ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν() =, ηµ( )--0. = 0, 3 5 5 0, 0 + = >, κλπ.. Η µέθοδος διχοτόµησης Η µέθοδος διχοτόµησης βασίζεται στο ακόλουθο Θεώρηµα: Θεώρηµα (Βοlzao): Eστω α,b R, α < b και f():[a,b] R είναι µία συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [α,b], µε f(α) f(b)<0. Τότε, υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f()=0 στο ανοικτό διάστηµα (α,b). Με χρήση του παραπάνω θεωρήµατος, δεν γνωρίζουµε αν υπάρχουν περισσότερες της µίας ρίζες, ούτε ποια είναι η τιµή τους. Η µέθοδος: Χωρίς περιορισµό της γενικότητας, θεωρούµε µία πραγµατική συνάρτηση f(), συνεχή στο κλειστό διάστηµα [α,b], α < b, µε f(α)<0 και f(b)>0. Εστω ρ µία ρίζα της εξίσωσης f() = 0. Κατασκευάζουµε µία ακολουθία προσεγγίσεων,,,... m = της ρίζας ρ ως εξής: Βήµα ο : Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το Ι = [α,b] και υπολογίζουµε m να είναι το µέσον του διαστήµατος Ι. a+ b =, ( η προσέγγιση της ρίζας) Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής f ( m ). Αν f ( m ) = 0, τότε έχουµε βρει µία ρίζα και σταµατούµε, αλλιώς συνεχίζουµε στο επόµενο βήµα. Βήµα 3 ο Oρίζουµε ένα νέο διάστηµα 4
I ( a, m), οταν f( m) f( a) < 0 = ( m, b), οταν f( m) f( a) 0, εντός του οποίου η συνάρτηση f() ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήµατος Bolzao και ως εκ τούτου υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() = 0 στο Ι. Για να βούµε την η προσέγγιση m της ρίζας ρ, επιστρέφουµε στο ο βήµα και επαναλαµβάνουµε τα βήµατα -3 θεωρώντας πλέον ως αρχικό διάστηµα το Ι κλπ. Αποδεικνύεται ότι το lim m = ρ. Είναι φανερό ότι σε κάθε επανάληψη των βηµάτων -3, το εύρος του αρχικού διαστήµατος όπου υπάρχει η ρίζα υποδιπλασιάζεται, διότι το ένα από τα δύο άκρα του νέου διαστήµατος, µεταφέρεται ακριβώς στο µέσον του ακριβώς προηγούµενου διαστήµατος. Συνεπώς, µετά από Ν επαναλήψεις των βηµάτων -3, το εύρος (µήκος) l(ν) του διαστήµατος Ι Ν είναι: b a ln ( ) =. N Αν λοιπόν τερµατίσουµε τη διαδικασία µετά από Ν επαναλήψεις, δεν θα έχουµε υπολογίσει την ακριβή ρίζα ρ, αλλά µία προσέγγισή της m N. Επειδή όµως και οι δύο τιµές ρ, m N θα βρίσκονται εντός του διαστήµατος Ι Ν (µάλιστα η m Ν είναι το µέσον του Ι Ν ), θα ισχύει: 5
ln ( ) b a ερ = ρ mn =, N που προφανώς είναι ένα άνω φράγµα για το απόλυτο σφάλµα. Συνήθως τερµατίζουµε τη διαδικασία όταν το εύρος του διαστήµατος Ι Ν γίνει µικρότερο από µία θετική παράµετρο ανοχής ε. Θέτουµε λοιπόν b a ε < ε < ε ρ και λύνοντας την παραπάνω ανίσωση ως προς Ν προσδιορίζουµε εκ των προτέρων το πλήθος των επαναλήψεων που απαιτούνται, ώστε να έχουµε αποτέλεσµα µε την επιθυµητή ακρίβεια ε: N N > l ( b a) lε. l Παράδειγµα Εστω f() συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [α,b], α < b και έστω ότι δίνεται ο ακόλουθος πίνακας: α b (α+b)/ (α+3b)/4 Πρόσηµο των τιµών f() + + Να υπολογίσετε µε τη µέθοδο διχοτόµησης µία ρίζα της εξίσωσης f() = 0 για Ν = 3 επαναλήψεις και να υπολογίσετε το σφάλµα, εάν b-α = 0.4. Λύση η επανάληψη: ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το Ι = (α,b). Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι a+ b m =, ( η προσέγγιση της ρίζας). Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής f ( m ) παραπάνω πίνακα τιµών έχουµε ότι f( m ) < 0.. Από τον 6
