ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση ηµ ( π ), f() π., > Να αποδείξετε ότι η f ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο [, ] και να βρείτε τα σημεία ξ (, ) για τα οποία ισχύει. Η f είναι συνεχής σε κάθε < ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων και σε κάθε > ως πολυωνυμική. Στο έχουμε: limf() lim ηµ ( π ), π limf() lim και ( ) f( ) Επομένως limf() limf() f() δηλαδή η f είναι συνεχής και στο. Έτσι η f είναι συνεχής στο οπότε και στο [, ]. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε < με f () συν( π ) και σε κάθε > με f (). Στο έχουμε: f() f() ηµ ( π) lim lim π ηµ ( π) lim, π ηµ ( π) π u ηµ u (διότι: lim lim ) π u u

f() f() ( ) lim lim lim lim ( ) Επομένως f() f() f() f() lim lim f () δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη και στο.έτσι η f είναι παραγωγίσιμη στο οπότε και στο (, ) συν( π ) αν < f () αν. αν > με Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής για την f στο διάστημα [, ] και συνεπώς θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο f () f ( ) 8 ( ) 5 ώστε f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ) ( ) 4 5 Προσδιορισμός του ξ : Προφανώς ξ αφού f ( ). 5 3 Αν ξ (,) : συν ( πξ ) συν ( πξ ) > αδύνατον. 5 Αν ξ (, ) : ξ ξ ξ (δεκτό). 4

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Αν Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)) με α γραφική παράσταση της συνάρτησης f με < β είναι τα σημεία στα οποία η ευθεία (ε): y 3 τέμνει τη f() e τότε: i. Nα αποδείξετε ότι εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο [ α,β ]. ii. Nα προσδιορίσετε το ξ του θεωρήματος και να αποδείξετε ότι αβ <. Επειδή τα σημεία Α και Β είναι κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας α β (ε) θα ισχύει: α e α 3 () και β e β 3 (). i. Η f είναι συνεχής στο, άρα και στο [ α,β ], ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων και e. H f είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β ) με f () e. Επομένως η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα [ α,β ]. ii. Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. για την f στο [ α,β ] υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α,β) β α f( β ) f( α) β e α e ( β 3) ( α 3) f( ξ ) f( ξ ) β α f( ξ ). Προσδιορισμός του ξ : ξ Είναι f( ξ ) ξ e (3). ( ) ( ) β α (),() f( ξ ) β α τέτοιο ώστε Προφανής λύση της (3) είναι ξ (4), η οποία είναι και μοναδική, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( αβ, ) (αν, (, ) e e f ( ) f ( ) < < ). αβ με < τότε < και e < e δηλαδή Επιπλέον ξ ( α,β) δηλαδή (4) α<ξ<β α< <β, οπότε αβ <. 3

Άσκηση. Α. Να αποδείξετε ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση f ( ) ln στο διάστημα,e e. Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ,e e ώστε ξ( ξ ) lnξ ( ξ ) ξ ξ. Α. Η f είναι συνεχής στο,e e Για τον έλεγχο της παραγώγου έχουμε,e e Αν είναι ( ( ) ) Αν (, e) είναι (( ) ) ως γινόμενο των συνεχών και ln. ( ) ln αν < < f() αν ( ) ln αν > f () ln ( ) ln ( )(ln ) ln. f () ln ( ) ln ( )(ln ) ln. (Τα δύο αποτελέσματα συγχωνεύονται στην Για την παράγωγο στο,e e έχουμε: ( ) f () ln ) f() f() ln ( ) ln lim lim lim lim ( ln ) f() f() ln ( ) ln lim lim lim lim ( ln ) Οπότε f() f() f() f() lim lim f () Άρα η f είναι παραγωγίσιμη και στο επομένως είναι παραγωγίσιμη στο,e e. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα,e e. 4

Β. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στο,e e έχουμε ότι υπάρχει ξ,e e τέτοιο ώστε f (e) f e lne ln ( e) e f( ξ ) f( ξ ) e e e f( ξ ) f( ξ ) e e e e e e ξ ( ξ) ln ( ) ln ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ. 5

Άσκηση 3. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() α β > 5,,. Να προσδιορίσετε τα α, β ώστε για τη συνάρτηση f να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [,3]. Η f είναι συνεχής σε κάθε < ως σύνθεση των συνεχών 5(πολυωνυμική) και. Επίσης είναι συνεχής σε κάθε > ως πολυωνυμική για οποιαδήποτε α, β. Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την f στο [-,3] πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-,3] και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στο. Επομένως πρέπει και αρκεί limf() limf() f(). Στο έχουμε: limf() lim limf() lim f( ) 3 (3) 5 3 (), ( ) ( ) α β 4 αβ () και Επομένως πρέπει 4 αβ 3 β 7 α (4). Έτσι η συνάρτηση f γίνεται f() α α > 5, 7,. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε < ως σύνθεση των παραγωγίσιμων 5 (πολυωνυμική) και με f (). Επίσης είναι παραγωγίσιμη σε κάθε > ως 5 πολυωνυμική για οποιοδήποτε α με f () α. Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την f στο [-,3] πρέπει η f να είναι παραγωγίσιμη στο (-,3) και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως πρέπει και αρκεί lim f() f() f() f() lim f (). Στο έχουμε: f() f() 5 3 lim lim lim 59 ( )( 5 3) 6

( )( ) lim lim ( )( 5 3) 5 3 3 f() f() α 7α3 4αα lim lim lim ( )( ) ( ) α lim lim ( α ) 4α Άρα πρέπει και αρκεί 4 8 7 4 α α και από την (4) είναι β 7 β. 3 3 3 3 7

