1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea unor ecuaţii diferenţiale specifice proceselor respectivi de schimb de căldură, ecuaţii stabilite, de regulă, prin scrierea bilanţurilor termice (în conformitate cu primul principiu al termodinamicii) la elemente diferenţiale de volum. Condiţiile generale de desfăşurare a proceselor de conducţie termică se referă la stabilirea următoarelor elemente: materialul este omogen sau eterogen; materialul este izotrop sau anizotrop; materialul conţine sau nu surse interioare de căldură cu o distribuţie dată; regimul termic este constant sau tranzitoriu; propagarea căldurii are loc uni, bi sau tri-direcţional. Legea lui Fourier, reprezintă ecuaţia de bază a conducţiei termice unidirecţionale printrun material cu conductivitatea termică λ. Ea are forma: Φ = dq dτ = -λs dt dx [W]; q s = Φ S = -λdt dx [W/m2 ], (1.1) în care : Φ este fluxul de căldură, în W; Q - căldura, în J; τ - timpul; λ - conductivitatea termică a materialului, în W/(m- C); S - aria suprafeţei de schimb de căldură în m 2 ; dt/dx - gradientul temperaturii, în C/m. Pe baza legii lui Fourier se pot stabili ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice. Ecuaţia generală a conducţiei termice este ecuaţia transferului tri-direcţional de căldură prin conducţie în regim tranzitoriu printr-un corp cu surse interioare de căldură. Ea reprezintă bilanţul termic aplicat unui element de volum într-un interval de timp dat: Căldura acumulată = în corp Căldura intrată în corp prin suprafeţele + lui exterioare Se admit următoarele ipoteze simplificatoare: Căldura generată sau absorbită prin sursele interioare de căldură corpul este omogen şi izotrop, astfel încât conductivitatea sa termică este constantă, λ x = λ y = λ z = λ = const.; căldura specifică masică c p [J/(kg ºC)] şi densitatea materialului ρ [kg/m 3 ] rămân constante în intervalul de temperatură considerat; în interiorul corpului există surse uniforme de căldură cu densitatea volumetrică, (fluxul termic unitar volumetric) q v [W/m 3 ] = const. (1.2) 1
Din material se consideră un element infinitezimal dx, dy, dz în coordonate rectangulare (Figura 1.1). Se consideră direcţia x. Dacă temperatura feţei ABCD este t, iar gradientul temperaturii este dt/dx, atunci temperatura feţei opuse este t + (dt/dx)dx Căldura care traversează în timpul dτ faţa ABCD se determină cu legea lui Fourier pentru conducţia termică unidirecţională: dq x1 = -λ t dy dz dτ [J] (1.3) x unde dy dz, este aria suprafeţei de schimb de căldură normală pe direcţia x considerată de propagare a căldurii. Căldura care traversează faţa opusă A'B'C'D' este: dq x2 = -λ x t + t dx x dy dz dτ [J] (1.4) Căldura care rămâne în elementul de volum, după direcţia x, este: Figura 1.1 Conducţia termică printr-un element infinitezimal de volum în coordonate rectangulare. dq x = dq x1 - dq x2 = λ 2 t x 2 dx dy dz dτ [J] (1.5) în mod analog, se obţine pentru direcţiile y şi z dq y = dq y1 - dq y2 = λ 2 t y 2 dx dy dz dτ [J] (1.6) dq z = dq z1 - dq z2 = λ 2 t z 2 dx dy dz dτ [J] (1.7) Căldura totală acumulată de elementul dx, dy, dz este dq = dq x + dq y + dq z = λ x 2 + 2 t z 2 dx dy dz dτ [J] (1.8) La această căldură trebuie adăugată căldura generată sau absorbită de sursele termice interioare (de exemplu, datorită schimbării stării de agregare a materialului corpului, curgerii curentului electric sau reacţiilor de fisiune nucleară) cu fluxul unitar volumetric q v, şi anume: dq 2 = q v dx dy dz dτ [J] (1.9) în care q v este, pozitiv pentru sursele generatoare de căldură şi negativ pentru sursele absorbante de căldură. Cantitatea de căldură acumulată dq = dq 1 + dq 2, produce în timpul dτ o variaţie de temperatură a elementului ( t/ τ)dτ, adică: dq = dx dy dz ρ c t p dτ [J] (1.10) τ 2