Βήµα 3 ο Υπολογίζουµε το γινόµενο του προσήµου της τιµής f ( m ) µε το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης f στα άκρα του διαστήµατος I. Επειδή f( m ) f( b ) < 0, oρίζουµε ένα νέο διάστηµα I : I a+ b = b., η επανάληψη: ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το a+ b I =, b. Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι m a+ b + b a+ 3b = =, ( η προσέγγιση της ρίζας). 4 Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής f ( m ) παραπάνω πίνακα τιµών έχουµε ότι f( m ) > 0.. Από τον Βήµα 3 ο Υπολογίζουµε το γινόµενο του προσήµου της τιµής f ( m ) µε το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης f στα άκρα του διαστήµατος I. a+ b Επειδή f f( m ) < 0 oρίζουµε ένα νέο διάστηµα I 3 : I 3 a+ 3 b a+ b =, 4. 3 η επανάληψη: ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το I3 Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι 3 a+ 3 b a+ b =, 4. m 3 a+ 3b a+ b + 4 3a+ 5b = =, 8 η οποία τιµή m 3, εφόσον η 3 η επανάληψη είναι και η τελευταία, µας δίνει την προσεγγιστική ρίζα της εξίσωσης f() = 0. Για το σφάλµα έχουµε: 7
ε ρ b a 0.4 = =. N 3 3 Παράδειγµα Να υπολογίσετε µε τη µέθοδο διχοτόµησης τη µοναδική ρίζα της εξίσωσης + = e στο διάστηµα (,). Η διαδικασία να σταµατήσει όταν το εύρος του τελικού διαστήµατος γίνει µικρότερο του 0.04. Λύση Εφόσον b a N ε ρ 0.04 0.04 5 l l 5 N N N ( ) ( ) N l 5 4.64 N = 5, l άρα χρειαζόµαστε τουλάχιστον 5 επαναλήψεις, ώστε το σφάλµα να γίνει µικρότερο του 0.04. Παρατηρούµε ότι f() = +-e και f() =, f()<0, άρα υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() = 0 στο ανοικτό διάστηµα (0,). η επανάληψη: ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το Ι = (,). Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι m + = =.5. Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής.5 f(.5) =.5 + e = 3 + 4.4869 < 0. Βήµα 3 ο Υπολογίζουµε το γινόµενο του προσήµου της τιµής f( m ) = f(.5) µε το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης f στα άκρα του διαστήµατος I. Επειδή f (.5) f () < 0 oρίζουµε ένα νέο διάστηµα I : I = (.5,). η επανάληψη: 8
ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το Ι = (.5, ). Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι m.5 + = =.75. Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής f (.75) = 3.5 + 5.7546 < 0. Βήµα 3 ο Υπολογίζουµε το γινόµενο του προσήµου της τιµής f( m ) = f(.75) µε το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης f στα άκρα του διαστήµατος I. Επειδή f (.5) f (.75) < 0, oρίζουµε ένα νέο διάστηµα I 3 : I 3 = (.5,.75). Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο, εκτελέστε τις υπόλοιπες 3 επαναλήψεις και διαπιστώστε ότι η προσεγγιστική ρίζα είναι η m 5 =.67835.. Επαναληπτικές µέθοδοι. Μέθοδος Νewto-Raphso Kάθε εξίσωση της µορφής f() = 0, µπορεί να γραφεί ισοδύναµα στη µορφή = φ() µε πολλούς τρόπους. Σε τέτοιες παραστάσεις βασίζονται οι λεγόµενες επαναληπτικές µέθοδοι. Ορισµός.. Ένα σηµείο * του πεδίου ορισµού µιας συνάρτησης φ καλείται σταθερό σηµείο της, αν ισχύει φ(*) = *. Στις επαναληπτικές µεθόδους, γράφουµε την εξίσωση f() = 0 στη µορφή = φ() και ξεκινώντας από µία αρχική τιµή 0, υπολογίζουµε µία ακολουθία προσεγγίσεων ενός σταθερού σηµείου της φ από τη σχέση = φ( - ). Aν λοιπόν * και αν η φ() είναι συνεχής στο σηµείο *, τότε το * είναι σταθερό σηµείο της φ. Πράγµατι: ( ) ( ) * = lim = lim ϕ( ) = ϕ lim = ϕ *. Υπαρξη και µοναδικότητα σταθερού σηµείου Θεώρηµα.. Εστω φ:[a,b] [a,b] συνεχής πραγµατική συνάρτηση τέτοια ώστε: 9
υπαρχει 0< C < : ϕ( ) ϕ( y) C y, y [ a, b], (µία τέτοια συνάρτηση καλείται συστολή), τότε η συνάρτηση φ έχει µοναδικό σταθερό σηµείο *. Eπιπλέον, για οποιαδήποτε αρχική τιµή 0 [α,b], η ακολουθία µε αναδροµικό τύπο = φ( - ) συγκλίνει προς το *. Τέλος, για κάθε φυσικό αριθµό ισχύει: Tάξη σύγκλισης ακολουθίας * C *. (.) H σχέση (.), υπονοεί ότι η ακολουθία συγκλίνει (τουλάχιστον) γραµµικά στο σταθερό σηµείο * της φ(). Γενικότερα, θα λέµε ότι η σύγκλιση είναι (τουλάχιστον) τάξης p, p >, αν ισχύει p * C *, για κάθε φυσικό αριθµό. Προσδιορισµός της τάξης σύγκλισης µιας ακολουθίας Για τον προσδιορισµό της τάξης σύγκλισης µιας ακολουθίας που είναι γενικά µία δύσκολη υπόθεση, πολύ χρήσιµο είναι το ακόλουθο: Θεώρηµα.. Εστω ότι * για κάθε φυσικό αριθµό και έστω ότι ισχύει: lim = a 0, + * p ( * ) τότε η τάξη σύγκλισης της ακολουθίας είναι ακριβώς p. Ας υποθέσουµε τώρα ότι πλέον των υποθέσεων του θεωρήµατος συστολής.., έχουµε ότι η συνάρτηση φ() είναι συνεχώς παραγωγίσιµη στο [α,b]. Tότε, από το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού, υπάρχει τιµή ξ µεταξύ των και : ( ) ( ) ( )( ) * = ϕ ϕ * = ϕ ξ *. + Eφόσον *, θα ισχύει ότι ξ * και λόγω συνέχειας της φ () έχουµε: 30
Αν λοιπόν ϕ ( ) + * lim = ϕ * * ( ) 0 < * <, τότε η τάξη σύγκλισης που παράγει η επαναληπτική µέθοδος = φ( - ) είναι ακριβώς ένα. Για να πάρουµε λοιπόν επαναληπτικές µεθόδους = φ( - ) µε τάξη σύγκλισης µεγαλύτερη του, θα πρέπει να αναζητήσουµε µεθόδους για τις οποίες ισχύει ϕ ( *) = 0. Μία τέτοια είναι και η µέθοδος Newto-Raphso που θα αναπτύξουµε στη συνέχεια. Παράδειγµα 3 Εστω πραγµατική συνάρτηση f, τέτοια ώστε * είναι απλή ρίζα της f () = 0 και η f είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιµη σε µία περιοχή του *. Να δειχθεί ότι η επαναληπτική µέθοδος. f ( ) = +, f ( ) συγκλίνει στο * και να υπολογισθεί η τάξη σύγκλισης. ( ) Λύση Θεωρούµε την επαναληπτική µέθοδο = φ(), όπου ϕ f ( ) = f ( ). Παραγωγίζουµε και βρίσκουµε: f( ) f ( ) ϕ ( ) = ϕ ( *) = 0, ( f ( ) ) άρα υπάρχει µία περιοχή Ι του * τέτοια ώστε ϕ ( ) C <, οπότε ϕ( ) ϕ( y) ϕ ( ξ) y C y,, y I, οπότε από το θεώρηµα.. της συστολής η φ() έχει µοναδικό σταθερό σηµείο *, και η ακολουθία ( ) µε αναδροµικό τύπο = φ( - ) *,. Για να υπολογίσουµε την τάξη σύγκλισης θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα... Από τον τύπο του Τaylor µε κέντρο το σηµείο * έχουµε: 3
