ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ.................................................... 5 1.1 Γραµµικά συστήµατα 1.1.1 1.1.2 1.1.3 ΘΕΩΡΙΑ......................................................... 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ................................. 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 14 1.2 Μη Γραµµικά Συστήµατα 1.2.1 1.2.2 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ....................................................... 20 2 Βιβλιογραφία.................................................. 21 5 19 Βιβλιογραφία.................................................. 21 2.1 2.2 Βιβλία 21 Βιβλία 21 Ιστοσελίδες 21 Ιστοσελίδες 21

Γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Μη Γραµµικά Συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 1.1.1 Γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους και τι ονοµάζουµε λύση της ; Κάθε εξίσωση της µορφής αx + βy = γ λέγεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. Λύση της ονοµάζουµε κάθε Ϲεύγος πραγµατικών (x, y) που την επαληθεύει. Ερώτηση 1.2 Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση y = κ; Η εξίσωση y = κ παριστάνει γραφικά µία ευθεία παράλληλη στον άξονα x0 x και η οποία διέρχεται από το σηµείο A(0, κ) Σχήµα 1.1: y = κ Ερώτηση 1.3 Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση x = κ; Η εξίσωση x = κ παριστάνει γραφικά µία ευθεία παράλληλη στον άξονα y 0 y και η οποία διέρχεται από το σηµείο A(κ, 0) Ρ Προσοχή : Η ευθεία x = κ δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

Σχήµα 1.2: x = κ Ερώτηση 1.4 είξτε ότι η γραµµική εξίσωση αx + βy = γ µε α 0 ή β 0 παριστάνει ευθεία. ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις : Εστω β 0 και α = 0. Τότε έχουµε : αx + βy = γ 0x + βy = γ βy = γ y = γ β που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x x και διέρχεται από το σηµείο A(0, γ β ). i Εστω β 0 και α 0. Τότε έχουµε : αx+βy = γ βy = αx+γ y = α β x+ γ β που παριστάνει ευθεία. ii Εστω β = 0 και α 0. Τότε έχουµε : αx + βy = γ αx = γ x = γ α που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον x x και διέρχεται από το σηµείο A( γ α, 0). Ερώτηση 1.5 Τι ονοµάζουµε σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ; Σύστηµα { δυο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ονοµάζεται κάθε σύστηµα της µορα1 x + β 1 y = γ 1 ϕής : α 2 x + β 2 y = γ 2 Ερώτηση 1.6 Τι ονοµάζουµε λύση ενός συστήµατος και τι επίλυση ενός συστήµατος ; Λύση ενός συστήµατος ονοµάζεται κάθε Ϲεύγος (x, y) πραγµατικών αριθµών που επαλη- ϑεύει και τις δυο εξισώσεις. Επίλυση ενός συστήµατος ονοµάζεται η διαδικασία εύρεσης του συνόλου των λύσεων του συστήµατος. Ερώτηση 1.7 Τι σηµαίνει κάνουµε επαλήθευση του συστήµατος ; Η µοναδική λύση ενός γραµµικού συστήµατος δυο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι το σηµείο τοµής των δύο ευθειών που παριστάνουν οι δυο εξισώσεις του συστήµατος. Ερώτηση 1.8 Με ποιες µεθόδους µπορεί να λυθεί ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ; Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

Μπορεί να λυθεί µε τις εξής µεθόδους : Μέθοδος της αντικατάστασης. i Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. ii Μέθοδος των οριζουσών. iv. Γραφική επίλυση Ερώτηση 1.9 Πότε ένα σύστηµα λέγεται αδύνατο και πώς ερµηνεύεται γεωµετρικά ; Ενα σύστηµα λέγεται αδύνατο όταν δεν υπάρχουν τιµές των x, y που να το επαληθεύουν. Οταν ένα σύστηµα είναι αδύνατο, γεωµετρικά σηµαίνει ότι οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήµατος είναι µεταξύ τους παράλληλες. Σχήµα 1.3: Αδύνατο σύστηµα Ερώτηση 1.10 Πότε ένα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστο) και πώς ερµηνεύεται γεωµετρικά ; Ενα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστο), όταν υπάρχουν άπειρα Ϲεύγη (x, y) που το επαληθεύουν. Οταν ένα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, γεωµετρικά σηµαίνει ότι οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήµατος συµπίπτουν. Σχήµα 1.4: Αόριστο σύστηµα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

