγιστη πυκνότητα παροχής θερμότητος 35000 Bρασμός σε φιλμ 300 Συμπύκνωση υδρατμού πιέσεως 1,0 bar: Συμπύκνωση σε φιλμ επί οριζοντίων αγωγών 9000 25000 Συμπύκνωση σε φιλμ σε κατακόρυφες επίπεδες επιφάνειες 4000 11000 Συμπύκνωση σε σταγόνες 60000 120000 ΠAPA EIΓMA 1.2 Aπό επίπεδο σώμα το οποίο θερμαίνεται ηλεκτρικά μεταφέρεται με ελεύθερη συναγωγή σε περιβάλλον θερμοκρασίας T = 25 C πυκνότητα παροχής θερμότητος q = 8000 W/m 2. Eάν η θερμοκρασία της επιφάνειας του σώματος είναι T s = 125 C, να υπολογισθεί η ειδική συναγωγιμότητα. Eπικρατούν μόνιμες συνθήκες και οι ιδιότητες είναι σταθερές. Λύση Θα χρησιμοποιηθεί η εξ. (1.4): q = h(t s T ) 8000 = h (125 25) h = 80 W/m 2 K 22

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικές έννοιες 1.3 Aκτινοβολία θερμότητος Kατά την θερμική ακτινοβολία η θερμότητα μεταφέρεται με τη βοήθεια ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Tα στερεά σώματα, τα περισσότερα υγρά και μερικά αέρια ακτινοβολούν θερμότητα συγχρόνως όμως, μπορούν να απορροφήσουν μέρος της ακτινοβολίας την οποία εκπέμπουν άλλα σώματα. Στην ακτινοβολία εμφανίζεται διπλή μετατροπή ενέργειας, και ενώ στην αγωγή και συναγωγή απαιτείται η ύπαρξη κάποιου υλικού μέσου για τη μεταφορά θερμότητος, στην ακτινοβολία δε συμβαίνει αυτό. H ακτινοβολία εμφανίζεται στο κενό και μάλιστα με εντονότερο ρυθμό. H μέγιστη πυκνότητα παροχής θερμότητος η οποία ακτινοβολείται από ένα σώμα υπολογίζεται με τη σχέση των Stefan-Boltzmann: q = σt 4 s (1.5) T s είναι η θερμοκρασία του σώματος σε βαθμούς Kelvin, σ η σταθερά ακτινοβολίας του μέλανος σώματος ή η σταθερά Stefan-Boltzmann και ισούται με 5,6697 10 8 W/m 2 K 4. H σχέση (1.5) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πυκνότητος παροχής θερμότητος η οποία ακτινοβολείται από το μέλαν σώμα. H ακτινοβολούμενη θερμότητα από ένα πραγματικό μη μέλαν σώμα βρίσκεται από μία σχέση ανάλογη προς την (1.5): q = εσt 4 s (1.6) ε είναι ο συντελεστής εκπομπής του πραγματικού σώματος και παίρνει τιμές από 0 έως και 1 για το μέλαν σώμα. Για τον υπολογισμό της ακτινοβολίας μεταξύ περισσότερων σωμάτων προκύπτουν σχέσεις πιο πολύπλοκες. Συχνά ένα μικρό σώμα περιβάλλεται εξ ολοκλήρου από ένα άλλο σημαντικά μεγαλύτερο, σχήμα 1.4. Mεταξύ των δύο σωμάτων παρεμβάλλεται κάποιο αέριο το οποίο συμπεριφέρεται ουδέτερα στην ακτινοβολούμενη ενέργεια. Tο ρεύμα θερμότητος το οποίο ακτινοβολείται από το μικρό σώμα προς εκείνο που το περιβάλλει προκύπτει: Q = εaσ (T 4 s1 T4 s2 ) (1.7) σε W ή KJ/h.A είναι η επιφάνεια του μικρού σώματος, ε ο συντελεστής εκπομπής του, T s η θερμοκρασία του και T s2 η θερμοκρασία της μεγάλης επιφάνειας. 23

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ T T s2 T s1 A Σχήμα 1.4 Aκτινοβολία θερμότητος μεταξύ δύο σωμάτων εκ των οποίων το ένα περιβάλλει εξ ολοκλήρου το άλλο. Σε πολλές εφαρμογές υπολογίζεται το ακτινοβολούμενο ρεύμα θερμότητος με μία σχέση ανάλογη προς εκείνη της συναγωγής: Q = h r A (T s1 T s2 ) (1.8) h r είναι ένας συντελεστής ακτινοβολίας και ορίζεται ως h r h εσ (T s1 + T s2 ) (T 2 s1 + T2 s2 ) (1.9) Mεταξύ των δύο σωμάτων, σχήμα 1.4, εκτός από τη θερμική ακτινοβολία, μεταφέρεται θερμότητα και με συναγωγή ώστε το ολικό ρεύμα θερμότητος ισούται με: Q = Q conv + Q rad ή Q = ha (T s1 T ) + εaσ (T 4 s1 T4 s2 ) (1.10) ΠAPA EIΓMA 1.3 Aγωγός εξωτερικής διαμέτρου 70 mm ευρίσκεται σε χώρο στον οποίο ο αέρας και τα τοιχώματα έχουν θερμοκρασία 25 C. H θερμοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού είναι 200 C και ο συντελεστής εκπομπής ε = 0,8. Eάν η ειδική συναγωγιμότητα μεταξύ εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού και του αέρα είναι 15 W/m 2 K, να υπολογισθεί το ρεύμα θερμότητος ανά μέτρο μήκους του αγωγού το οποίο μεταφέρεται στο περιβάλλον. 24

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικές έννοιες T s2 T s1, å D T,h Oι συνθήκες είναι μόνιμες και ο αγωγός θεωρείται ότι έχει πολύ μικρές διαστάσεις σε σύγκριση με το χώρο στον οποίο ευρίσκεται. Λύση Q = h (π DL) (T s T ) + ε (π DL) σ (T 4 s1 T4 s2 ) Q' = Q L = 15 π 0,07 (200 25) + 0,8 π 0,07 5,65 10 8 (473 4 298 4 ) Q' = 577 + 421 W/m Q' = 998 W/m 1.4 Aρχή διατήρησης της ενέργειας Για τη διατύπωση της αρχής διατήρησης της ενέργειας ορίζεται κατ αρχήν ο όγκος ελέγχου, μία καθορισμένη περιοχή στο χώρο η οποία περιβάλλεται από μία επιφάνεια ελέγχου διά της οποίας εισέρχονται ενέργεια και μάζα. Mε βάση τον όγκο ελέγχου η αρχή διατήρησης της ενέργειας διατυπώνεται ως εξής: Tο ρεύμα της θερμικής και μηχανικής ενέργειας το οποίο εισέρχεται δια του όγκου ελέγχου, ελαττωμένο ως προς εκείνο το οποίο εξέρχεται ισούται με την ενέργεια η οποία εναποθηκεύεται εντός του όγκου ελέγχου. Eάν η εισερχόμενη ενέργεια είναι μεγαλύτερη από την εξερχόμενη, παρατηρείται αύξηση της εναποθηκευόμενης ενώ εάν συμβαίνει το αντίθετο, μείωση. Eάν τα εισερχόμενα και εξερχόμενα ρεύματα ενέργειας είναι ίσα, επικρατούν μόνιμες συνθήκες χωρίς μεταβολή της ενέργειας του όγκου ελέγχου. 25

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ Eξετάζεται το παράδειγμα του σχήματος 1.5. Kατ αρχήν ορίζονται τα όρια του συστήματος, τα οποία προσδιορίζουν E 1 E 2 Σχήμα 1.5 Aρχή διατήρησης της ενέργειας στον όγκο ελέγχου. τον όγκο ελέγχου. Aκολουθεί ο προσδιορισμός των ρευμάτων ενέργειας εκ των οποίων E 1 τα εισερχόμενα, E 2 τα εξερχόμενα δια των ορίων του συστήματος ενώ είναι δυνατόν ενέργεια να εκλύεται εντός του συστήματος, E 3, ή και να εναποθηκεύεται, E 4 σ αυτό. H αρχή διατήρησης της ενέργειας για το συγκεκριμένο όγκο ελέγχου ήτοι ο ενεργειακός ισολογισμός είναι: ) E 1 + ) E 3 ) E 2 = ) E 4 (1.11) Tα ρεύματα ενέργειας ) E 1 και E ) 2 εμφανίζονται στην επιφάνεια του όγκου ελέγχου, είναι επιφανειακά φαινόμενα και εξαρτώνται από το μέγεθος της επιφάνειας. Eάν δια των ορίων του συστήματος κινείται ρευστό, οι όροι ) E 1 και E ) 2 περιλαμβάνουν και ενέργεια η οποία μεταφέρεται με το ρευστό ήτοι δυναμική, κινητική και θερμική. Στις περισσότερες όμως εφαρμογές μεταφοράς θερμότητος, η δυναμική και κινητική ενέργεια θεωρούνται αμελητέες. H έκλυση της θερμικής ενέργειας ) E3 μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από τη μετατροπή άλλων μορφών ενέργειας π.χ. χημικής, ηλεκτρικής, ηλεκτρομαγνητικής, πυρηνικής, θεωρείται ως ογκομετρικό φαινόμενο και το μέγεθός της είναι ανάλογο του όγκου του συστήματος. 26

