ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

4

o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44. Σ 7. Λ 6. Λ 45. Λ 8. Σ 7. Σ 46. Σ 9. Λ 8. Σ 47. i) Λ 0. Σ 9. Σ ii) Σ. Λ 0. Σ iii) Σ. Λ. Σ iv) Λ. Σ. Σ v) Λ 4. Σ. Λ vi) Σ 5. Σ 4. Σ vii) Λ 6. Σ 5. Σ viii) Σ 7. Σ 6. Σ i) Σ 8. Σ 7. Λ ) Λ 9. Λ 8. Σ 4

Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Α. 0. Α. Β. Β. Γ. Β. Γ. 4. Β 4. Γ. 5. Γ 5. Γ 4. Γ 6. Α 6. Β 5. Γ 7. Γ 7. Α 6. 8. Α 8. Ε 7. Γ 9. Β 9. Γ 8. Ε 0. Γ 44

Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης. Στήλη Α Στήλη Β f () f () - f () R (-, ) (, + ) (-, 0) (0, + ) f () - [, ) f () + (-, - ) (-, + ). Στήλη Α Στήλη Β f () [0, + ) f () + [-, + ) f () f () + (0, + ) (-, + ). Α 4. Α 5. Β 6. Α Β Γ Γ Γ Γ 45

7. Στήλη Α f () Στήλη Β f () 6 ( - ) 4 () 8 ( - ) 6 ( - ) - 6-8. Στήλη Α f () Στήλη Β f () α 0 α Α β + α Β α + β α β β α - β α - β β + α + γ β + α 9. Στήλη Α Στήλη Β (c f ()) c f () (f () + g ()) f () + g () (f () g ()) f () g () + f () g f () g () () f () g () -f () g () g () [f (g ())] f (g ()) g () 46

Απαντήσεις στις ερωτήσεις συµπλήρωσης - σύντοµης απάντησης. α) f () β) f () γ) f () A R + A R - {0} A R δ) f () + A R ε) f () + A R. α) g () f () - g () - 7 β) g () - 4 f () g () 0 γ) g () ( f ()) g () 6 f () - δ) g () 5 - f () 0 0 0 5 g () - 0 ε) g () - 8 f () + g () 0. α) ( + 6 - ) 7 β) γ) (5 + 5 6 6 - ) 5 7 δ) [( + ) (5 - )] 64 ε) - π [ηµ + συν] στ) [ηµ - 4συν] - 4 0 47

4. α) - β) γ) - 4-6 - + 8 - ( ) - 8 + 5 + + δ) + - - 4-5 - 5. α) f (0) 0 β) f () γ) f (- ) - 4 π δ) f ( ) 0 ε) f (0) 0 6. α) y - β) y 4 - γ) y - 6-5 48

8. Στήλη Α f () Στήλη Β f () - ( - ) ( - ) ( - ) 4 ( - ) ( - ) ( -) - ( - ) - ( -) - - - ( - ) ( -) 5 - - ( - ) 49

9. Στήλη Α f () ηµ ηµ συν - ηµ συν ηµ Στήλη Β f () συν ηµ συν - ηµ ηµ συν + ηµ - συν ηµ ηµ - συν ηµ συν - ηµ 0. Στήλη Α Στήλη Β f () f () - ln - e e ( - ) e - + - 6 e - + ln - - 50

. Στήλη Α h () Στήλη Β πεδίο ορισµού R - {0} - Στήλη Γ α παράγωγος φ () R - {-, } - - ( -) f () g () + - Στήλη β παράγωγος ( 6 4 6 + -) R + ( ) - R - {0} - 6 ( + ) ( - ) 4 5

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης. α) Α R β), γ) B R - {, }. α) εν υπάρχουν R : g () 0 β) A R γ) B R. α) ± β) g () > 0 όταν (-, - ) (, + ) γ) i) Με - 0 έχουµε A R - {-, } ii) Με - 0 έχουµε B (-, - ] [, + ) iii) Με - > 0 έχουµε Γ (-, - ) (, + ) 4. α) 4 β) Με - 4 0 έχουµε A R - {4} 5. α) f () + g () - - 4 Α R β) f () - g () - 8 - Β R γ) f () g () - 4 + + 4 Γ R δ) f () g () - 4 - Με - 0 έχουµε R - { } - 6. α) f (), g () - β) [f () + g ()] - 0 0 0 5

