Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γεράσιμος Θ. Κουτσανδρέας

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Κεφάλαιο ο I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό Λάθος». Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ και, Δ. Αν =, τότε και f ( ) = f ( ). Σ Λ. Για τη συνάρτηση f () = ln, > 0, ισχύει f ( y) = f ( ) + f ( y ) για κάθε, y > 0. Σ Λ. Για τη συνάρτηση f () = e, R, ισχύει f ( + y) = f () f (y) για κάθε, y R. Σ Λ 4. Για τη συνάρτηση f () = e, R, ισχύει f ( + y) = f () f (y) για κάθε, y R. Σ Λ 5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα. Σ Λ 6. Δίνεται η συνάρτηση y = f (). Οι τετμημένες των Σ Λ σημείων τομής της C f με τον άξονα μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου y = 0 και λύσουμε την εξίσωση. 7. Δυο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια R, Σ Λ ώστε να ισχύει f () = g (). 8. Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων Σ Λ f και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία. 9. Αν η συνάρτηση f είναι -, οι συναρτήσεις g, h έχουν πεδίο Σ Λ ορισμού το R και ισχύει f g( ) ( ) f ( h( ) ) τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες. 0. Η συνάρτηση f () = = για κάθε R,, 0, είναι σταθερή. Σ Λ. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (α,β), τότε η f Σ Λ δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο. Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είναι γνησίως Σ Λ αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το (0, + ). Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R.. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ. Σ Λ Αν ο λόγος f( ) f( ) είναι θετικός για κάθε, Δ, με, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 4. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Σ Λ Δ, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. 5. Η συνάρτηση f() = είναι γνησίως φθίνουσα στο Σ Λ σύνολο (-, 0) (0, + ). 6. Αν μια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο Σ Λ σημείο 0, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο 0. 7. Αν μια άρτια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο Σ Λ 0, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακρότατου στο σημείο 0. 8. Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια, τότε είναι -. Σ Λ 9. Αν μια συνάρτηση f είναι -, τότε είναι πάντοτε περιττή. Σ Λ 0. Η συνάρτηση f () = ν, ν Ν * είναι: i. Άρτια, αν ο ν είναι άρτιος Σ Λ ii. Περιττή, αν ο ν είναι περιττός. Σ Λ. Αν η συνάρτηση f είναι -, τότε ισχύουν: i. f (f - ()) = για κάθε που ανήκει στο σύνολο τιμών της f Σ Λ ii. f - (f ()) = για κάθε D f.. Έστω η συνάρτηση f () =, [0, + ). Τότε κάθε Σ Λ κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των C f και C f - ανήκει στην ευθεία y =.. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της. Σ Λ 4. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R τότε ισχύει: i. fog = f g Σ Λ ii. fog = gof Σ Λ 4

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 5. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και μια Σ Λ συνάρτηση h, για την οποία ισχύει h() =, για κάθε R. Τότε ισχύει: (hof) () = (foh) (), για κάθε R. 6. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως μονότονες στο R, τότε η συνάρτηση gof είναι: i. γνησίως αύξουσα, αν οι f, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας Σ Λ ii. γνησίως φθίνουσα,αν οι f, g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας. Σ 7. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ με f () < 0 για κάθε Δ,τότε η συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ. Λ f είναι Σ Λ 8. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι - στο R, τότε και η Σ Λ συνάρτηση gof είναι - στο R. ΣΧΟΛΙΟ: Αν η σύνθεση της g με την f, δηλαδή η fog είναι - τότε:. Η g είναι απαραιτήτως -.. Η f δεν είναι απαραιτήτως -. Απόδειξη. Έστω, A g με g( ) = g( ). Επειδή η f είναι συνάρτηση και ορίζεται η fog, έπεται ότι f(g( )) = f(g( )) και επειδή η fog είναι - προκύπτει =. Άρα η g είναι -.. Έστω, A f με f( ) = f( ). Αν υπάρχουν ω, ω Α g τέτοια ώστε g(ω ) = και g(ω ) =, προκύπτει f(g(ω )) = f(g(ω )) και επειδή η fog είναι - προκύπτει ω = ω. Άρα g - ( ) = g - ( ) και επειδή η g - είναι - προκύπτει = δηλαδή η f είναι -. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνάρτηση f είναι - Αν υπάρχουν ω, ω Α g τα έτοια ώστε g(ω ) = και g(ω ) = (δηλαδή εξαρτάται από το σύνολο τιμών της g). Θεωρείστε ως αντιπαράδειγμα, τις συναρτήσεις f() = και g() = κ.λπ.. 5

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Ασκήσεις για λύση. Έστω η συνάρτηση f () = +. α. Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f ( ), f () β. Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ. Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),, t, h R.. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α. f() = β. f() = γ. f() = δ. f() = 4 ( ) + + 4 + ln ln 4 ε. f() = log( + ) + log + συν στ. f() = ημ +, [0, π] εφ ζ. f() = η. f() = e + ln + θ. f() = συν ι. f() = ln( ) κ. f() = ln( ) + 4. Δίνεται η συνάρτηση f () = +. α. Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση f. f () = f () = + + f () = ( + ) f 4 () = ( + ) f 5 () = lne + ln (+) f 6 () = e β. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 6

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = + f () = + f () = + ( - ) f 4 () = f 5 () = f 6 () = - + α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης. β. Να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων. γ. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 5. i. Δίνονται οι συναρτήσεις + f() =, g () = + α + α ( ), α R. α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g. β. Για ποια τιμή του α ισχύει f = g, στο ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R; ii. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε οι συναρτήσεις α + α f() = + α 6. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g( ) = α + α + α να είναι ίσες. +, f () =, > Να βρείτε τις συναρτήσεις: α. f + g β. f g γ. f g και g () = { ln, 0 < < +, 7. Δίνεται η συνάρτηση f () = log +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. + β. Να αποδείξετε ότι f ( ) + f ( ) = f + για κάθε, του πεδίου ορισμού της. ln 8. Δίνεται η συνάρτηση f () =. 7

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να αποδείξετε ότι f () = e για κάθε του πεδίου ορισμού της. γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. 9. Να βρείτε τις συναρτήσεις gof και fog όταν: α. f() = και g() = + β. f() = και g() = 4 γ. f() = 5 και g() = ln( 5) δ. f() = + 4 και, αν < g()=, αν ³ 0. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, ]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α. h = f ( ) β. h = f ( - 4) γ. h = f (ln) δ. h 4 () = f(ημ). Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β] με α, β > 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [ β, α].. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές για κάθε Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση + f g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες). α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f o g είναι γνησίως αύξουσα. β. Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog. γ. Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f () = ln [ln()], >. 4. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f ( + y) = f() + f(y), για κάθε πραγματικό αριθμό, y. Να αποδείξετε ότι: α. f(0) = 0 β. Η f είναι περιττή. γ. f(κ) = κ f(), για κάθε φυσικό αριθμό κ 0. 8

