Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός. Το άπειρο είναι ένα µεταβλητό µέγεθος του οποίου η απόλυτη τιµή αυξάνει συνεχώς. Η ακόµα, µια συνάρτηση y N λέµε ότι είναι ένα άπειρο αν η απόλυτος τιµή y N0 είναι, µετά από ένα κάποιο δείκτη N 0, πιο µεγάλη ή πιο µικρή από κάθε ϑετικό ή αρνητικό αριθµό M που έχει ορισθεί εκ των προτέρων. Παράδειγµα Η συνάρτηση x είναι ένα άπειρο όταν το x πάει προς το 0, γιατί η απόλυτη τιµή της x αυξάνει συνεχώς..2 Μη-πεπερασµένο όριο συναρτήσεων Ορισµός.2 Εστω µια συνάρτηση fx ορισµένη σ ενα σύνολο της µορφής a, x 0 x 0, b. Ορίζουµε : fx = ± ανν M > 0 d > 0 τέτοιο ώστε x a, x 0 x 0, b µε 0 < x x 0 < d να ισχύει : M < fx ή fx < M.2. Ιδιότητες. fx = x x 0 fx = + x x 0 fx = fx = x x + 0 fx = + fx = x x + 0

2. Αν x x0 fx = ±, τότε fx > 0 fx < 0 κοντά στο x 0. 3. Αν x x0 fx = ± τότε, x x0 fx =. 4. Αν fx = 0 και fx > 0 < 0 κοντά στο x 0, τότε x x0 x x0 fx = ±. 5. Αν x x0 fx = + τότε x x0 k fx = +.2.2 Πράξεις µεταξύ απείρου και αριθµού στο R Ολες οι πράξεις ορίζονται µεταξύ απείρου και απείρου : π.χ. + ++ = +, a++ = +, ±a + = ±, = + κ.λ.π.,εκτός των παρακάτω : + +, + +,, ± ± 0 ±, 0 0.3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΕ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Οριο ενός αθροίσµατος f l l + l + x a g x a l + x a f + g l + l + ; 2. Οριο ένος γινοµένου f l l 0 + 0 x a g x a l + + x a f g l l + + ; 2

3. Οριο ενός πηλίκου f l l + 0 + x a g x a l 0 + l 0 0 + x a f g l l 0 + ; ; 4. Οριο µιας ϱίζας f l 0 + x a f l + x a 3

.4 Πρακτική άσκηση Να συµπληρωθούν οι πίνακες : fx α R α R + + gx + + + fx + gx fx gx α > 0 α < 0 α > 0 α < 0 fx 0 0 + + + gx + + + + + 0 0 f g f/g 4

.5 Ασκήσεις.5. A/0, οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις. Να ϐρείτε το όριο της x 0 x. Σχήµα : Η συνάρτηση x. 2. Να ϐρείτε το όριο της x 0 x 2. Σχήµα 2: Η συνάρτηση x 2..5.2 A/0 µε σταθερό πρόσηµο ο παρανοµαστής Να ϐρείτε τα όρια : 5

3. x 3 3x + 2 x 3 2 4. x 2x 3 4x 4.5.3 A/0 µε µεταβλητό πρόσηµο ο παρανοµαστής Να ϐρείτε τα όρια : 5. x 2 x 2 x + x 2 6. x 3 x 4 x 2 9 7. x 4 x x 2x 4 x + 8 3x + 5 8. Να ϐρεθεί το όριο x 2 x 2 4 3x + 5 3x + 5 είξτε ότι : = και = + x 2 x + 2 x 2 x 2 + x + 2 x 2 Άρα, δεν υπάρχει όριο για x 2..5.4 A/0 τριγωνοµετρικές 9. x 0 x + συνx 2x 3 0. x 0 xηµx x 0 2x 3 xηµx = x 0 [ ] 2x 3. xηµx Αλλά xηµx = 0 και x 0 x 0 xηµx = + 2x 3 Εποµένως = 3+ =. x 0 xηµx 2x. x 0 ηµx x. ηµx x = 0 και ηµx < x τότε : x 0 x 0 6 2x ηµx x = = +.

