HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διαλέξεις 23 24 Αναγνώριση συστημάτων κλειστού βρόχου Μη γραμμικά συστήματα Εφαρμογές
Επιλογή τάξης μοντέλου Ξεκινάμε από απλά μοντέλα, δοκιμάζουμε πιο πολύπλοκα μοντέλα Σύγκριση πρόβλεψης μετρήσεων (δεν πρέπει να έχουμε μηδενικό σφάλμα!) y ˆ m () t = G( q, θ Ν ) u() t Απόκλιση: σφάλματα μοντελοποίησης και στις διαταραχές Έλεγχος υπολοίπων ε ( t θˆ ˆ ˆ N ) = y() t y( t θn ) Μέθοδοι πρόβλεψης σφάλματος: τα υπόλοιπα πρέπει να είναι λευκή διαδικασία για θˆ N = θ0 N τ Έλεγχος λευκότητας: Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ˆ ϕεε ( τ ) = ε ( t ) ε ( t + τ ) N t= N τ Συνάρτηση αλληλοσυσχέτισης ˆ ϕεu ( τ) = ε( tut ) ( τ) N t= 2 Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων ˆ ϕεε (0) λ ˆ ϕεε ( τ) 0, τ 0 m N 2 2 ˆ ˆ ϕ ( ) 2 εε τ χ ϕεε ( τ) m ˆ N N(0,) ϕ (0) τ = ˆ ϕ (0) εε εε ϕεu ( τ) = E{ ε( t) u( t τ)} = 0 Συστήματα ανοικτού βρόχου: για κάθε τ, Συστήματα κλειστού βρόχου: μόνο για τ>0 ˆ ϕ ( τ ) = /2 Nxτ N(0,) ˆ ϕ (0) ˆ ϕ ( τ) εu x τ [ ] /2 εε uu
Δεδομένα επικύρωσης Ικανός αριθμός δεδομένων Σύστημα (σχεδόν) χρονικά αμετάβλητο Σύγκριση μοντέλων ( MSE MSE2)/( p2 p) 2 F = Fp ( ) 2 p, N χ p p 2 2 p MSE2 /( N p2) Κριτήρια με όρους ποινής ˆ 2 p AIC( p) = VN( θn){ + } N ˆ + p/ N FPE( p) = VN( θn) p / N ˆ pln N MDL( p) = VN( θn){ + } N Επαναληπτική αναγνώριση Ανανέωση της εκτίμησης σε κάθε χρονικό βήμα: θˆ( () t από θˆ( t ) Επαναληπτικά ελάχιστα τετράγωνα T P( t ) φ( t) φ ( t) P( t ) θˆ() t = θˆ( t ) + K() t ε () t P() t = P( t ) T + φ ( t ) P ( t ) φ ( t ) T ε () t = y() t φ () t θˆ ( t ) P( t ) φ( t) K() t = P() t φ() t = T + φ ( t) P( t ) φ( t)
Χρονικά μεταβαλλόμενες παράμετροι N t s 2 Τροποποίηση της συνάρτησης κόστους Vt ( θ) = λ ε ( s) λ: forgetting factor (μεταξύ 0 και ). Μικρότερο λ: πιο γρήγορη προσαρμογή, αλλά μεγαλύτερη ευαισθησία στο θόρυβο T ˆ() ˆ P( t ) φ( t) φ ( t) P( t ) θ t = θ( t ) + K() t ε () t P() t = P( t ) T λ λ + t P t ) t ˆ φ () ( φ() T ε () t = y() t φ () t θ( t ) ( t ) ( t) () t = () t () t = P φ K P φ T λ + φ () t P( t ) φ() t θ(0) ˆ(0) = 0 P(0) = ρι s=
Συστήματα κλειστού βρόχου Πολλά συστήματα που συναντάμε στην πράξη (βιομηχανικά, φυσιολογικά κλπ.) λειτουργούν με ανάδραση Το σύστημα ανοικτού βρόχου μπορεί να είναι ασταθές, οπότε μπορεί να μην είναι δυνατή η πραγματοποίηση πειραμάτων υπό τέτοιες συνθήκες Είδαμε στα προηγούμενα (μη παραμετρική αναγνώριση) ότι οι εκτιμήσεις που παίρνουμε επηρεάζονται σε σημαντικό βαθμό από την παρουσία ανάδρασης Π.χ. η εκτίμηση του G από μετρήσεις των u,y επηρεάζεται σημαντικά από το γεγονός ότι ο θόρυβος και η είσοδος είναι συσχετισμένα σήματα 2 2 yt () = Gs( qut ) () + Hs( qet ) (), Ee { ()} t =λ ut ( ) = Fqyt ( ) ( ) + Lqvt ( ) ( ) Το σήμα v(t) μπορεί να είναι ένα σήμα αναφοράς (set point) t) ή σήμα θορύβου Σκοπός: Η αναγνώριση των Gs(q), Hs(q) Περιπτώσεις: v(t) u(t) L(q) Το v(t) μετρήσιμο/ μη μετρήσιμο + To F(q) γνωστό/άγνωστο - Υποθέσεις: Gs(0)=0 (χρονική καθυστέρηση τουλαχ. μεταξύ u(t) και y(t)). Τα υποσυστήματα μεταξύ v,e και y είναι ευσταθή Το σήμα v(t) είναι στάσιμο και επίμονα διεγερτικό ικανής τάξης Τα v, e είναι ανεξάρτητα G s (q) F(q) z(t) H s s(q) + e(t) y(t)
Η γενική σχέση που ισχύει είναι: y () t = ( G slv () t + H se ()) t + FG s Συστήματα κλειστού βρόχου FG s F ut () = Lvt () Het s () + FGs + FGs H s s(q) e(t) v(t) L(q) + - u(t) G s (q) z(t) + y(t) F(q)
Συστήματα κλειστού βρόχου Συχνά ο σκοπός εφαρμογών αυτόματου ελέγχου είναι η ελαχιστοποίηση της διαφοράς μεταξύ v(t) και y(t), το οποίο υπονοεί μικρές τιμές του u(t) όχι ιδανικό για σκοπούς αναγνώρισης! Φασματική ανάλυση Είδαμε στα προηγούμενα (HW2) ότι η μη παραμετρική εκτίμηση της G( Gs(q) στο πεδίο της συχνότητας, δηλ.: ˆ ˆ Φ ( ) ( ) yu ω G ω = Φ ˆ uu ( ω) δίνει πολωμένες εκτιμήσεις, δηλ. υπάρχει απόκλιση από την πραγματική τιμή. Στη γενική περίπτωση: ˆ + G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s ω F ω Φ z ω G ω Gs ω = F( ω) Φ v( ω) +Φz( ω) όπου: zt ( ) = FqH ( ) ( qet ) ( ) s Αν δεν έχουμε θόρυβο (e(t)=0) δεν έχουμε απόκλιση στην εκτίμηση Αν δεν έχουμε εξωτερική είσοδο (v(t)=0)(t) τότε: ˆ G ( ω ) F( ω) v(t) L(q) + - u(t) G s (q) z(t) H s (q) + e(t) y(t) F(q)
Συστήματα κλειστού βρόχου Τροποποιημένη φασματική ανάλυση Υποθέτοντας ότι το εξωτερικό σήμα εισόδου ν(t) είναι μετρήσιμο: Φ ( ω) = G ( ω) Φ ( ω) + G ( ω) Φ ( ω) = yv s uv s ev = Gs( ω) Φuv( ω) Άρα μπορούμε να πάρουμε μια εκτίμηση ως εξής: ˆ ˆ Φ ( ) ( ) yv ω G ω = Φ ˆ uv( ω) Τρεις γενικές προσεγγίσεις για την αναγνώριση συστημάτων κλειστού ύβρόχου: Απευθείας αναγνώριση (Direct identification). Το σύστημα αντιμετωπίζεται σα να είναι ανοικτού βρόχου Έμμεση αναγνώριση (Indirect identification). Υποθέτουμε ότι το εξωτερικό σήμα εισόδου/αναφοράς / v(t) είναι μετρήσιμο και ότι ο νόμος ανάδρασης είναι γνωστός Συνδυασμένη αναγνώριση εισόδου/εξόδου (joint input output identification): Οι μετρήσεις u(t), y(t) θεωρούνται ως έξοδοι ενός συστήματος που διεγείρεται από λευκό θόρυβο H s (q) e(t) v(t) L(q) + - u(t) G s (q) z(t) + y(t) F(q)
Συστήματα κλειστού βρόχου Απευθείας αναγνώριση: Χρησιμοποιούμε τις μετρήσεις u(t) και y(t) στη διαδικασία εκτίμησης καθώς και το μοντέλο που έχουμε συναντήσει στα προηγούμενα ˆ ˆ 2 ˆ2 yt ( ) = Gqut ( ) ( ) + Hqet ( ) ( ), Ee { ( t)} = λ Ο σκοπός είναι να βρούμε το διάνυσμα παραμέτρων που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση κόστους N N 2 V ( θ ) (, ) [ ( ) ˆ( )] 2 N = ε t = yt yt N θ N θ ˆ ε (, t θ) = H ( q)[ y() t Gˆ ( q) u()] t t= t= Το ερώτημα είναι εάν είναι για αυτή την παραμετροποίηση το σύστημα κλειστού βρόχου αναγνωρίσιμο, δηλ υπάρχει θ τέτοιο ώστε: Gˆ = G, Hˆ = H s s Αυτό εξαρτάται και από την παραμετροποίηση και από τη μορφή του συστήματος (π.χ. μορφή ελεγκτή) Παράδειγμα: Έστω το σύστημα 2 2 yt ( ) + ayt ( ) = but ( ) + et ( ), Ee { ( t)} =λ ut () = fyt () Μοντέλο: yt () + ayt ˆ ( ) = but ˆ ( ) +ε () t yt () + ( a+ fbyt ) ( ) = et () αν χρησιμοποιήσουμε π.χ. ελάχιστα τετράγωνα, μπορούμε να εκτιμήσουμε μόνο το γραμμικό συνδυασμό a+fb
Συστήματα κλειστού βρόχου Έστω τώρα ότι έχουμε 2 διαφορετικούς ελεγκτές (regulators) f και f2 οι οποίοι είναι ενεργοί για κλάσματα γ και γ2 του συνολικού χρόνου, δηλ: Όπως και πριν το σύστημα είναι: 2 2 yt ( ) + ayt ( ) = but ( ) + et ( ), Ee { ( t)} = λ και το μοντέλο yt () + ayt ˆ ( ) = but ˆ ( ) +ε () t y () t + ( a+ bf ) y( t ) = e() t i i ε ˆ ˆ i() t = yi() t + ( a + bfi ) y ( t ) 2 οπότε 2 2 ( aˆ bf ˆ i a bfi) E{ ε i ( t)} λ + = + 2 ( a+ bfi ) Η συνάρτηση κόστους γίνεται: N ˆ 2 lim ( ˆ N VN a, b) = ε ( t, θ) N t= ( aˆ+ bf ˆ a bf ) ( aˆ+ bf ˆ a bf ) = λ + γ λ + γ λ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a + bf ) ( a+ bf2 ) Βλέπουμε ότι: ˆ 2 V ( aˆ, b) V ( a, b) = λ N N ελάχιστο
Ολικό ελάχιστο? Λύση της: Συστήματα κλειστού βρόχου Μοναδική λύση για f f 2 Έμμεση αναγνώριση (indirect identification) Χρειάζεται γνώση του σήματος v(t) και της ανάδρασης (F(q), L(q)) Χρησιμοποιώντας κάποια από τις γνωστές μεθόδους (LS, PEM) αναγνωρίζουμε το συνολικό σύστημα μεταξύ v, y Χρησιμοποιώντας τη γνώση των L, F βρίσκουμε εκτιμήσεις των Gs, Hs H s (q) e(t) v(t) L(q) + - u(t) G s (q) z(t) + y(t) F(q)
Μη γραμμικά συστήματα x(t) S(τ) y(t) S(Ax +Bx 2 ) AS(x )+BS(x 2 ) Πολλά πραγματικά συστήματα είναι μη γραμμικά: η γραμμικότητα είναι προσέγγιση που μπορεί να δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα η όχι Περιγραφές μη γραμμικών μοντέλων / Μέθοδοι αναγνώρισης Μη παραμετρικές (Σειρές έ Vlt Volterra/Wiener) Παραμετρικές (μη γραμμικά μοντέλα ARX, μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις) Διαγράμματα μπλοκ (Block diagrams), μοντέλα (νευρωνικών) δικτύων zt () = g()* t u() t y t = c z t + c z t 2 () () 2 () u G Σκοπός και πάλι είναι η εκτίμηση των παραμέτρων από δεδομένα δ εισόδου/εξόδου / Γενικά πιο πολύπλοκο πρόβλημα ο αριθμός ελεύθερων παραμέτρων πολύ πιο μεγάλος Δεν υπάρχουν τόσο απλές σχέσεις στο πεδίο της συχνότητας (η έξοδος ενός μη γραμμικού συστήματος σε ένα ημιτονοειδές σήμα δεν είναι ημίτονο της ίδιας συχνότητας αλλά παρουσιάζει και αρμονικές συνιστώσες) ) Γενικά δεν υπάρχουν θεωρητικά αποτελέσματα για σύγκλιση, συνέπεια κλπ. όπως στην περίπτωση γραμμικών συστημάτων z y
y( n) = Q... n= 0 M m = 0 M m n Μη γραμμικά συστήματα kn ( m,..., mn ) x( n m )... x( n mn ) = 0 M: Μνήμη Q: Τάξη Μη παραμετρικά μοντέλα μη γραμμικών συστημάτων: Σειρές Volterra Wiener Μπορούν να θεωρηθούν ως γενίκευση της συνέλιξης Σκοπός της αναγνώρισης ο υπολογισμός των πυρήνων Volterra system memory k 2 (m),m 2 ) system memory m * m 2 * m m * m 2 * 3 3
y( n) = Q... n= 0 M m = 0 M m n Μη γραμμικά συστήματα kn ( m,..., mn ) x( n m )... x( n mn ) = 0 M: Μνήμη Q: Τάξη Εκτίμηση Ελάχιστα τετράγωνα : μπορούμε να γράψουμε την ανωτέρω σχέση ως γραμμική παλινδρόμηση: μεγάλος αριθμός ελεύθερων παραμέτρων (Μ Q ) χρειαζόμαστε πολλά δεδομένα! Μέθοδος αλληλοσυσχέτισης: Χρησιμοποίηση αλληλοσυσχέτισης υψηλότερων τάξεων μεταξύ εισόδου εξόδου ϕ yxx ( τ, τ2) = E{ y( t) x( t τ) x( t τ2)} Όπως είδαμε και στα γραμμικά συστήματα απαιτείται μεγάλο πλήθος δεδομένων για αξιόπιστη εκτίμηση συσχέτισης
Μη γραμμικά συστήματα Q M M y( n) =... kn ( m,..., mn ) x( n m)... x( n mn ) = = = n 0 m 0 mn 0 Εκτίμηση Συναρτησιακές επεκτάσεις: Μείωση του αριθμού ελεύθερων παραμέτρων Βάση συναρτήσεων Laguerre j ( τ j) 2 2 m τ j j m m b ( τ) = α ( α) ( ) α ( α), 0 < a< j L m= 0 m m k ( m,..., m )... c b ( m )... b ( m ) q q j... jq j j q j = 0 j = 0 y=vc+ε, + v j =x*b j c est =[V T V] - V T y q L = 0.5 0.4 0.3 0.2 0. α =0. α =0.2 α =0.4 Ορθοκανονική βάση στο [0 ) αποδοτική εκτίμηση Εκθετική εξάρτηση κατάλληλη για συστήματα με πεπερασμένη μνήμη α: καθορίζει ακρίβεια, αποδοτικότητα της επέκτασης 0-0. -0.2-0.3-0.4-0.5 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 Time lags
Μη γραμμικά συστήματα Δίκτυα με πολυωνυμικές συναρτήσεις ί ενεργοποίησης Ελεύθερες παράμετροι ~ Q M Ισοδυναμία με μοντέλο Volterra M = = j ji i j n x w n v 0 ) ( ) ( m i i i i i i i z a z a a z f 0... ) ( + + + = H = = H i i j i j i j mi i m m m w w w a c j j j k 2... ),...,, (
Μη γραμμικά συστήματα Συνέλιξη εισόδου με συστοιχία φίλτρων Laguerre Πολυωνυμικές συναρτήσεις ενεργοποίησης f k ( u k ( n)) = Q m= c m m, k ( uk ( n)) Δραστική μείωση του αριθμού των ελεύθερων παραμέτρων: (Q+L+) K+2 K: αριθμός κρυφών μονάδων x(n) b 0 b j b L v 0 (n) v j (n) v L (n) w w,l,j w K,0 w w,0 f w K,j f K w K,L + y 0 y(n)
Μη ηγραμμικά συστήματα Εκπαίδευση του LVN Επαναληπτική μέθοδος καθοδικής κλίσης Αποδοτική υπολογιστική μέθοδος εκπαίδευσης του α Μέχρι πρόσφατα: εμπειρική εκτίμηση βάσει των M, L Αναδρομικές σχέσεις για τις εξόδους των φίλτρων Laguerre ; β = α j j j j v ( n) = β[ v ( n ) + v ( n)] v ( n ) vj ( n) β = v j ( n ) + v j ( n ) K L ( r ) ( r) ( r) '( r) j β ( n) f k ( u k ) w k, j k = j= 0 + β = β + γ ε Ισοδυναμία με το μοντέλο Volterra v ( n) β k n ( m,..., m n ) = K L L c... n, k k = j = 0 j = 0 n w k, j... wk, j b n j ( m )... b j ( m n n)
Συνέλιξη κάθε εισόδου με διαφορετική συστοιχία Διακριτές παράμετροι α: Κάθε είσοδος μπορεί να συσχετίζεται με διαφορετικά δυναμικά χαρ/κα/ Συμπεριλαμβάνονται μη γραμμικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ διαφορετικών εισόδων Αριθμός ελεύθερων παραμέτρων I i= L i + Q + N K + I: αριθμός εισόδων Μη γραμμικά συστήματα N + () v 0 ( n) () b 0 x (n) () () () w, 0 () v j b j ( n) w () w K,0 (), K () () w, j w, L f () v L j b L ( n) (I) w, 0 + w y(n) (I) b 0 () K, L x I (n) (I) (I) b j b LI (I) v (I) n (I) ( ) v j ( ) v LI ( n) y 0 0 n j ) I (I) (I) w, j w, L I (I) w K,0 w K (I), f K j w (I) K, LI
Εφαρμογές αναγνώρισης συστημάτων στη βιοϊατρική Υπάρχουν πλέον συσκευές μέτρησης βιολογικών σημάτων με μεγάλη ακρίβεια μη επεμβατικά καθώς και προγραμματιζόμενες μικροαντλίες έγχυσης φαρμακολογικών ουσιών Πλούσια μεταβλητότητα στα βιολογικά σήματα: καλή ιδιότητα για αναγνώριση Μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες για τη λειτουργία βιολογικών/ / φυσιολογικών συστημάτων Ομοιοστατικοί μηχανισμοί, π.χ. ρύθμιση πίεσης, ροής αίματος στον εγκέφαλο Λειτουργικές συνδέσεις στον εγκέφαλο (μετρήσεις EEG/MEG/fMRI) Μπορούμε να σχεδιάσουμε στρατηγικές ελέγχου ενός φυσιολογικού σήματος με βάση μαθηματικά μοντέλα (model predictive control) Έλεγχος γλυκόζης σε διαβητικούς με μικροαντλίες ινσουλίνης Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μοντέλα για την έγκαιρη ανίχνευση παθοφυσιολογικών καταστάσεων ή για την καλύτερη κατανόηση των μηχανισμών που τους προκαλούν Μπορούμε να ανιχνεύσουμε τυχόν αλλαγές διαφόρων πειραματικών συνθηκών ή φαρμακολογικών ουσιών στη λειτουργία τέτοιων μηχανισμών
Cerebral blood flow regulation Autoregulation: homeostatic regulation of own blood flow Brain: extremelyeffective effective autoregulation 2% of body mass 5% of total cardiac output, 20% O 2 consumption
Assessment of dynamic autoregulation Step responseto induced ABP, CO 2 changes Thigh cuff deflation Hypercapnia / hypocapnia CBFV Spontaneous variability MABP Normal conditions, all naturally occurring frequencies CBFV variability correlated to ΜΑBP,, CO 2 variability Linear methods High pass ABP CBFV characteristic [Zhang et al, Amer J Physiol 998] Low coherence < 0.07 Hz: Nonlinearities, influence of CO 2 Nonlinear methods Larger fraction of CBFV variability explained [Mitsis et al, Ann Biomed Eng 2002] 22
Nonlinear model of cerebral hemodynamics Nonlinear, two input model of cerebral hemodynamics ΑBP CO 2 Inputs: ABP, P ETCO2 variations ato Output: CBFV variations Simultaneous assessment of dynamic pressure () b () (2) (2) (2) () 0 b j Dynamic pressure autoregulation f b L b 0 b j b LI Dynamic CO 2 reactivity f K autoregulation, CO 2 reactivity Includes MABP CO 2 interactions + CBFV 23
Cerebral hemodynamics under resting conditions Experimental data 4 subjects Resting conditions, 45 mins Training data: 6 min (360 points) Validation data: min NMSE [%] System order MABP CO 2 ΜΑBP & CO 2 Linear (Q=) 32.8±3.2 7.6±2. 24.8±. Nonlinear (Q=3) 20.0±9.2 5.5±0.4 4.5±6.9 24
Cerebral hemodynamics under resting conditions Model predictions Dynamic range: VLF: 0.005 0.04 Hz, LF: 0.04 0.5 Hz, HF: 0.5 0.30 Hz Nonlinearities: prominent in VLF CO 2 accounts mainly for VLF CBFV variations (<0.04Hz) MABP dominates in HF
Cerebral hemodynamics under resting conditions Linear components MABP: HP characteristic Slow MABP changes regulated more effectively P ETCO2 : LP characteristic Slow CO 2 changes have more effect on CBF 26