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 5. Έστω η συνάρτηση h() = f( ) με Α f = (, ). Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. 6. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει αριθμό, να βρείτε τον τύπος της. f ( + ) = 4 + για κάθε πραγματικό 7. Αν f() = + e και (gof)() = + e, να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g. 8. Nα βρείτε μια συνάρτηση f, ώστε να ισχύει (gof)() = συν, R και g() =. 9. Αν f( ) = και (fog)() = συν, να αποδείξετε ότι ένας τύπος της g είναι ο g() = συν. 0. Δίνεται η συνάρτηση f() = 0 α. Να αποδείξετε ότι αν ισχύει 5 (fof)() =, για κάθε πραγματικό αριθμό, τότε είναι α = 5.. Αν g() = + και f(g()) = +, να αποδείξετε ότι f() = 7.. Θεωρούμε τη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύουν f(f() = 4 + και f(f(f())) = 8 + 7. Να αποδείξετε ότι f() = +.. Για τη συνάρτηση f:(0, + ) R ισχύει f(e ) = +. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος θετικών αριθμών α, β ισχύει f(αβ) = lnα + lnβ +. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f( ) = 4 4+ και g() =. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της gof είναι σημείο. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) = + 4 και g () =. Να αποδείξετε ότι δεν ορίζεται η g o f. 6. Να γράψετε τη συνάρτηση f() =, > 0, ως σύνθεση δύο συναρτήσεων 7. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [, 8]. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g () = f ( +8) f (9 ). 8. Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, που είναι γνησίως αύξουσα και f() =. i. Να λύσετε ως προς α την εξίσωση f α + α =. 9

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ii. Να λύσετε ως προς α την ανίσωση f α + α >. iii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g() = f(). 9. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f() (fof)() +006, R. i. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα. ii. Να λυθεί η ανίσωση [f( ) f()] > (fof)( ) (fof)(). 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R για τις οποίες είναι (fog)() = +, για κάθε πραγματικό αριθμό. i. Να αποδείξετε ότι η g είναι -. ii. Να λύσετε την εξίσωση g(4 + + 4) = g( + 4). Να εξετάσετε ως προς το - και βρείτε την αντίστροφη των συναρτήσεων i. e f() = + e ii. g() = ln + iii. h() = 5 + iv. v. k() = φ() = ln e e+ vi. f() = + ( ) με. vii. f() =.. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν η συνάρτηση δίνεται με πολλαπλό τύπο, χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στη μελέτη του -. Δεν αρκεί να εξετάσουμε μόνον κάθε κλάδο χωριστά. Για να είναι - πρέπει να αποκλείσουμε ότι για διαφορετικά προκύπτουν ίδιες τιμές για τη συνάρτηση. Για να συμβαίνει αυτό πρέπει τα επιμέρους σύνολα τιμών των κλάδων της συνάρτησης να είναι ξένα μεταξύ τους. 0

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση, 0 f() = + 5, < 0 δεν είναι -.. Δίνεται η συνάρτηση f () = + α. Να αποδείξετε ότι η f είναι -. β. Να βρείτε την f -.. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = και h () = + διάστημα Δ = (0, + ). Α. α. Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε fog = h. β. Να βρείτε μια συνάρτηση φ ώστε φof = h. B. α. Να βρείτε τις f -, g -, h - (αντίστροφες των f, g, h). β. Να βρείτε τις f - og - και g - of -.. με κοινό πεδίο ορισμού το γ. Να εξετάσετε αν g - of - = h - (δικαιολογήστε την απάντησή σας). 4. Εστω συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύει f(f()) + f () = +, για κάθε πραγματικό αριθμό. Α. Αποδείξτε ότι: i. Η f είναι συνάρτηση -. ii. Ισχύει f () = f() + - Β. Να λυθεί η εξίσωση f( +) = f(4-). 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = +8 8. i. Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να λύσετε την ανίσωση f(f()) <. iii. Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και ότι η αντίστροφή της έχει το ίδιο μονοτονίας. iv. Αποδείξτε ότι f ( 8) = 0. v. Να λύσετε την ανίσωση f () <. 6. Δίνεται η συνάρτηση f() = +. i. Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται. ii. Να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βλέπε παρατήρηση σελ. 4. f f

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Κεφάλαιο ο Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό Λάθος». Σ. Σ 0. i) Σ. Σ. Σ 0. ii) Σ. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Λ 5. Σ 5. Σ. i) Λ 6. Λ 6. Σ. ii) Λ 7. Σ 7. Λ 4. Σ 8. Σ 8. Λ 5. i) Σ 9. Λ 9. i) Σ 5. ii) Σ 0. Σ 9. ii) Σ 6. Σ 7. Σ Απαντήσεις - υποδείξεις στις ασκήσεις. α. (, ) (, ], β. (, ) (, 4], γ. [0, ), δ. [, e), ε. (, ) (, ) π π π 5π 5π π στ. {,,,,, }, ζ. (0, e], η. (, ) [, + ), 6 4 6 4 θ. {κπ π/ κπ + π/}, κ Ζ. ι. (, 0], κ. (, ) (, + ).. α. f, f 5 β. (,0) (0,) (, + ) 4. α. D = (, ) [, + ) D = [, + ) D = (, ) [, + ) D 4 = (, ) (, + ) D 5 = D 4 D 6 = (, + ) β. f = f γ. D = (,+ ).Στοδιάστημααυτό όλες οι συναρτήσεις έχουν τύπο f () = f (). 5. i. α. D f = R {}, D g = R {,} β. Θα πρέπει ο αριθμητής της g να έχει παράγοντα το +, άρα α =, επομένως ii. α = / αν α = είναι f = g για κάθε R {,}. 6. Πεδίο ορισμού του αθροίσματος είναι το διάστημα (0, + ) και ο τύπος είναι: (f + g) () = n + +, 0 < + n, < < +,

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Ομοίως εργαζόμαστε και για τις f g και g f 7. α. Πρέπει ( ) ( + ) > 0, άρα D f = (, ) + β. Καταρχήν αποδεικνύουμε ότι το + + Αν < και < τότε και + Στη συνέχεια έχουμε: f ( ) + f ( ) = log f + + = log + + + + + (, ) ως εξής: < ( + ) < ( + ) = = log + + 8. α. D f = (0, ) (, + ) β. y = n ny = και ( ) ( ) ( + ) ( + ) n n = y = e 9. α. Α = [, + ), ( gof )() = +, ( ) gof β. Δεν ορίζεται η συνάρτηση gof, ( ) Α = (, 0), gof () = ln( 5 5), γ. ( ) δ. gof fog 5 ( ) Α = (5,5 + e ], fog () = 5 ln( 5) (fog)()=, αν < 4+4, αν fog Α = [,+ ), fog () = fog Α = [4, 5], fog () = 5, (gof)() +, < 4+8, 0. α. [, ], β. [4, 5], γ. [, e], γ. κπ κπ + π, κ Ζ.. Αν β < α, τότε α < β με f ( ) < f ( ) f ( ) < f ( ), άρα f ( ) > f ( ). Αν <, τότε f ( ) < f ( ), άρα Επομένως f ( ) + g ( ) > f ( f ( ) + ) > g ( f (. Όμοια για την g. ). α. Αν f, g γνησίως αύξουσες στο R, τότε αν < g ( ) < g ( ) f (g ( )) < f (g ( ), άρα fog γνησίως αύξουσα. Ομοίως αν f, g γνησίως φθίνουσες β. Επειδή η f έχει την ίδια μονοτονία με την f από το (α) κ.λ.π. γ. Η f () = ln είναι γνησίως αύξουσα, άρα από το (β) κ.λ.π. )