Ερώτηση 1.11 Πότε δύο συστήµατα λέγονται ισοδύναµα ; ύο συστήµατα λέγονται ισοδύναµα όταν έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις.. Πώς ορίζονται οι ορίζου- Ερώτηση 1.12 Εστω το γραµµικό σύστηµα σες D, D x, D y ; { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2 Εστω το σύστηµα { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2. Τότε ορίζουµε τις ορίζουσες : D = α 1 β 1 α 2 β 2 = α 1 β 2 α 2 β 1 i D x = γ 1 β 1 γ 2 β 2 =γ 1 β 2 γ 2 β 1 ii D y = α 1 γ 1 α 2 γ 2 = α 1 γ 2 α 2 γ 1 Ερώτηση 1.13 Πώς γίνεται η επίλυση του γραµµικού συστήµατος µε τη ϐοήθεια των οριζουσών ; Για το γραµµικό σύστηµα { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2 ισχύει : Αν D 0, έχει µοναδική λύση, την (x, y) µε x = D x D και y = D y D. i Αν D = 0, είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Ερώτηση 1.14 Τι ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση µε τρεις αγνώστους και τι ονοµάζουµε λύση της ; Μία εξίσωση της µορφής αx + βy + γz = 0, µε έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α, β, γ διάφορο του µηδενός, λέγεται γραµµική εξίσωση µε τρεις αγνώστους. Λύση µιας γραµµικής εξίσωσης µε τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθµών που την επαληθεύει. Ερώτηση 1.15 Τι ονοµάζουµε γραµµικό σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ; Σύστηµα τριών γραµµικών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ονοµάζεται κάθε σύστηµα της α 1 x + β 1 y + γ 1 z = δ 1 µορφής : α 2 x + β 2 y + γ 2 z = δ 2 α 3 x + β 3 y + γ 4 z = δ 3 Ερώτηση 1.16 Τι λύσεις µπορεί να έχει ένα γραµµικό σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ; Επειδή η επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 3x3, όπως είδαµε παραπάνω, ανάγεται στην επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 2x2, προκύπτει ότι και ένα γραµµικό σύστηµα 3x3 ή έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

1.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία 1.1 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Η µέθοδος της αντικατάστασης περιλαµβάνει τα εξής ϐήµατα : αʹ) Λύνουµε την µια εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (συνήθως αυτόν που έχει τον µικρότερο συντελεστή κατά απόλυτη τιµή) και την τιµή του αυτή την αντικαθιστούµε στην άλλη εξίσωση. ϐʹ) Λύνουµε την εξίσωση αυτή και την λύση της την αντικαθιστούµε στην προηγούµενη εξίσωση οπότε ϐρίσκουµε και τον άλλον άγνωστο. Θέµα 1.1 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 { { x 2y = 6 x = 2y + 6 Λύση 1.1 Είναι : 3x + 4y = 8 3x + 4y = 8 { { x = 2y + 6 x = 2y + 6 6y + 18 + 4y = 8 6y + 4y = 8 18 { { { x = 2y + 6 x = 2( 1) + 6 x = 2 + 6 y = 1 y = 1 y = 1 Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). { x = 2y + 6 3(2y + 6) + 4y = 8 { x = 2y + 6 10y = 10 { x = 4 y = 1 { x = 2y + 6 y = 10 10 Μεθοδολογία 1.2 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο αντίθετων συντελεστών. Η µέθοδος των αντίθετων συντελεστών περιλαµβάνει τα εξής ϐήµατα : Βρίσκουµε το Ε.Κ.Π. των απολύτων τιµών των συντελεστών ενός αγνώστου των εξισώσεων. Προτιµούµε τον άγνωστο µε το µικρότερο Ε.Κ.Π. i Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη κάθε εξίσωσης µε εκείνον τον αριθµό ώστε να εµφανιστεί σαν συντελεστής της µεταβλητής το Ε.Κ.Π. και µε κατάλληλο πρόσηµο ώστε οι συντελεστές να είναι αντίθετοι. ii Προσθέτουµε κατά µέλη τις εξισώσεις και προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. iv. Λύνουµε την εξίσωση αυτή και την λύση της την αντικαθιστούµε στην προηγούµενη εξίσωση οπότε ϐρίσκουµε και τον άλλον άγνωστο. Θέµα 1.2 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 { { x 2y = 6 2 2x 4y = 12 Λύση 1.2 Είναι : 3x + 4y = 8 3x + 4y = 8 { { { 2x 4y + 3x + 4y = 12 + 8 5x = 20 x 2y = 6 x 2y = 6 { { { x = 4 x = 4 x = 4 4 2y = 6 2y = 6 4 y = 1 Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). x = 20 5 x 2y = 6 { x = 4 x 2y = 6 Μεθοδολογία 1.3 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο των οριζουσών. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