x 5 αx + 2α 2. Να ϐρεθεί για τις διάφορες τιµές του α το όριο της συνάρτησης. x x x 5 αx + 2α αν α < είξτε ότι : = + αν α > x x δεν υπάρχει αν α =.5.5 A/0 παραµετρικές 3. ίνονται οι συναρτήσεις fx = λ x2 + x 2 x 2 και gx = x2 + 2x + µ x Να ϐρείτε τις τιµές των πραγµατικών παραµέτρων λ και µ για τις οποίες υπάρχουν τα όρια στο R: fx και gx x x 0 4. ίδεται η συνάρτηση fx = αx2 3β + x + 25 x 5 2, α 0. Να ϐρείτε τις τιµές των παραµέτρων α, β έτσι ώστε το όριο της συνάρτησης για x 5 να είναι πραγµατικός αριθµός. x x 5 52 fx = αx 2 3β + x + 25. Αν fx = λ R, τότε 3β = 5α + 4. Τότε x 5 x 5 αx 2 3β + x + 25 x 5 2 = αx2 4 + 5α + x + 25 x 5 2 = x 5αx 5 x 5 2 = αx 5 x 5 x 5fx = αx 5 5α 5 = 0 α =. Οµως, 3β = 5α + 4 α= = 9 β = 3. x 5 x 5 5. Αν x 2 x 2 αx + β x 2 = 3, να υπολογιστούν τα α, β R..5.6 A/0 µε ϐοηθητική συνάρτηση 6. Να ϐρείτε το x fx, όταν : x 4 x fx = +, x fx x + 2 =, [ ] fx3x 2 2 = + x fx + 5 7. Εστω 2 συνάρτηση f για την οποία ισχύουν : fx 3, κοντά στο x 0 = 3 και x 3 fx 3 = +. Αποδείξτε ότι fx = 3. x 3 Η άσκηση έχει προταθεί απο τους συναδέλφους Αργυράκη και Κουτσανδρέα. 2 Η άσκηση έχει προταθεί απο τους συναδέλφους Αργυράκη και Κουτσανδρέα. 7

2 Οριο στο άπειρο Ορισµός 2. Εστω f µια συνάρτηση.. Λέµε ότι η fx έχει όριο το + όταν το x τείνει στο + αντίστοιχα ανν : για κάθε διάστηµα I = λ, +, λ R, όλα τα fx είναι στο διάστηµα I για οποιοδήποτε x πολύ µεγάλο αντίστοιχα x πολύ µικρό. 2. Λέµε ότι η fx έχει όριο το όταν το x τείνει στο + αντιστοιχα ανν : για κάθε διάστηµα I =, λ, λ R, όλα τα fx είναι στο διάστηµα I για οποιοδήποτε x αρκετά µεγάλο αντίστοιχα x πολύ µικρό. Και στις δύο περιπτώσεις γράφουµε αντίστοιχα : fx = ± x ± 3. Εστω a ένας πραγµατικός αριθµός. Λέµε ότι η συνάρτηση f έχει όριο το a όταν το x τείνει στο + αντίστοιχα στο, αν και µόνο αν : σε κάθε ανοικτό διάστηµα I, µε οποιοδήποτε επιθυµητό πλάτος, που περιέχει το a, οι τιµές fx είναι όλες µέσα στο I για x πολυ µεγάλο αντίστοιχα x πολύ µικρό. Λέµε επίσης, στην περίπτωση αυτή, ότι η y = a είναι ασύπτωτη στην καµπύλη της συνάρτησης fx. Γράφουµε δε : Παρατήρηση : fx = a x ± Θεώρηµα 2. Sandwich Εστω fx, gx, hx µε fx hx gx για ολα τα x 0, +, ή x, 0, και υποτεθειστω οτι fx = gx = A R. Τοτε το hx υπαρχει και x ± x ± x ± ειναι ισο µε το A, αντίστοιχα. 2. Πράξεις Ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο x 0 µε την προυπόθεση ότι οι συναρτήσεις είναι καλά ορισµένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουµε σε απροσδιόριστη µορφή. 8

2.2 Πρακτική άσκηση Βρείτε τα όρια των ορισµών. x ± fx των παρακάτω συναρτήσεων σύµφωνα µε µια πρώτη διαισθητική προσέγγιση Σχήµα 3: Οι συναρτήσεις fx = x και fx = x 2. Σχήµα 4: Οι συναρτήσεις fx = x 4 και fx = x 7. 2.3 Ορια στο άπειρο χαρακτηριστικών συναρτήσεων. xν = + και 2. xν = x ν = 0. { + αν ν = 2ρ αν ν = 2ρ + 3. Για κάθε πολυωνυµική συνάρτηση ισχύει : και x = ν 0. px = a n x n + + a 0, a n 0 px = a nx n x ± x ± 9

Σχήµα 5: Οι συναρτήσεις fx = 2 + ηµx x 4. Για κάθε ϱητή συνάρτηση της µορφής : και fx = ηµx. µε a n, b m 0, ισχύει : fx = a nx n + + a 0 b m x m + + b 0 fx = x ± x ± a n x n b m x m 5. Αν α >, α αx = 0 ϐ αx = + γ log α x = x 0 δ α x = + 6. Αν 0 < α <, α αx = + ϐ αx = 0 γ log α x = + x 0 δ α x = 2.4 Ασκήσεις 2.4. Πολυώνυµο και ϱητές συναρτήσεις x 2 5x + 6,. Να ϐρεθούν τα όρια : 2. Να ϐρεθούν τα όρια : x x 2... x 0 x 202 0. x 3 + x 00 x 2 x + λx 3 + 6. x 5 x + 2 8, x 2 x + 3 5, 0