înlocuind expresiile pentru dq 1, dq 2, dq, în ecuaţia bilanţului termic, se obţine : λ x 2 + 2 t z 2 dx dy dz dτ + q v dx dy dz dτ = dx dy dz ρ c t p dτ (1.11) τ de unde rezultă ecuaţia diferenţială care exprimă variaţia temperaturii în timp în corpul considerat: t τ = λ ρ c p x 2 + 2 t z 2 + q v (1.12) ρ c p care reprezintă totodată ecuaţia generală a conducţiei termice. Notând în ecuaţia precedentă: a = λ/(ρ c p ), denumită difuzivitatea termică a corpului, exprimată în m 2 /s, rezultă forma echivalentă: unde 2 t este laplacianul temperaturii. 1 t a τ = 2 t + q v (2.13) (1.13) λ Difuzivitatea termică a reprezintă o proprietate fizică a materialelor şi este raportul dintre conductivitatea termică λ şi proprietăţile materialului de acumulare a căldurii, exprimate prin căldura specifică volumetrică ρ c p [J/(m 3 ºC)]. Mărimea a apare în procesele termice tranzitorii şi caracterizează variaţia în timp a temperaturii. După cum rezultă din ecuaţia generală a conducţiei termice, gradientul temperaturii în timp dt/dτ într-un punct al unui corp este proporţional cu a, difuzivitatea termică fiind astfel o măsură a inerţiei termice a corpului considerat. Cu cât viteza de variaţie a temperaturii unui corp este mai mare cu atât difuzivitatea sa termică este mai ridicată, respectiv inerţia termică mai coborâtă. În acest sens, lichidele şi gazele au o difuzivitate termică coborâtă şi deci o inerţie termică ridicată, în timp ce metalele posedă o difuzivitate termică mare, respectiv o inerţie termică redusă. Ecuaţia generală a conducţiei termice are un număr de cazuri particulare prezentate în Tabelul 1.1. Tabelul 1.1 2.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Denumirea ecuaţiei Tipul ecuaţiei Ecuaţia Ecuaţia generală a conducţiei Ecuaţia lui Poisson Ecuaţia lui Fourier Ecuaţia lui Laplace Regim tranzitoriu cu surse interioare de căldură Regim constant cu surse interioare de căldură Regim tranzitoriu fără surse interioare de căldură Regim constant fără surse interioare de căldură Ecuaţia lui Helmholz Regim constant cu o funcţie liniară a termenului de temperatură 2 t + q v λ = 1 a t τ 2 t + q v λ = 0 2 t = 1 a t τ 2 t = 0 2 t + B 2 t = 0 În Tabelul 1.2 se dau expresiile laplacianului temperaturii 2 t în coordonate rectangulare, cilindrice şi sferice, pentru procese uni şi tri-direcţionale. Tabelul 1.2 Laplacianul temperaturii, 2 t 3
Coordonate Rectangulare Cilindrice Sferice x = r cosφ x = r cosφ sinψ Relaţii x = r sinφ x = r sinφ sinψ z = z z = r cosψ O dimensiune (procese unidimensionale) dx 2 r 2 + 1 r t r r 2 + 2 r t r Trei dimensiuni (procese tridimensionale) x 2 + 2 t z 2 r 2 + 1 r t r + 1 r 2 2 t φ 2 + 2 t z 2 r 2 + 2 r t r + 1 r 2 tgψ t ψ + 1 r 2 2 t 1 t ψ 2 + r 2 sin 2 ψ 2 φ 2 Ecuaţia conducţiei termice se poate generaliza pentru cuprinderea tuturor cazurilor practice prin considerarea următoarelor ipoteze generale: corpul este neomogen şi anizotrop, astfel încât conductivitatea termică a acestuia se modifică cu direcţia: λ = λ(λ x, λ y, λ z ); densitatea şi căldura specifică a materialului sunt variabile cu temperatura: ρ = ρ(t), c p = c p (t); în interiorul corpului există surse discrete de energie plasate în punctele x i, y i, z i, generând sau absorbind cantitatea de căldură q i (x i, y i, z i, τ), unde i = 1, 2,, n Procedând în mod analog, prin aplicarea bilanţului termic la un element de volum într-un interval de timp dat, se obţine următoarea ecuaţie diferenţială: c p (t)ρ(t) t τ = x λ x + t x + y λ y + t y + z λ z + t z + Σ q i(x i, y i, z i, τ) [W/m 3 ] (1.14) În cazul particular al corpurilor omogene şi izotrope, solide sau fluide incompresibile fără frecare, cu conductivitatea termică λ = const., la care densitatea ρ şi căldura specifică c p nu depind de temperatură, având surse interioare uniforme de energie cu fluxul unitar volumetric q v = const., ecuaţia generală precedentă capătă forma ecuaţiei generale. În Tabelul 1.3 se prezintă principalele ecuaţii diferenţiale ale conducţiei termice în regim constant şi tranzitoriu întâlnite în aplicaţiile practice. 4