Η µέθοδος των οριζουσών περιλαµβάνει { τα εξής ϐήµατα : α1 x + β 1 y = γ 1 Φέρνουµε το σύστηµα στη µορφή α 2 x + β 2 y = γ 2 i Υπολογίζουµε την ορίζουσα D ii Αν D 0 τότε υπολογίζουµε τις ορίζουσες D x, D y. Το σύστηµα έχει έχει µοναδική λύση, την (x, y) µε x = D x D και y = D y D. iv. Αν D = 0 τότε πολλαπλασιάζουµε (ή διαιρούµε) τις δύο εξισώσεις µε κατάλληλους αριθµούς ώστε τα πρώτα µέλη τους να είναι ίσα. Αν τα δεύτερα µέλη διαφέρουν τότε το σύστηµα είναι αδύνατο, διαφορετικά έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 1.3 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 Λύση 1.3 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = 1 2 3 4 οπότε έχει µοναδική λύση. Εχουµε : = 1 4 3 ( 2) = 4 + 6 = 10 0, D x = 6 2 = 6 4 8 ( 2) = 24 + 16 = 40 8 4 και D y = 1 6 = 1 8 3 6 = 8 18 = 10. 3 8 Ετσι, x = D x D = 40 10 = 4 και y = D y D = 10 10 = 1. Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). Θέµα 1.4 Να λύσετε το σύστηµα : { 2x 3y = 40 4x + 6y = 80 Λύση 1.4 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = 2 3 = 2 6 ( 4) ( 3) = 12 12 = 0, 4 6 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο { ή µε άπειρες λύσεις. Αν διαιρέσουµε την δεύτερη εξίσωση 2x 3y = 40 µε το 2 το σύστηµα γίνεται : 2x 3y = 40 δηλαδή έχει µόνο µία εξίσωση, την 2x 3y = 40. Λύνουµε την εξίσωση ως προς µία µεταβλητή και έχουµε 2x 3y = 40 2x = 40+3y 40 + 3y x =. 2 Άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις της µορφής (x, y) = ( 40 + 3κ, κ), κ R. 2 Θέµα 1.5 Να λύσετε το σύστηµα : { 2x 3y = 40 4x + 6y = 100 Λύση 1.5 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = 2 3 4 6 = 2 6 ( 4) ( 3) = 12 12 = 0, Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

άρα το σύστηµα είναι αδύνατο ή µε άπειρες λύσεις. Αν διαιρέσουµε την δεύτερη εξίσωση µε το 2 το σύστηµα γίνεται : { 2x 3y = 40 2x 3y = 50 που είναι προφανώς αδύνατο. Μεθοδολογία 1.4 ιερεύνηση γραµµικού συστήµατος 2Χ2. Βρίσκουµε τις ορίζουσες D, D x, D y και τις αναλύουµε σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : Αν D 0 (ϐρίσκουµε τις τιµές τις παραµέτρου για τις οποίες D 0) τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την : x = D x D και y = D y D. i Αν D = 0, τότε κάνουµε αντικατάσταση στο σύστηµα κάθε µία από τις τιµές της παραµέτρου για τις οποίες µηδενίζεται η ορίζουσα και εξετάζουµε αν το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 1.6 Να λύσετε το σύστηµα { λx + y = λ x + λy = λ + 2 Λύση 1.6 Υπολογίζουµε τις ορίζουσες : D = λ 1 1 λ = λ2 1 = (λ 1)(λ + 1). D x = λ 1 λ + 2 λ = λ2 λ 2 = (λ + 1)(λ 2). D y = λ λ 1 λ + 2 = λ(λ + 2) λ = λ2 + 2λ λ = λ 2 + λ = λ(λ + 1). ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : 1. Αν D 0 (λ 1)(λ + 1) λ 1 0 και λ + 1 0 λ 1 και λ 1, τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση : x = D x (λ + 1)(λ 2) = D (λ 1)(λ + 1) = λ 2 λ 1 και y = D y D = λ(λ + 1) (λ 1)(λ + 1) = λ λ 1. 2. Αν D 0 λ = 1 ή λ = 1, τότε για : λ { = 1 το σύστηµα γίνεται { : 1x + y = 1 x + y = 1 x + 1y = 1 + 2 που είναι αδύνατο. x + y = 3 i λ { = 1 το σύστηµα γίνεται { : 1x + y = 1 x y = 1 x 1y = 1 2 x y = 1 x y = 1 x = y + 1 που έχει άπειρες λύσεις της µορφής (x, y) = (κ + 1, κ) κ R. Μεθοδολογία 1.5 Επίλυση συστήµατος γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους α- πό δύο αγνώστους. Για να λύσουµε ένα γραµµικό σύστηµα µε περισσότερους από δύο αγνώστους χρησι- Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

