Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το f ( f ( και είναι πραγματικός αριθμός. Σο όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο και συμβολίζεται με f (. Δηλαδή: f ( f ( f (. Αν στην ισότητα f ( f ( f ( θέσουμε h, τότε έχουμε f ( f ( h. h h f ( Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ του πεδίου ορισμού της f, τότε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν τα όρια f ( f (, f ( f ( και είναι ίσα. Πρόβλημα εφαπτομένης Έστω f μία συνάρτηση και A, f ( ένα σημείο της γραφικής της παράστασης. ( ότι: y O C f A(,f( (α M(,f( M ε y O C f M(,f( M (β A(,f( ε Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο M (, f (,, της γραφικής παράστασης της f και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε Καθώς το τείνει στο με, η τέμνουσα ΑΜ παίρνει μια οριακή θέση ε (χ. α.σην ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το τείνει στο με (χ. β.σην οριακή θέση της ΑΜ την ονομάζουμε εφαπτομένη της γραφ. παράστασης της f στο Α. Επειδή η κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με έχει κλίση το λ= ΟΡΙΜΟ f ( - f ( - = f (. f ( f (, η εφαπτομένη της C f στο σημείο A, f ( θα ( Έστω f μια συνάρτηση και A (, f ( ένα σημείο της C f. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 35
λ= ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ f ( - f ( =f (. - Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A, f ( είναι: - f = f ( ( -. Κατακόρυφη εφαπτομένη ( Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες: y ( α f ( f ( (ή β f ( f ( και f ( f (, γ f ( f ( και f ( f (, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο A (, f ( την κατακόρυφη ευθεία. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο και δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του παραπάνω ορισμού, τότε δεν ορίζουμε εφαπτομένη της C στο σημείο A, f (. f ( Παράγωγος και συνέχεια ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο. Παράγωγος συνάρτησης Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A. Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( α,. β Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β και επιπλέον ισχύει f ( - f (α R + α - α και - f ( - f ( - R. Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και A τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο f (, ορίζουμε τη συνάρτηση f :A R,όπου f (, η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 36
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ df H πρώτη παράγωγος της f συμβολίζεται και με που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι. Για πρακτικούς λόγους d την παράγωγο συνάρτηση y f ( θα τη συμβολίζουμε και με y ( f (. Αν υποθέσουμε ότι το Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της f δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f., αν υπάρχει, λέγεται (ν Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, με ν 3, και συμβολίζεται με f. Δηλαδή ( ( ν f ν [ f ], ν 3. Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων Η συνάρτηση f ( c,c R είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (, δηλαδή (c Η συνάρτηση f ( είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (, δηλαδή ( Η συνάρτηση ν (, N -{,} f ν f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ν ν, δηλαδή ( ν ν ν Η συνάρτηση f ( είναι παραγωγίσιμη στο (, και ισχύει f (, δηλαδή Προσοχή! Η f ( = δεν είναι παραγωγίσιμη στο ενώ ορίζεται σ αυτό. Η συνάρτηση Η συνάρτηση f ( = ημ είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ζυν, δηλαδή ( ημ ζυν f ( = ζυν είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ημ, δηλαδή ( ζυν ημ Αποδεικνύεται ότι η f ( e είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( e, δηλαδή ( e e Αποδεικνύεται ότι η f ( ln είναι παραγωγίσιμη στο (, και ισχύει f (, δηλαδή (ln ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 37
Παράγωγος αθροίσματος Αν οι συναρτήσεις ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ (i ΚΑΝΟΝΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΗ f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει: ( f g ( f ( g (. Σα παραπάνω ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή, αν στο Δ, τότε ( f f k k f ( f ( f ( f (. f...,, f, fk, είναι παραγωγίσιμες Παράγωγος γινομένου Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει: ( f g ( f ( g( f ( g (. Αν f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και c R, επειδή (c, σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε: ( cf ( cf ( Παράγωγος πηλίκου Αν οι συναρτήσεις κάθε Δ έχουμε: f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε Δ ισχύει g ( f g ( f ( g( f ( g (. [ g( ], τότε για Από τους παραπάνω κανόνες παραγώγισης προκύπτουν τα παρακάτω Η συνάρτηση f ν (,ν Ν * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει f ( ν ν, δηλαδή ( ν ν ν Η συνάρτηση f ( εθ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και ισχύει ( εθ ζυν (, δηλαδή ζυν f Η συνάρτηση f ( ζθ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και ισχύει ( ζθ ημ (, δηλαδή ημ f Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g (Δ, τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ( f ( g( f ( g( g (. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 38
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ Δηλαδή, αν u g(, τότε: ( f ( u f ( u u Με το συμβολισμό του Leibniz, αν y f (u και u g(, έχουμε τον τύπο: που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας. dy d dy du du d Από τα παραπάνω προκύπτουν τα εξής: Η συνάρτηση f α (, α R-Z είναι παραγωγίσιμη στο, α ( και ισχύει f ( α, δηλαδή ( α Αποδεικνύεται ότι, για α η f είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο και η παράγωγός της είναι ίση με, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο. α α Η συνάρτηση f ( α, α είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( α ln α, δηλαδή ( α α ln α Η συνάρτηση f ( ln, R * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει: (ln ΑΚΗΕΙ ΣΟΝ ΟΡΙΜΟ ΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ..Να βρεθούν οι α,β R ώστε η συνάρτηση στο χ = f ( 3 6, (, να είναι παραγωγισιμη. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγισιμες στο χ ι f ( ιιι,, χ = ιι, f ( (,, 3. Αν η f είναι συνεχής στο και, χ = 3 e, f (, e, b b 4ac, χ = a f ( 3 5, να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγισιμη το και να βρείτε το f ( 3 5 6 4. Αν f ( 4f ( f (, 4 να αποδείξετε ότι f ( ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 39