f ( ξ ) f f f f ( ) = f (*) + f ( ξ )( *), ξ (*, ) η ξ (, *) ( ) = (*) + (*)( *) + ( *), ξ (*, ) η ξ (, *). Aντικαθιστούµε τις τιµές f ( ), f ( ) στον αναδροµικό τύπο f ( ) = +, και παίρνουµε: f ( ) + = f ( ξ ) f( *) + f ( *)( *) + ( *), f (*) + f ( ξ )( *) * = ( *) + f ( ξ) f (*)( *) + ( *) f (*) + f ( ξ )( *) * = ( *) + f ( ξ ) f ( ξ ), f (*) + f ( ξ )( *) άρα: * f ( * ) + lim = 0 ( *) f ( *), άρα η τάξη σύγκλισης είναι. Η µέθοδος Newto-Raphso Η µέθοδος Newto-Raphso βασίζεται στο ακόλουθο: Θεώρηµα..3 Εστω µία πραγµατική συνάρτηση f(): (α) η f() είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α,b], µε f ( ), f ( ) 0 για κάθε [α,b], (β) f(α) f(b)<0, τότε υπάρχει µοναδική ρίζα * της εξίσωσης f()=0 στο ανοικτό διάστηµα (α,b), η οποία είναι το όριο της αναδροµικής ακολουθίας: ( ) ( ) f =, =,,..., f 3
όπου το αρχικό σηµείο 0 της αναδροµικής σχέσης εκλέγεται έτσι ώστε f( ) f ( ) > 0. 0 0 Απόδειξη Από τη συνθήκη (β) και την παραγωγισιµότητα της f() προκύπτει ότι η εξίσωση f() = 0 έχει µία τουλάχιστον ρίζα * στο ανοικτό διάστηµα (α,b). Εφόσον δε f ( ) 0 για κάθε [α,b], προκύπτει ότι η συνάρτηση f() είναι γνησίως µονότονη στο [α,b], άρα η ρίζα * είναι µοναδική. Xωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι f(α) < 0, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Επιπλέον, έστω 0 : f( 0) > 0, τότε από τη συνθήκη f( 0) f ( 0) > 0 προκύπτει ότι f ( 0) > 0 και εφόσον ισχύει f ( ) 0 για κάθε [α,b] θα έχουµε f ( ) > 0 για κάθε [α,b], δηλαδή η f είναι κυρτή στο [α,b]. f ( ) Θεωρούµε τώρα την ακολουθία =, =,,... f ( ) Με τη µέθοδο της επαγωγής θα δείξουµε ότι η ( ) είναι κάτω φραγµένη από τη ρίζα *. Αφού η f () είναι γνησίως αύξουσα και f ( 0) > 0 = f( *), προκύπτει ότι 0 > *.Υποθέτουµε ότι > *, θα δείξουµε ότι + > *. Aπό το ανάπτυγµα Τaylor της f() µε κέντρο το σηµείο έχουµε: ( ξ ) ( ) ξ ( ) f f ( ) = f( ) + f ( )( ) +,,, oπότε για = * έχουµε: ( ξ ) ( ) ξ ( ) f 0 = f ( *) = f( ) + f ( )( * ) + *,, άρα f f ( )( ) ( ) + * < 0, (αφού υποθέσαµε ότι η f είναι κυρτή) και κάνοντας τις πράξεις παίρνουµε f( ) > * + > *. f ( ) Aρα η ακολουθία ( ) είναι κάτω φραγµένη. 33