µοποιούµε µεθόδους ανάλογες µε τις µεθόδους που χρησιµοποιήσαµε για την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 2x2, δηλαδή την µέθοδο της αντικατάστασης ή την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών. 2x y + 3z = 9 (1) Θέµα 1.7 Να λυθεί το σύστηµα x + 3y z = 10 (2) 3x + y z = 8 (3) Λύση 1.7 Με τη µέθοδο της αντικατάστασης Λύνουµε την εξίσωση (2) ως προς x και κάνουµε αντικατάσταση στις εξισώσεις (1) και (3). 2x y + 3z = 9 2( 3y + z + 10) y + 3z = 9 x = 3y + z + 10 x = 3y + z + 10 3x + y z = 8 3( 3y + z + 10) + y z = 8 6y + 2z + 20 y + 3z = 9 x = 3y + z + 10 9y + 3z + 30 + y z = 8 7y + 5z + 20 = 29 x = 3y + z + 10 8y + 2z = 22 7y + 5z = 11 2 x = 3y + z + 10 8y + 2z = 22 ( 5) 14y + 10z = 58 x = 3y + z + 10 40y 10z = 110 14y + 10z + 40y 10z = 58 + 110 x = 3y + z + 10 40y 10z = 110 y = 2 x = 3 2 + z + 10 40 2 10z = 110 y = 2 x = 6 + ( 3) + 10 z = 3 y = 2 x = 6 + z + 10 80 10z = 110 y = 2 x = 1 z = 3 26y = 52 x = 3y + z + 10 40y 10z = 110 Άρα η λύση του αρχικού συστήµατος είναι η τριάδα (x, y, z) = (1, 2, 3). i Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών Θα κάνουµε απαλοιφή του z από τις εξισώσεις (2), (3). Ετσι έχουµε : 2x y + 3z = 9 x + 3y z = 10 3 3x + y z = 8 3 2x y + 3z = 9 3x + 9y 3z = 30 9x + 3y 3z = 24 Προσθέτουµε την (1) εξίσωση στις άλλες δυο και το σύστηµα γίνεται : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 12