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 5. (, 0) (0, ) 6. f() = -+, R. 7. g() = ln(-) + e, (,+ ). 8. Μία συνάρτηση f είναι η f() = ημ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Η παραπάνω συνάρτηση δεν είναι η μοναδική αφού και οι συναρτήσεις f() = ημ, ή f() = ημ, f() = ημ, > 0 6. f() = e ln ημ, 0 κ.λ.π. είναι λύσεις του προβλήματος. 7. [ 7, ] 8. i. α =, ii. α (0, ) (, + ), iii. [, + ) 0. = ή =.. i. - f () = ln, με (0, ) ii. ( ) g () = e, με R iii. h () = 0 + 7, με (5,+ ) iv. k () =, με R { }. + v. e + φ () = ln e, με <0. vi. f () = +, με vii. f () =, 0, < 0.. α. Γράφουμε τη συνάρτηση σε πολλαπλό τύπο κ.λ.π. (Σύμφωνα με την παρατήρηση). β. Είναι f () =, < 0 +, 0 < <. Α. α. g () = +, D g = Δ, β. φ () = +, D φ = Δ Β. α. f = f, g =, (, + ), h = 4. Β. = β. (f og ) () =, (, + ), (g of ) () = γ. Είναι ίσες,, (γενικά ισχύει (fog) = g of )., (0, ) 5. ii < iv. Bλέπε παρατήρηση του δεύτερου μέρους. v. <., (0, ) 4

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο. II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ OΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. 5

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο II. ΟΡΙ0 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό Λάθος». Μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο 0, έναν πραγματικό α- ριθμό. Αναγκαστικά το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Σ Λ. Τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f, όταν το παίρνει τιμές κοντά στο 0, συμπίπτουν πάντοτε. Σ Λ. Το όριο μιας συνάρτησης f στο 0 εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Σ Λ 4. Αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο 0, τότε αυτό είναι 5. Αν μοναδικό. Σ Λ με f () =, τότε υπάρχει συνάρτηση φ 0 φ () = 0 και f () = + φ (). 0 Σ Λ 6. Αν (f () + g ()) =, τότε οι συναρτήσεις f, g έχουν πά- 0 ντοτε όριο στο 0. 7. Αν για τις συναρτήσεις f, g : A R υπάρχει το 0 0 [f ().g ()], τότε πάντοτε [f ().g ()] = 0 f (). g () 0 Σ Σ Λ Λ 8. Έστω η συνάρτηση f () =. Ισχύει + f () = 0 = f (). 0 0 9. Μια συνάρτηση f έχει στο 0 = 004 όριο το 004. Τότε η f παίρνει αρνητικές τιμές για κάποια κοντά στο 004. 0. Αν f() =, 0,τότε πάντοτε ισχύει 0 f () =. 0 Σ Σ Σ Λ Λ Λ. Αν το f () είναι θετικός αριθμός, τότε η f 0 Σ Λ παίρνει θετικές τιμές κοντά στο 0.. Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα που περιέχει το 0. Τότε ισχύει πάντοτε f () = f (0). Σ Λ 0 6

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο. Αν f() = β, g() = γ και f () β κοντά α στο α, τότε 4. Ισχύει ότι 5. Αν 0 α β g (f ()) = γ. 0 f () ημ (α) =, τότε = με α 0,. 0 f () =. 6. Αν 0 f () + e, για κάθε R, τότε ισχύει: 7. Αν f () = 0. + f () = + και g () < 0 κοντά στο 0, 0 τότε πάντοτε ισχύει 0 (f (). g ()) =. Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ 8. Αν f () = +, τότε 0 0 f () = 0. Σ Λ 9. Αν f () = 0 και f () > 0 κοντά στο 0, τότε 0 0 0. Αν f () = +. Σ Λ f () = 0, τότε 0 0 f () =. Σ Λ. Αν η συνάρτηση f : [0, + ) R είναι γνησίως αύξουσα, τότε πάντοτε ισχύει f () = +. +. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], η εξίσωση f () = 0 δεν έχει ρίζα στο (α, β) και υπάρχει ξ (α, β) ώστε Σ Λ f (ξ) < 0, τότε θα ισχύει f () < 0 για κάθε (α, β).. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], και παίρνει δύο διαφορετικές τιμές f ( ), f ( ) με, [α, β], τότε Σ Λ παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( ) και f ( ). 4. Αν για μια συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f ( ) = και f ( ) = 4, τότε υπάρχει 0 (, ) τέτοιο ώστε f ( 0 ) = e. Σ Λ 5. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f Σ Λ (α), f (β)]. Σ Λ 7

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 6. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α, β], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f (β), f (α)]. 7. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α, β] με f (α) f (β), παίρνει μόνο τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). 8. Aν ( - ) ( + 5) f () ( + ), τότε η f είναι συνεχής στο 0. 9. Aν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, + ), τότε το σύνολοτιμών της είναι το διάστημα ( f (), f ()). Σ Λ 0 + 0. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β]. Αν η f είναι - στο [α, β], τότε είναι και γνησίως μονότονη στο [α, Σ Λ β].. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 με f ( 0 ) 0, τότε κοντά στο 0 οι τιμές της f είναι ομόσημες του f ( 0 ).. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο f (Δ).. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι συνεχής και - στο Δ, τότε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο f (Δ). 4. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. 5. Έστω η συνάρτηση f() = +, <., Ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο R - {}. 6. Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα, είναι συνεχής στο D f. y O y Σ Σ Σ Λ Λ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο 0, τότε και η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο 0. 8. Αν οι συναρτήσεις f, g δεν είναι συνεχείς στο σημείο 0 του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο 0. 9. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της, τότε και η f είναι συνεχής στο 0. Σ Λ Σ Λ Σ Λ 8

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζονται οι ερωτήσεις με τις πράξεις των ορίων. π.χ. i. Αν υπάρχουν στο R τα (f() + g()) και f(), τότε υπάρχει και το g() 0 0 0 Η πρόταση αυτή είναι Σωστή. (Η απόδειξη γίνεται με τις ιδιότητες των ορίων). ii. Αν υπάρχουν στο R τα g(). 0 (f() g()) και 0 f() 0, τότε υπάρχει και το Η πρόταση αυτή είναι Λάθος. (Γιατί το f() μπορεί να είναι ίσο με το μηδέν). 0 Πρέπει βεβαίως να προσέχουμε αν το όριο είναι το ±, γιατί τότε μπορεί να προκύπτει μία απροσδιόριστη μορφή. (βλέπε σελίδα 79 του σχ. βιβλίου). Ασκήσεις για λύση ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ 0 R. Αποδείξτε ότι : α. 8 5 6 + + = στ. 4 4 = 6 β. + = 0 ζ. 4 + 5 5 5 5 4+ 4 6 = 5 γ. 8 4 = η. 9 = δ. 5 + 8 4 4 ( )( ) = 4 θ. 4 8 = 4 ε. + 6 = 6 ι. 7 49 = 56 9