Άσκηση 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο ηµ ( α), f() β 4 π, > α, β, α. Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ π,3π] να προσδιορίσετε τους αριθμούς α, β. Επειδή η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [-π,3π] θα είναι συνεχής σ αυτό και επομένως θα είναι συνεχής και στο. Οπότε θα ισχύει limf() limf() f(). Είναι: limf() lim limf() lim f( ) ( ηµ ( α ) ), ( β 4π ) ( 4 ) β π β4π και Επομένως β4π β 4π β± 4π (). Επειδή η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [-π,3π] θα είναι παραγωγίσιμη στο (-π,3π) και επομένως θα είναι παραγωγίσιμη και στο. Οπότε θα ισχύει f() f() f() f() lim lim f (). Στο είναι: f() f() ηµ ( α) ηµ ( α) lim lim lim α α α (3) Αφού θέτω uα ηµ ( α) ηµ u u lim lim α u f() f() lim lim lim 6π 4π Επομένως α α. β π 4 (4) () lim ( 6π 4π) 8

Άσκηση 5. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο α f(), e β, >. Α. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς α, β, α, ώστε η f να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.στο [,]. f () f ( ) Β. Αν α e να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (,) ώστε f( ξ ) (δηλαδή ότι το ξ που ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θ.Μ.Τ. για την f στο (,) μοναδικό). είναι άσκησης 6 Α. Η f είναι συνεχής σε κάθε < ως πολυωνυμική και σε κάθε > ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Στο έχουμε: limf() lim limf() lim f( ) (3) ( ) α () ( e β ) β και () Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-,] και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στο. Επομένως πρέπει limf() limf() f() απ όπου με τη βοήθεια των (), (), (3) προκύπτει ότι β. Έτσι η συνάρτηση f γίνεται α αν f() αν > e. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε < με f () α και σε κάθε > με f ( ) e e. Στο έχουμε: f() f() α ( α ) lim lim lim lim ( α ) (4) f() f() e e lim lim lim lim ( e ) (5) 9

Από τις (4) και (5) προκύπτει ότι f() f() f() f() lim lim f () οπότε η f είναι παραγωγίσιμη στο (-,) για κάθε * α με α αν < f '() αν αν > e e. Β. Aν α e τότε είναι e, f() e > και e αν < f '() αν. e e αν > Από το (Α) ερώτημα, εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα [-,] και συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) τέτοιο ώστε f( ξ ) Προφανώς ξ αφού Αν ξ (, ) τότε: ( ) f () f ( ) e (e ) f( ξ ) f( ξ ) ( ) f (). f ξ eξ eξ ξ (δεκτή τιμή) 4e ξ ξ f ξ ξ e e, διότι αν θεωρήσουμε τη έχουμε ότι, όπως εύκολα προκύπτει με την εφαρμογή του Ενώ δεν υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε ( ) συνάρτηση f ( ) e e ορισμού, είναι γνησίως αύξουσα στο [,] και συνεπώς για ξ (,) θα ισχύει ξ> f( ξ ) > f() f( ξ ) > >. Επομένως το ξ του Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα (-,) είναι μοναδικό.

Άσκηση 6. Για μια συνάρτηση ισχύει στο διάστημα [ α, β] το θεώρημα Rolle. i. Να βρείτε τα σημεία που διαιρούν το διάστημα [ α, β] σε τρία διαστήματα ίσου μήκους. ii. Να δείξετε ότι υπάρχουν σημεία ξ, ξ και 3 f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ). 3 ξ του διαστήματος (, ) α β τέτοια ώστε i. Για να χωρίσουμε το [ α, β] σε τρία τμήματα χρειαζόμαστε δυο εσωτερικά σημεία. Το μήκος βα του κάθε τμήματος, αφού είναι ισομήκη, θα είναι ίσο με. Επομένως τα ζητούμενα 3 βα αβ βα α β σημεία θα είναι το α και το α. 3 3 3 3 ii. Επειδή για την f ισχύει στο διάστημα [ α, β] το θεώρημα Rolle, θα ισχύει και το θεώρημα μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα α β, β 3. αβ α, 3, αβ α β, 3 3 και αβ Επομένως υπάρχουν σημεία ξ α, 3, ξ α β ξ 3, β τέτοια ώστε: 3 αβ αβ f f α f f α 3 3 f ( ξ ) αβ βα α 3 3 ( ) ( ) αβ α β, 3 3 και ()

α β αβ α β αβ f f f f 3 3 3 3 f ( ξ ) α β αβ βα 3 3 3 () α β α β f( β ) f f( β ) f 3 3 f ( ξ 3 ) α β βα β 3 3 (3) Προσθέτουμε τις (), () και (3) και έχουμε: ( ) ( ) ( ) f ξ f ξ f ξ 3 αβ α β αβ α β f f( α ) f f f( β ) f 3 3 3 3 βα 3 f( β ) f( α), βα 3 αφού f( α ) f( β ). Παρατήρηση: Όπως φαίνεται και στην επίλυση του προβλήματος, δεν είναι αναγκαίος ο προσδιορισμός των σημείων που διαιρούν το διάστημα[ α, β] σε τρία υποδιαστήματα ίσου βα μήκους. Αρκεί να γνωρίζουμε ότι το μήκος του καθενός είναι. 3

Άσκηση 7. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ], παραγωγίσιμη στο διάστημα ( ) τέτοια ώστε f () 5 και f () ανήκουν στο διάστημα ( ), και. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ, ξ,, ξ που,, τέτοιοι ώστε: f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ) 5. Για τη συνάρτηση f ισχύει σε καθένα από τα δέκα διαστήματα,,,,, 3,, 9, το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. [ ] [ ] [ ] [ ] Επομένως υπάρχουν αριθμοί,,, αντιστοίχως, τέτοιοι ώστε: f() f() f ( ξ ) f() f() f ( ξ ) f() f() f ( ξ ) f () f (9) ξ ξ ξ των διαστημάτων (, ), (, ),,( 9, ) Προσθέτουμε τις παραπάνω ισότητες κατά μέλη και έχουμε f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f () f () 5 5. 3