Aπό την παραπάνω ανισότητα και τη µονοτονία της f ισχύει ότι f( + ) > f( *) = 0 για κάθε άρα: f( ) = < f ( ) για κάθε, δηλαδή η ακολουθία ( ) είναι γνησίως φθίνουσα. Αφού είναι και κάτω φραγµένη συγκλίνει σε έναν αριθµό. Tότε: lim f( ) f( ) = = = lim lim f( ) 0 lim f ( ) lim f ( ) άρα το όριο της ακολουθίας είναι η µοναδική ρίζα της εξίσωσης f() = 0. Πόρισµα.. Με τις προϋποθέσεις του προηγούµενου θεωρήµατος, το σφάλµα κατά την προσέγγιση της µοναδικής ρίζας της εξίσωσης f() = 0 µε τη µέθοδο Νewto-Raphso από τον όρο δίνεται από τη σχέση M *, m m= mi f ( ), M = ma f ( ). όπου [ a, b] [ a, b], Απόδειξη Εστω * η µοναδική ρίζα της εξίσωσης f() = 0, από το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού ισχύει: ( )( ) ( ) f (*) f( ) = f c *, c,, άρα 0 f ( ) f ( c )( * ) =, συνεπώς: f( ) f( ) * =, f ( c ) m (.) όπου m= mi [ a, b] f ( ). Aπό το ανάπτυγµα Τaylor της f() µε κέντρο το σηµείο - έχουµε: 34
( ξ ) ( ) ξ ( ) f f ( ) = f( ) + f ( )( ) +,,, oπότε για = έχουµε: ( ξ ) ( ) ξ ( ) f f ( ) = f( ) + f ( )( ) +,, + ( ξ ) ( ) f =, (.3) διότι f( ) = f( ) + f = 0. ( )( ) f ( ) Αντικαθιστούµε την (.3) στην (.) και παίρνουµε το ζητούµενο. Γεωµετρική ερµηνεία Η γεωµετρική ερµηνεία της µεθόδου γίνεται σαφής µε τη βοήθεια του ακόλουθου σχήµατος: Eστω f ( ) Σχήµα : H µέθοδος Newto = 0 0 f ( 0 ) η η προσέγγιση της ρίζας στην η επανάληψη. Η εξίσωση της εφαπτόµενης της συνάρτησης f() στο σηµείο (, f( )) είναι: 35
y f( ) = f ( )( ). H εφαπτόµενη ευθεία τέµνει τον άξονα των σε ένα σηµείο το οποίο υπολογίζεται εύκολα αν θέσουµε στην εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας y = 0, =, οπότε βρίσκουµε: f ( ) = f ( ), η οποία είναι ακριβώς η αναδροµική σχέση του Θεωρήµατος..3 για =. Συνεχίζοντας, διαπιστώνουµε η κάθε επόµενη προσέγγιση + είναι το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης της εφαπτόµενης της f() στο σηµείο (,f( )) µε τον άξονα των. Παράδειγµα 4 Να προσεγγισθεί µε τη µέθοδο Newto Raphso η µοναδική ρίζα της εξίσωσης - e - = 0 στο ανοικτό διάστηµα (0,) για Ν = 3 επαναλήψεις και να υπολογισθεί το σφάλµα της µεθόδου. Λύση Oρίζουµε f() = - e -, και υπολογίζουµε f ( ) = + e, f ( ) = e. Προφανώς f ( ), f ( ) 0 για κάθε (0,), f(0) = -, f()=.63, άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος..3 και συνεπώς υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f() = 0, η οποία είναι το όριο της f( ) αναδροµικής ακολουθίας =, = 0,,... f ( ) Επιλέγουµε ως αρχικό σηµείο εκκίνησης το 0 = 0, ή 0 = (ένα από τα δύο άκρα του αρχικού διαστήµατος (0,)) βάσει της συνθήκης f( 0) f ( 0) > 0 του Θεωρήµατος..3. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι f(0) f (0) > 0, ενω f() f () < 0, άρα η επανάληψη: 0 = 0. f( ) f(0) = = 0 = 0 =. ( ) (0) 3 0 0 0 f 0 f + e 36
η επανάληψη: f f( ) 3 = = = f ( ) 3 f 3 0.35689. 3 η επανάληψη: f( ) f(0.35689) 0.35689 0.35734, 3 = = = f ( ) f (0.35689) η οποία είναι και η προσεγγιστική τιµή της ρίζας. Το σφάλµα υπολογίζεται από το Πόρισµα.. για = 3: M M 3 * 3 0.35734 0.35689 m = m, m= mi f ( ), M = ma f ( ). Eπειδή όπου [0,] [ a, b] [0,] [0,] ( ) m= mi f ( ) = mi + e = + e =.36788, M = f = e = e =, 0 ma [0,] ( ) ma [0,] έχουµε: 3 0 * 0.35734 0.35689 = 4.7598 0..36788 Παρατήρηση: Είναι σαφές από η µέθοδος Newto Raphso είναι ειδική περίπτωση επαναληπτικής µεθόδου της µορφής = φ( - ), όπoυ η συνάρτηση επανάληψης είναι της µορφής: Eπειδή ϕ ( ) = f ( ) f ( ) ( f ( ) ) ϕ f ( ) ( ) = f. ( ), µε την προϋπόθεση ότι f ( * ) 0 (δηλαδή * απλή ρίζα της εξίσωσης f() = 0), προκύπτει ότι ϕ (*) = 0, άρα η 37