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο. Αποδείξτε ότι : 5 + 4 α. = 5 β. 6 + 8 4 + = 4 8 γ.. Αποδείξτε ότι : + = 5 6 = α. δ. = β. ( ) ( ) + + 8 = 4 γ. μ ν = μ ν μ,ν Ν* δ. ( ) + ν+ ν ν+ 4. Αποδείξτε ότι : + 9 α. 4 = ν = β. + 9 = γ. 7 5 5 + + 4 = 0 δ. + + = ε. + 5+ 6 + + 5 = 5. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν τα παρακάτω όρια. α. + 9 β. + + γ. + 4 + + + δ. 0

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 6. Αποδείξτε ότι : α. 0 συν = β. συν γ. = δ. 0 ημ + ημ = 5 0 συν 0 ( + ) = ημ4 ε. 0 4 + 9 = 6 στ. ημ( 6) = 5 0 5 4, < < 7. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = + + 5 +, Αποδείξτε ότι f ( ) = 6. 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = Αποδείξτε ότι f() =. 6 + 7, 7 < + + 8, > 9. Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε f() +, για κάθε R. f() f(0) Αποδείξτε ότι =. 0 + 0. Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε 4 + ( )f() + 8 5 +. Αν ( )f() + ημπ για κάθε R. Αποδείξτε ότι = π. + ημ + ημ + ημ +...+ ημν = 8, ν Ν *, αποδείξτε ότι ν = 7. 0. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R {, } και περιττή. Αν π ( )f() + συν = π, να αποδείξετε ότι π f() =.. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R, για την οποία ισχύει Αποδείξτε ότι f() f () 8f() = 54. f() f() = 9.

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 4. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R, για την οποία ισχύει f() f ( )ημ Αποδείξτε ότι = 0. 0 ημ f() =. 0 5. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R, για την οποία ισχύει f() ημ ημ + συν =. Αποδείξτε ότι 0 + f() = 0 6. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R, για την οποία ισχύει f()ημ, για κάθε R. Αποδείξτε ότι: i. f() =, ii. 0 f() + ημ =. 0 ημ 7. Έστω συναρτήσεις f, g,ορισμένες στο σύνολο R,για τις οποίες ισχύουν: f() = και + Αποδείξτε ότι [ ]. g()( +5 ) = 4 f()g() = 4. 8. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R, για την οποία ισχύει. Αποδείξτε ότι f()+ + = f () f() =. f () 9. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R, για την οποία ισχύει. Αποδείξτε ότι : f() + + = 6 i. f() =, ii. f() f() 4 = 8. ( ) 0. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f() ημ, για κάθε, κοντά στο 0 =0, αποδείξτε ότι f() =. 0. Έστω συναρτήσεις f, g, ορισμένες στο σύνολο R, για τις οποίες ισχύουν : (4f() g()) = 7 και (f() + g()) = 5. Αποδείξτε ότι: i. f() =, ii. g() =, ( )f() ημ(π) + π iii. = ( )g() + ημ(π) π.

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 0 R. Να υπολογίσετε (αν υπάρχουν) τα παρακάτω όρια: α. + 4 4 + ε. + β. + + + στ. 0 + 6 4 γ. + + ζ. π π ημ δ. + + η. 0 (5 + )ημ. Έστω συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν: f(), f() + 5 = +. Αποδείξτε ότι f() =. f() α + β 4. Aν =, να υπολογιστούν τα α, β R. 5. Αν κοντά στο 0 = και + α R, να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α. 6. Έστω η συνάρτηση ( α) f() =. Να υπολογίσετε την τιμή του ( )( + 7 ) πραγματικού αριθμού α αν f() = 96. 7. Έστω η συνάρτηση αριθμό λ αν το f() = f() λ 6 + είναι πραγματικός αριθμός.. Να υπολογίσετε τον πραγματικό 8. Έστω η συνάρτηση f() = + + λ 9 9. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό λ αν το f() είναι πραγματικός αριθμός. 9. Έστω η συνάρτηση f() = +( α) + β α, α, β R. Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, αν είναι γνωστό ότι f() = 4.

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 0. Να αποδείξετε ότι : α. + ( )( + 5) = 6 + ε. + 5 9 + 6 = β. 5 8 ( ) ( + ) = + 5 ( + ) + 4 + στ. 4 5 + = 0 γ. 6 + = 5 + ημ ζ. + + = 0 ( )( )...( 0) = ( 004) δ. 0 + η. + + ημ 5 + συν = 5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βλέπε το σχόλιο στη σελίδα 9.. Να αποδείξετε ότι : α. 5 + 5 + + + + = β. 5 + 5 + 7 = + + + 5 + γ. + = δ. + e = e + 4. ε. + = + + + στ. + = + ζ. + 5 = 9 5 + θ. [ ln(5 ) ln( ) ] + + = + η. ( ) ln(e + ) ln(e + ) + 5 = 6 +. Θεωρούμε τη συνάρτηση + + α f() =, α > 0. Να υπολογίσετε α + για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού α το. Αποδείξτε ότι : f() + α. γ. ( ) + = β. + + = δ. ( ) + 4 + = + + 7 + ( + + ) = + 4

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ε. + ( + + 5) = 4 + + 0 + = + στ. ( ) ζ. ( + ) = η. + θ. = + + 4. Αποδείξτε ότι : α. ( ) ++ + 4 ++ = + β. ( ) + + + ++ γ. ( e ) ημ + + =+ = + + = 0 + 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = + μ. Να υπολογίσετε το f(), για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ. 6. Δίνεται η συνάρτηση 4 τους πραγματικούς αριθμούς λ, μ αν + f() = λ μ. Να υπολογίσετε f() = 0. + 7. Δίνεται η συνάρτηση f() = + α. Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β αν ισχύει 8. Δίνεται η συνάρτηση f() = + + 4 + β f() =. α + β. Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β αν ισχύει 9 f() =. 8 + 9. Δίνεται η συνάρτηση + f() = α +β. Να προσδιορίσετε τους + πραγματικούς αριθμούς α, β αν ισχύει f( ) = 4. 40. Δίνεται συνάρτηση f τετοια ώστε f () + f() + = + f () + f() + f() + f() =+. Αποδείξτε ότι + 5

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω μια συνάρτηση f και 0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 όταν f() = f ( ) 0 Για παράδειγμα, η συνάρτηση f() = είναι συνεχής στο 0, αφού f() = = 0 = f(0). 0 0 Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο o του πεδίου ορισμού της όταν: α. Δεν υπάρχει το όριο της f στο o ή β. Υπάρχει το όριο της f στο o, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f( ), στο ο σημείο o. Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρείναι συνεχής, αφού για κάθε o R ισχύει: 0 P() = P( ). o o Κάθε ρητή συνάρτηση P Q είναι συνεχής, αφού για κάθε o του πεδίου ορισμού της ισχύει: P() P( ) o =. oq() Q( ) o Οι συναρτήσεις f() = ημ και g() = συν είναι συνεχείς, αφού για κάθε o R ισχύει: ( ημ ) = ημ και ( ) Οι συναρτήσεις o o f() = α και Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις συν = συν. o o g() = log, α 0<α είναι συνεχείς. Από τον ορισμό της συνέχειας στο o και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο o, τότε είναι συνεχείς στο o και οι συναρτήσεις f + g, c f, όπου c R, f g, f g, f και ν f με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το ο 6