Cerebral hemodynamics under resting conditions Nonlinear components Second order order kernels Most power in VLF, LF Relative contribution of NL terms more significant for P ETCO2 MABP P ETCO2 Nonlinear to linear terms power ratio 0.3±0.3.8±0.45 27
Cerebral hemodynamics under resting conditions nonstationarity k,mabp k CO2,CO2 Tracking: 6 min minsliding data segments 28
From systemic to regional hemodynamics functional MRI Neural activation Regional changes in blood flow / oxygenation Oxy/ Deoxygenated hemoglobin: Different magnetic properties BOLD signal Precise nature of neurovascular coupling not known 29
Respiratory network imaging: Voxel wise analysis Resting End-tidal forcing 30
Modeling of regional CO 2 reactivity Definition of anatomical andfunctional regions of interest CO 2 reactivity: Averaged BOLD time series i within ihi ROI AV thalamus 3
Regional dynamic CO 2 reactivity Significant regional variability Differential responses to small/ large CO 2 changes (undershoot during resting only) 32
Functional brain connectivity Brain function relies on multiple, complex interconnections between different regions that may/ may not be task specific We can assess functional connectivity from EEG/MEG/fMRI measurements by quantifying their dynamic interactions with well suited (linear or nonlinear) methods, e.g. correlation, coherence, directed coherence, mutual information etc This problem is also particularly relevant in neurological 33disorders such as epilepsy (seizure prediction)
Functional brain connectivity Brain function relies on multiple, complex interconnections between different regions that may/ may not be task specific We can assess functional connectivity from EEG/MEG/fMRI measurements by quantifying their dynamic interactions with well suited (linear or nonlinear) methods, e.g. correlation, coherence, directed coherence, mutual information etc This problem is also particularly relevant in neurological 34disorders such as epilepsy (seizure prediction)
Metabolic system Diabetes and glucose metabolism Diabetes mellitus Type : β cells do not produce insulin Type 2: Insulin not utilized properly Many long term implications Interaction between key variables (glucose, insulin, glucagon) Currently: ODE models / specialized experimental protocols (IVGTT) Continuous glucose sensors / insulin micropumps Extraction of richer information Detection of subtle changes (Insulin secretion pattern/ sensitivity): improved/ early diagnosis Model based glucose control: Delay/prevention of long term implications 35
Glucose metabolism models in diabetic patients 50 Sensor Glucose [mg/ dl] 00 50 Insulin uptake [microunits/ml] 0 0 50 00 50 200 250 300 350 400 450 500 Time [min] Insulin 0.2 0. 0 Mode NL z -0. 0 v -0.2-0.3 0 00 200 300 400 500 Time [min] 0 Mode 2-0.05 v2-0. -0.5-0.2 0 00 200 300 400 500 Time[min] 0 z 0 v v -0-20 -30-8 -6-4 -2 0 2 4 60 40 20 0 NL 2-20 -6-4 -2 0 0 2 4 Glucose z2 v2 v2 36
Glucose control 37