7. α) Με + 0 έχουµε Α R - {- } β) φ () 5 γ) [φ ()] 5 8. α) Με 6-0 έχουµε Α (-, - β) - f () 0 ] [, + ) 9. α) f () -, g () - β) - - - f () g () 4 0. α) φ () - 6 β) φ () - 8 0 0 γ) φ () δ) φ () 0 0 7. α) Με + 0 έχουµε Α R - {- } β) - 4 - - ( - ) ( + ) - - ( + ) - 4-5

. α) Με + 0 έχουµε Α R - {- } β) 9 +- - ( + ) ( ) - + - ( - ) -. α) Με - 0 έχουµε Α R - {} β) - - - - - ( - ) ( + ) + 4. Πρέπει + α 0 άρα η διακρίνουσα < 0 δηλ. - 4α < 0, άρα α > 0 ή α (0, + ) 5. Πρέπει - 4 + (α + ) 0 άρα πρέπει < 0 δηλ. 6-4 (α + ) < 0,..., άρα α > 6. α) Με + 4 0 έχουµε Α R - {- 4} β) f () - γ) 5 - + 4-5 f (). Άρα η f είναι συνεχής στη θέση 0. 7. α) Για η συνάρτηση f () είναι συνεχής, ως πολυωνυµική. β) Πρέπει f () f (), δηλ. ( - + ) f () α, άρα α 54

8. α) f () ( - ) ( + ) - β) Πρέπει f () f () α, άρα α 9. α) Α R β) ( -) - γ) Πρέπει f () f () α, άρα α 0. Πρέπει f () f () α () Όµως - 5 + 6 - ( - ) ( - ) - Άρα από () και () έχουµε α - - (). α) Π (δ) δ β) Ε (δ) δ. Αν, y οι κάθετες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ τότε Ε ΑΒΓ Άρα (y) 4. y y. 55

. Έστω Π (r) η περίµετρος του κυκλικού τοµέα, τότε Π (r) r + S () A S Όµως Αλλά πr µ E 0ΑΒ 0. Άρα µ 60 πrµ S. Άρα από () έχουµε 60 0 60 πr () r µ B 0 60 πr S πr 60 0 r 60 r Από () και () έχουµε Π (r) r + 60 r () 0 4. α) f () β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης της συνάρτησης f στο σηµείο µε ισούται µε το f (), δηλ. είναι γ) Η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης θα είναι της µορφής y α + β, άρα y + β. Το σηµείο (, f ()) (, ) είναι κοινό σηµείο της καµπύλης της f και της εφαπτοµένης, άρα έχουµε: + β, άρα β - και η ζητούµενη εξίσωση είναι y - 5. α) f () 4α β) Πρέπει f () 4, δηλ. f () 4α 4, άρα α 6. α) f (0) 0 β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης στο σηµείο µε 0 ισούται µε το f (0), δηλ. f (0) 0 γ) Με όµοιο τρόπο, µε τη λύση της άσκησης 4 (γ) βρίσκουµε y 56

7. α) f () - 5 β) Η ζητούµενη εξίσωση της εφαπτοµένης είναι της µορφής y α + β () Επειδή η εφαπτοµένη είναι παράλληλη του άξονα των θα είναι α 0 και άρα η () γίνεται y β () Η ευθεία () εφάπτεται της καµπύλης της f στο σηµείο της κορυφής της 5 5 5 δηλ. στο σηµείο, f, - 4 Το σηµείο αυτό ανήκει και στην ευθεία y β, άρα έχουµε - β. 4 Εποµένως η ζητούµενη εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y - 4 8. α) f () 8 - α β) Πρέπει ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (, f ()) να ισούται µε την εφαπτοµένη 45, δηλ. µε, άρα f () 8 - α, άρα α 7 9. Έστω ω η ζητούµενη γωνία, τότε εφω f ( Άρα ω 0 ). Άρα εφω - 4 + 0. 4 4 0. α) Η µέση ταχύτητα υ (t) S (4) 4 4 6 m/sec 4 S (t t ) - S (t - t ) S (4) - S (0) 4-0 β) Η στιγµιαία ταχύτητα υ (t) S (t) + t. Άρα η στιγµιαία ταχύτητα για t είναι S () + 4 m/sec. 57