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Για παράδειγμα οι συναρτήσεις f() = εφ και g() = σφ είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο o. f( o), Για παράδειγμα,η συνάρτηση φ() = συν(ημ) f y=ημ Είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f() = ημ και g() = συν. gof φ() = συνy = συν(ημ) g Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, (α, β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β). (σχ. ) Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) και επιπλέον f() = f(α) και + f() = f(β). (σχ. ) β χ α y y O ( ) a β (σχ. ) O [ ] a (σ χ. ) β Προσοχή!!! Η συνέχεια στo κλειστό διάστημα [α,β] ΔΕΝ εξασφαλίζει τη συνέχεια στα α, β.. 7

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια στο =0 o οι συναρτήσεις: ημ, 0 α. f() =, = 0 β. -συν, 0 f() =, = 0 γ. ημ ημ, > 0 f() = συν, 0 Λύση ημ α. Είναι f() = = = f(0), άρα η f είναι συνεχής στο o = 0. 0 0 συν ημ β. Είναι f()= = = 0 0 0 ημ ημ = 0 = 0 f(0), άρα η f δεν είναι συνεχής στο o = 0. 0 γ. Για > 0 έχουμε ημ ημ Είναι ( ) f() = 0 + 0 + + 0 0 ημ ημ = ημ ημ = =, οπότε = 0 =, άρα από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι Για < 0 έχουμε f() = συν =. 0 0 Παρατηρούμε ότι = f() f()=0, δηλαδή δεν υπάρχει το όριο + f(), 0 0 0 άρα η f δεν είναι συνεχής στο = o 0. α + β, <. Αν f() =, να βρεθούν τις τιμές των α, β R για τις ο- ln β, ποίες η συνάρτηση f είναι συνεχής. Λύση Η f είναι συνεχής στο διάστημα (-, ) ως πολυωνυμική. Η f είναι συνεχής στο διάστημα(, ), ως άθροισμα συνεχών. Για να είναι η f συνεχής συνάρτηση πρέπει και αρκεί η f να είναι συνεχής και στο = o, δηλαδή f() = f() = f(). + Έχουμε: f() = (α + β) = α + β. f() = (ln β ) = ln β = β + + f() = ln β = β. Επομένως πρέπει και αρκεί 8

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ( ) α + β = β. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R σχέση α + β = 0 α= 0 και β=. f() = + ημ. Να βρεθεί το f(0) Για κάθε R ισχύει R, η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη Λύση + ημ f() =. Η f είναι συνεχής στο = o 0, οπότε ( + ημ )( + ημ+) ( ) + ημ f(0) = f() = = = 0 0 0 + ημ+ + ημ ημ = = = = 0 0 +ημ+ ( + ημ+) 4. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : R R, η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση ( +ημ) f()= ημ. Για κάθε R ισχύει ημ f() =. + ημ Η f είναι συνεχής στο = o 0, οπότε Λύση ημ ημ ημ f(0) = f() = = = = = 0 0 0 +ημ 0 ημ 0 ημ + + + ημ, 0 Επομένως f() = + ημ 0, = 0 5. Αν η συνάρτηση f : R ( ) R είναι συνεχής στο = o και ικανοποιεί τη σχέση f() + για κάθε R, να βρεθεί το f(). Λύση Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = o, ισχύει f() = f() = f(). + Για κάθε (,+ ) είναι + + + + f() f(), οπότε: - f( ) ( ) f() f() () Για κάθε (, ) είναι + + + + f() f(), οπότε f() (-) f() f() () Από () και () έχουμε ότι f() =. 9

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 6. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποία είναι συνεχής στο o = 0 και για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση ημ- f() ημ +. Να βρεθεί το f(0) Για κάθε (0,+ ) είναι Λύση ημ ημ + ημ ημ f() f() +. Είναι ημ = + 0 και ημ + =, οπότε από το Κριτήριο Παρεμβολής + 0 έχουμε ότι και f() =. + 0 Επεδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = o 0, ισχύει f(0) = f() οπότε + f(0) =. 7. Αν η συνάρτηση f : R R, ικανοποιεί τη σχέση f(+y)=f()+f(y) για κάθε,y R (). Να αποδειχθεί ότι: α. f(0) = 0. 0 β. Αν η f είναι συνεχής στο =0, o τότε η f είναι συνεχής στο R. γ. Αν η f είναι συνεχής στο =α, o α R, τότε η f είναι συνεχής στο R. Λύση α. Για = y = 0 έχουμε f(0) = f(0) + f(0) f(0) = 0. () β. Η f είναι συνεχής στο = o 0, οπότε f() = f(0) () f() = 0. () 0 0 Έστω τυχαίο o δηλαδή Έχουμε: o R. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο 0, f() = f( ). Θέτουμε o () = o + h, οπότε όταν f( ) + f(h) = f( ) + 0 = f( ) o o o h 0 h 0 Επομένως η f είναι συνεχής στο R γ. Η f είναι συνεχής στο =α, o οπότε Έστω τυχαίο δηλαδή Έχουμε: o o α o το h 0. f()=f(α). (4) R. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο o, f() = f( ). Θέτουμε o = o + h α, οπότε όταν [ ] o o o o h α h α h α h α o το h α. () (4) f() = f( + h α) = f(h) + f( α) = f(h)+ f( α)= () f(α)+f( α)=f(α + α) = f( ). Επομένως η f είναι συνεχής στο R. o o o 0

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Β Α Σ Ι Κ Α Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Ν Ε Χ Ω Ν Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε ΩΝ Θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [α, β]. Επειδή τα σημεία A(α, f(α)) και B(β,f(β)) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. Ισχύει λοιπόν το παρακάτω θεώρημα. Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) < 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) τέτοιο, ώστε f( ο) = 0. ο y f(β) O f(a) a ο Α(α,f(α)) ο ο β B(β,f(β) Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f( ο) = 0 στο ανοικτό διάστημα (α, β). Π Α Ρ Α Τ Η Ρ Η Σ Ε Ι Σ Για να ισχύει το Θεώρημα Bolzano πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι δύο προϋποθέσεις του. Αν μια τουλάχιστον από τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzanο δεν ισχύει, τότε αυτό δε σημαίνει κατ ανάγκη ότι δεν υπάρχει f( ο) = 0. (α, β) τέτοιο, ώστε ο Το Θεώρημα Bolzano εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. Το Θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f( ο) = 0. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχουν και περισσότερες από μία ρίζες, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα. Δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος Bolzano, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δηλαδή η ύπαρξη μιας ρίζας δεν εξασφαλίζει τη συνέχεια της συνάρτησης f στο [α, β] ούτε ότι οι τιμές f(α) και f(β) είναι ετερόσημες.