2.4.2 Απόλυτη τιµή Να ϐρεθούν τα όρια : x ± x, x + 2 x + 3 7 και x 2 x 3 x + 202. 2.4.3 Κλαδωτή συνάρτηση Να ϐρεθούν τα όρια : fx = { x 2 x 3x x >, gx = { x 4 x x 2 2 x = 2. 2.4.4 Εκθετικές συναρτήσεις. Να ϐρεθούν τα όρια : 3x, ex, 3 x + 5 x + 7 x 2. Να αποδείξετε 3 ότι 2 x + 3 x + 5 = x +. 2 x+ 3 5 x + 2 4 x 3. Να υπολογίσετε το όριο : 3 x + 4 x [ 2 x 4 x 5 x 2 3 + 2 ] 5 5 4 3 x = + 4 4. Εστω η συνάρτηση 2 e x 4 x + 7 x, x ± 4 x 7 x, e x 2 + x+2. fx = + e 2x + 2 + e 2x + + 200 + e 2x 200e x µε x R. Να ϐρείτε το fx. fx = + e 2x e x + 2 + e 2x e x + + 200 + e 2x e x = + e 2x + e + x 2 + e 2x + e + + x 200 + e 2x + e x Άρα, fx = 0 2.4.5 Λογαριθµικές συναρτήσεις. Υπάρχει το όριο ln x; Πως ϑα διακιολογούσατε µια τέτοια απάντηση ; 3 Η άσκηση είναι των Αργυράκη, Κουτσανδρέα.

2. Να ϐρεθούν τα όρια : ln x 2, 2 ln x ln x +. 3. Να αποδείξετε 4 ότι : lne x+ + lne x + 2 + 5 = 6 [ ] ln5x 2 3 lnx + =. 2.4.6 Τριγωνοµετρικά όρια. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τα παρακάτω όρια : α ηµx ϐ ηµ x 0 x γ συνx δ συν x 0 x Θα δείξουµε το πρώτο και το δεύτερο. Για τα υπόλοιπα ϑα ακολουθήσετε την ίδια διαδικασία. Εστω ότι το όριο ηµx υπάρχει και είναι ίσο µε λ. Τότε : Επειδή : ηµx + π = ηµx, έχω : y=x+π ηµx + π = ηµy = λ y + Επίσης : λ = ηµx + π = ηµx = λ λ = 0 Επειδη : ηµ x + π = συνx, έχουµε : 2 Ετσι : 4 Οι ασκήσεις είναι των Αργυράκη, Κουτσανδρέα. x ηµ + π π y=x+ = 2 2 ηµy = λ = 0 y + συνx = x ηµ + π = 0 = 0 2 = ηµ 2 x + συν 2 x = 0 2

Αδύνατο, άρα το όριο ηµx δεν υπάρχει. Θα µπορούσατε να περιγράψετε µε λόγια ξεκινώντας απο την µορφή του διαγράµµατος του ηµ γιατί τι όριο αυτό δεν υπάρχει ; Αφού, ηµy δεν υπάρχει τότε δεν ϑα υπάρχει και το y + y= ηµy = x ηµ y + x 0 x 2.4.7 Αλλαγή µεταβλητής. Να ϐρεθούν τα όρια : α ϐ γ y + xηµ x x ηµ + x, x 0 x ex2 2. Να υπολογίσετε το όριο 3. 2x + 2 3 2x + 4 2x x 2 + 3 x + 2 x3 + x 2 + x + x x +. Επειδή το x 2 είναι ο µεγιστοβάθµιος όρος του αριθµητή, 3 2x 4 2x 2 + 2 + x x x x x 2 3 = x + 2 + x x 6 4 2 2 + 2 x + 4 x 2x x + 6 + 4x 2 + 4x = 2. 3 4. 6x2 + x + + x = 5x + 2 6 + x + x 2 + 5 + 2 x = = 3 5 5. 6x2 + x + + x 5x + 2ηµx 3