. Όµοια µε την προηγούµενη άσκηση 0 βρίσκουµε: α) υ 7 m/sec β) υ 7 m/sec, όταν t sec. α) Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας υ (t) ως προς t όταν t t 0 είναι γ (t 0 ) υ (t 0 ) 6t 0 m/sec β) Όταν t 0 sec τότε γ (0) 6 0 60 m/sec. α) P (0) 0-5 0 ( + 0) - 000-500 500 µονάδες µικροβίων β) P (9) 0-5 0 ( + 9) - 000-500 0 950 µονάδες µικροβίων γ) Ο ρυθµός µεταβολής του πληθυσµού των µικροβίων ως προς το χρόνο όταν t 9 h,είναι P (9) 5 µονάδες ανά ώρα 4. Ο ρυθµός µεταβολής του πληθυσµού ύστερα από 5 χρόνια θα είναι Α (5).080 κάτοικοι ανά έτος. (e, 7 ) 5. α) i) f () e - ( - ) ii) g () e ( + ) β) i) f () e ii) g () e 6. Έστω P () α + β + γ + δ P (0) δ - () P () α + β+ γ άρα P () α + β + γ α + β + γ 5 () P (0) γ () P () 6α + β άρα P () 6α + β (4) Από το σύστηµα των () () () (4) προκύπτει (α, β, γ, δ) (-,,, - ) δηλ. P () - + + - 58

7. α) i) f () - ii) f () - 8. α) i) f () e ii) f () 4e 9. α) f () αe α β) f () α e α γ) α -, α 40. α) f () + - + + β) f (0) 0 4. α) Είναι e + 0, για όλες τις πραγµατικές τιµές του, άρα Α R β) f () (e e + ) 4. α) Πρέπει e - 0, άρα 0, άρα Α R - {0} β) f () e (e - ) - - e 4. α) Πρέπει - συν 0,άρα συν, άρα κπ Άρα A { / κπ, κ Ζ} β) f () - συν - ηµ (- συν) 59

44. α) f () + 4 + β) Οι εφαπτόµενες της καµπύλης της f στα ζητούµενα σηµεία είναι παράλληλες προς τον, άρα σχηµατίζουν γωνία 0 µε αυτόν. Άρα εφ0 0 f (). ηλαδή f () + + 0, από όπου -, -. Άρα τα ζητούµενα σηµεία είναι Α (-, - ), B (-, ) 45. α) f () ( + ) β) λ f (4), άρα λ 0 46. α) f () - + β) Η ζητούµενη εξίσωση είναι της µορφής: y α + β () Πρέπει να βρεθούν τα α, β. α εφ5 - εφ45 - () Άρα έχουµε: α - f () - +, άρα. Το σηµείο επαφής έχει συντεταγµένες (, f ()) (, ) () Άρα η () λόγω των () () γίνεται: - + β, άρα β. Άρα y - + 47. α) f () α ( + ) β) Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι λ f () 4, άρα f () α 4, άρα α γ) Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι της µορφής y κ + λ. Αλλά από (β) ερώτηµα έχουµε κ 4, άρα πρέπει να βρεθεί το λ. Το σηµείο (, f ()) (, 4) είναι κοινό σηµείο της f και της εφαπτοµένης y κ + λ (). Άρα από () έχουµε: 4 4 + λ, άρα λ 0 και η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y 4 60

48. α) f () - 4 β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της καµπύλης στο σηµείο Α (, y) ισούται µε (εφ45 ). Άρα f () 5 5 7 ηλαδή έχουµε f () - 4, άρα και f ( ) -. 4 Άρα το σηµείο Α έχει συντεταγµένες (, y) ( 5, - 4 7 ) 49. Για να είναι η ευθεία y - εφαπτοµένη της καµπύλης της f στο σηµείο (, f ()), πρέπει: ) f (), δηλαδή 4 - α α 5 ) Το σηµείο (, f ()) να είναι κοινό σηµείο της καµπύλης της f και της εφαπτοµένης ευθείας y -, δηλαδή: f () - - α + β - 8-5 + β - - + β 5 β 7 50. α) f () + - β) Οι εξισώσεις των εφαπτόµενων της καµπύλης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία y + θα είναι y + β και y + γ. Αρκεί να βρεθούν οι παράµετροι β, γ. Ο συντελεστής διεύθυνσης των y + β και y + γ είναι ίσος µε f (). ηλαδή f () + - απ όπου, -. Τα σηµεία (, f ()), (-, f (- )) είναι κοινά σηµεία επαφής της καµπύλης της f και των αντιστοίχων εφαπτόµενων. 6