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση - ημ =συν έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, π ). Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ημ συν, R και παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο διάστημα[0, π]ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f(0) f(π) = ( ) (π + ) = π <0. Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση f()=0 ημ = συν έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, π).. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση + = συνπ έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση ότι: Λύση f() = + συνπ, (0,+ ) και παρατηρούμε Η f είναι συνεχής στο [, 4], ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. 7 f() f(4) = = < 0. 4 4 Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση f() = 0 + = συνπ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, 4), δηλαδή μια τουλάχιστον θετική ρίζα.. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 56 9 + = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στοδιάστημα (, ). Θεωρούμε τη συνάρτηση Λύση 56 f() = 9 +, R και παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στα διαστήματα [,0] και [0, ] ως πολυωνυμική. f( ) f(0) = 0 ( ) = 40 < 0 και ( ) f(0) f() = 0 = 40 < 0. Ισχύει το Θεώρημα Bolzano σε δύο διαστήματα, επομένως η εξίσωση

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο f() = 0 56 9 + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, 0) και μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, ) δηλαδή δύο τουλάχιστον ρίζες στο (,). 4. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ln + ( α ) =0, με α έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, ). Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln + ( α ), (0,+ ). Είναι f() = + 0, άρα f() < 0 κοντά στο = o 0 από μεγαλύτερες τιμές, δηλαδή υπάρχει διάστημα της μορφής (0, β) με β < τέτοιο, ώστε f() < 0 για κάθε (0,β), οπότε f(κ) < 0 για κ (0,β). Παρατηρούμε ότι: ψωψ Η f είναι συνεχής στο [κ,] ( 0,] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f(κ) f()= f(κ) ( α) <0 < 0 > 0 (αφού α ) Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση f() = 0 ln + ( α ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( κ,) ( 0, ), άρα μια τουλάχιστον ρίζα στο ( 0, ). 5. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση διάστημα (, ). 8 + + + = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ος τρόπος (γενικός τρόπος) Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι f() = + 8 + + f() = +, (,). +, άρα f() > 0 κοντά στο = από μεγαλύτερες τιμές, δηλαδή υπάρχει διάστημα της μορφής (, α) τέτοιο, ώστε f() > 0 για κάθε (, α), οπότε f(κ) > 0 για κ (, α). Είναι f() = -, άρα f() < 0 κοντά στο = από μικρότερες τιμές, δηλαδή υπάρχει διάστημα της μορφής (β, ) με β > α τέτοιο, ώστε f() < 0 για κάθε (β,), οπότε f(λ) < 0 για λ (β,). Παρατηρούμε ότι:

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Η f είναι συνεχής στο [κ, λ] (, ) ως ρητή συνάρτηση. f(κ) f(λ)<0. > 0 < 0 8 + + Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση f()=0 = 0 + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [κ, λ] (, ) άρα μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). ος τρόπος (ειδικός τρόπος) Για κάθε R {,} 8 + + είναι 8 ( )( ) ( )( ) + = 0 + + + = 0. 8 Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )( ) f() = + + +, R και παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] ως πολυωνυμική. f() f() = ( ) ( +) < 0. Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ-)( ξ-) 8 i 8 ξ + ξ + f(ξ) = 0 ( ξ-)( ξ + ) + ( ξ )( ξ + ) = 0 + = 0. () ξ (,) ξ ξ Από τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός ξ (, ) επαληθεύει την αρχική εξίσωση 8 + + + = 0. Επομένως η αρχική εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). i 6. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ρίζα στο διάστημα [ 0, π ]. π R έχει μια τουλάχιστον = + ασυν, α Θεωρούμε τη συνάρτηση Λύση f() = π ασυν, R και παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο [ 0, π ], ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f(0) f(π)= α 0. Διακρίνουμε περιπτώσεις: i. Αν α 0 τότε f(0) f(π) < 0, οπότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα 4

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( 0,π) έτσι, ώστε f(ξ) = 0. ii. Αν α = 0 τότε η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται ( ) = π π = 0 = 0 ή = π. Επομένως για κάθε α R η εξίσωση ρίζα στο διάστημα [ 0, π ]. 7. Έστω συνάρτηση f:[α, β] σχέση ( ) ( ) = π + ασυν έχει μια τουλάχιστον R, η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τη α + f(a) + β + f(β) = 0. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ α, β ]. Είναι ( ) ( ) Λύση α + β + α + f(α) + β + f(β) = 0 f(β) = f(α) () Παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο [ α, β ], από υπόθεση. () α + f(α) f(β)= f (α) 0. β + Διακρίνουμε περιπτώσεις: i. Αν f(α) f(β) <0 τότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση f() = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( α, β ). ii. Αν f(α) f(β) = 0 τότε f(α) = 0ή f(β) = 0, οπότε ρίζα της εξίσωσης f() = 0 είναι το α ή το β. Επομένως η εξίσωση f() = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ α, β ]. 8. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση e + -= 0 έχει μια ακριβώς πραγματική ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση Λύση e + = 0 R και παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο διάστημα [0,] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f(0) f() = ( ) (e ) = e < 0. Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση f () = 0 e + = 0 έχει μια 5

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, ), άρα έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Για κάθε R f()= e +- =e + 0, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα είναι ( ) > στο R, οπότε η εξίσωση 9. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()=0 e + = 0 έχει μια ακριβώς πραγματική ρίζα. α ( β)( γ ) + β ( γ)( α ) + γ ( α)( β ) = 0 με 0 < α < β < γ έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = α ( β)( γ ) +β ( γ)( α ) + γ ( α)( β ), R και παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στα διαστήματα [α, β] και [β, γ] ως πολυωνυμική. ( ) ( )( ) f(α) f(β) = αβ α β β γ α γ < 0 < 0 > 0 < 0 < 0 ( ) ( )( ) f(β) f(γ) = βγ β γ β α γ α < 0 < 0 > 0 > 0 > 0 και Ισχύει το Θεώρημα Bolzano σε δύο διαστήματα, επομένως η εξίσωση f() = 0 α( β)( γ ) + β( γ)( α ) + γ( α)( β ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α, β) και μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (β, γ), δηλαδή δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες. Όμως η εξίσωση α ( β)( γ ) + β ( γ)( α ) + γ ( α)( β ) = 0 είναι πολυωνυμική ου βαθμού, οπότε έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. Επομένως η δοθείσα εξίσωση έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι και άνισες μεταξύ τους αφού ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα. 0. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[α, β] R, με f(α) f(β). Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) τέτοιο, ώστε f( o ο ) = κ, λ R με κ λ > 0. κf(α)+λf(β) κ + λ, όπου Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = ( κ + λ) f() κf(α) λf(β), [α, β] και παρατηρούμε ότι: Η g είναι συνεχής στο [α, β], ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. 6

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο g(α) g(β) = κλ[ f(α) f(β) ] < 0, αφού κλ > 0 και f(α) f(β). Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) τέτοιο, o κf(α) + λf(β) ώστε g( o) = 0 ( κ + λ) f( o) κf(α) λf(β) = 0 f( ο) =. κ + λ Π Ρ Ο Τ Α Σ Η Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, δηλαδή f() 0 για κάθε Δ, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ. Απόδειξη Έστω ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ, τότε θα υπάρχουν κ, λ Δμε κ < λ τέτοια, ώστε f(κ) f(λ) 0. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν f(κ) f(λ) = 0 τότε f(κ) = 0 ή f(λ) = 0 που είναι άτοπο γιατί f() 0 για κάθε Δ. Αν f(κ) f(λ)<0 και επειδή η f είναι συνεχής στο [κ, λ] Δ ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (κ, λ) έτσι, ώστε f(ξ) = 0, που είναι άτοπο γιατί f() 0 για κάθε Δ. Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ. ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano και την προηγούμενη Πρόταση προκύπτει ότι: Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. y ρ + Ο ρ ρ + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α. Βρίσκουμε τις ρίζες της f. β. Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έ- ναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. 7