Άσκηση 8. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ α, β ], παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) τέτοια ώστε f( β) f( α ) 4( βα ). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ, ξ, ξ 3 που ανήκουν στο διάστημα (, ) f ( ξ ) 3f ( ξ ) 4f ( ξ ) 36. α β, τέτοιοι ώστε: 3 α β και Με τα σημεία ( ) ( ) 9, χωρίζουμε το διάστημα [, ] α β σε τρία υποδιαστήματα με μήκη α βα, ( ) ( βα ) και ( ) ( ) 3 9 4 β βα. 9 Σε καθένα από τα διαστήματα [ α, ], [, ] και [ ] του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχει σημείο ξ α (,) f( ) f( α) f( ) f( α) 9f ( ( ) f( α) ) f ( ξ ), οπότε α ( βα) ( βα) 9 9f ( ( ) f( α) ) f ( ξ ) () ( βα) Ομοίως υπάρχουν σημεία ξ (, ) και ξ3 (, ) 9( f( ) f( ) ) 3f ( ξ ) () ( βα),β ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής β τέτοια ώστε, τέτοιο ώστε: και 4f ( ) 9f ξ 3 ( ( β) f( )) ( βα) (3) Προσθέτουμε τις (), () και (3) κατά μέλη και έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 f( ) f( α) 9 f( ) f( ) 9 f( β ) f( ) f( ξ ) 3f( ξ ) 4f( ξ 3) βα βα βα ( α β ) 9 f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) βα ( β α ) ( βα) 9 f( ) f( ) 9 4 36 βα βα 4

Άσκηση 9. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β] και η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επίσης υπάρχει γ ( α, β ), τέτοιο ώστε f( γ ). Να αποδείξετε ότι f( α)( βγ ) f( β)( γα ) <. Στο διάστημα [ α, γ ] εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και επομένως υπάρχει ξ α (, γ ), τέτοιο ώστε ( γ) ( α) ( α) ( α) f f f f f ( ξ ) γα γα γα () Ομοίως, στο διάστημα [ γ, β ] εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και επομένως υπάρχει ξ ( γ, β ), τέτοιο ώστε ( β) ( γ) ( β) ( β) f f f f f ( ξ ) βγ βγ βγ () Επειδή ξ <ξ και η f είναι γνησίως φθίνουσα, έχουμε f ( ) f ( ) ( ) f( ) f α β > f α βγ > β γα γα βγ ( ) ( ) f( ) ( ) f( α) ( βγ ) f( β) ( γα ) < ξ > ξ. Επομένως 5

Άσκηση. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και δυο φορές παραγωγίσιμη στο. Αν οι αριθμοί,, 3 είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, με < < 3, καθώς και οι τιμές f( ), f( ), f( 3) είναι, με τη σειρά που δίνονται, επίσης διαδοχικοί όροι μιας άλλης αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε f ( ). Λόγω των υποθέσεων, ισχύει για την f το θεώρημα της μέσης τιμής σε καθένα από τα,. διαστήματα [ ], και [ ] 3 Επομένως υπάρχουν ξ (, ) και (,) ξ τέτοια ώστε: 3 f( ) f( ) f ( ξ ) () f( ) f( ) f ξ και ( ) 3 3 () Όμως, επειδή οι,, 3 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, ισχύει 3 και, επειδή οι f( ), f( ), f( 3) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής f f f f( ). προόδου, ισχύει επίσης ( ) ( ) ( ) 3 Επομένως τα δεύτερα μέλη των () και () είναι ίσα, άρα f ( ) f ( ) ξ ξ (3) Επειδή η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο, συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής ξ, ξ. Επειδή επιπλέον ισχύει η (3), συμπεραίνουμε και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ] ότι για τη συνάρτηση f ισχύουν στο διάστημα [, ] Rolle. Άρα υπάρχει ξ (, ξ ) R, τέτοιο ώστε ( ) ξ ξ οι προϋποθέσεις του θεωρήματος f. 6

Άσκηση. Υποθέτουμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [ α, β] και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα ( α, β ). Υποθέτουμε επίσης ότι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Α( α, f( α )) και B (, f( )) Γ( γ, f( γ )). Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο ξ ( α, β ), τέτοιο ώστε f ( ξ ). β β τέμνει τη γραφική παράσταση της f και σε ένα τρίτο σημείο έστω Έστω λ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. Για τη συνάρτηση f, ισχύουν στο διάστημα [ α, ] μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχει (, ) f( γ) f( α) f ( ). Όμως ο λόγος γα ευθείας ΑΒ. Επομένως f ( ) λ. f( γ ) f( α ) γα γ οι προϋποθέσεις του θεωρήματος της αγ, τέτοιο ώστε είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της Ομοίως υπάρχει ( γ, β ), τέτοιο ώστε f ( ) λ. Επομένως υπάρχουν (, ) ( γ, β ), τέτοια ώστε f ( ) f ( ) λ. αγ και Επειδή η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα ( α, β ), συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ]. Επιπλέον, λόγω του προηγούμενου συμπεράσματος, ισχύει f ( ) f ( ). το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, ]. Άρα υπάρχει ξ (, ) ( α, β ) τέτοιο ώστε f ( ξ ). Ακολουθεί μια γεωμετρική ερμηνεία του παραπάνω προβλήματος: Αυτό σημαίνει ότι για την f ισχύει 7

Παρατηρήσεις:. Οι υποθέσεις οδηγούν στην ύπαρξη δύο παράλληλων ευθειών προς την ευθεία ΑΒ, όπως φαίνεται και στο σχήμα.. Το (, ) ξ είναι όπως θα δούμε παρακάτω ένα πιθανό σημείο καμπής της f C. 8

Άσκηση. Μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο και τέτοια ώστε f ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία σημεία της γραφικής παράστασης της f που να είναι συνευθειακά. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της γραφικής παράστασης της f, τα, f( ) B, f( ) Γ γ, f( γ ) με α<β<γ. Α( α α ), ( β β ) και ( ) Αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι ίσος με το συντελεστή f( β ) f( α) f( γ ) f( β) διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ. Επομένως. βα γβ Από το θεώρημα όμως της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχουν σημεία f( β ) f( α) f( γ) f( β) ξ α (, β ) και ξ β (, γ ) τέτοια ώστε f ( ξ ) και f ( ξ ) βα γβ. Επομένως f ( ) f ( ) ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [ ξ, ξ ]. Άρα υπάρχει (, ), άτοπο, αφού από την υπόθεση έχουμε f ( ), για κάθε f ( ) ξ ξ. Επειδή όμως η f είναι παραγωγίσιμη, αυτό σημαίνει ότι για την f ξ ξ, τέτοιο ώστε. 9

Άσκηση 3. Για μια συνάρτηση f υποθέτουμε ότι: Είναι συνεχής στο διάστημα [, ). Είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ). f (). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). Αν f() g(), να δείξετε ότι g () >, για κάθε (, ). Προφανώς η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ), ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έχουμε: ( ) f() f () f() ( ) ( )f () f() g () () () ( )f () f() f() f () Όμως, από την υπόθεση ότι f () και από το γεγονός ότι για την f ισχύει σε κάθε διάστημα[, ] το θεώρημα της μέσης τιμής, έχουμε: f() f() f() f( ξ), για κάποιο ξ (, ). f(). Επειδή όμως η f είναι γνησίως, και <ξ<, έχουμε f( ξ ) < f() f() f( ξ ) >. Άρα Επομένως g () f () ( f () f ( ξ) ) αύξουσα στο ( ) g () ( f () f ( ξ )) >.

Παρατήρηση: Το συμπέρασμα μας λέει με άλλα λόγια ότι η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ), όπως θα δούμε στην ενότητα 8. f() g() είναι

Άσκηση 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι f( ) < f() f( ), για κάθε. Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη στο είναι και συνεχής στο. Επομένως ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [, ] και [, ] το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Άρα υπάρχουν ξ (, ) και ξ (, ), τέτοια ώστε f( ) f() f ( ξ ) f( ) f() () f( ) f( ) f ( ξ ) f( ) f( ) () Επειδή όμως η f είναι γνησίως αύξουσα και ξ <ξ, έχουμε f( ξ ) < f( ξ ), οπότε: f( ) f() < f( ) f( ) f( ) < f() f( )

Άσκηση 5. Να αποδείξετε ότι < <, για κάθε >. είναι συνεχής στο διάστημα [ ) Η συνάρτηση f(t) t, και παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ). Επομένως ισχύει για την f το θεώρημα της μέσης τιμής σε κάθε διάστημα της μορφής [, ]. Άρα υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε: f() f() f( ξ) (). Επειδή f (t) t, από την () έχουμε ξ () Όμως <ξ< < ξ< < ξ < < ξ < < < ξ Επομένως από την τελευταία και τη () παίρνουμε: < < < < < < 3

Άσκηση 6. 3 Δίνεται η συνάρτηση f() α β γ δ, α>. Να αποδείξετε ότι για δυο f( ) f( ) 3αγ β οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς, με ισχύει 3α. Έστω δυο πραγματικοί αριθμοί, με <. Η συνάρτηση 3 f() α β γ δ, α> είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική. Επομένως στο διάστημα [, ] ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει (, ) f( ) f( ) ξ, τέτοιο ώστε f( ξ). f( ) f( ) Επειδή f () 3α β γ, έχουμε 3αξ βξ γ, ξ (, ). Η παράσταση g( ξ ) 3αξ βξ γ είναι τριώνυμο με συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου το 3α>. Επομένως έχει ελάχιστο ίσο με β β β β β β g g 3α β γ γ 6α 3α 9α 3α 3α 3α β 3αγ β γ 3α 3α. Άρα f( ) f( ) f( ) f( ) 3 3αξ βξ γ αγ β. 3α 4

Άσκηση 7. Να αποδείξετε ότι > e, για >. Επειδή και τα δυο μέλη της ανισότητας για > είναι θετικά και η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ), έχουμε: > e ln ( ) > ln e ln ( ) > Η συνάρτηση f(t) ln(t ) είναι συνεχής σε κάθε διάστημα [ ] διάστημα της μορφής (, ). Επομένως υπάρχει ξ (, ) ln( ) ln ln( ) f( ξ )., και παραγωγίσιμη σε κάθε, τέτοιο ώστε Όμως f (t), οπότε t f( ξ ), και επομένως ξ ( ) ln (). ξ Εξάλλου <ξ< <ξ < < <, οπότε ξ ( ) ln < < ln ( ) e < e ( ) ln e < > e 5

ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Α. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ) αποδείξτε ότι για κάθε β> υπάρχει ξ > τέτοιο ώστε f( β ) f( ξ) f( ξ ). ξ π Β. Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε ηµξ συνξ. ξ f( ) f( ) Α. Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη: f ( ) β ξ ξ ξf ( ξ ) f( ξ ) f( β) ξ Αν g() f() με [, β] έχουμε: () g συνεχής στο [,β ] ως γινόμενο συνεχών g παραγωγίσιμη στο ( ),β με g () f () f() για κάθε (, β ) Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,β) τέτοιο ώστε g( β) g() β f( β) g ( ξ ) ξf ( ξ ) f( ξ ) ξf ( ξ ) f( ξ ) f( β) β β ηµξ Β. Η ζητούμενη σχέση γίνεται: συνξ ξσυνξ ηµξ ξσυνξ ηµξ. ξ Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f() ηµ, με [, ) η οποία είναι παραγωγίσιμη π στο [, ) με f () συν και εφαρμόζοντας το ερώτημα (Α) για β υπάρχει ένα π ηµ ηµξ π τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε ηµξ συνξ συνξ. ξ ξ 6

Άσκηση. Α. Θεωρούμε συναρτήσεις f, g με την f να είναι παραγωγίσιμη στο και πραγματικούς αριθμούς α, β τέτοιους ώστε f (g( α )) f (g( β )), g( α) g( β ). Αν το g( γ ) είναι εσωτερικό του διαστήματος με άκρα g( α ), g( β ) και για κάποιο γ και ισχύει g( γ) g( α ) g( β) g( γ ) να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ τέτοιοι ώστε f( ξ ) f( ξ ). Β. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f ( lnα) f ( lnβ) όπου <α<β. Να δείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ τέτοιοι ώστε f( ξ ) f( ξ ). (Υπόδειξη: Θεωρώ γ αβ ) Γ. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f f α β όπου <α<β. Να δείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ τέτοιοι ώστε f( ξ ) f( ξ ). αβ (Υπόδειξη: Θεωρώ γ ) αβ A. Ας υποθέσουμε ότι g( α ) < g( β ) (η άσκηση αντιμετωπίζεται όμοια και αν g( α ) > g( β ) ). Τότε g( ) g( ) g( ) g( α),g( γ ), α < γ < β και εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στα διαστήματα [ ] [ g( γ),g( β )] αφού είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) σ αυτά και παραγωγίσιμη στα ( g( α),g( γ) ), ( g( γ),g( β) ). ξ γ β τέτοια ώστε: Επομένως θα υπάρχουν ξ ( g( α),g( γ )) και ( g( ),g( )) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) g( ),g( ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) g( ),g( ) f (g( γ)) f (g( α)) ξ α γ τέτοιο ώστε f( ξ ) g( γ) g( α) f (g( β)) f (g( γ)) ξ γ β τέτοιο ώστε f( ξ ) g( β ) g( γ) () () Με πρόσθεση των (), () και επειδή g( ) g( ) g( ) g( ) f( ξ ) f( ξ ). γ α β γ και f ( g( )) f ( g( )) β α θα είναι Β. Είναι εφαρμογή του (Α) για g() ln με >. Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα γ τέτοιο ώστε g( γ) g( α ) g( β) g( γ) ln γln α ln βln γ ln γ ln β ln α ln γ ln( βα) γ αβ γ αβ. 7

Πράγματι για το γ αβ (γεωμετρικός μέσος των α, β ) είναι <α<γ<β < ln α< ln γ< ln β. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στα [lnα,lnγ], [lnγ,lnβ] και εργαζόμενοι όπως στο (Α), θα έχουμε ότι: υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) ln,ln υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) ln,ln f (ln γ) f (ln α) ξ α γ τέτοιο ώστε f( ξ ) ln γ ln α f (ln β ) f (ln γ) ξ γ β τέτοιο ώστε f( ξ ) ln β ln γ (3) (4) Με πρόσθεση των (3), (4) και επειδή lnγ lnα lnβ lnγ, f (ln α) f (ln β) θα είναι f( ξ ) f( ξ ). Γ. Εφαρμογή του (Α) για g(). Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα γ τέτοιο ώστε αγ γβ g( γ) g( α ) g( β) g( γ) αβ γβ αγ αβ γ α β γ αγ γβ αβ αβ ( αβγ γ ). αβ αβ Πράγματι για το γ (αρμονικός μέσος των α, β ) είναι <α<γ<β < < < αβ β γ α. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στα, β γ,, γ α και εργαζόμενοι όπως στο (Α), θα έχουμε ότι: f f υπάρχει ξ, β γ τέτοιο ώστε γ β f( ξ ) (5) γ β f f υπάρχει ξ, γ α τέτοιο ώστε α γ f( ξ ) α γ (6) Με πρόσθεση των (5), (6) και επειδή γ f( ξ ) f( ξ ). α β γ, f α f β θα είναι 8

Άσκηση 3. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ( α,β ) και συνεχής στο [ ] υπάρχουν ξ,ξ,ξ ( α,β) ξ ξ 3 με ώστε f( ξ ) f( ξ) f( ξ 3). α,β. Να αποδείξετε ότι αβ Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα α, και αβ, β αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β ), συνεχής στο [ α,β ]. Επομένως θα υπάρχουν: αβ f αβ f( α ) ξ α, τέτοιο ώστε να ισχύει f( ξ ) αβ α αβ f f( α ) f( ξ ) () και βα αβ f( β ) f αβ ξ, β τέτοιο ώστε να ισχύει f( ξ ) αβ β αβ f( β) f f( ξ ) () βα Επίσης εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στο [ α,β ] αποδεικνύουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α,β) 3 f( β ) f( α) τέτοιο ώστε f( ξ 3) βα f( β ) f( α) f ( ξ 3) βα Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () και (3) προκύπτει η ζητούμενη f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ). 3 (3). 9

Άσκηση 4. αβ αβ Να αποδείξετε ότι εϕα εϕβ συν β συν α, π <α β<. Η ζητούμενη ισχύει ως ισότητα αν α Αν α β. < βη ζητούμενη ισοδύναμα γίνεται: αβ αβ εϕα εϕβ συν β συν α εϕα εϕβ συν β α β συν α αβ< εϕβ εϕα συν α β α συν β Θα αποδείξουμε γνήσια ανισότητα αν α εϕβ εϕα < < συν α β α συν β. < β δηλαδή θα αποδείξουμε ότι εϕ t με t αβ [, ] η οποία είναι συνεχής στο [ α,β ] και Θεωρούμε τη συνάρτηση f(t) παραγωγίσιμη στο ( α,β ) με f (t) ( εϕ t) (). Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα συν t f( β ) f( α) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α,β) τέτοιο ώστε f( ξ ) βα εϕβ εϕα (). συν ξ βα π Όμως <α<ξ<β< συνα>συνξ>συνβ (αφού η συν είναι γνησίως φθίνουσα στο π, ) π συν α > συν ξ > συν β (διότι συν > για κάθε, ) < < συν α συν ξ συν β ( διότι π συν > για κάθε, ) εϕβ εϕα συν α β α συν β () < < 3

Άσκηση 5. Α. Για κάθε > να αποδείξετε ότι ln (). Β. Να υπολογίσετε το όριο ln. lim Α. Για η () ισχύει ως ισότητα. Θα αποδείξουμε την () με γνήσια ανισότητα για. Αν < < : Θεωρούμε τη συνάρτηση f (t) lnt και παραγωγίσιμη στο (, ) με τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ξ ln (). με t [,] η οποία είναι συνεχής σ αυτό f (t). Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει ένα t f() f() ln ln f( ξ ) ξ Όμως < <ξ< > > ξ () > ln > < < ln < Αν > : Θεωρούμε τη συνάρτηση f (t) lnt παραγωγίσιμη στο (, ) με τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε με t [, ] η οποία είναι συνεχής σ αυτό και f (t). Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει ένα t f() f() ln f( ξ ) (3). ξ Όμως <ξ< > > ξ (3) > ln > > < ln < Σε κάθε περίπτωση έχουμε ln. Β. Από το ερώτημα (Α) έχουμε: Αν < < είναι > ln > και lim, lim 3

οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι lim ln. Αν > είναι ln > > και lim, lim Άρα lim οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι ln. lim ln. 3

Άσκηση 6. π Α. Για κάθε, να αποδείξετε ότι < ηµ < συν ενώ για κάθε, π να αποδείξετε ότι συν < ημ <. ηµ Β. Χρησιμοποιώντας το (Α) ερώτημα επιβεβαιώστε ότι lim. π Α. Αν, : Θεωρούμε την συνάρτηση f(t) t ηµ με t [,] η οποία είναι συνεχής σ αυτό και παραγωγίσιμη στο (, ) με f (t) συν t. Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα f() f() ηµ ηµ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε f( ξ ) συνξ ηµ συνξ (). π Όμως < <ξ< < ηµ < συν. συν γν. αυξ. στο ( π,) () συν < συνξ < συν ηµ συν < < < π Αν, : Θεωρούμε την συνάρτηση f(t) t ηµ με t [, ] η οποία είναι συνεχής σ αυτό και παραγωγίσιμη στο (, ) με f (t) συν t. Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα f() f() ηµ ηµ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε f( ξ ) συνξ ηµ συνξ (). π Όμως <ξ< < συν γν. ϕθιν. στο (, π ) συν > συνξ > συν () ηµ συν < < > συν < ηµ <. Β. Από το ερώτημα (Α) έχουμε ηµ π π συν < < για κάθε, με. Επιπλέον είναι lim ηµ. lim( συν ) συν και li m() οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι 33

Άσκηση 7. π π Α. Για κάθε, να αποδείξετε ότι ηµ συν. συν Β. Χρησιμοποιώντας το (Α) ερώτημα επιβεβαιώστε ότι lim. π Α. Αν, : Θεωρούμε την συνάρτηση f(t) t συν με t [,] η οποία είναι συνεχής σ αυτό και παραγωγίσιμη στο (, ) με f (t) ηµ t. Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα f() f() υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε f( ξ ) συν συν ηµξ συν ηµξ (). π Όμως < <ξ< ηµ γν. αυξ. στο ( π,) ηµ < ηµξ < ηµ ηµ > ηµξ > ηµ συν ηµ > > < ηµ < συν < ηµ < συν < π Αν, : Θεωρούμε τη συνάρτηση f(t) t συν με t [, ] η οποία είναι συνεχής σ, με f (t) ηµ t. Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα f() f() f( ξ ) αυτό και παραγωγίσιμη στο ( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε () συν συν ηµξ συν ηµξ (). Όμως <ξ< < π ηµ γν. αυξ. στο (, π ) ηµ < ηµξ < ηµ > ηµξ > ηµ () συν > > ηµ > > συν > ηµ ηµ < συν <. Αν η ζητούμενη ισχύει ως ισότητα. Σε κάθε περίπτωση έχουμε ηµ συν. 34

Β. Υπολογίζουμε το όριο με τη χρήση του κριτηρίου της παρεμβολής. Από το ερώτημα (Α) έχουμε: συν π < < ηµ για, και επειδή li m() li m( ηµ ) θα είναι lim συν. συν π ηµ < < για, και επειδή li m() li m( ηµ ) θα είναι lim συν. Επομένως lim συν. 35

Άσκηση 8. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ α, β ], παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) α β και με f( β) f( α ) ( βα ). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί, και 3 στο διάστημα ( α, β ), τέτοιοι ώστε: 5 6 9 f f f ( ) ( ) ( ) 3 y, y χωρίζουμε το διάστημα [ f( ), f( )] Με τα σημεία 5 y f( ) f( ) f( ) α β σε τρία υποδιαστήματα με μήκη 6 9 y y f( ) f( ) f( β ) y f( β ) f( α ) ( α ) ( β α ), ( ) ( β α ) και ( ) ( ) κ ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς του διαστήματος ( ) Έστω α, β για τον οποίο ισχύει f( κ ) y και κ αριθμός του διαστήματος ( κ, β ) για τον οποίο ισχύει f( κ ) y. Την ύπαρξη των αριθμών αυτών την εξασφαλίζει το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών των συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα και φανερά: α<κ <κ <β. Για τη συνάρτηση f ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [ α, κ ], [ κ, κ ] και [ κ ] θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. α, κ, τέτοιο ώστε Επομένως υπάρχει ( ), β το f( κ) f( α) yf( α) f ( ) κ α κ α 5 f( ) f( ) 5 f( ) f( ) ( β α ) ( β α ) κ α ( κ α) οπότε ( ) ( κ α) 5 f f( β ) f( α) () Ομοίως υπάρχουν ( κ, κ ) και ( κ, ) 3 β, τέτοια ώστε ( ) ( κ κ ) 6 f f( β ) f( α) () και ( ) 3 ( βκ ) 9 f f( β ) f( α) (3) Άρα ( ) ( ) ( ) 3 ( κακ κ βκ) ( βα) ( βα) ( ) 5 6 9. f f f f( β) f( α) f( β) f( α) βα 36

Άσκηση 9. Η συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα (, ), είναι παραγωγίσιμη και η γραφική της παράσταση C f τέμνει τη διχοτόμο ( δ ) του πρώτου τεταρτημορίου σε τρία διαφορετικά σημεία. Να δείξετε ότι: i. Υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της Cf παράλληλες στην( δ ). ii. Υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της συντεταγμένων. C f που διέρχονται από την αρχή O(,) του συστήματος i. Υποθέτουμε ότι η Cf τέμνει τη ( ) Γ ( 3, f( 3) ), με < < < 3. Επειδή η ευθεία ( ) f( ), f( ) και 3 f( 3) (, ) δ στα σημεία A(, f( )), ( ) B, f( ) και δ έχει εξίσωση y, έχουμε. Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη στο διάστημα, και, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα [ ] [, 3 ]. Επομένως στα διαστήματα αυτά ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Άρα υπάρχουν ξ (, ) και ξ (,) τέτοια ώστε: ( ) ( ) ( ) f f ξ f και ( ) ( ) ( ) f f ξ 3 3 f 3 3 3 C στα σημεία της ( ξ ξ ) και ( ) Αυτό όμως δηλώνει ότι οι εφαπτόμενες της f, f( ) Ε ξ, f( ξ ) είναι παράλληλες προς τη διχοτόμο ( δ ) της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι, αφού η εξίσωση της είναι y. C στο τυχαίο σημείο της (, f( ) ) ( ) ( )( ) ii. H εφαπτομένη ε της f ε: y f f. Για να διέρχεται η ε από την αρχή των αξόνων πρέπει: f( ) f ( )( ) f f ( ) ( ) Επομένως υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της συστήματος συντεταγμένων, όταν η εξίσωση ( ) ( ) Η τελευταία εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: Μ έχει εξίσωση Cf που διέρχονται από την αρχή O(,) του f f έχει δυο λύσεις στο (, ). 37

( ) ( )( ) f f ( ) ( )( ) f f f() Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η εξίσωση f() έχει δυο λύσεις στο (, ). f() Πράγματι oρίζουμε τη συνάρτηση g(), (, ). Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής f( ) f( ) και παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] και με g( ) και g( ), δηλαδή g( ) g( ). Επομένως ισχύει για την g στο διάστημα [, ] το θεώρημα του Rolle. Άρα υπάρχει κ (, ), τέτοιο ώστε g( κ ). Με ανάλογους συλλογισμούς συμπεραίνουμε ότι υπάρχει και σημείο Λ( λ, f( λ )) της C f, με (,) C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. λ 3 στο οποίο η εφαπτομένη της f Επομένως υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της συστήματος συντεταγμένων. Cf που διέρχονται από την αρχή O(,) του 38

Άσκηση. i. Δυο συναρτήσεις f και g που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα [ α, β ] είναι: Συνεχείς στο [ α, β ]. Παραγωγίσιμες στο ( α, β ). g (), για κάθε α (, β ). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α, β ), τέτοιο ώστε: f( β ) f( α) f ( ξ) g( β ) g( α ) g ( ξ ) ii. Αν π <α<β<, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) ηµα ηµβ σϕθ. συνβ συνα θ α β, τέτοιο ώστε: i. Προφανώς είναι g( β) g( α ), διότι, αν ήταν g( β ) g( α ), τότε η g θα ικανοποιούσε όλες τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle και επομένως θα υπήρχε γ ( α, β ) με g( γ ), που είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης g () α, β., για κάθε ( ) Ας θεωρήσουμε λοιπόν τη συνάρτηση: h() ( g( β ) g( α) ) f() ( f( β ) f( α) ) g() f( α)g( β ) f( β)g( α ) που είναι συνεχής στο α, β και επιπλέον ισχύει h( α ) h( β ). Επομένως, από το [ α, β ], παραγωγίσιμη στο ( ) θεώρημα του Rolle, υπάρχει ξ ( α, β ), τέτοιο ώστε h( ξ ). h () g( β ) g( α) f () f( β ) f( α ) g (), οπότε Όμως ( ) ( ) ( g( β ) g( α) ) f ( ξ ) ( f( β ) f( α) ) g ( ξ ). Άρα f( β ) f( α) f ( ξ). g( β ) g( α ) g ( ξ ) ii. Έστω οι συναρτήσεις f() στο[, ] α β και παραγωγίσιμες στο ( ) κάθε (, ) θ ( α, β ), τέτοιο ώστε ηµ και g() συν. Οι συναρτήσεις αυτές είναι συνεχείς π α, β, όπου <α<β<. Επιπλέον g () ηµ για αβ και επομένως, σύμφωνα με το προηγούμενο συμπέρασμα, υπάρχει ηµβ ηµα συνθ συνβ συνα ηµθ. Άρα ηµα ηµβ σϕθ. συνβ συνα 39