Tabelul 1.3 Principalele ecuaţii diferenţiale ale conducţiei termice pentru aplicaţiile practice curente Ecuaţia diferenţială Soluţia generală Observaţii Regim staţionar: dx 2 = 0 t = C 1 x + C 2 Placă, conducţie unidirecţională Transfer de căldură unidirecţional prin corpuri conductiv-convective (nervuri) dx 2 + m2 t = 0 t = C 1 sin mx + C 2 cos mx dx 2 - m2 t = 0 t = C 1 sinh mx + C 2 cosh mx Idem dx 2 + q v λ = 0 t = -q v Conducţie unidirecţională prin corpuri cu 2λ x2 + C 1 x + C 2 surse interioare de căldură cu densitatea q v dx 2 + d2 t dy 2 = 0 t = [C 1 sin ζx + C 2 cos ζx] [C 3 exp (ζy) Placă, conducţie bidirecţională + C 4 exp (-ζy)] r 2 + 1 r t r = 0 t = C 1ln r + C 2 Conducţie simetrică în coordonate cilindrice r 2 + 1 r t r + q v λ = 0 t = -q v Conducţie prin corpuri cilindrice cu surse 4λ r2 + C 1 ln r + C 2 interioare de căldură r 2 r 2 + r t r + (m2 r 2 + n 2 )t = 0 t = C 1 J n (mr) + C 2 Y n (mr) Conducţie unidirecţională în corpuri cilindrice r 2 r 2 + r t r - (m2 r 2 + n 2 )t t = C 1 I n (mr) + C 2 K n (mr) Idem = 0 r 2 + 1 r t r + 2 t t = [C z 2 = 0 1 J 0 (ζr) + C 2 Y 0 (ζr)] [C 3 sinh(ζz) + Conducţie bidirecţională simetrică în C 4 cosh(ζz)] coordonate cilindrice r 2 + 1 r t r + 1 r 2 2 t t = (C ϕ 2 = 0 1 r ζ + C 2 r -ζ ) [C 3 sin(ζϕ) + Conducţie bidirecţională în coordonate C 4 cos(ζϕ)] cilindrice r 2 + 2 r t r = 0 t = -C Conducţie unidirecţională în coordonate 1/r + C 2 sferice (1 - r 2 ) 2 t r 2-2r t r + n(n + t = C 1 P n (r) + C 2 Q n (r) Idem 1)t = 0 r r 2 t + r 1 sinψ ψ sin t t = (C 1 r ζ + C 2 r -ζ ) P n cos(ψ) Conducţie bidirecţională în coordonate sferice ψ = 0 Regim tranzitoriu: x 2 = 1 t t = e -ζ2aτ [C 1 sin(ζx) + C 2 cos(ζx)] Placă, conducţie unidirecţională a τ x 2 + 1 t r r = 1 t t = e a -ζ2 aτ C τ 1 J 0 ζr a + C 2Y 0 ζr Conducţie unidirecţională în coordonate a cilindrice x 2 + 2 t r r = 1 2 t aτ a τ t = e-ζ Conducţie unidirecţională în coordonate r [C 1 sin(ζr) + C 2 cos(ζr)] sferice unde: t - temperatura, în ºC; x, y, z - coordonate rectangulare, în m; r, ϕ, z - coordonate cilindrice; r, ϕ, ψ - coordonate sferice; a - difuzivitatea termică în m 2 /s; λ - conductivitatea termică în W/(m 2 K); ρ - densitatea, în kg/m 3 ; c p - căldura specifică, în J/(kg K); q v - flux termic unitar volumetric, în W/m 3 ; τ - timpul în s; m 2 = αp/λs, în m 2 ; P - perimetrul în m; S - aria suprafeţei în m; α - coeficientul de convecţie, în W/(m 2 K); J n, Y n - funcţii Bessel de speţa întâi şi a doua, ordinul n; I n, K n - funcţii Bessel modificate de speţa întâi şi a doua, ordinul n; P n, Q n - funcţii Legendre de speţa întâi şi a doua, ordinul n; ζ - valori proprii. Constantele de integrare C 1 C 2 şi ζ se determină din condiţiile iniţiale şi la limită ale problemei. 5
1.2 Condiţiile de determinare univocă a proceselor de conducţie Ecuaţiile diferenţiale stabilite mai sus descriu categorii largi de fenomene de conducţie termică. Considerarea unui proces particular dintr-o multitudine de procese reprezintă, din punct de vedere matematic, ataşarea, la ecuaţiile diferenţiale generale a unui set de elemente descriptive specifice procesului analizat. Aceste elemente specifice poartă numele de condiţii de determinare univocă a procesului, astfel încât acestea împreună cu ecuaţiile diferenţiale dau o descriere fizico-matematică completă a procesului, permiţând rezolvarea problemei prin metode analitice, numerice sau experimentale. Condiţiile de determinare univocă a proceselor de conducţie cuprind următoarele date: Condiţii geometrice, care determină forma geometrică şi dimensiunile corpului în care se desfăşoară procesul de conducţie. Condiţii fizice, care stabilesc