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f() = ημ συν, για τις διάφορες τιμές του [0,π]. Βρίσκουμε τις ρίζες της f. Είναι Λύση f()= 0 ημ συν = 0 ημσυν συν = 0 συν( ημ ) = 0 π = κπ+ συν = 0 συν = 0 ή ή ή, κ Z π π π ημ = ημ = ημ = κπ+ ή = κπ+ 4 4 4 Επειδή [0,π] οι ρίζες της εξίσωσης είναι: π = 4, π = και Οι ρίζες της f χωρίζουν το διάστημα [0, π] στα υποδιαστήματα: π π π π π π 0,,,,,,,π. 4 4 4 4 π = 4. Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε ένα τυχαίο αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. π Στο διάστημα 0,, επιλέγουμε τον αριθμό π και έχουμε: 4 6 π π π 6 f = ημ συν = = < 0, 6 6 άρα f()< 0 για κάθε π 0,. 4 π π Στο διάστημα,, επιλέγουμε τον αριθμό π και έχουμε: 4 π π π f = ημ συν = = > 0, π π άρα f() > 0 για κάθε,. 4 π π Στο διάστημα,, 4 επιλέγουμε τον αριθμό π και έχουμε: π 4π π + f = ημ συν = = < 0, 8

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο π π άρα f() < 0 για κάθε,. 4 π Στο διάστημα, π, 4 επιλέγουμε τον αριθμό 5π και έχουμε 6 5π 5π 5π + 6 f = ημ συν = = > 0, 6 6 π άρα f() > 0 για κάθε,π. 4 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα. Διάστημα π 0, 4 π π, 4 π π, 4 π, π 4 Επιλεγμένο ς αριθμός o π 6 π π 5π 6. Δίνεται συνάρτηση f:r R, η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τη σχέση 6 f () - f() + + = 0 για κάθε R (). α. Να αποδειχθεί ότι f() β. Να βρεθεί το f(0). 0 για κάθε R γ. Να αποδειχθεί ότι f() < 0 για κάθε R α. Έστω ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον o Για f( 6 + + 6 o ) Πρόσημο + + = o από την () έχουμε: Λύση () 6 6 6 o o o o o o R τέτοιο, ώστε f( o) = 0 (). f ( ) f( ) + + = 0 += 0 = το οποίο είναι άτοπο, άρα f() 0 για κάθε R. β. Για = 0 από την () έχουμε: f (0) + = 0 f (0) = f(0) = γ. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δε μηδενίζεται στο R, οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Επειδή f(0) = < 0 συμπεραίνουμε ότι f() < 0 για κάθε R 9

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις f() > και f () - f() - e = 0 για κάθε R. Για κάθε R έχουμε: Λύση f () f() e = 0 f () f() = e ( ) f () f() + = e + f() = e + g () = e + (), όπου g() = f(). Για κάθε R είναι e + > 0 g () > 0 g() 0 και επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Για = έχουμε g() = f() > 0, οπότε g() > 0 για κάθε R. Αφού g() > 0 για κάθε R, από () ισοδύναμα έχουμε g() = e +, R. f() = e + f() = + e + Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α, β) τέτοιο, ώστε f( ο) = η. ο Απόδειξη Υποθέτουμε ότι f(α) < f(β), τότε θα y ισχύει f(α) <η <f(β). θεωρούμε τη f(β) B(β,f(β)) συνάρτηση g() = f() η, [α, β]. η y=η Παρατηρούμε ότι: Η g είναι συνεχής στο [α, β] f(a) Α(α,f(α)) και ( ) ( ) g(α) g(β) = f(α) η f(β) η < 0. <0 >0 O a ο ο ο β 40

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Ισχύει λοιπόν το θεώρημα Bolzano, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) τέτοιο, ώστε g( ο) = 0 f( ο) η = 0 f( ο) = η. ο ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές. Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β], τότε η f παίρνει στο [α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. y Δηλαδή, υπάρχουν, [α, β] τέτοια, ώστε, Μ αν m = f( ) και M = f( ), να ισχύει m f() M, για κάθε [α, β]. m O Μ m [ ] a β ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω Θεώρημα και το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της. Επομένως: Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε το f(δ), δηλαδή το σύνολο τιμών της f για το διάστημα αυτό δίνεται στον παρακάτω πίνακα. 4

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Δ [α, β] [ α, β ) ( α, β ] (α, β) f(α),f() β f(δ) f ( α ), f ( β) α + f(), f(β) f(), f() + α β Δ (, α] - (, α) [ ) α,+ (α,+ ) f(δ) ( f(), f(α) f(), f() f(α), f() - - ) α f(), f() + + α + Δ (, + ) f(δ) ( f(), f() - + ) Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε το f(δ), δηλαδή το σύνολο τιμών της f για το διάστημα αυτό δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Δ [α, β] [ α, β ) ( α, β ] (α, β) f(), f(α) β f(δ) f ( α ), f ( β) α + f(β), f() f(), f() + β α Δ (, α] - (, α) [ ) f(δ) f(α), f() ) f(), f() α ( + α,+ (α,+ ) f(), f(α) f(), f() + + α Δ (, + ) f(δ) ( f(), f() + ) 4

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f :R Rμε f( -) =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 6 f(f())+ f()=0 για κάθε R. Nα βρεθούν οι τιμές f( ) και f( 0 ). Λύση Για = από τη δοθείσα σχέση έχουμε: 6 f (f ( ))+ ( ) f ( ) = 0 f () + = 0 f () = Είναι f () = < 0 < = f ( ) και η f είναι συνεχής στο [ ],, οπότε από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) f( ο) = 0. Για = ο από τη δοθείσα σχέση έχουμε: f (f ( )) + f ( ) = 0 f (0) + 0 = 0 f (0)=0. 6 6 ο ο ο ο ο τέτοιο, ώστε. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση f: [ 0,] R με f( 0 ) = και f( ) =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 0,. Nα αποδειχθεί ότι η f δεν είναι συνεχής. f () 4f() = + για κάθε [ ] Λύση Υποθέτουμε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση. Είναι =f ( 0) f ( ) = και επειδή η f είναι συνεχής στο [ 0,, ] ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( 0 ) = και f ( ) =,άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( 0,) f( ο) =. Για = ο από τη δοθείσα σχέση έχουμε: f ( ) 4f ( ) = + 4 = + += 0. ο ο ο ο ο Η εξίσωση όμως οπότε η f δεν είναι συνεχής. ο τέτοιο, ώστε + ο = 0 είναι αδύνατη στο R, άρα και στο διάστημα ( 0, ),. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f :R R, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση f ()-4f()-5=0 για κάθε R. ος τρόπος Λύση 4

