ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 3 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα και ισχύει f ( ) = σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 4 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα και ισχύει f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 5 Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε ισχύει lim f ( ) + g( ) = lim f ( ) + lim g( ) ( ) 6 Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε ισχύει lim f ( ) g( ) = lim f ( ) lim g( ) ( ) 7 Για κάθε μιγαδικό αριθμό = α + βi ισχύει : = α + β 4 8 Για το μιγαδικό αριθμό i ισχύει : i = 9 Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού = + yi, όπου, y πραγματικοί αριθμοί, δίνεται από τον τύπο = + y Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y = f ( ), όπου f είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο f ( ) Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f ( ) > στο ( α, ) και f ( ) < στο (, β ), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f Ο συζυγής κάθε μιγαδικού αριθμού = + yi, όπου, y πραγματικοί αριθμοί, είναι ο μιγαδικός = + yi
3 Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε ισχύει f ( ) lim f ( ) lim =, εφόσον lim g ( ) lim g ( g ( ) ) 4 Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f ( ) = g ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει : f ( ) = g( ) + c 5 Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει : f ( ) < f ( ) 6 Έστω η συνάρτηση f ( ) = Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) και ισχύει f ( ) = 7 Ο συντελεστής διεύθυνσης, λ, της εφαπτόμενης στο σημείο Α (, f ( )),της γραφικής παράστασης C f μιας συνάρτησης f, παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της είναι λ = f ( ) 8 Αν Μ ( α, β ) και Μ ( γ, δ ) είναι οι εικόνες τωνα + βi και γ + δ i αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους 9 Για κάθε μιγαδικό αριθμό = α + βi,όπου α, β R, ισχύει = α + βi Έστω η συνάρτηση f ( ) = συν, όπου R Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f ( ) = ηµ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Αν η f είναι συνεχής στο και f ( ) = για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Έστω μια συνάρτηση f,η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Αν f ( ) < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το 3 Μια συνάρτηση f : Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε Α ισχύει η συνεπαγωγή αν, τότε f ( ) f ( ),
4 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο Α ( ολικό ) ελάχιστο, το f ( ), όταν f ( ) < f ( ) για κάθε Α 5 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) > lim g( ) 6 Αν και είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε = 7 Αν = + yi, με, y R τότε = 8 Αν = α + βi, τότε: + = α, για κάθε α, β R 9 Αν, τότε ισχύει lim = 3 Έστω η συνάρτηση f ( ) { συν } = εϕ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R = R / = και ισχύει: f ( ) = συν 3 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο ( κ f ) R τότε : lim ( ) = κlim f ( ), για κάθε σταθερά κ R 3 Έστω f πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και Έστω επίσης f ( ) για κάθε Αν lim f ( ) = + τότε lim = f ( ) 33 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες Μ ( α, β ) και Μ ( α, β ) των συζυγών μιγαδικών = α + βi και = α βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα 34 Αν μια πραγματική συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο 35 Έστω η συνάρτηση f ( ) για κάθε (, + ) = με πεδίο ορισμού = [, + ) τότε f ( ) = 36 Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f ( ) +, lim f ( ) είναι + ή, τότε η ευθεία = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f 37 Για κάθε μιγαδικό ισχύει =
38 Μια συνάρτηση f είναι,αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία ( παράλληλη στον ) τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο 39 Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο f ( ) < κοντά στο R και lim f ( ) <, τότε 4 Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ α, β ], τότε η f παίρνει στο [, ] μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m 4 Έστω η συνάρτηση f ( ) για κάθε R = ηµ με πεδίο ορισμού το R, τότε ( ) α β μια f = συν, 4 Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς α + βi και γ + δ i, η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος τους ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους 43 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f 44 Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h o( g o f ), τότε ορίζεται και η ( h o g) o f και ισχύει h o( g o f ) = ( h o g) o f 45 Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου του έχουν ασύμπτωτες 46 Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: + > + 47 Για κάθε R ισχύει: ( ηµ ) = συν 48 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δεν μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλ διατηρεί πρόσημο στο διάστημα 49 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β ) και f ( α) = f ( β ) Τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) = 5 =, για κάθε μιγαδικό αριθμό 5 Η εικόνα του μιγαδικού αριθμού α + βi, α, β R στο μιγαδικό επίπεδο είναι το σημείο Μ ( α, β )
5 ηµ lim = 53 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = α β, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, f ( β ) f ( α) β α 54 Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης 55 Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και για κάθε πραγματικό αριθμό c, ισχύει ότι : ( c f ( )) = f ( ), για κάθε 56 Αν, μιγαδικοί αριθμοί με, τότε ισχύει ότι : = 57 Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [ α, β ] είναι το κλειστό διάστημα [ m, Μ ],όπου m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της 58 Αν lim f ( ) = +,τότε f ( ) < κοντά στο 59 Αν α, β, γ, δ R ισχύει α + βi = γ + δi α = γ και β = δ 6 Για κάθε συνάρτηση f η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C f, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα 6 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει : f ( ) g( ) κοντά στο, τότε ισχύει lim f ( ) lim g( ) 6 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο και g( ), τότε και η f συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) = g [ g( ) ] ( )
63 Έστω Ρ ( ), Q( ) πολυώνυμα διάφορα του μηδενικού Οι ρητές συναρτήσεις Ρ( ), με βαθμό του αριθμητή Ρ ( ) μεγαλύτερο κατά δύο του βαθμού του Q( ) παρονομαστή, έχουν πλάγιες ασύμπτωτες 64 Για κάθε μιγαδικό αριθμό ορίζουμε = = 65 Για κάθε R = R { / συν = } ισχύει : ( εϕ ) συν ηµ 66 Ισχύει ότι : lim = 67 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες oy και oy 68 Για κάθε μιγαδικό αριθμό = α + βi α, β R ισχύει = β 69 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο Α ( ολικό ) μέγιστο, το f ( ), όταν f ( ) f ( ) για κάθε Α 7 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα, τότε είναι και στο διάστημα αυτό f 7 Αν lim f ( ) = και f ( ) > κοντά στο, τότε lim f ( ) = + 7 Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δυο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα 73 Μια συνάρτηση f είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( ) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς 74 Αν είναι lim f ( ) = +, τότε f ( ) < κοντά στο 75 Αν δυο συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς σε ένα διάστημα και ισχύει ότι f ( ) = g ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε ισχύει πάντα f ( ) = g( ) για κάθε 76 Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο 77 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της f
78 Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους 79 Για την πολυωνυμική συνάρτηση ισχύει lim P( ) = α ν P( ) = α + α + + α με α ν ν ν ν 8 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (, ) α β με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f ( ) > στο ( α, ) και f ( ) < στο (, β ), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f 8 Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο, τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο