Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Coursework

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Coursework Κιντσάκης Αθανάσιος 6667 Μόσχογλου Στυλιανός 6978 Τούμπας Κωνσταντίνος 7111 7η Μαρτίου, 2013

1 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Περιεχόμενα Πίνακας Σχημάτων... 2 Μέρος Ι... 3 Φασματικό Περιεχόμενο... 3 Butterworth... 4 Μέρος ΙΙ... 6 Moving Average (MA)... 6 Auto-Regressive (AR)... 8 Auto-Regressive Moving Average (ARMA)... 10 Διαδικασία με μέσο EEG... 12 Σχολιασμός και Ταξινόμηση Μοντέλων... 15 Επίλογος... 16 1

2 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Πίνακας Σχημάτων Figure 1 EOG Spectrum... 3 Figure 2 EEG Spectrum... 4 Figure 3 Butterworth Filter Spectrum... 5 Figure 4 Estimated EEG Spectrum... 6 Figure 5 MA Impulse Response... 7 Figure 6 MA MSE... 7 Figure 7 AR EEG Estimated output... 8 Figure 8 AR Impulse Response... 9 Figure 9 AR MSE... 9 Figure 10 ARMA EEG Estimated Output... 10 Figure 11 ARMA Impulse Response... 11 Figure 12 ARMA MSE... 11 Figure 13 Mean, EEG, MA, AR, ARMA Estimated Output... 12 Figure 14 ΜΑ, AR, ARMA Error... 13 Figure 15 ΜΑ, ARMA Error... 14 2

3 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Μέρος Ι Φασματικό Περιεχόμενο Ο αριθμός δειγμάτων είναι 2500 και η συχνότητα δειγματοληψίας 250Hz. Στο Fig.1 απεικονίζεται το φάσμα του EOG που είναι η πρώτη γραμμή του eeg.mat αρχείου. Figure 1 EOG Spectrum 3

4 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Παρακάτω ακολουθούν σε ένα ενιαίο plot (Fig.2) τα φασματικά περιεχόμενα των 127 EEG σημάτων. Figure 2 EEG Spectrum Παρατηρούμε ότι τα φασματικά περιεχόμενα και στα δύο σήματα συγκεντρώνεται κυρίως στο εύρος συχνοτήτων [-0.5 0.5], πάρα πολύ κοντά στο μηδέν, και πως η απόσβεση πραγματοποιείται πολύ γρήγορα. Για να απομακρύνουμε τις χαμηλές συχνότητες που δεν περιέχουν ουσιαστικό περιεχόμενο, εφαρμόζουμε ένα χαμηλοπερατό φίλτρο γύρω από αυτό το εύρος συχνοτήτων. Butterworth Η κεντρική συχνότητα στα EEG είναι στο 0.049 οπότε με ένα βαθυπερατό Butterworth φίλτρο με passband 0.056 και stopband 0.1200, διατηρώντας την τάξη του φίλτρου σε χαμηλά επίπεδα και ίση με 9, και παράλληλα κρατώντας την κεντρική συχνότητα που θέλουμε. Με αυτόν τον 4

5 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς τρόπο έχουμε ένα οικονομικό στην κατασκευή φίλτρο. Το φασματικό περιεχόμενο του φίλτρου καθώς και η φάση του απεικονίζονται στο Fig. 3 Figure 3 Butterworth Filter Spectrum 5

6 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Μέρος ΙΙ Moving Average (MA) Η διαδικασία Moving Average περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο: Q y[ n] b[ k] x[ n k]. k 0 Ως είσοδο Χ θεωρούμε το ΕOG σήμα και ως έξοδο τα EEG. Το Q στη δικιά μας περίπτωση παίρνει τιμές στο εύρος [2 10]. Για να υπολογιστούν οι συντελεστές αυτού του φίλτρου πρέπει να γίνει η επίλυση ως προς b(k). Χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος: b = toeplitz(x(1, :), [x(1,1) zeros(1, Q)])\eeg'; Με είσοδο το EOG και έξοδο το EEG υπολογίζουμε τους συντελεστές b για να εξάγουμε την εκτιμώμενη έξοδο. Στο Fig. 4 βλέπουμε με μπλε το φάσμα της εκτιμώμενης εξόδου, ενώ με μαύρο το αρχικό σήμα EEG για το πρώτο EEG. Fig. 4 MA EEG estimated output Figure 4 Estimated EEG Spectrum Υπολογίζοντας για κάθε σήμα EEG τους συντελεστές b, μπορούμε να πάρουμε την τυπική απόκλιση του συνόλου των συντελεστών. Για Q=10, προσθέτοντας και αφαιρώντας την τυπική απόκλιση από τη μέση τιμή 6

7 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς των συντελεστών, ορίζονται τα όρια της γκρι περιοχής όπως φαίνεται στο Fig. 5. Figure 5 MA Impulse Response Τέλος, στο Fig. 6 απεικονίζεται σε ένα ενιαίο διάγραμμα το μέσο τετραγωνικό σφάλμα που υπάρχει μεταξύ του εκτιμώμενου και του πραγματικού EEG για όλα τα διαφορετικά Q. Όπως φαίνεται, δεν είναι εύκολο να ξεχωρίσουμε τις τιμές του Q καθώς τα σφάλματα είναι πολύ κοντά μεταξύ τους, δημιουργώντας ένα σχεδόν ταυτόσημο διάγραμμα. Figure 6 MA MSE 7

8 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Auto-Regressive (AR) Η διαδικασία Auto-Regressive περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο: P y[ n] x[ n] a[ k] y[ n k]. k 1 Καθώς το άθροισμα έχει ως αρχική τιμή p=1, έχουμε άθροισμά μέχρι 11. Για τον υπολογισμό των συντελεστών χρησιμοποιούμε αυτή τη φορά τους τύπους: Y = toeplitz([0 ; x(i+1,1:length(x)-1)'], [zeros(1, P )]); a(:,i) = (Y \ (x(1,:) - x(i+1,:))'); Το μηδέν προστίθεται στην πρώτη γραμμή του πίνακα για να μετατοπιστούν τα δεδομένα του μια γραμμή προς τα κάτω. Με είσοδο το EOG και έξοδο το EEG υπολογίζουμε τους συντελεστές a και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση filter(1, a(:, 1), x(1,:)); για να εξάγουμε την εκτιμώμενη έξοδο. Λειτουργώντας με τον ίδιο τρόπο όπως και στο μοντέλο MA, εξάγουμε τα αποτελέσματα της εκτιμώμενης εξόδου αλλά και της σχέσης τυπική απόκλιση-μέση τιμή συντελεστών και απεικονίζονται στα Fig. 7-9 αντίστοιχα. Figure 7 AR EEG Estimated output 8

9 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Figure 8 AR Impulse Response Figure 9 AR MSE 9

10 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Auto-Regressive Moving Average (ARMA) Η διαδικασία Auto-Regressive περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο: P. y[ n] a[ k] y[ n k] b[ k] x[ n k] Q k 1 k 0 Αποτελεί στην ουσία ένα συνδυασμό των δυο παραπάνω μοντέλων, οπότε οι συντελεστές a και b είναι αυτοί που υπολογίστηκαν στην υλοποίηση των δυο παραπάνω μοντέλων. Με είσοδο το EOG και έξοδο το EEG υπολογίζουμε τους συντελεστές a και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση -filter(b(:, i), a(:, i), eog); για να εξάγουμε την εκτιμώμενη έξοδο. Χρησιμοποιούμε ως P και Q τις τιμές 11 και 10 αντίστοιχα. Όπως και στα προηγούμενα δύο μοντέλα, MA και AR, έτσι και σε αυτό εκτελούνται οι κατάλληλες συναρτήσεις για την εξαγωγή των μετρικών που ζητούνται. Στα Fig. 10-12 απεικονίζονται το φάσμα εκτιμώμενης και πραγματικής εξόδου, η κρουστική απόκριση του ARMA και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (MSE). Figure 10 ARMA EEG Estimated Output 10

11 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Figure 11 ARMA Impulse Response Figure 12 ARMA MSE 11

12 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Διαδικασία με μέσο EEG Οι βέλτιστες τιμές των q,p στις παραπάνω διαδικασίες (MA,AR,ARMA) προκύπτουν ως εξής: Για τις παραπάνω τιμές, λαμβάνοντας στο σύστημα ως είσοδο το EOG[1,n] και ως έξοδο το μέσο EEG[n] των 127 σημάτων EEG που δίνονται. Στα παρακάτω αποτελέσματα, με μπλε χρώμα απεικονίζεται το μέσο EEG, με μαύρο απεικονίζεται η εκτιμώμενη έξοδος με χρήση του μοντέλου MA, με κόκκινο η εκτιμώμενη έξοδος με χρήση του μοντέλου AR και με πράσινο η εκτιμώμενη έξοδος του μοντέλου ARMA. Figure 13 Mean, EEG, MA, AR, ARMA Estimated Output Το σφάλμα που προέκυψε από την κάθε μία παραπάνω διαδικασία (MA, AR, ARMA) σε σχέση με το μέσο EEG απεικονίζεται συνδυαστικά στο παρακάτω διάγραμμα, όπου με μαύρο απεικονίζεται το σφάλμα που α- 12

13 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς ντιστοιχεί στο MA μοντέλο, με κόκκινο στο AR μοντέλο και με πράσινο στο ARMA μοντέλο. Figure 14 ΜΑ, AR, ARMA Error Καθώς φαίνεται ότι τα MA και ARMA μοντέλα εμφανίζουν τα χαμηλότερα σφάλματα όταν δίνεται ως έξοδος το μέσο EEG, κρίνεται σκόπιμο να α- πεικονιστούν συγκριτικά μεταξύ τους. 13

14 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Figure 15 ΜΑ, ARMA Error 14

15 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Σχολιασμός και Ταξινόμηση Μοντέλων Από τα μεμονωμένα Mean Squared Error (MSE) που βρήκαμε στις παραπάνω παραγράφους, βλέπουμε ότι μοντέλα που κάνουν την καλύτερη προσέγγιση είναι τα AR και ARMA. Σύμφωνα με μελέτες, έχει αποδειχθεί ότι όντως αυτό ισχύει και μάλιστα το μοντέλο AR παρουσιάζει καλύτερα αποτελέσματα στο μεγαλύτερο ποσοστό των μετρήσεων. Για EEG που αποτελείται από 900 segments, παρατηρήθηκε ότι το μοντέλο AR αναπαριστά επαρκώς το 96& αυτών των segments, ενώ το ARMA το 78% 1. Παρόλα αυτά, υπολογίζοντας τη μέση τιμή των EEG σημάτων, παρατηρούμε από το παρακάτω διάγραμμα ότι το AR εμφανίζει μεγαλύτερο τετραγωνικό σφάλμα. Σύμφωνα λοιπόν με τα αποτελέσματα που εμφανίζονται στην τελευταία παράγραφο, το καλύτερο μοντέλο, όλος παραδόξως, είναι το Moving Average. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι με τη διαδικασία της εκτίμησης του μέσου όρου των σημάτων και όχι κάθε σήματος μεμονωμένα, τα αποτελέσματα επηρεάζονται σε τεράστιο βαθμό και καθίστανται μη αντιπροσωπευτικά. Το γεγονός αυτό ενισχύει την ανάγκη περισσότερων segments καθώς και τονίζει το γεγονός ότι να μην έχουμε στη διάθεσή μας αντιπροσωπευτικά δείγματα. Επίσης, πολύ σημαντικό ρόλο στην όλη διαδικασία, παίζει και το τμήμα του εγκεφάλου στο οποίο γίνονται οι μετρήσεις, δεδομένο το οποίο δεν γνωρίζουμε στην παρούσα κατάσταση. 1 http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/7704347 15

16 Ψ η φ ι α κ ή Ε π ε ξ ε ρ γ α σ ί α Σ ή μ α τ ο ς Επίλογος Ευελπιστούμε μέσα από την περιεκτική αναφορά, να κατατοπίσαμε τον αναγνώστη επαρκώς, ώστε να κατανοήσει σε ακόμη περισσότερο βάθος τον τρόπο με τον οποίο εκμεταλλευόμαστε συγκεκριμένες τεχνικές της Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος στην καθημερινή μας ζωή, με την ταυτόχρονη πάντα χρήση υπολογιστικών συστημάτων. Ευχαριστούμε πολύ για την ανάγνωση. Κιντσάκης Αθανάσιος Μόσχογλου Στυλιανός Τούμπας Κωνσταντίνος 16