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ο Για κάθε R είναι f () 4f () 5 = 0 ( f ()+)( f () 5 ) = 0, άρα για R ισχύει ( f( ο) +)( f( ο) 5 ) = 0, οπότε ή f( ο) = ή f( ο) = 5. (επειδή μια συνάρτηση σε ένα o δεν μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές). Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει η συνάρτηση f στο o είναι ή το ή το 5. Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε η f είναι σταθερή συνάρτηση. R ισχύει ή f() = ή f() = 5, δηλαδή Αν υποθέσουμε ότι η f δεν είναι σταθερή συνάρτηση τότε θα υπάρχουν, R με (χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι < ), τέτοια ώστε f() = και f( ) = 5. Για τη συνάρτηση f έχουμε ότι είναι συνεχής στο [ ], και = f( ) f( ) = 5, άρα ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f( ) = και f( ) = 5, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε f( ο ) = που είναι άτοπο. ο Επομένως ή f() = για κάθε R ή f() = 5 για κάθε R. ος τρόπος Για κάθε R είναι f () 4f () 5 = 0 f () 4f () = 5 f () 4f () + 4 = 9 ( ) f () = 9 g () = 9 (), όπου g() = f () Για κάθε R είναι g() > 0 g() 0και επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Άρα για κάθε R θα είναι ή g() < 0 ή g() > 0. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν για κάθε R είναι g() < 0, τότε από () έχουμε g() = f () = f () =. Αν για κάθε R είναι g() > 0, τότε από () έχουμε g() = f () = f () = 5. Επομένως ή f() = για κάθε R ή f() = 5 για κάθε R. 44

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 4. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f() = ημ π, 0,. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση ημ = έχει μια ακριβώς ρίζα στο π 0,. α. Η f είναι συνεχής στο διάστημα Λύση π Για κάθε, 0, με < είναι: π Δ = 0,, ως διαφορά συνεχών. ημ < ημ ημ < ημ + ημ < ημ f( ) < f( ), > < άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο π 0,. π π Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι f(δ) = f(), f =,. 0+ π β. Για κάθε π 0, είναι: ημ = ημ = ημ = ημ = f() =. Ο αριθμός f(δ) π, άρα θα υπάρχει ένα ξ Δ= 0, και μάλιστα μοναδι- κό, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τέτοιο, ώστε f(ξ) = ξημξ = ξ. Επομένως η εξίσωση f() = ημ = έχει μια ακριβώς ρίζα στο π 0,. 5. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) α. Η f είναι συνεχής στο διάστημα f() = εφ +, + συν + ημ = 0 στο π 0,. Λύση π Δ = 0,, ως άθροισμα συνεχών. π 0,. 45

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο π Για κάθε, 0, με < είναι: εφ < εφ < + εφ + < εφ + f ( ) < f ( ), άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο π 0,. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι f(δ) = f ( 0 ), f() = [ 0, + ) β. Για κάθε ( +συν ) = π 0, είναι: ( ) συν ημ Ο αριθμός f(δ), άρα δεν υπάρχει Επομένως η εξίσωση ( ) π 0,. π +συν +ημ = 0 += εφ εφ+ = f()=. π ξ Δ= 0, τέτοιο, ώστε f(ξ) =. f() = + συν +ημ = 0 είναι αδύνατη στο 6. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α, β ] και [ ],,..., α, β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [ ] f( )+f( )+...+f( ) ν f(ξ)=. ν Λύση ν α, β τέτοιο, ώστε Η f είναι συνεχής στο διάστημα [ α, β ], οπότε ισχύει το Θεώρημα Μεγίστης και Ελαχίστης Τιμής, άρα η f παίρνει στο [ α, β ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m και ισχύει m f() M για κάθε [α, β].. Επομένως για,,..., [ α, β] ν έχουμε: m f( ) M m f( ) M... m f( ) M ν + νm f( ) + f( )+...+ f( ) νm Διακρίνουμε περιπτώσεις: ν m f( )+ f( ) +...+ f( ) ν ν M 46

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Αν m = M, τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση. Έστω ότι f() = c, c R ισχύει f( ) = f( ) =...= f( ) = c, οπότε m = c = M. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ξ [ α, β] c + c +...+ c νc f(ξ) = = = c, ν ν ν τέτοιο, ώστε που ισχύει για οποιοδήποτε ξ [ α, β]., τότε Αν m < M, τότε το σύνολο τιμών της f είναι f ([ α, β ]) = [ m, M ] και επειδή ο αριθμός f( ) + f( ) +...+ f( ) τουλάχιστον ξ [ α, β] ν τέτοιο, ώστε ν ανήκει στο σύνολο τιμών της f θα υπάρχει ένα f( ) + f( ) +... + f( ) ν f(ξ)=. 7. Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ α, β ]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ( ) Είναι ισχύει α + β α < < β ν α + β f(α) + f(β) + f α, β τέτοιο, ώστε f(ξ) =. Λύση και επειδή η f είναι και γνησίως αύξουσα στο [ α, β ] θα α + β f(α) < f < f(β), οπότε έχουμε: f(α) = f(α) < f(β) α + β + α + β f(α) < f < f(β) f(α) < f(α) + f + f(β) < f(β) f(α) < f(β) = f(β) α + β f(α) + f + f(β) f(α)< < f(β) Η f είναι συνεχής στο [ α, β ] και f(α) f(β), οπότε ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέ- f(β), θα υπάρχει ένα ( ) α + β f(α) + f + f(β) σων Τιμών. Επειδή ο αριθμός είναι μεταξύ των f(α) και ξ α, β και μάλιστα μοναδικό, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ α, β ] τέτοιο, ώστε f(ξ) = α+β f(α) + f + f(β). 47

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο 8. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: [ 0,4) R με f( 0 ) =, f( ) =, ( ) και f() =. 4 Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ] στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [,4 ), τότε να βρείτε: α. Το σύνολο τιμών της f f = 0,, γνησίως φθίνουσα β. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f()=0 στο διάστημα [ 0,4 ). α. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Λύση Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ = [ 0, ], οπότε είναι ( ) ( ) ( ) [ ] f Δ = f 0, f =,. Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ =,, [ ] οπότε είναι ( ) ( ) ( ) [ ] f Δ = f, f =,. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ =,4, [ ) οπότε είναι ( ) ( ) ) [ ) f Δ = f, f() =,. 4 Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f:δ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] f Δ =f Δ f Δ f Δ =,. α. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Το ( ) [ ] R, όπου Δ= [ 0,4 ) είναι: 0 f Δ =,, άρα η εξίσωση f() = 0 είναι αδύνατη στο διάστημα [ ] Δ = 0,. Το 0 f( Δ ) = [,], άρα η εξίσωση f() = 0 έχει μια λύση στο διάστημα [ ] Δ =, και μάλιστα μοναδική αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Το 0 f( Δ ) = [,) Δ., άρα η εξίσωση f() = 0 έχει μια λύση στο διάστημα [ ) Δ =,4 και μάλιστα μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Επομένως η εξίσωση f() = 0 έχει δύο ακριβώς λύσεις στο διάστημα [ 0, 4 ). 48

Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 4. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β, ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους. i. f() = α +, +, < ii. α + β, < f() = α, = α β, > iii. ημ, < 0 f() = α, = 0 + +, > 0 iv. α + (β ) + 6 f() =, 7, = v. α( 8), < f() = α + β, = 4 4, > 4 4. Δίνεται η συνάρτηση ημ + α, < π π f() = α + β π, π π Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(α,β). 4. Αν για κάθε κοντά στο 0 ισχύει ημ + f() 8 + 4 6 αποδείξτε ότι η συνάρτηση f(), 0 g() =, = 0 είναι συνεχής στο 0. Όπου f συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R. 44. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R και ικανοποιεί τις συνθήκες + f() = k R είναι συνεχής στο. και f() = 4. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f 49