Άρα: f () + β και f (- ) - + γ + β 7 - + γ, άρα β - γ 0 Άρα οι ζητούµενες εξισώσεις είναι y -, y + 0 5. α) f () - 4 4 άρα f (α) - α β) Η εξίσωση της εφαπτοµένης της f στο σηµείο (α, y κ + λ (), όπου ο κ ισούται µε f (α) - Το σηµείο (α, α 4 α ) είναι της µορφής α () ) είναι κοινό σηµείο της καµπύλης της f και της y κ + λ. Άρα από (), () έχουµε Άρα α 4 - α + λ. α 4 6 + λ. Άρα λ () α α Από (), (), () έχουµε y - α α 4 6 + α 6

5. α) f () - 8 + 5 ( - 6 + 5) ( - 5) ( - ) β) Από τον παρακάτω πίνακα (µεταβολών της συνάρτησης) 5 f () + 0 0 + f () + προκύπτει ότι η f είναι στο (-, ] αύξουσα, στο [, 5] φθίνουσα και στο [5, + ) αύξουσα γ) Για, η f παρουσιάζει µέγιστη τιµή f ma 4 και για 5 η f παρουσιάζει ελάχιστη τιµή f min - 8 5. α) i) f () 4-4 ii) g () - + 4 β) Από τους παρακάτω πίνακες (µεταβολών των συναρτήσεων) f () f () + 0 + g () + g () 0 + έχουµε ότι η συνάρτηση f για παρουσιάζει ελάχιστο και η συνάρτηση g για παρουσιάζει µέγιστο. γ) Για, το f () - είναι ελάχιστο Για, το g () 6 είναι µέγιστο 54. α) f () - 4-5 β) 5, - γ) Από τον παρακάτω πίνακα (µεταβολών της συνάρτησης) 5 f () + 0 0 + f () + έχουµε ότι για - η συνάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο και για 5 η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο δ) Για -, το f (- ) είναι µέγιστο Για 5, το f (5) - 06 είναι ελάχιστο 6

55. α) Για να έχει η συνάρτηση f τοπικό ακρότατο για, θα πρέπει f () 0. f () κ + λ. Άρα f () κ + λ 0 () Επίσης το f () - δηλαδή f () κ + λ + - () Από () και () σχέσεις έχουµε κ 5, λ - 0. Άρα f () 5-0 + και f () 0-0 β) Η συνάρτηση f για παρουσιάζει ελάχιστο, αφού για < η f () < 0 και για > η f () > 0. 56. Από τη συνάρτηση f έχουµε f () - ( - ) ( + ) Από τον παρακάτω πίνακα (µεταβολών της f) έχουµε f () + f () 0 0 + + α) Η συνάρτηση f είναι αύξουσα στα διαστήµατα (-, - ], [, + ) β) Η συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο διάστηµα [-, ] 57. α) f () e - - e - e - ( - ) f () e - ( - 4 + ) β) Από τον παρακάτω πίνακα (µεταβολών της f) έχουµε 0 f () 0 + 0 f () + Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα (-, 0], [, + ) και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0, ] γ) Για 0 παρουσιάζει ελάχιστο ίσο µε f (0) Για παρουσιάζει µέγιστο ίσο µε f () 64

58. α) i) A R ii) f () e (- + ), f () e (- - + ) β) Από τον παρακάτω πίνακα (µεταβολών της f) έχουµε f () 0 + 0 + f () i) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήµατα (-, - ], [, + ) και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [-, ] ii) Για έχουµε µέγιστο µε τιµή µεγίστου την f ( ), 4 Για - έχουµε ελάχιστο µε τιµή ελαχίστου την f (- ) -,74 59. α) f () κ + λ + β) Για να έχει η συνάρτηση f τοπικά ακρότατα στα σηµεία µε τετµηµένες, - πρέπει f () 0, f (- ) 0 Άρα κ + λ + 0 και κ (- ) + λ (- ) + 0 ή κ + 4λ + 0 () κ - 4λ + 0 () Από () και () προκύπτει κ -, λ 0 4 γ) Η συνάρτηση f µετά τον προσδιορισµό των κ, λ γίνεται f () - + - 4 Για η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο το f () Για - η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f (- ) - 5 65