τάξη σύγκλισης είναι µεγαλύτερη του. στο Θεώρηµα..3 είδαµε ότι η σύγκλιση είναι τετραγωνική. Γενίκευση της µεθόδου Newto-Raphso σε συστήµατα εξισώσεων f(, y) = 0 ίδεται το σύστηµα εξισώσεων, όπου f, g πραγµατικές gy (, ) = 0 συναρτήσεις δύο µεταβλητών και έστω (*,y*) µία λύση του. Υποθέτοντας ότι σε µία περιοχή του πεδίου ορισµού υπάρχουν οι δεύτερες µερικές παράγωγοι των f,g και είναι συνεχείς, έχουµε από το Θεώρηµα Τaylor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών: ( ) f f 0 = f *, y* = f(, y) + * + y y* + O * + y y* y g g 0 = g *, y* = g(, y) + * + y y* + O * + y y* y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Παραλείποντας τους τετραγωνικούς όρους γράφουµε: f(, y) f(, y) y * f(, y) gy (, ) gy (, ) y y* g(, y). Oδηγούµαστε λοιπόν υπό κατάλληλες προϋποθέσεις (η ιακωβιανή ορίζουσα είναι διάφορη του µηδενός και, y αρκετά κοντά στα *, y*), σε µία επαναληπτική µέθοδο της µορφής:. f(, y) f(, y) y + f(, y) g (, ) (, ) y y g(, y) y g y + όπου µάλιστα η σύγκλιση είναι τετραγωνική..3 Μέθοδος τέµνουσας (secat method) 38
Η µέθοδος Newto-Raphso απαιτεί γνώση της f (). Στην περίπτωση που η παράγωγος δεν είναι γνωστή ή είναι δύσκολο να υπολογισθεί, καταφεύγουµε συνήθως στη µέθοδο της τέµνουσας. Aς θεωρήσουµε τον αναδροµικό τύπο της µεθόδου Newto-Raphso: f( ) =, 0,,... + f ( ) = και ας θυµηθούµε ότι Για =, + = + h, έχουµε: ( ) f( + h) f f ( ), h µικρο. ( + h) f ( ) f ( ) f + ( ). + Αν λοιπόν στον αναδροµικό τύπο Newto-Raphso αντικαταστήσουµε αντί της παραγώγου f ( ), το δεξιό µέλος της παραπάνω ισότητας, προκύπτει η µέθοδος της τέµνουσας ( ) f( ) =, =,..., + f( ) f( ) η οποία χρειάζεται προφανώς δύο αρχικές συνθήκες 0,. Η µέθοδος βασίζεται στο ακόλουθο: Θεώρηµα.3. Εστω µία πραγµατική συνάρτηση f(): (α) η f() είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α,b], µε f ( ), f ( ) 0 για κάθε [α,b], (β) f(α) f(b)<0, τότε υπάρχει µοναδική ρίζα * της εξίσωσης f()=0 στο ανοικτό διάστηµα (α,b), η οποία είναι το όριο της αναδροµικής ακολουθίας: 39
( ) f( ) =, =,..., + f( ) f( ) όπου ως αρχικά σηµεία 0, της αναδροµικής σχέσης µπορούν να θεωρηθούν για ευκολία τα άκρα του διαστήµατος (α,b), δηλαδή 0 = α, + 5 =b. H τάξη σύγκλισης της µεθόδου είναι p =.6. Γραφική επίλυση Σχήµα 3 Η µέθοδος τέµνουσας Παράδειγµα 5 Να προσεγγισθεί µε τη µέθοδο τέµνουσας µία προσέγγιση της 3 στο ανοικτό διάστηµα (,), για Ν = 3 επαναλήψεις. Λύση Oρίζουµε f() = - 3 και εφόσον f ( ), f ( ) 0 για κάθε (,), f() = -, f() =, ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος.3. και συνεπώς υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f() = 0, η οποία είναι το όριο της αναδροµικής ακολουθίας ( ) f( ) =, =,... + f( ) f( ) Εκλέγουµε 0 =, = (τα δύο άκρα του αρχικού διαστήµατος (,)) και υπολογίζουµε η επανάληψη: 40