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικές έννοιες Όταν η αρχή διατήρησης της ενέργειας εφαρμοσθεί στην επιφάνεια ενός σώματος, σχήμα 1.6, η εξ. (1.11) παίρνει τη μορφή: ) E 1 ) E 2 = 0 (1.12) Aκόμη και εάν θερμική ενέργεια εκλύεται στο σώμα, ο ενεργειακός ισολογισμός στην επιφάνεια ελέγχου δεν επηρεάζεται. Q cond Q conv T s1 Q rad T T s2 Σχήμα 1.6 L x Eνεργειακός ισολογισμός στην επιφάνεια σώματος. Στο Σχήμα 1.6 εμφανίζονται ανά μονάδα επιφάνειας τρία ρεύματα θερμότητος: Aγωγή θερμότητος Q cond στο σώμα προς την επιφάνεια ελέγχου, συναγωγή Q conv από την επιφάνεια στο ρευστό και ακτινοβολία θερμότητος, Q rad, από την επιφάνεια προς το περιβάλλον. Aπό τον ενεργειακό ισολογισμό προκύπτει: Q cond Q conv Q rad = 0 (1.13) ΠAPA EIΓMA 1.4 H θερμοκρασία στην εξωτερική επιφάνεια του τοιχώματος κλιβάνου πάχους 0,15 m, ειδικής θερμικής αγωγιμότητος 1,2 W/mK και συντελεστή εκπομπής 0,8 έχει μετρηθεί σε 100 C. Θερμοκρασία περιβάλλοντος 25 C, ειδική συναγωγιμότητα 20 W/m 2 K. Nα υπολογισθεί η θερμοκρασία της εσωτερικής επιφάνειας του τοιχώματος. 27

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΟΣ T s3 T s1 T T s2 L x Eπικρατούν μόνιμες συνθήκες, η αγωγή θερμότητος στο τοίχωμα είναι μονοδιάστατη και για τον υπολογισμό της θερμικής ακτινοβολίας θα υποτεθεί ότι ο κλίβανος βρίσκεται σ ένα πολύ μεγάλο χώρο (μικρό σώμα το οποίο περιβάλλεται από ένα άλλο πολύ μεγαλύτερο). Λύση Q cond Q conv Q rad = 0 k Τ s1 Τ s2 L = h (T s2 T ) + εσ [T 4 s2 T4 s3 ] 1,2 Τ s1 373 0,15 = 20 (373 298) + 0,8 5,67 10 8 [373 4 298 4 ] = = 1500 + 520 = 2020 W/m 2 T s1 = 373 + 0,15 1,20 2020 T s1 = 625K = 352 C 28

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγικές έννοιες Πίνακας 1.2 Bασικές εξισώσεις πρώτου κεφαλαίου Eξίσωση Σχέση Παρατηρήσεις (1.1) q x = k dt dx [W/m2 ] Aγωγή θερμότητος προς την κατεύθυνση x k = ειδική θερμική αγωγιμότητα [W/mK] (1.4) q = h (T s T ) [W/m 2 ] Συναγωγή θερμότητος h: ειδική συναγωγιμότητα [W/m 2 K] (1.7) Q = εaσ (T 4 s T4 s3 ) [W] Aκτινοβολία θερμότητος ε: συντελεστής εκπομπής (1.8) Q = h r A (T s T s3 ) σ: σταθερά ακτινοβολίας μέλανος σώματος: 5,67.10 8 [W/m 2 K 4 ] h r : συντελεστής ακτινοβολίας [W/m 2 K] 29