60. Θεωρούµε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ µε σταθερή περίµετρο Π και διαστάσεις, y. Άρα + y Π ή y Π - ή y Το εµβαδόν του ορθογωνίου εκφράζεται συναρτήσει του από τη συνάρτηση Π - E () Π -, Π - 0 < < Π. Α y (), y > 0 Β Γ Θα υπολογίσουµε την τιµή του, ώστε η Ε () να έχει µέγιστο. Η Ε () είναι παραγωγίσιµη µε Ε () Π -. Η Ε () µηδενίζεται όταν 4 Π. Από τον πίνακα: Π 0 4 E () E () + 0 ma Π έχουµε ότι η συνάρτηση Ε () έχει µέγιστη τιµή όταν 4 Π. Άρα από την () για 4 Π, έχουµε y 4 Π. Άρα το ορθογώνιο ΑΒΓ έχει µέγιστο εµβαδόν, όταν y 4 Π, δηλαδή όταν είναι τετράγωνο. 66

6. Θεωρούµε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ µε διαστάσεις, y και εµβαδό 600 m. ηλαδή y 600 m ή y 600 Η περίµετρος του γράφεται ( + y) και εκφράζεται συναρτήσει του ως εξής: (), y > 0 Α y Β Π () ( + 600 ), > 0 Θα υπολογίσουµε την τιµή του, ώστε η Π () να έχει ελάχιστο. Η Γ συνάρτηση Π () είναι παραγωγίσιµη µε Π () 0 έχουµε 40 ( > 0) Από τον πίνακα: -600 και µε Π () Π () Π () 0 40 0 + + min έχουµε ότι η Π () έχει για 40 ελάχιστη τιµή ίση µε Π (40). Αν 40, από την () έχουµε y 40, δηλαδή το ζητούµενο ορθογώνιο είναι το τετράγωνο µε πλευρά y 40 m. 6. Έστω ΑΒΓ το ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ ΑΓ) και ΑΗ το ύψος του. Το περίκεντρο του ΑΒΓ βρίσκεται στην ευθεία ΑΗ. Αν θέσουµε ΑΗ µε 0 < < R, τότε ΟΗ - R ή ΟΗ R, δηλαδή Α Α Η Β Ο Ο Β Η Γ Γ ΟΗ - R Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΗΒ έχουµε ΒΗ ΟΒ - ΟΗ 67

ηλαδή ΒΗ R - - R R - - R + R R -, οπότε το εµβαδόν του ΑΒΓ είναι Ε () ΒΓ ΑΗ R - Άρα Ε () Ε () ( R - (). H () είναι παραγωγίσιµη µε R - ) R - 0 άρα 0, R Από τον πίνακα: 0 E () E () R + 0 ma R - R - R R και µε Ε () 0 έχουµε και µε (0, R) και 0 έχουµε έχουµε ότι η συνάρτηση Ε () παρουσιάζει µέγιστο για Το εµβαδόν λοιπόν γίνεται µέγιστο για R. R R R. Τότε ΟΗ - R. Το απόστηµα της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο, του οποίου το εµβαδόν είναι R R E 4 R, άρα είναι 6. Οι δύο αριθµοί, y έχουν σταθερό άθροισµα, άρα + y και y - () Το γινόµενό τους συναρτήσει του είναι Γ () ( - ) -. Η συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιµη, µε Γ () -. Αν Γ () 0 έχουµε 6. 68