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 5. Αν α και η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο α, να βρείτε το 3 3 f ( f ( f ( 3f ( f ( f ( 6. Αν ν Ζ με ν > και ότι f ( m f ( h f ( h h... h m, h h m R. να αποδείξετε 7. Αν η συνάρτηση f είναι παργωγισιμη στο και ισχύει Να αποδειχθεί ότι f ( 8. Αν η f είναισυνεχής στο και. 3 f ( f ( f (, R 4 f (, R, να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγισιμη στο 9. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα f ( f ( f ( 3 (,, R. Αν η f είναι παραγωγισιμη στο γωγισιμη στο R. χ=α με f ( 3, να αποδείξετε ότι η f είναι παρα. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο και f( ψ = ψ f( + χ f ( ψ, να αποδείξετε ότι f ( f ( f (. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγισιμες στο α, f(α=g(α και f(+ g (, R, να δείξετε ότι g ( f (. Δίνεται η συνάρτηση f ( = - 3 + +. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη α στο σημείο = 3 και β στο σημείο = 4. 3. α Να αποδείξετε ότι αν τα όρια - f ( - f - ( και f ( - f - ( είναι πραγματικοί αριθμοί τότε η f είναι συνεχής στο. β Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f(= σημείο = εφαρμόζοντας το προηγούμενο συμπέρασμα. - ( - αν αν στο 4. Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο (α, β με f ( = g ( και f ( = g (. Αν ισχύει f( h( g(για (α, β, να αποδείξετε ότι και η h είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα ισχύει h ( = f (. 5. Δινεται η συναρτηση f : R R για την οποια ισχυει για κάθε χ, ψ R και f(. α να δειχθει ότι f( R. β Αν η f είναι - να δειξετε ότι f f f με α, β >. γ Αν η f είναι συνεχης και παραγωγισιμη στο, να δειξετε ότι είναι συνεχης και παραγωγισιμη στο R. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 4
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 6. Αν για τη συναρτηση f ισχυουν f ( 3 και f (, να βρειτε την g ( όταν α g( f( β g( f ( f( 7. Να βρείτε,όπου ορίζεται την παράγωγο των συναρτήσεων Θεωρούμε τη συνάρτηση f : παραγωγίσιμη σ όλο το πεδίο ορισμού της, για την οποία ισχύει y ότι: f ( y e f ( y e f (, για κάθε y, πραγματικούς αριθμούς και f ( ι Να αποδείξετε ότι f ( και f (3 3 e f (, για κάθε ιι Να βρείτε τα f ( f (, ιιι Να βρεθεί η f( ΑΚΗΕΙ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΗ 8. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i f( = ln ii g( = ημ+συν iii h( = 3 5 iv φ(=ημ(ημ+συν+συν(ημ-συν v f( = ημ+ συν vi g( = ( + ln vii h( = ( - + 3e viii φ( = ημ.ln i s( = ln e t( = ln ln i 3 3 h( ln e ln ii w( 3 ln ( iii f( = ln( + iv f( = ln 3 (ημ v f( = 3 vii f( = vi f( = e συν viii f( =συν(ημ + εφ(+,, 4 4 ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 4
i f( = με f( = i f( =(ημ ln ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ ii f( = με iii f( = ln iv f( = εφ (e v f( = ln 4 ( + vi f( = 3ημ + συν3 9. Δίνεται η συνάρτηση f( =, αν., αν Να βρεθεί η f (.. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: α f( = ημ β f( = + ημ (τι συμπεραίνετε για το άθροισμα και το γινόμενο παραγωγισίμων και μη συναρτήσεων σε σημείο.. Αν f( = g( να εξεταστεί: α αν f = g β f = g. Αν f( = και f ( = 5 να βρείτε την g (, όπου g( = f(- 3. Να βρειτε τις παραγωγους των συναρτησεων f (. α 4 3 f( ln ( 3 β f ( 3 ln e 5 3 4 ln ( 6 3 γ 5 f ( (e 4. Να βρειτε τις παραγωγους των συναρτησεων α f ( β f ( 5 6 γ f (,, 3 δ 3 f ( ε f ( 3 5. Αν f,g είναι παραγωγίσιμες στο χ = και f (= -, g (=, f(= -, g(= - f (g( να αποδείξετε ότι:. 6. Αν g(= f (ημ,, όπου f παρ/μη συνάρτηση στο = Με f(=f (= να δείξετε ότι g (=. 7. Aν η συνάρτηση f είναι παρ/μη στο σημείο χ = και για κάθε χ R ισχύει (f( 3 -(f( + f(= ημ, να αποδείξετε ότι : f (= f ( 8. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο χ = και ισχύει :. Να αποδείξετε ότι : I f(= iiη συνάρτηση g(= f ( 3 είναι παρ/μη στο σημείο χ = και ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 4
να βρείτε το g (. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 9. Να υπολογισετε τις παραγωγους των συναρτησεων α f (, β f ( 3 γ e f (, δ f(,, 3. Εστω f : R R δυο φορες παραγωσιμη συναρτηση.να βρειτε τις συναρτησεις g,g όταν α g( f ( 3 f ( β 3 4 g( f γ 4 f ( f ( g( e, 3. Αν η για την παραγωγισιμη στο R συναρτηση f ισχυει τιμη f ( 6 3 f( f και f (, να βρεθει η 3. Έστω δύο συναρτήσεις παρ/μες στο R οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: f ( g( e g ( - g( f ( - f( Να αποδείξετε ότι: [g(] [f(] 33. Εστω η συναρτηση f( = ημχ,, να βρειτε την παραγωγο της f 34. Αν f( = και f ( = 5 να βρείτε την g (, όπου g( = f(- f (. 35. Έστω f,g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις με = f(g( για κάθε. Αποδείξτε ότι δεν είναι δυνατόν να έχουμε f( = g(. 36. Αν ν Ν* και α ημ + α ημ( + α 3 ημ(3 +.+α ν ημ(ν για κάθε (όπου α,α,α 3,.α ν σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι: α + α + 3α 3+.+να ν. 37. Αν f( = + 4 + + ν, να βρείτε την f (-. 38. Αν g( = (- f( και η f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε την ισοδυναμία: f( = α g ( = α. 39. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ με Ρ( = [Ρ (] για κάθε. 4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε την g (,αν: i g( = f( ii g( = f ( iii f ( 4. Αν f( = -6 και g( = 5 να βρείτε τις συναρτήσεις f(g(, f (g(, f(g (, f (g (, [f(g(]. 4. Να βρείτε τo πολυώνυμο δευτέρου βαθμού Ρ με Ρ(- Ρ ( = -7+7, για κάθε. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 43
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 43. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και άρτια, να αποδείξετε ότι και συνάρτηση g( = f(f (-f είναι άρτια. 44. Αν f,g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο με f ( και για τη συνάρτηση G( = g( f ( e ισχύει G ( = να αποδείξετε ότι g ( = f ( g(. 45. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο.να αποδείξετε ότι: ΙΑν η f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή ΙΙ Αν η f είναι περιττή, τότε η f είναι άρτια 46. Αν το f( = α +β+γ, α, έχει δύο άνισες ρίζες ρ,ρ, να αποδείξετε ότι: Ι f ( ρ + f ( ρ = ii f ( ρ f ( ρ ιιι ρ /f ( ρ + ρ /f ( ρ = /α. 47. Να υπολογισθούν τα αθροίσματα: Ι Α = + +3 +.+ν ν-, και ν Ν* Ιι Β = + 4 3 + 6 5 + + ν ν-, και ν Ν*. 48. Αν η f είναι παραγωγισιμη στο R, και ισχυει f( e f( e f( + χ.ψ+α χ, ψ R Να δειξεηε όηι ι f( ιι f ( f( f (e 49..Αν f( πολυώνυμο βαθμού ν, να αποδειχθεί ότι: Ι f( = (-ρ π( f(ρ = f (ρ = ii Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες το πολυώνυμο (- είναι παράγοντας του πολυωνύμου f( = α ν+ - β ν+ + με ν. 5. Έστω ρ και Α(,B( πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές, ώστε Β(ρ και το Α( έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του. Ι Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο f( τέτοιο ώστε Α(B(=(-ρ f(, αν και μόνο αν Α(ρ = Α (ρ =. ΙιΑν ν Ν*, να βρείτε τις τιμές των κ,λ για τις οποίες το πολυώνυμο το πολυώνυμο Q( = ν(ν 3 +κ +λ+8 έχει παράοντα το (-. 5. Έστω το πολυώνυμο f( = ν + α ν- + α ν- + +α ν- + α ν με ρίζες ρ,, ρ ν πραγματικές και α ν. Να αποδείξετε ότι για κάθε διαφορετικό των ριζών ισχύουν: ιf ( / f( =... ιι f (] - f( f (/[f(] =... ( ( ( ιιι - f ( / f( =... iv[f ( / f(] - f ( / f( =... v Αν η ρίζα ρ του f( είναι απλή, τότε είναι f (ρ. vi Αν οι ρίζες ρ, ρ, ρ ν του f( είναι απλές, τότε το πολυώνυμο g( = [f (] - f( f ( δεν έχει ρίζες 5. Να αποδειχθεί ότι: Ι Η συνάρτηση f: (,π R, με f( = συν, είναι αντιστρέψιμη ΙιΗ συνάρτηση f - είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (-, και ότι [f - (] =, (-,. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 44
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 53. Έστω μια συνάρτηση f:,,, με την ιδιότητα f(f χ> Να αποδειχθεί ότι:ι f = /f (, για κάθε. Ιι [f(f 54. Η συναρτηση f : R R είναι - παραγωγισιμη στο R και f ( R =,για κάθε ] =, για κάθε. R Αν για καποιο σημειο R ισχυει f (f ( Να αποδειξετε ότι η f δεν είναι παπαγωγιζιμη ζηο * 55. Να βρειτε τη νιοστη παραγωγο των συναρτησεων ι f (, R ιι f (, R h ( f ( f ( 56. Να αποδειξετε ότι ι f( f ( ιι Αν h( f( f (, R τοτε, R h( f( f ( 57. Η ζυναπηηζη f είναι παπαγωγιζιμη ζηο, και για κάθε α, β, ιζχυει f( f( f(. Να αποδειξεηε ότι ι f( ιι f ( f( f (,. 58. Οι συναρτησεις f,g είναι - και εχουν πεδιο τιμων το R. Αν είναι παραγωγισιμες στο R και ισχυει f ( g (, g ( f (, R Να αποδειξετε ότι f g g f ( f g ( 59. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, με f ( =. Αν για κάθε,ψ Rείναι f(+ψ + f(-ψ = f(, να αποδείξετε ότι f ( =, για κάθε R ΕΦΑΠΣΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ΤΝΑΡΣΗΗ Α ΟΜΑΔA 6. Αν f( = 3-4, να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f στα σημεία τομής της με τον άξονα. 6. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στο άξονα όταν: if( = ln ii f( = 6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f της συνάρτησης f( = (,f( αν f( + f ( = 4. e 5, στο σημείο 63. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f της συνάρτησης f( = ln που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 45
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 64. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( = + (εφόσον υπάρχει, σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3. β σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. γ είναι παράλληλη στην ευθεία y = + 4. δ είναι κάθετη στην ευθεία y = - + 3. ε είναι παράλληλη στον άξονα. στ είναι παράλληλη στον άξονα y y. 65. Αν, να βρείτε την τιμή του α ώστε η ευθεία ε: ψ= να είναι εφαπτομένη της C f με f( = α. 66. i Να αποδειχθεί ότι από το σημείο Ρ(α,β με β α διέρχονται δύο εφαπτόμενες της παραβολής c: ψ =. ii Αν το Ρ βρίσκεται πάνω στην ευθεία δ: ψ = -, να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες είναι 4 κάθετες. 67. Δίνεται η συνάρτηση f( = αln,, όπου η παράμετρος α R. I Για ποιες τιμές του α η γραφική παράσταση της f δέχεται εφαπτόμενη παράλληλη στον άξονα II IΒρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο σημείο της Μ(, f( και στη συνέχεια να δείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο Ρ όταν το α διατρέχει το R. 68. Δίνεται η συνάρτηση g( = f(ημ(α, α, όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο Rμε f( για κάθε R. Αν (,ψ κοινό σημείο των C f και C g, να δείξετε ότι οι C f και C g δέχονται κοινή εφαπτόμενη στο (,ψ. 69. Δίνονται οι συναρτήσεις g( = και f( = α β +9. Να βρείτε τα α,β R, ώστε οι C f και C g να δέχονται κοινή εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 46
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 3 4 7. Δίνονται οι συναρτήσεις g( = α + β και f( =. Να βρείτε τα α,β R, ώστε οι C f και C g να διέρχονται από το ίδιο σημείο στο οποίο δέχονται κοινή εφαπτόμενη με συντελεστή διεύθυνσης -. 7. Δίνονται οι συναρτήσεις g( = και f( = 3 με α. Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη της C f στο σημείο της Α(, f( είναι εφαπτόμενη της C g; 7. Αν f( = αln + β + 3, βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες η ευθεία ε: -ψ + 4 = είναι εφαπτόμενη της C f στο σημείο της Α(, f(. 73. Αν η συνάρτηση f: R Rείναι άρτια, παραγωγίσιμη και η κλίση της f στο = 3 είναι 4, να βρείτε την κλίση της f στο = -3. 74. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f της συνάρτησης f( = 3 που διέρχεται από τo σημείο Α(,-6. 75. Να βρείτε την εφαπτομένη (αν υπάρχει των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιχο σημείο: α f ( = ln στο (, β f ( = - στο (, γ f ( = 3 στο (, δ f ( = 3 στο (, 76. Δίνεται η συνάρτηση f ( = α 3 + β + γ + δ, α. Να βρείτε τη συνθήκη για τα α, β, γ R, ώστε η C f να μην έχει σε κανένα της σημείο οριζόντια εφαπτομένη. Β ΟΜΑΔΑ 77. Για τις συναρτήσεις f,g,φ ισχύουν: Η f είναι παραγωγίσιμη στο Rμε f(, R i Η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ii g( = f(φ (, για κάθε R iii [φ (] + [φ (] =, για κάθε R Αν Α(,ψ είναι κοινό σημείο των C f και C g, να αποδειχθεί ότι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη. 78. Μία συνάρτηση f: R Rέχει την ιδιότητα: f(- -3+ f(-3+-4, για κάθε R. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 47
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ Έστω μεταβλητή ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο Μ(-, και τέμνει τη Cf σε δύο Να βρείτε τον τύπο της f. IΝα αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β τέμνονται κάθετα και το σημείο τομής τους κινείται στη σταθερή ευθεία ψ = -. 79. Μία συνάρτηση f: R Rέχει την ιδιότητα: 3f(+ f(- = + 4 5, για κάθε R. i. Να βρεθεί ο τύπος της f.ii Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f, οι οποίες άγονται από το σημείο Α(,-, είναι κάθετες. 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g,h: R R. Αν f(, g( = f(h( για κάθε R, οι f,g,h είναι δύο φορές παραγωγίσιμες και h ( = - [h (], να αποδείξετε ότι οι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία. 8. i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4(-e = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,. ii Nα αποδείξετε ότι οι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη, όπου f( = e και g( =. 8. Μία συνάρτηση f: R Rείναι παραγωγίσιμη και για κάθε Rισχύει f(κ = f(κ +, κ R. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα σημεία της Α(κ-α,f(κ-α και Β(κ+α,f(κ+α με κ α τέμνονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση = κ. 8. α Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( = - 6 + 8, να φέρετετις εφαπτόμενες ε, ε της C f στα σημεία τομής της C f με τον και να δικαιολογήσετε από το σχήμα γιατί οι εφαπτόμενες τέμνονται πάνω στην ευθεία = 3. β Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής y = α + β + γ, α με Δ >, στα σημεία τομής της με τον άξονα τέμνονται στον άξονα συμμετρίας της παραβολής ( = - α β. 83. Δίνεται η συνάρτηση f ( = ln (α με α > και >. α Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο (, f (. β Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόμενες στο σημείο ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 48
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ (, f (, καθώς μεταβάλλεται το α, διέρχονται από το ίδιο σημείο. 84. Έστω η συνάρτηση f ( = ( -. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης, σε οποιοδήποτε σημείο της, δεν έχει με αυτήν άλλο κοινό σημείο. 85. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ( + - f ( - = - για κάθε R Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο Α (, f ( είναι κάθετη στην ευθεία y =. 86. α Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R. Να γράψετε τις συνθήκες ώστε η C f και η C g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη = να δέχονται κοινή εφαπτομένη. β Δίνονται οι συναρτήσεις f ( = 3 3 - + και g ( = - 3 +. Να αποδείξετε ότι οι C f, C g δέχονται κοινή εφαπτομένη σε ένα σημείο, του οποίου να υπολογίσετε τις συντεταγμένες. 87. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f (ln = ln -, >. α Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη. γ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη = και τους άξονες και y y. 88. Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f (4 = και (f ( = f ( για κάθε R, α να βρεθεί ο τύπος της f. β να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f που είναι παράλληλη στην ευθεία y = - +. 89. Αν f( ln. Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης στο Α,f( 9. Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο [, και για κάθε R ισχυει f(e 3. Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης της c f στο A(,f( 9. Εστω f( 3 και g( 4. Να βρεθει ο α R ώστε η ευθεια ψ=αχ+-α να είναι κοινη εφαπτομενη των c f και c g ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 49
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 9. Εστω f,g,h συναρτησεις τετοιες ώστε ι Η f είναι παραγωγισιμη και f(. ιι Η h είναι δυο φορες παραγωγισιμη με g( f(h (, h( h ( Αν οι c f, c g εχουν κοινο σημειο το A(, να δειξετε ότι εχουν και κοινη εφαπτομενη στο Α. 93. Αν f( e και g( ln και είναι Α το σημειο τομης της c f με τον και Β το σημειο τομης της c g με τον, να δειξετε ότι η ευθεια ΑΒ είναι κοινη εφαπτομενη των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f και g 94. Αν η ευθεια ε : ψ = χ+ εφαπτεται στην παραγωγισιμη συναρτηση f στο -, να βρεθει το f 95. Αν η ευθεια ε : ψ =χ-4 εφαπτεται στην g ( ln f ( στο οπου f συναρτηση με συνεχη παραγωγο να αποδειχθει ότι είναι συνεχης η h( 6 ( f ( 4, f (, Η ΠΑΡΑΓΩΓΟ Ω ΡΤΘΜΟ ΜΕΣΑΒΟΛΗ 96. Έστω και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, το οποίο έχει κορυφές τα σημεία Ο(,, Α(4, και Β(, -. Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό cm/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε όταν = 9 cm. 97. Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + ψ = ρ με t = ψ. Βρείτε το t όταν ψ.σο σώμα κινείται στον κύκλο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή αντίθετα; 98. Ένα σημείο Α κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( =. Tη χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση (, και το αυξάνει με ρυθμό 3 cm/sec.i Να βρεθεί το f ( t τη χρονική ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 5
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ στιγμή t. Να βρείτε σε ποια θέση t ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ, όπου ψ = f(. t 4 99. Ένας πληθυσμός μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Ν(t = t 9., όπου t ο χρόνος σε λεπτά. Αν οι φυσιολογικές απώλειες Μ κάθε λεπτό είναι ανάλογες του τετραγώνου του υπάρχοντος πληθυσμού με συντελεστή κ = -3, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής Μ.. Μια σκάλα μήκους 3m είναι ακουμπισμένη σ έναν κατακόρυφο τοίχο. Σο κάτω μέρος της σκάλας έλκεται από τον τοίχο με ρυθμό m/sec. Να βρείτε: Πόσο γρήγορα γλιστράει το πάνω άκρο της σκάλας όταν το κάτω άκρο απέχει από τον τοίχο 5m. τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο και το έδαφος όταν το κάτω άκρο της απέχει από τον τοίχο m.. Σο εμβαδόν της περιοχής ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναι πάντα 9π cm. O ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου είναι π cm /sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του μήκους του μικρού κύκλου όταν αυτός έχει εμβαδόν 6π cm.. ε μια δεξαμενή που έχει σχήμα κώνου χύνεται νερό με ρυθμό 5π cm 3 /sec.to ύψος του κώνου είναι m και η ακτίνα της βάσης είναι m. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανέρχεται το επίπεδο του νερού στη δεξαμενή κατά τη χρονική στιγμή t που το νερό έχει βάθος 5m; 3. Ένα αερόστατο που ανέρχεται από το έδαφος με ταχύτητα 3 m/sec εντοπίζεται από ένα αποστασιόμετρο σ ένα σημείο Α το οποίο απέχει 6m από το σημείο απογείωσης Β. Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο η γωνία θ = ΒΑΜ και η απόσταση S = (ΑΜ, (όπου Μ η θέση του αερόστατου μεταβάλλονται κατά τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το μπαλόνι βρίσκεται 6m πάνω από το έδαφος. 4. Δίνεται η συνάρτηση f( =ln, και το σημείο Μ(α,lnα, α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ. Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων; ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 5
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 5. Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα ψ ψ με σταθερή ταχύτητα v = m/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 6. Σο ύψος χ της στάθμης του νερού σε ένα κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης cm ανεβαίνει με ρυθμό /π cm /s ί Να γραφεί σχέση που να συνδέει τον όγκο V του νερού με το ύψος της στάθμης του χ.ii Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος του νερού. 7. Σο ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ = 6cm η μεταβάλλεται με ρυθμό 5 cm/sαν τη χρονική στιγμή t o το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ 6 cm, να βρεθούν: ί ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών,ii ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ. 8. Αν σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η περίμετρος αυξάνεται με ρυθμό 3cm/s να βρεθει ι με τη ρυθμο μεταβαλλεται η πλευρα του τριγωνου ιι Με τι ρυθμο μεταβαλλεται το εμβαδον του τριγωνου όταν αυτό είναι ισο με 3 cm 9. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μήκους της σκιάς ενός ανθρώπου, ύψους,7 m, ο οποίοςαπομακρύνεται με ταχύτητα m/ s από μια κολόνα, της οποίας η λάμπα φωτίζει από ύψος 5, m από το έδαφος. με ταχύτητες ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Δίνεται η συνάρτηση f( = στο διάστημα [,] για τη συνάρτηση f. 9 4 9, αν.να εξετάσετε αν εφαρμόζεται τα Θ.ROLLE +, αν. Δίνεται η συνάρτηση f( =, αν α +β, αν. Να βρείτε τις τιμές α,β για τις οποίες η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. ROLLE στο διάστημα [-π,] και έπειτα να βρείτε όλα (-π, για τα οποία ισχύει f ( =. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 5
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ. Δίνεται η συναρτηση f( εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Rolle στο [-,] 3 a Να βρειτε τις τιμές των α, β (β -χ χ R ώστε να 3. Να αποδείξετε ότι: iη συνάρτηση f( = συν ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. ROLLE στο διάστημα [-, ] ii Η εξίσωση εφ = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-,. 4. Έστω f μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Είναι συνεχής στο [α,β] Είναι παραγωγίσιμη στο (α,β και f(α = f(β = Να αποδείξετε ότι: a Για τη συνάρτηση g( = f ( c όπου c [α,β] εφαρμόζεται το Θ. ROLLE στο διάστημα [α,β]. bαν c [α,β], τότε υπάρχει c (α,β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο της (c, f(c να διέρχεται από το σημείο (c,. 5. Δίνεται η συναρτηση f: [a,β] R, η οποία είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγισιμη στο (α,β. f( Να αποδειξετε ότι : I για τη συναρτηση g( e ( a( β εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [α,β] ιι Τπάρχει ξ (α,β τέτοιο, ώστε f (ξ= a ξ β - ξ 6. Έστω f,g δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες: Είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] f(α = f(β = και f( (α,β. Να αποδείξετε ότι: a Για τη συνάρτηση h( = f(e -g(, [α,β] εφαρμόζεται το Θ. ROLLE στο διάστημα [α,β]. bτπάρχει (α,β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C g στο σημείο της Α(,g( να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: f (. - f(.ψ + κ =. 7. Δίνεται η συνάρτηση f( = ν (- μ με ν,μ Ν *. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, τέτοιο, ώστε f ( = και το σημείο Γ(, ώστε A Bόπου Α(, και Β(,. 8. Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,γ] και ισχύουν f(α = f(γ και f (α = f (γ =, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, (α,γ τέτοια, ώστε f ( = f (. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 53
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,βκαι [α,β], Να αποδειχθεί ότι f ( f ( f ( υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β τέτοιο, ώστε:.. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β με f(α = f(βe g(β-g(α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β τέτοιο, ώστε: f ( + f(.g ( =.. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο Rκαι ισχύει f( 6f(5+4f(3 για κάθε, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ με f (ξ =.. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [,3] και f(3 f( = ln3-ln, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,3, ώστε f (ξ =. 3. έναν αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν με την ίδια ταχύτητα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια του αγώνα που έχουν την ίδια επιτάχυνση. 4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β τέτοιο, ώστε: f ( = f ( f (. 5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-,] και παραγωγίσιμη στο (-,, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (-,τέτοιο, ώστε f (ξ = 5ξ 4 (f(-f(-. 6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,τέτοιο, ώστε f (ξ = f (-ξ. f ( 7. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε: f (ξ =. 8. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f( =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε: f ( = - f (. 9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β και f(α - f(β = α -β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β τέτοιο, ώστε: f ( =. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 54
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 3. Η συνάρτηση f: [,4] R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f( = και f(4 = 8. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 3. Δίνεται η συναρτηση f: [α,β] R συνεχής στο [α,β],παραγωγισιμη στο (α,β Αν f( να αποδειξετε ότι υπάρχει θ (α,β ηεηοιο,ωζηε f (θ f(θ α - θ β - θ 3. Δίνεται η συναρτηση f: R R με τύπο f(= (-a μ (χ-β ν μ,ν θετικοι ακεραιοι α,β πραγματικοί. Δείξτε ότι το ξ του θεωρήματος Rolle χωρίζει το τμήμα ΑΒ σε λόγο μ / ν όπου Α(a,f(a B(β,f(β 33. Αν α<β<γ ισχυει f(a=f(β= f(γ όπου f συνεχής στο [α,β] δυο φορές παραγωγισιμη στο (α,γ να δειξετε υπάρχει ξ στο (α,γ ώστε f (ξ = 34. Δίνεται η συναρτηση. χ f(, χ να δειχθεί ότι υπάρχει ξ στο (, /π ώστε εφ /ξ = /ξ 35. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον μια ρίζα της f. β Αν η f έχει δύο τουλάχιστον ρίζες, να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f περιέχεται το πολύ μια ρίζα της f. 36. Αν f, g συναρτήσεις παραγωγισιμες στο ( α, β και συνεχείς στο [ α, β] με g ( για κάθε χ (α,β. Ν α δειχθεί ότι i g (a g (β ιι Τπάπχει ξ ( α,β : f( g( f( g( f ( g ( και f( f( f ( Θεώρημα Rolle και ρίζες εξίσωσης 37. Αν α,β, γ R α 3.Να δειχθεί ότι η εξίσωση αχ +βχ+γ= δέχεται στο διάστημα (, τουλάχιστον μια ρίζα. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ημχ + ( χ- συνχ= ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 55
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, 38. Να δειχθεί ότι μεταξύ δυο οιονδήποτε ριζών της e ημχ=, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της e συνχ= - 39. Να δειχθεί ότι μεταξύ δυο ριζών της εξίσωσης e 4 υπάρχει πάντα μια ρίζα της εξίσωσης χ + 4 = σφχ 4. Δείξτε ότι η εξίσωση χ 3 3 χ + α= έχει το πολύ μια ρίζα στο (-, 4. Να αποδειχθει ότι η εξίσωση χ ν + αχ +β = έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες 4. Δίνεται η συναρτηση f : R R δυο φορές παραγωγισιμη στο R με f ( για κάθε χ R.Να αποδειξετε ότι η εξίσωση f ( = έχει το πολύ δυο ρίζες. 43. Αν η συναρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγισιμη στο [ α, β ] και οι αριθμοί α, β είναι ρίζες της f και της f να αποδειξετε ότι υπάρχει ξ που ανήκει στο ( α, β τέτοιο ώστε f (ξ = 44. Αν η εξίσωση χ 4 + αχ 3 +3βχ +γχ +δ = έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες μεταξύ τους, να αποδειξετε ότι α > 8β 45. Έστω συναρτηση f : R R με f ( =.Να αποδειχθει ότι η εξίσωση f ( ( - = f ( έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα 46. Για την συναρτηση f ( = ( χ 4 ημ χ εφαρμόστε θεώρημα Rolle στα διαστήματα [ -. ] και [, ] και στη συνεχεία δείξτε ότι η εξίσωση ( χ 4 συν χ + χ ημ χ = έχει δυο τουλάχιστον ρίζες 47. Δίνεται το πολυώνυμο Π( = (-(+( -3. Να αποδείξετε ότι τι πολυώνυμο Π ( =, έχει τρεις ρίζες ανά δύο διαφορετικές. 48. Αν α,β R με α β και τα α,β είναι ρίζες της εξίσωσης e - = συν, να αποδείξετε ότι η εξίσωση e (ημ-συν = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β. 49. Αν α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 +α 3 +α +β+γ = έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 56
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 5. Δίνεται η συνάρτηση f( = ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ 3 7 3 3, όπου η παράμετρος μ R. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. 5. Αν..., ν 3 Ν *, να αποδείξετε ότι η εξίσωση α ν ν + α ν- ν- +..+ α + α + α =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,. 5. Αν αβ και αγ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4α 3 +3β + γ = α + β + γ έχει ακριβώς μια ρίζα στο (,. 53. Να λυθεί η εξίσωση: ln( + e =. 54. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = ημ + συν έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, μία στο (-, και μία στο (,. 55. Να λυθούν οι εξισώσεις: i + ln = ii e = + iii e e - e + = 56. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α 3 +β +γ+δ = e έχει το πολύ τέσσερις πραγματικές ρίζες. 57. Αν α+β =, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3α + 4β - =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R. i Αν ο ν είναι άρτιος θετικός ακέραιος και α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση (+α ν = ν + α ν έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. ii Να λυθεί η εξίσωση: (+3 996 = (+ 996 +6 499. 58. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 8α 3 +9β - 6β - α =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,. 59. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 + 8 + μ = έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα στο διάστημα (,. 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 + 3 +3 λ + μ = έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε λ,μ R. 6. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( = 4 + 3 7 + 5 και g( = 4-3 + + -4 έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (,. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΗ ΣΙΜΗ Α ΟΜΑΔΑ ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 57
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 6. Δίνεται η συνάρτηση f( = ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ, -. Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του 3, - Θ.Μ.Σ. στο διάστημα [-3,] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ (-3, που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Σ. 63. Δίνεται η συνάρτηση f με f( = (-ln. Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Σ. στο διάστημα [,e] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ (,e που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Σ. 64. Δίνεται η συναρτηση f συνεχής στο [, 5 ] παραγωγισιμη στο (,5 και f ( =5, f (5 =. Να δειξετε ότι υπάρχει ξ στο (,5 ώστε η εφαπτόμενη της C f στο ( ξ,f (ξ να είναι παράλληλη στην ευθεία 3 χ +4 ψ 7= 65. Αν η συναρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο [α,β ], δυο φορές παραγωγισιμη στο ( α,β με f(a=a, f(β =β και f ( γ =γ με α<γ<β. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ( α, β : f ( ξ = 66. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β με f( για κάθε ξ [α,β].εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Σ. στο [α,β] για τη συνάρτηση f( = lnf(, να αποδειχθεί ότι υπάρχει (α,β τέτοιο ώστε: f ( ( f ( f ( f ( e 67. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β με f(α = 3 β και f(β = 3 α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Μ(ξ,f(ξ, να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω = 3. 68. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,3] με f( = 5 και (,3, να αποδείξετε ότι 4 f(3 6. f ( για κάθε 69. Έστω f μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R.Αν οι αριθμοί f(, f(4, f(6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,6 τέτοιο ώστε f (ξ =. 7. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος f είναι γνησίως φθίνουσα στο R.Αν οι αριθμοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με α β γ δ, να αποδείξετε ότι: f(α + f(δ f(β + f(γ. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 58
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 7. Αν η συνάρτηση f ( είναι γνησίως φθίνουσα στο R και είναι f( =, να αποδείξετε ότι: f ( f( f (. 7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,5] με f( = -και f ( για κάθε (,5, να αποδείξετε ότι: - f(5 6. 73. Η συναρτηση f είναι συνεχής στο [-3,3 ] δυο φορές παραγωγισιμη στο (-3,3 με f( = f (3+f (-3.Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ( -3, 3 ώστε f (ξ = 74. Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Σ. να λύσετε την εξίσωση: 3 + 6 = 5 + 4. 75. Δίνεται η συναρτηση f : [ α, β ] R συνεχής στο [α, β ] και παραγωγισιμη στο ( α, β με f (α = f (β. Να δειχθει ότι υπαρχουν ξ,ξ (α,β ώστε f ( ξ + f ( ξ = 76. Εστω συναρτηση f παραγωγισιμη στο [, 4 ] με f(4= 4 f( και f ( =. Να δειχθει 4 ότι υπαρχουν ξ, ξ, ξ 3 (,4 ώστε f ( ξ + f ( ξ + f ( ξ 3 = 4 77. Εστω συναρτηση f συνεχης στο [ α, β ], παραγωγισιμη στο ( α, β με f ( α== f (β =4 Να δειχθει ότι υπαρχουν ξ, ξ ώστε f ( ξ + f ( ξ = 78. Αν f παραγωγισιμη στο [ α, β ] με f ( α = α, f ( β =β Να δειχθει ότι υπαρχουν ξ, ξ ( α, β ώστε f ( ξ + f ( ξ = (Τποδειξη Bolzano στο [α,β] για την g(= f(+ α β αρα g (ξ=.και Θ.Μ.Σ στα [α,ξ ], [ξ,β ] 79. Nα αποδείξετε ότι: ln, για κάθε,ψ R. 8. Nα αποδείξετε ότι: i - e ln 8. Nα αποδείξετε ότι: e ii 3 3 iii - e 3 ln3 3 e 8. ln( ln( π, αν α β. ii ln(, αν. iii, αν -. iv. v e ( e, αν (,. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 59
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ Β ΟΜΑΔΑ 83. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,], παραγωγίσιμη στο (, με f(= f(. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία α,β (, τέτοια ώστε: f (α + f (β =. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα. 84. Αν α β, να αποδειχθεί: e β -e α β e β - α e α. 85. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος f είναι αύξουσα στο R. Αν α,β R με α β και f (α = f (β =. Να δειχθεί ότι: f(α = f(β. 86. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β με f(α = β και f(β = α. Να αποδείξετε ότι: iη εξίσωση f( = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β. ii Τπάρχουν ξ, ξ (α,βτέτοια ώστε: f (ξ. f (ξ =. 87. Αν ισχύουν α γ β, και f (γ = και f ( για κάθε [α,β], να αποδείξετε ότι f ( f ( (. 88. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν υπάρχει εφαπτομένη της C f η οποία έχει με τη C f δύο τουλάχιστον κοινά σημεία, να αποδείξετε ότι:i Η f δεν είναι -. iiτπάρχει R με f ( =. 89. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β], με f(β και f(α =f (α=. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β τέτοιο, ώστε f (ξ. 9. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της C f.να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ με f (ξ =. 9. Αν η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Σ. στο [,3], να αποδείξετε ότι υπαρχουν ξ, ξ, ξ 3 (α,βτέτοια ώστε: f (ξ + f (ξ + f (ξ 3 = f(3 - f(. 9. Η συνάρτηση f: [α,β] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β και συνεχής με f(α = f(β =. Να αποδείξετε ότι: ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 6
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ αν υπάρχει (α,β με f(, τότε υπάρχει ξ (α,β τέτοιο, ώστε f (ξ, αν υπάρχει (α,β με f(, τότε υπάρχει ξ (α,β τέτοιο, ώστε f (ξ. 93. Η συνάρτηση f: [,4] είναι συνεχής στο διάστημα [,4], παραγωγίσιμη στο (,4. Αν f( = -3 και f ( για κάθε (,4, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(= έχει μοναδική ρίζα στο (,4. 94. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [,], με f( = και f( =, να αποδείξετε ότι: Iυπάρχει γ (, τέτοιο, ώστε: f(γ =, II υπάρχουν ξ, ξ (, τέτοια, ώστε: f ( f (. 95. Έστω α και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [-α,α]συνάρτηση g. Αν g( = g(α + g(-α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (-α,α τέτοιο, ώστε: g (ξ =. 96. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα της μορφής (α,+ με f (.Να αποδείξετε ότι: ι f ( f ( για κάθε ε, ιι αν επιπλέον ισχύει ότι f(, κ (,+, τότε λ =. 97. Να αποδειξετε ότι. ι - π e < ln π < e π ιι ln χ χ> ιιι Αν < α < β να δειξτε ότι α e < e, και e e e e Τ Ν Ε Π Ε Ι Ε Θ. Μ. Σ. Σ Α Θ Ε Ρ Ε Τ Ν Α Ρ Σ Η Ε Ι Α ΟΜΑΔΑ 98. Αν για τη συνάρτηση f( ισχύει f ( + f( = για κάθε R, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( = [f(] + [f (] είναι σταθερή στο R. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 6
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 99. Για τη συνάρτηση f: R ισχύουν: f( = α και f ( = αf( για κάθε Rκαι α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g( = f( f(- είναι σταθερή στο Rκαι στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της.. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α = (,5 και ισχύει f ( f( = -6, τότε: ινα αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g( = 3 f. f ( f ( για κάθε 3 Α και είναι σταθερή,ιι να βρεθεί η συνάρτηση. Δίνεται η συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f ( = f(- για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( = f ( + f (-, R, είναι σταθερή.. Να βρεθεί η συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f (,, και f(- =. 3. Η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f: R στο τυχαίο σημείο Μ(,f( είναι ίση με το διπλάσιο της τιμής της f στο. Aν f( =, να βρεθεί ο τύπος της f. 4. Να βρεθεί η συνάρτηση f αν: ι f ( = 6 + για κάθε R και f( =. Ιιf (- = 7- για κάθε R και f( =.ιι f ( 3 = 8 + για κάθε Rκαι f( =. Ιιιf ( = 4e - + 6 + για κάθε Rκαι f ( = f( = Ιvf ( = - για κάθε R* και f(- = f( =. 5. Δίνεται η συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: (-f ( = 5 + για κάθε R. Αν f(3 = 7, να βρεθεί ο τύπος της f. 6. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f ( = για κάθε R*. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. Β ΟΜΑΔΑ 7. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f ( = -f( για κάθε R. Αν f( = 3, να βρεθεί ο τύπος της f. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 6
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 8. Δίνεται η συνάρτηση f: R με f( =, για την οποία ισχύει: (f(-e (f (-e = για κάθε R.i Να αποδείξετε ότι (f(-e =. ii Να αποδείξετε ότι η h( = f(-e διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο στο R. IiiΝα βρείτε τον τύπο της f. 9. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + R* με f( = και f ( = -f 3 ( για κάθε. iνα βρείτε: την παράγωγο της συνάρτησης g(, f ( ii τον τύπο της συνάρτησης f.. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f ( f (f ( για κάθε,ψ Rκαι f( =, f ( =. Να αποδείξετε ότι:i f ( h f ( f ((f (h h ii f ( = f( +. Αν οι συναρτήσεις f,g: R είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με f( +f ( = g( + g ( και οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν σε κοινό τους σημείο κοινή εφαπτόμενη, να αποδείξετε ότι f( = g( για κάθε R.. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f (+ψ = f(f(ψ για κάθε,ψ R.Αν η ευθεία ε: ψ = + είναι εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ(,f(, να βρεθεί: i το f(, iiο τύπος της f. 3. Να αποδείξετε ότι: if ( = -f( για κάθε R,αν και μόνο αν υπάρχει c R έτσι, ώστε f( = ce - για κάθε R, iiαν για κάθε R ισχύουν g ( = -g( και h ( =-h( και η h δεν είναι μηδενική συνάρτηση, τότε υπάρχει c Rέτσι, ώστε g = ch. 4. Αν f ( = -f( για κάθε R, f( = α, και f ( = β, να αποδείξετε ότι (f( + (f ( = α + β 5. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ( για τα οποία ισχύει P( + P(ψ = P(+ψ-ψ- για κάθε,ψ R και Ρ ( = -. 6. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f: Δ, όταν για κάθε Δ είναι: (f(.(f ( = 3 8, f( = και Δ = R i f ( = e -f(, f( = και Δ = R ii συν.f ( + (f( =, f( 3,f ( (,. 3 3 7. Τποθέτουμε f ( f ( ( για κάθε,ψ R, όπου ν άρτιος θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 63
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 8. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f: (, g(συν για κάθε (, και g( = 5. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ 9. Αν f ( = -f( για κάθε R, f( =, και f ( =, να αποδείξετε ότι: R, για την οποία ισχύει: g (συν + g(ημ = (f( + (f ( =, η συνάρτηση h( = f( συν ικανοποιεί την ισότητα (h( + (h ( =, Να δειξετε ότι f( = συν, R.. Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f( = ( + f ( για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή.. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f( = = f (, f( και 3 f ( f ( + f( = για κάθε.. Δίνεται η συνάρτηση f: (, + R, για την οποία ισχύουν: f(ψ = f(.f(ψ για κάθε,ψ, iif( για κάθε, iiif ( = 5. Να αποδειχθεί ότι: α η f είναι παραγωγίσιμη στο,, β να βρείτε τον τύπο της f 3. Έστω f και g δύο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [ρ,ρ ] με f(g ( f (g( = για κάθε ( ρ,ρ. Αν f(ρ = f(ρ =, f( για κάποιο ( ρ,ρ και g( g( να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( ρ,ρ τέτοιο, ώστε g(ξ =. ΜΟΝΟΣΟΝΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ Α ΟΜΑΔΑ 33. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: if( = + ii f( = ln ii f( = (-e (+e - ιιι f( = ln ιv f( = 9 v f( = (ln- 3 (ln- + vi f( = (ln- 8(ln- 34. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: i f( = ln ii f( = ln 4 iii f( = e e, ln, ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 64
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ iv f( = ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ 6, 3, v f( = 7. ln 34. Έστω η συνάρτηση f( =, i να μελετήσετε τη μονοτονία της f ln( i να αποδείξετε ότι ln ln ( ( όταν α β 35. Έστω η συνάρτηση f( = ln(, [,+ να μελετήσετε τη μονοτονία της f ln ii να αποδείξετε ότι α ln(e-ln(e+ β ln(e π -ln(e π + π. 36. Έστω η συνάρτηση f( =, *, i να μελετήσετε τη μονοτονία της f ii Να συγκρίνετε τους αριθμούς 4,, *,. 37. i Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f( = α, α ii Αν α να βρείτε τις τιμές του λ R που ικανοποιούν τη σχέση: 4 ( 4 ( 38. i Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f( = ( e e e, [α,β] με α ii Αν α β, να αποδειχθεί ότι ( e e e. 39. i Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f( =,με ii Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς 3,, 3..., (όπου ν Ν με ν. 4. i Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f( = (+ln(+, ii Αν α, β και ισχύει e β (α+ α+ = e α (β+ β+, να αποδειχθεί ότι α = β. ln ln 4. Δίνεται η συνάρτηση : f ( ln, α i Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. ii Αν β α, να αποδειχθεί ότι: ln ln ln. 4. Δίνεται η συνάρτηση : f( = ln,. i Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. Ii να αποδείξετε ότι:e π π e iii να αποδείξετε ότι:e e, για κάθε Β ΟΜΑΔΑ 43. Να λύσετε τις εξισώσεις: i ln + = ii e + = e iii + + + ln = ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 65
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ 44. Να λύσετε την εξίσωση συν + ln(εφ = συνln(ημ (,π. 45. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [,e]. 46. Nα βρεθούν οι τιμές του α R, ώστε η συνάρτηση f( = 4 3 3α + +, να είναι γνησίως αύξουσα στο R. 47. Nα αποδείξετε ότι ισχύει: iln για κάθε ii ln( 3 3 για κάθε iii e +ln(+ για κάθε - ive + e - + για κάθε R v + ln(συν για κάθε [, ] 4 vi ln(+ για κάθε vii + + ( e για κάθε 48. Nα αποδείξετε ότι: iln για κάθε. Πότε ισχύει η ισότητα; IiΑν α, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f( = ln ln είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,α. 49. Δίνεται η συνάρτηση f( = ημχ+ - 3χ χ [,π/, ί Να. μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ii Να αποδείξετε ότι ημχ + ημχ > 3χσυνχ, χ [ Ο, π/. 5. i Nα αποδείξετε ότι ln + για κάθε ii Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f( = ln iii Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό μ που ικανοποιεί τη σχέση (μ+ ln(μ +5 = (μ +4 ln(μ +μ+. 5. Δίνεται η συνάρτηση f(χ = χ 3-3(λ - χ + 6( - λχ +, λ R Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα. 5. Δίνεται η συνάρτηση f: R R με f ( για κάθε R. Να αποδείξετε ότι αν α R, τότε ισχύει f( f (α(-α + f(α για κάθε R. 53. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και ισχύουν f(α=f(β= και f ( για κάθε [α,β], να αποδειχθεί ότι f( για κάθε (α,β. 54. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β και f ( για κάθε (α,β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( = f ( f ( είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β. 55. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(χ =e - και g(χ = χ - χ έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 66
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ 56. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f( = διαστήματα (-,- και (,+. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα 57. Αν η συνάρτηση f: R R είναι παραγωγίσιμη με f( = και η f είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( = f (,, είναι γνησίως φθίνουσα. 58. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με f ( για κάθε (, και f( = f( =, να αποδείξετε ότι είναι f( για κάθε (,. 59. Αν f,g παραγωγίσιμες για κάθε (, και συνεχείς στο [,+, ακόμη f ( f( g (. Να αποδειχθεί ότι f( g( για κάθε (,. 6. Έστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] f (α και f ( για κάθε [α,β] Να αποδειχθεί ότι: f(α f(β. 6. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f ( για κάθε [α,β]. Να αποδειχθεί ότι: f f ( f (. 6. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β, να αποδείξετε ότι για κάθε (α,β ισχύει: f ( f ( f ( f (. 63. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β και f(α = f(β. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β, να αποδείξετε ότι για κάθε (α,β ισχύει: f( f(α. 64. Αν η συνάρτηση f: R R είναι παραγωγίσιμη με f( = και f ( + f( για κάθε R, να αποδείξετε f( για κάθε. 65. Αν g ( συν-g( για κάθε R, να αποδείξετε ότι g( για κάθε. 66. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, +, με f ( για κάθε f ( και f( = Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g με g( = είναι γνησίως αύξουσα στο (, +. 67. Έστω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f ( για κάθε [α,β]. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και υπάρχει γ (α,β τέτοιο, ώστε να ισχύει f(γ = να αποδείξετε ότι είναι: f ( f (. f ( f ( 68. Η συνάρτηση f: (, + R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση f(f ( + f( = για κάθε. Αν f( =, να αποδειχθεί ότι: ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 67
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ if(f ( = για κάθε. ii f( = ln,. 69. Να λυθούν οι εξισώσεις ι 3 + 4 = 5 ii = +4 > 7. Δίνεται η συνάρτηση : f( = 3 4 + 4 3 + 4. i Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f( = έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες, δύο αρνητικές και δύο θετικές. 7. Αν η συναρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και ισχύουν f(α = f(β = Ο και f ( για κάθε χ (α, β, να αποδείξετε ότι f(χ > Ο για κάθε χ (α, β. 7. Δίνεται η συνάρτηση : f( = 3 3 - + 5α. i Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f( = όταν το α διατρέχει το R. 73. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 α 9 + α = όταν το α διατρέχει το R 74. Δίνεται η συνάρτηση : f( = 8. i Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. ii Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης διατρέχει το R. 75. Δίνεται η συνάρτηση : f( = (- (ln-. i Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f( =. iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. iv Να αποδείξετε ότι: (- (ln- για κάθε. 76. Δινεται η συναρτηση f ( =3 χ 4 + 4χ 3 χ +4 ι Ναβρεθουν τα διαστηματα μονοτονιας f ιι Να αποδειχθει ότι η εξισωση f(= εχει τεσσερις ακριβως ριζες πραγματικες και δυο αρνητικες και δυο θετικες 77. Δινεται η συναρτηση f ( = - ln(, > - I Nα μελετησετε ως προς την μονοτονια τις f και f ii Να λυσετε την εξισωση f (= 8 όταν το α 78. Oταν η παράμετρος α διατρέχει το σύνολο R να βρεθεί το πλήθος' πραγματικών ριζών των εξισώσεων: ί 3-5 +4-α= II 3χ 4 4αχ 3 +α = 79. Δίνεται η συνάρτηση : f( = ln(,.i Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ln IIΝα αποδείξετε ότι: ln(-.ln(+ ln,. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 68
ΠΕΡΙΣΕΡΙΟΤ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ 8. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β με β. Να αποδειχθεί ότι: β e + α αβ + β. 8. Να αποδειχθει ότι ln a a + e b ab, a > 8. Να αποδειχθεί ότι: ln ln όταν α β. 83. Αν α β, να αποδειχθεί ότι: 84. Για α,β [,π και α β να αποδειχθεί ότι: e ( e e 85. Για κάθε α, β να αποδειχθεί ότι: ln ln ln. 86. Έστω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f γνησίως φθίνουσα στο [α,β]. Να f ( f ( αποδειχθεί ότι: f ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT 87. Δίνεται η συνάρτηση f( = α + ln,. i Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η f να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο με τιμή -. ii Για α = - και β =, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. 88. Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η συνάρτηση f( = αln+β -+ να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο με τιμή 6 89. Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η συνάρτηση f( = αln+ +α να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο με τιμή +ln. 9. Αν, να δείξετε ότι η f( = ( +α+e δεν έχει ακρότατα. 9. Αν α β, να δείξετε ότι η f( = ( +α+e δεν έχει ακρότατα. 9. Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει f 3 ( + f( = +, τότε η f δεν έχει ακρότατα. 93. Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει f( + ln(+ f ( = e + 3 +, τότε η f δεν έχει ακρότατα. 94. Έστω μια συνάρτηση f: (,+ R η οποία είναι παραγωγίσιμη και για κάθε R ισχύει 3 f(- f 3 ( = 3 -. Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. ΚΩΣΑ ΝΙΚΟΛΕΣΟΠΟΤΛΟ 69