= 6 + x + x 2 + 5 + 2 ηµx x = = 3 5 2.4.8 Παραµετρικά όρια Να ϐρεθούν τα όρια :. x2 x + 3 + µx µ x 3 + 2x 2 + 3 2. µx 2 5x + 6 3. Αν fx = x2 + αx+β, να ϐρείτε τις τιµές των α, β R, για τις οποίες ισχύει : x + 0. 4. fx = α x 4 + αx 3 2 α 2x 3 + 3 α 2 όταν το α R. x + fx = α x α = α 2 α 2. Αν α α 2 > 0 α < α > 2 τότε : Αν α α 2 < 0 < α < 2 τότε : Αν α = 2, τότε : Αν α =, τότε : fx = + fx = 5. Αν a R να ϐρείτε τα όρια : α ϐ 4x 2 5x + 7 + ax x 2 + x + + x 2 x + ax 6. Να προσδιορίσετε τα a και b ώστε : fx = fx = + ax 2 + x x 2 + bx =. fx = 2.4.9 Γενικές ασκήσεις. Αν 5 κ > λ > µ > ποιο είναι το όριο κx λ x µ x. Υπόδειξη : ϑα πρέπει να ϐρείτε +. 2. Εστω 6 fx = ln e x ln + e x. 5 Η άσκηση είναι µια πρόταση του Ν. Μαυρογιάννη. 6 Η άσκηση είναι προτάθηκε απο τον. Βουτσά και απαιτεί γνώσεις της συνέχειας συνάρτησης. 4

α Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f. ϐ Να ϐρείτε το πρόσηµο των τιµών της f. γ Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η f. δ Να ϐρείτε την αντίστροφη της f. ε Βρείτε το m < 0 ώστε fm = m. ϝ Αν gx = fx x, x < 0, να ϐρείτε τη µονοτονία της gx. Ϲ Να λύσετε την ανίσωση f x f < x +. η Αν hx = ln x, να αποδείξετε ότι υπάρχει c R τέτοιο ώστε fc = hc. ϑ Να ϐρείτε το όριο : A = B = e fx e f x. f x 3 + x 2 + 6 f 3x 2 και το όριο x 2 3 3. ίνονται 7 οι συναρτήσεις gx = 3x 4 2 + 30x + 95 λ 4x 5 3x + 5, x, λ R και hx =, x R. 4 4 α Να αποδείξετε ότι η σύνθεση f = g h ορίζεται για κάθε τιµή του x R και έχει τύπο fx = g hx = x 2 + 5x + 0 λx. ϐ Για τις διάφορες τιµές του λ R να υπολογίσετε το γ Για εκείνη την τιµή του λ που το δ Για την ίδια τιµή του λ R να υπολογίσετε το 4. Εστω συνάρτηση f : R + R, έτσι ώστε 5. ίνονται οι συναρτήσεις : fx = α Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f. ϐ Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της g. γ Να ϐρείτε τα δ Να ϐρείτε τα ε Να ϐρείτε τα fx. fx είναι πραγµατικός αριθµός να υπολογίσετε το y 2 ηµ 3 x fx + x. + 2x 2 fx + x 2 x, x R +. Να ϐρείτε fx. x + συνx + 2, gx = e x 0 ηµ 3x8 + 5x 3 + 2 4x 8 + 7x 6 + fx, fx. gx, gx. f gx, f gx. 6. Να ϐρεθούν όλα τα a έτσι ώστε για όλα τα x < 0 να ισχύει η ανισότητα : ax 2 2x > 3a Υπόδειξη : Θέτοντας x x, η συνθήκη είναι ισοδύναµη µε την 7 Την άσκσηση έχει προτείνει ο. Κατσίποδας. ax 2 + 2x > 3a, x > 0 fx + 2x x 4 + x 4. 5

Το πρόβληµα στην άσκηση αυτή είναι ο αποκλεισµός περιπτώσεων. Αν 0 a, τότε 3a 0, έτσι το δεξιό µέλος της, είναι µη αρνητικό ενώ το αριστερό ϑετικό, 3 τότε η ανισότητα ικανοποιείται. Αν a > 3, τότε 3a > 0, τότε ϑα υπάρχουν µια κάποιες τιµές του x για την οποία η δεν ισχύει. Αν > a > 3 3a, παίρνω x =, τότε ax 2 x < 0 για a, 37 3 6 3, + 37 και 6 συνεπώς αφού a > 3 ax 2 + 2x < 3x < 3a Αν a, τότε ϑέτω x = 3 a και ax 2 + 2x = 9 + 2 3 a < < 3a Τελικά, αν a < 0 τότε 3a < 0. Επίσης για x το ax 2 + 2x και < 3a, αδύνατο. Εποµένως, η µόνη περίπτωση είναι για 0 a 3. x 7. Να υπολογισθεί το όριο : x ηµ + x, x 0 Υπόδειξη : x x ηµ + x x x ηµ + x = x + x x + x ηµ x + + x = x x + + x x + + x Αλλά, και ηµ x + + x x + + x ηµu = u 0 u = µε u = x + + x 6

x = x x + + x x + x + = + x + = 2 Εποµένως το άρχικό µας όριο είναι ίσο µε 2. 7