valorile proprietăţilor fizice ale corpului (conductivitatea termică, difuzivitatea termică, căldura specifică, densitatea etc.) şi variaţia în timp şi spaţiu a surselor interioare de căldură. Condiţii iniţiale, care determină distribuţia temperaturii în interiorul corpului, la momentul iniţial, τ = 0. în cazul general, această condiţie poate fi exprimată analitic sub forma: t = f(x, y, z) la τ = 0. Cazul cel mai simplu îl constituie distribuţia uniformă de temperatură în corp t = t 0 = const., pentru t = 0. Condiţii de limită sau de contur, care definesc legătura corpului cu mediul ambiant şi care pot fi exprimate în mai multe moduri: Condiţiile la limită de primul tip se referă la cunoaşterea distribuţiei temperaturii pe suprafaţa corpului în fiecare moment τ şi se exprimă,în cazul general, printr-o ecuaţie de forma t s = f(x, y, z, τ), unde t este temperatura suprafeţei, iar x, y, z sunt coordonatele suprafeţei. În cazul particular, în care temperatura suprafeţei rămâne constantă pe durata desfăşurării procesului de transfer de căldură, ecuaţia precedentă se simplifică în forma t s = const. Condiţiile la limită de al doilea tip stabilesc valorile fluxului termic la suprafaţa corpului pentru orice τ, cu exprimarea matematică generală q supr = f(x, y, s, τ), în care q supr, este densitatea fluxului termic pe suprafaţa corpului în punctele de coordonate x, y, z. În cazul cel mai simplu, q supr = const., respectiv densitatea, fluxului termic rămâne constantă în timp pe întreaga suprafaţă a corpului. Condiţiile la limită de al treilea tip cuprind cunoaşterea temperaturii mediului ambiant şi legea după care se desfăşoară transferul de căldură între suprafaţa corpului şi mediul înconjurător. După cum s-a arătat, procesul de schimb de căldură între suprafaţa unui corp cu temperatura t s şi mediul ambiant reprezentat de un fluid cu temperatura t f (de exemplu, t s > t f ) este dat de legea lui Newton: q s = α(t s - t f ), unde q s este fluxul unitar de suprafaţă, iar α - coeficientul de schimb de căldură prin convecţie. Dacă se consideră o arie egală cu unitatea pe suprafaţa corpului, atunci, potrivit legii conservării energiei, cantitatea de căldură transferată prin conducţie prin corp care traversează aria unitară este egală cu cantitatea de căldură preluată prin convecţie de către fluid de pe aceeaşi arie unitară (Figura 1.2, a), adică: α(t s - t f ) = -λ t x t s x = - α/λ (t s - t f ) (1.15) s 6
în care transferul de căldură prin conducţie a fost stabilit cu ajutorul legii lui Fourier, (dt/dx) s reprezentând gradientul temperaturii pe suprafaţa corpului, în direcţia x normală pe suprafaţă. Relaţiile anterioare exprimă condiţiile la limită de al treilea tip prin Figura 1.2 Exprimarea grafică a condiţiilor la limită de tipul trei (a) şi patru (b). aplicarea legii conservării energiei la suprafaţa corpului, ca egalitatea dintre fluxul unitar de suprafaţă transmis prin conducţie şi fluxul unitar de suprafaţă transmis prin convecţie (q s,cond = q s,conv ). Conform cu Figura 1.2, a: (dt/dx) s = tg φ. Condiţiile la limită de al patrulea tip definesc procesul de conducţie între un corp sau un sistem de corpuri şi mediul ambiant. Admiţându-se un contact termic perfect între suprafeţele corpurilor vecine, se poate scrie egalitatea fluxurilor termice unitare prin suprafeţele în contact (Figura 1.2, b): λ 1 t 1 x = λ 2 t 2 s x (1.16) s în care λ 1 şi λ 2 sunt conductivităţile termice ale celor două corpuri vecine, iar dt/dx este gradientul temperaturii pe suprafaţa de contact în direcţie normală, pentru fiecare corp în parte. Pe suprafaţa de contact, pantele curbelor temperaturii îndeplinesc condiţia tg φ 1 = tg φ 2 = λ 1 /λ 2 = const. Bibliografie 1. Ştefănescu D., Leca A., s.a. - Transfer de căldură şi masă - Teorie şi aplicaţii, Ed.D.P., Bucureşti, 1982, pg. 24-33 7