η επανάληψη: ( ) ( ) f( ) f ().6. 0 = = = = f( ) f( 0) f() f() 3 3 η επανάληψη: ( ) f (.6) (.6 ) f( ).6.777. 3 = = = f( ) f( ) f(.6) f() ( ) f (.777) (.777.6) f( ).777.734, 3 3 4 = 3 = = f( 3) f( ) f(.777) f(.6) η οποία είναι και η προσεγγιστική τιµή της ρίζας. ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται οι συναρτήσεις: (α) f() = e + +, [-,0], (β) g() = -5 +, [0,], (γ) h() = 3 --, [,]. Α. Αφού δείξετε ότι κάθε µία από τις ανωτέρω συναρτήσεις έχει µοναδική πραγµατική ρίζα στα αντίστοιχα διαστήµατα, να υπολογίσετε µε τη µέθοδο διχοτόµησης µία προσέγγιση της ρίζας για κάθε µία εξ αυτών, ώστε το σφάλµα από την ακριβή τιµή της ρίζας να είναι µικρότερο του 0.06. Aπάντηση: (α) N = 6 επαναλήψεις {m = -0.5, m = -0.75, m 3 = -0.65, m 4 = -0.6875, m 5 = -0.6565, m 6 =-0.64063} (β) N = 6 επαναλήψεις {m =0.5, m =0.75, m 3 =0.65, m 4 =0.6875, m 5 =0.7875, m 6 =0.73438} (γ) N = 6 επαναλήψεις {m =.5, m =.5, m 3 =.375, m 4 =.35, m 5 =.34375, m 6 =.383} 4
Β. Να υπολογίσετε µε τη µέθοδο Newto-Raphso µία προσέγγιση της ρίζας για κάθε µία από τις συναρτήσεις (α)-(γ), για Ν = 4 επαναλήψεις και να υπολογίσετε το σφάλµα. Aπάντηση: (α) { 0 = 0, = -0.5, = -0.63447, 3 = -0.6397, 4 = -0.6393} e.699 0-0. (β) { 0 = 0, = 0.69656, = 0.73, 3 = 0.734, 4 =0.734} e 0. (γ) { 0 =., =.54545, =.3596, 3 =.358, 4 =.347} e 0.0000. Γ. Να υπολογίσετε µε τη µέθοδο τέµνουσας µία προσέγγιση της ρίζας για κάθε µία από τις συναρτήσεις (α)-(γ), για Ν = 4 επαναλήψεις. Aπάντηση: (α) { 0 = -, = 0, = -0.6986, 3 = -0.6498, 4 = -0.6390, 5 = -0.6393}. (β) { 0 = 0, =, = 0.75, 3 = 0.737, 4 = 0.735, 5 = 0.734}. (γ) { 0 =, =, =.6667, 3 =.53, 4 =.337, 5 =.3385}. Σηµείωση: Οι πράξεις να γίνουν µε στρογγυλοποίηση στο 5 ο δεκαδικό ψηφίο.. Να δειχθεί ότι η µέθοδος: τετραγωνικά. f ( ) ( ) '( ) = + f + f συγκλίνει Υπόδειξη: Oπως στο παράδειγµα 3 σελ. 3. 3. είξτε ότι η ακολουθία = e, =,... συγκλίνει και το όριό της βρίσκεται στο [0,]. + 4
/ Υπόδειξη: είξτε ότι η ϕ ( ) = e είναι συστολή, βλέπε Θεώρηµα... 4. Εστω a = + +... +, =,, Xρησιµοποιώντας µία κατάλληλη επαναληπτική µέθοδο, δείξτε ότι lim a =. Επίσης a δείξτε ότι lim + =. a 4 5. ίνεται η επαναληπτική µέθοδος ( ) = + λ + 3, = 0,,... (α) Να βρεθεί διάστηµα τιµών της παραµέτρου λ ώστε η επαναληπτική µέθοδος να συγκλίνει. (β) Να βρεθεί η τιµή του λ ώστε η σύγκλιση να είναι τετραγωνική. (γ) Είναι η µέθοδος Newto-Raphso πιο αποτελεσµατική µέθοδος από αυτήν που αντιστοιχεί για την τιµή του λ που βρέθηκε στο ερώτηµα (β); 6. Εστω f() = (-) 3, τότε να επιλέξετε και να εφαρµόσετε την πλέον αποτελεσµατική µορφή της µεθόδου Newto-Raphso για τον προσδιορισµό της ρίζας = για Ν = 3 επαναλήψεις. Ποια η τάξη σύγκλισης; 7. ίνεται το σύστηµα εξισώσεων: { f (, y) = 0, g(, y) = 0}, όπου π f (, y) = y συν y και g(, y) = e + 5ηµ ( π ). Εφαρµόστε την µέθοδο Newto-Raphso για συστήµατα εξισώσεων για N=3 επαναλήψεις. 43