2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 11x + 2y = 15 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 11x + 2y = 15 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 44x 8y = 60 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 39x = 39 2 1 y + 3z = 9 5 1 + 8y = 21 x = 1 2 y + 3z = 9 5 + 8y = 21 x = 1 2 2 + 3z = 9 y = 2 x = 1 z = 1 y = 2 x = 1 ( 4) Άρα η λύση του αρχικού συστήµατος είναι η τριάδα (x, y, z) = (1, 2, 3). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ίνεται η εξίσωση : 2x + 3y = 7 Να εξετάσετε αν τα Ϲεύγη (1, 2), (3, 1), (7, 6) είναι λύσεις της εξίσωσης. i Να ϐρεθούν τα (α, β) R για να είναι λύσεις της εξίσωσης τα Ϲεύγη (α, 2), (1, β). ii Να ϐρείτε τις λύσεις της εξίσωσης. 2. Ποια από τα Ϲεύγη είναι λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης; x 3y = 1 µε (4, 1), (0, 1). i x 3 + y = 3 µε (1, 1), (0, 4). 3. Να λυθούν { τα συστήµατα γραφικά { και µε τη µέθοδο της{ αντικατάστασης : 2x y = 6 2x 3y = 1 3x + 4y = 7 i ii x + y = 3 5x + 4y = 37 2x 3y = 1 4. Να λυθούν { τα συστήµατα µε τη { µέθοδο των αντίθετων συντελεστών { : 2x y = 1 2x y = 1 3x 4y = 7 i ii 3x + y = 7 4x + 2y = 3 9x + 6y = 6 5. Να λυθούν τα συστήµατα : { x 2y 2x + y = 2 3 4 4(x + y) 3(x y) = 2(3 x + y) 3x { 5x + 3y 1 = 4(x 1) y i 2 3 7(x 2) 5(y 4) = 0 6. Να προσδιορίσετε τα α, β R ώστε η ευθεία µε εξίσωση αx+βy = 5 να διέρχεται από τα σηµεία A(1, 2) και B( 1, 3) 7. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(3, 2) και B( 4, 2) 8. Να δείξετε ότι οι τρεις παρακάτω ευθείες διέρχονται από το ίδιο σηµείο. (ɛ 1 ) : 2x + 3y = 7, (ɛ 2 ) : x + y = 4, (ɛ 3 ) : 7x 11y = 40 9. Το άθροισµα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθµού είναι 3. Αν εναλλάξουµε τη ϑέση των ψηφίων του, παίρνουµε αριθµό µικρότερο του αρχικού κατά 9. Να ϐρεθεί ο αριθµός αυτός. 10. Να προσδιοριστεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(3, 2) και B(4, 5). Αν το σηµείο M(3, λ + 2 ) ανήκει στην ευθεία αυτή, να ϐρεθεί ο λ R. 11. ύο µαθητές Α και Β ϱωτούν τον καθηγητή της τάξης τους στο τέλος του τριµήνου για τον αριθµό των απουσιών τους και παίρνουν την απάντηση : «Ο λόγος των 5 απουσιών του Α προς του Β είναι 11, ενώ πριν τις τελευταίες 4 απουσίες ήταν 2 5. Πόσες απουσίες είχε ο κάθε µαθητής 12. Να υπολογίσετε δύο αριθµούς που έχουν άθροισµα 24 και η διαίρεση του µεγαλύτε- ϱου µε τον µικρότερο δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 3. 13. Ρωτήθηκε κάποιος χωρικός πόσα Ϲώα είχε και απάντησε : «Τα Ϲώα µου είναι πουλερικά και κουνέλια. Αν µετρήσεις κεφάλια τα ϐρίσκεις 48 και αν µετρήσεις πόδια, τα ϐρίσκεις 130». Πόσα πουλερικά και πόσα κουνέλια έχει ο χωρικός 14. Να λυθεί η εξίσωση 3x + 2y 12 = 0 + 4x 3y + 1 = 0 15. Να λυθεί η εξίσωση (2x + 3y 2) 2 + (x + 2y + 3) 2 = 0 16. Να λύσετε τις εξισώσεις : x + 3 x 1 x 2 1 x = 0 i x 1 = 0 1 x x + 1 x ii 2x 1 = 0 iv. x 1 1 x + 2 1 x x 1 = x 3 1 x 17. Υπολογίστε τις ορίζουσες : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