Από τον πίνακα 6 + Γ () Γ () + 0 ma έχουµε ότι η συνάρτηση Γ () παρουσιάζει µέγιστο για 6 και η τιµή του είναι Γ (6) 6. Για 6 από την () έχουµε y 6. Άρα οι δύο αριθµοί είναι y 6. 64. α) Η συνάρτηση κόστους K (t) t + 50t - είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση µε K (t) t - 50t -. Η πραγµατοποίηση µεγίστου κέρδους συνεπάγεται την ελαχιστοποίηση του κόστους κατασκευής. Από K (t) 0 έχουµε: t - 50t - 0 ή Από τον πίνακα t 0 Κ (t) Κ (t) 5 t 0 + min - 50 t + 0 ή t 5 ή t 5. προκύπτει ότι η συνάρτηση K (t) παίρνει την ελάχιστη τιµή της για t 5 h και αυτή είναι K (5) 75 δρχ. Άρα το µέγιστο κέρδος πραγµατοποιείται για t 5 h. β) Το µέγιστο κέρδος είναι 000-75 95 δρχ. 69

65. α) Η συνάρτηση E (υ) [ (υ - 5) 750] + υ είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση µε παράγωγο [ ] [ ] 5) 750 E (υ) (υ - 5) + 750 υ - (υ - + υ υ 4 [ 5) 750] (υ - 5) υ - (υ - + υ 4υ -40υ - [ (υ - 70 υ + 5) + 750] υ - 00 υ. Αν Ε (υ) 0 έχουµε υ 40. Από τον πίνακα Ε (υ) Ε (υ) υ 0 40 0 + min υ + έχουµε ότι η συνάρτηση Ε (υ) παρουσιάζει ελάχιστο για την τιµή υ 40 µονάδες ταχύτητας. β) Η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης είναι: Ε min (40) 0 µονάδες ενέργειας 70

66. α) P (t 0 ) W (t 0 ) t 0-4t 0. β) Η συνάρτηση P (t) εκφράζει την ισχύ του πηνίου και είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση µε παράγωγο P (t) t. Αν P (t) 0 έχουµε t ±. Απορρίπτουµε την αρνητική τιµή του χρόνου t - και µε t έχουµε τον παρακάτω πίνακα t 0 P (t) P (t) + 0 ma + απ όπου προκύπτει ότι η συνάρτηση ισχύος του πηνίου P (t) παρουσιάζει µέγιστο για t h. γ) Η µέγιστη τιµή της συνάρτησης P (t) που εκφράζει τη µέγιστη ισχύ του πηνίου είναι Ρ () 8 Watt. 67. α) H συνάρτηση κέρδους είναι A (t) 00 - t - Η συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιµη µε παράγωγο 50, t (0, 8] t A (t) - t + 50. t Αν A (t) 0 έχουµε Από τον παρακάτω πίνακα - t + 50 t 0 ή t 50 ή t 5 ή t 5. t 0 5 8 Α (t) Α (t) + 0 ma έχουµε ότι για t 5 χρόνια η συνάρτηση Α (t) παρουσιάζει µέγιστο. β) Το µέγιστο κέρδος ανά επιβάτη είναι A (5) 5 δρχ. 7

68. Η συνάρτηση f () (α - ), µε α θετική σταθερά, είναι παραγωγίσιµη µε f () α -. Αν f () 0 έχουµε α - 0 ή 0, α. Η ρίζα 0 απορρίπτεται γιατί αναφέρεται σε µηδενική ποσότητα φαρµάκου. Από τον παρακάτω πίνακα 0 f () f () α + 0 ma έχουµε ότι για + α η συνάρτηση f () παρουσιάζει µέγιστο. α Άρα για ποσότητα φαρµάκου έχουµε τη µέγιστη θετική αντίδραση του οργανισµού. 69. Η συνάρτηση κόστους των ταψιών είναι K () Η συνάρτηση εσόδων από την πώληση των ταψιών είναι Π () (000 - ). Άρα η συνάρτηση κέρδους των ταψιών είναι Α () (000 - ) - ( + 5 + 5) ή Α () - 4 Η συνάρτηση Α () είναι παραγωγίσιµη µε Α () - Αν Α () 0 έχουµε 650. Από τον παρακάτω πίνακα + 5 + 5. 4 + 975-5 4 6 + 975. 4 0 Α () 650 + 0 + ma έχουµε ότι η συνάρτηση Α () παρουσιάζει µέγιστο για 650. Άρα έχουµε το µεγαλύτερο δυνατό κέρδος όταν παραχθούν 650 ταψάκια. 7