Άσκηση. α α α α, α>,. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 3) ( 4) Παρατηρούμε ότι οι όροι της εξίσωσης είναι οι τιμές της συνάρτησης για tα,tα 3,tα 4και t α αντιστοίχως. f(t) t, t > με, Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ( ) ( 4) ( 3) α α α α. Για τη συνάρτηση f(t) t ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα α 3, α 4. [ α, α ] και [ ] Επομένως υπάρχουν ξ ( α, α ) και ( ) ξ α 3, α 4, τέτοια ώστε: f( α ) f( α) f ξ f( α ) f( α ) α α ( α ) α ( ) ( ) () f( α 4) f( α 3) f ξ f ( α 4) f ( α 3) ( α 4) ( α 3) ( α 4) ( α 3) ( ) () f (t) t t. Επομένως f ( ) Όμως ( ) ξ ξ και ( ) f ξ ξ. Έτσι η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: ( ) ξ ξ ξ ξ ή ξ ξ. Έχουμε: ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι και. 4

Άσκηση. Αν ηµ f(), να αποδείξετε ότι f π () <, για,. Για > έχουμε: ηµ συν ηµ ηµ f () συν () π Όμως για τη συνάρτηση g(t) ηµ t, ισχύει στο διάστημα [, ], με,, το θεώρημα π της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχει ξ με <ξ< <, τέτοιο ώστε: g() g() g( ξ) ηµ ηµ συνξ ηµ συνξ συν συνξ. Οπότε η () γίνεται f () ( ) π Επειδή <ξ< <, είναι f () συν συνξ <. συνξ > συν, και επομένως ( ) 4

Άσκηση 3. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ], δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) και τέτοια ώστε f( ) f( ). Αν υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε f( ξ ) >, να αποδείξετε ότι: i. Υπάρχουν, (, ) τέτοια ώστε ( ) ( ) ii. Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε ( ) f f <. f <. i. Για τη συνάρτηση f ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [, ξ] και [,] μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχουν (, ξ ) και (,) f( ξ) f( ) f( ξ) ώστε f ( ) > () και ξ ξ ξ το θεώρημα της ξ τέτοια ( ) ( ξ) ( ξ) f f f f ( ) < ξ ξ () Άρα ( ) ( ) f f <. ii. Λόγω των υποθέσεων, ισχύει για τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ] μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού., Επομένως υπάρχει ( ), που σημαίνει (, ) ( ) ( ) ( ) f f f f f ( ) ( ) Λαμβάνοντας υπόψη τις () και () έχουμε ( ) ( ) ( ). f ξ f ξ f ξ f ( ) ξ ξ ξ ξ, τέτοιο ώστε το θεώρημα της Όμως, f <. < <ξ< < και f( ξ ) >. Επομένως ( ) 4

Άσκηση 4. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η παράγωγος της είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. i. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β με α β, ισχύει αβ f( α ) f( β) f <. ii. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β με α β, ισχύει e α e β αβ > e. i. Έστω α<β. Τότε αβ α< <β και η ζητούμενη ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: f( ) f( ) f αβ α β f αβ f( ) f( ) f αβ < α< β αβ αβ f f( α) f( β ) f < αβ αβ α β () Όμως, επειδή η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει για την f το θεώρημα της αβ μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού σε καθένα από τα διαστήματα α, και αβ, β. Επομένως υπάρχουν αβ ξ α, και αβ ξ, β τέτοια ώστε αβ f f( α ) f ξ ( ) και f ( ) αβ α αβ f( β ) f ξ. αβ β Έτσι η ανισότητα () είναι ισοδύναμη με την f ( ) f ( ) είναι γνησίως αύξουσα. ξ < ξ που ισχύει, αφού ξ <ξ και η f 43

ii. Για τη συνάρτηση f() e, είναι f () e η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο. Άρα σύμφωνα με την προηγούμενη ανισότητα ισχύει f( α ) f( β ) f αβ α β αβ >, οπότε e e > e. 44

Άσκηση 5. Μια συνάρτηση f: [ α, β] είναι συνεχής στο [ α, β ], παραγωγίσιμη στο (, ) τέτοια ώστε f( α ) 3β και f( β ) 3α. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () 3 ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ και ( ) ( ) f ξ f ξ 9. α β και έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) ξ του διαστήματος (, ) α β. α β, τέτοιοι ώστε i. Αρκεί ισοδύναμα να δείξουμε ότι η εξίσωση f () 3, έχει ρίζα στο διάστημα (, ) Ορίζουμε τη συνάρτηση g() f() 3, α [, β. ] Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ], ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και επιπλέον ισχύει g α g β f( α) 3α f( β) 3β 3β3α 3α3β ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9( βα) ( αβ ) 9( βα ) < Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (, ) g( ) f( ) 3 f( ) 3. α β, τέτοιο ώστε ii. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο (, ) συνεχής στα διαστήματα [ α, ], [,β ] και παραγωγίσιμη στα διαστήματα (, ) (,β ). Επομένως ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [ α, ] και [ ] μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν ξ α (, ) και ξ (, β) τέτοια ώστε: α β. α β, θα είναι α,,β το θεώρημα της f( ) f( α) 3 3β β f ( ξ ) 3 α α α () f( β) f( ) 3α3 α f ξ 3 β β β και ( ) () Πολλαπλασιάζουμε τις () και () κατά μέλη και έχουμε: β α f ( ξ) f ( ξ ) 3 3 9 α β Ημερομηνία τροποποίησης: /9/ 45