D 1 = x + 3 x 1 x 2 1 x i D 2 = α β α2 αβ ii D 3 = x + y x y x 2 y 2 x 2 + y 2 1 x 2 y 18. είξτε ότι η ευθεία (ɛ 1 ) : είναι κάθετη στην ευθεία 3 x 1 y 2 4 (ɛ 2 ) : 1 3 x 5 = y. 19. Να προσδιορίσετε { το πλήθος{ λύσεων των συστηµάτων, χωρίς { να τα λύσετε : x 3y = 1 λx + 2y = λ + 1 5x 2y = 1 i ii 2x + y = 4 3x λy = λ 10x + 4y = 10 20. Να λυθούν { και να διερευνηθούν τα { συστήµατα : x λy = 1 3x + 2y = 5 i ii λx + 3λy = 3λ + 3 λx + y = 1 21. Να λυθούν { και να διερευνηθούν { τα συστήµατα : (λ 1)x y = 4λ 4x + µy = 9 i ii xλ 2y = 4 2µx + 18y = 27 { (µ 1)x + 4y = µ (µ 1)x + µ 2 y = 2 { xλ + y = 5 x + λy = 5 { { λx y = λ 2 (λ + 1)x 2y = λ iv. x λy = λ 4 v. λx λy = 2λ 3 2 22. Να προσδιοριστεί ο λ R ώστε τα συστήµατα να έχουν : α) καµία λύση, ϐ) άπειρες λύσεις; { { x 4y = λ + 1 4x + λy = 9 i 3x + 12y = 5 2λx + 18y = 27 23. Να διερευνηθούν και να λυθούν τα συστήµατα : { λx y = µ x + y = 1 i { λx + y = 2µ + 1 2x + y = 2λ µ { { λx + y = µ + 1 λx + µy = 1 ii iv. x + λy = 2µ + 3 µx + λy = λ + µ 24. Να ϐρεθούν { τα λ, µ R, ώστε { να είναι αόριστα τα συστήµατα { : λx + yµ = 1 xλ + µx = x + y (λ + 1)x µy = 4 i ii x 2y = 2 x + 3y = 1 (µ 1)x + (λ + 2)y = 3 25. { Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R ώστε το σύστηµα να είναι αδύνατο : (λ + 3)x + (λ 1)y = 2λ + 1 (λ 2)x (λ 1)y = 3λ + 7 26. Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ{ R ώστε τα συστήµατα να είναι αδύνατα : x yλ = λ (λ 2)x yλ = 2 λx y = λ 2 i 4x + (λ + 3)y = 3 27. Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ R για τις{ οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα : (2λ 1)x + 10yµ = 3 (λ 2)x (µ + 1)y = 7 i 2x + 4y = 5 3x 6y = 5 28. Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ R για{ τις οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα : (λ 1)x yλ = 2 x + 3y = 1 i xλ + y = 0 x + yλ = 2 29. ίνονται { τα συστήµατα : { (α + 1)x yβ = 1 x + (β + 2)y = α 2 + 1 i x + y = 1 x (α 1)y = β 2 Να δειχθεί ότι αν το πρώτο είναι αόριστο, το δεύτερο είναι αδύνατο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

30. ίνεται η συνάρτηση : f(x) = αx + 2. Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε να ισχύει : β + x f(0) = 1, f(4) = 3. 2x + y = λ + 2 31. ίνεται το σύστηµα 3x 2y + λ = 5 Να αποδείξετε ότι το σύστηµα έχει λύση για κάθε λ R i Να υπολογίσετε τα x, y ii Για ποια τιµή του λ η λύση (x, y) που ϐρήκατε επαληθεύει την σχέση x + y = 5; 32. ίνονται οι ευθείες (ɛ 1 ) : x 2y = 2, (ɛ 2 ) : λx 2y = 2 Να ϐρείτε τις σχετικές ϑέσεις των (ɛ 1 ), (ɛ 2 ) για τις διάφορες τιµές του λ R i Να ϐρείτε το λ ώστε οι ευθείες να τέµνονται κάθετα ii Για το λ να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζετε από τις ευθείες και τον{ xx (λ + 2)x 3y = 2λ + 3 33. ίνεται το σύστηµα Αφού δείξετε ότι έχει µοναδική λύση x + yλ = 3 την (x 0, y 0 ), να ϐρεθεί { ο λ R, ώστε : x 0 + 3y 0 = 7. µ 2 x + yµ = 1 34. ίνεται το σύστηµα x + yµ = µ Για ποια τιµή του µ R, το σύστηµα έχει µοναδική λύση την (x 0, y 0 ); i Να ϐρεθεί ο µ R ώστε, για την µοναδική λύση να ισχύει : 2x 0 + 3y 0 = 3. αx + y = 1 35. ίνεται το σύστηµα α R. x + (1 α)y = 0 Να ϐρείτε τον α ώστε το σύστηµα να έχει µοναδική λύση x o, y o για την οποία ισχύει x o < y o + 1 { xλ + y = 1 36. Οταν η εξίσωση : (4λ 2 9)x = 2λ 3 είναι αόριστη, δείξτε ότι το σύστηµα 3x + 2y = 2 έχει άπειρες λύσεις και να τις ϐρείτε. 37. είξτε ότι { η εξίσωση : λ(xλ 1) = x + 1, είναι αδύνατη, όταν και µόνο όταν το x + 3yλ = y σύστηµα είναι αδύνατο. x + 2y = λ 4 38. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D x + D y = 9D D x D y = 5D αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 39. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D x + D y = 7D D x D y = 5D αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 40. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει 2D x + 3D y = D 4D + 7D = 11D Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 41. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D 2 + D 2 x + D 2 y = 2D 6D x + 4D y 14 να το λύσετε. 42. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 µε µοναδική λύση x o, y o ισχύει D = D x + 3D y Να αποδείξετε ότι : x o + 3y o = 1 i x 2 o 9yo 2 = D x 3D y D 43. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει : Dx 2 + Dy 2 + D 2(D x + 2D) Να αποδείξετε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση i Να ϐρείτε τη µοναδική λύση x + y = 1 44. ίνεται το σύστηµα : x 2y = µ Να αποδείξετε ότι έχει µοναδική λύση για κάθε τιµή του µ i Να ϐρείτε τη µοναδική λύση (x o, y o ) ii Να ϐρείτε τις τιµές του µ για τις οποίες ισχύει : (x o + 2) 2 + (y o 1) 2 < 8 (λ 1)x + 2λy = 2 45. ίνεται το σύστηµα 2λx + (λ 1)y = λ 1 Αν η εξίσωση x 2 + 5(D 1)x 6(D 1) 2 = 0 έχει µια διπλή ϱίζα Να ϐρείτε το λ i Να λύσετε το σύστηµα 2x + 3y ω = 2 46. Να λυθεί το σύστηµα : x + 5y + 2ω = 3 3x 4y + 5ω = 25 x 2y + 3ω = 0 47. Να λυθεί το σύστηµα : 2x 3y ω = 0 48. Να λυθεί το σύστηµα : 49. Να λυθεί το σύστηµα : 50. Να λυθεί το σύστηµα : 51. Να λυθεί το σύστηµα : 3x 5y + 2ω = 0 x + y = 1 y + ω = 2 ω + x = 7 x + y ω = 5 12x 2y + 9ω = 60 4x + 3y ω = 18 2x + 6y + ω = 18 x + 2y + 3ω = 14 3x + 8y + 4ω = 20 x y + ω = 5 2x y ω = 11 x 3y + 7ω = 3 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

52. Να λυθεί το σύστηµα : 53. Να λυθεί το σύστηµα : x 2y + 3ω = 5 2x + 4y 4ω = 10 3x 6y + 9ω = 15 2x 3y + ω = 1 x y + 3ω = 8 3x + 2y + 5ω = 16 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18

1.2 Μη Γραµµικά Συστήµατα 1.2.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.17 Τι ονοµάζουµε µη γραµµικό σύστηµα ; Μη γραµµικό σύστηµα λέγεται εκείνο το σύστηµα όπου τουλάχιστον µία εξίσωση είναι µη γραµµική. Μεθοδολογία 1.6 Τα µη γραµµικά συστήµατα, συνήθως, λύνονται µε τη µέθοδο της αντικατάστασης ή µε αλλαγή µεταβλητής Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19

1.2.2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν { τα µη γραµµικά συστήµατα { : x + 2y = 3 x 2y = 5 i x(y 1) = 0 (x 3)(x 5) = 0 { { 2x + y = 5 xy + x + y + 1 = 0 ii x 2 y 2 iv. = 0 x + 2y = 2 2. Να λυθούν µε µετασχηµατισµό τα συστήµατα : ii 2 x + 3 y = 9 1 x 2 y = 1 { 3(x + y) 2(x y) = 13 2(x + y) + 3(x y) = 13 3. Να λυθούν { τα συστήµατα 8x 2 y 2 = 16 y = 2x i i iv. 3 x + 7 y = 4 { x 2 2xy + y 2 = 1 x 2y = 2 1 x + 2 y = 1 4 x + y 5 x y = 3 5 x + y 4 x y = 6 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 20

Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.2 Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες 1. 2. 3. 4. www.mathematica.gr www.mathstekgr www.study4maths.com www.study4exams.gr