6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.. Συµβολισµός της συνάρτησης Η συνάρτηση συµβολίζεται : Α Β και διαβάζεται «συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β» 3. Πεδίο ορισµού Στη συνάρτηση : Α Β, το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού, συµβολίζεται δε και D 4. Η ανεξάρτητη µεταβλητή Στη συνάρτηση : Α Β, κάθε στοιχείο του πεδίου ορισµού Α, συνήθως, συµβολίζεται µε τη µεταβλητή, η οποία λέγεται ανεξάρτητη µεταβλητή. 5. Η µεταβλητή y Στη συνάρτηση : Α Β, κάθε στοιχείο του συνόλου Β, συνήθως, συµβολίζεται µε τη µεταβλητή y. 6. Τιµή της στο Στη συνάρτηση : Α Β, κάθε στοιχείο y του συνόλου Β, στο οποίο αντιστοιχίζεται στοιχείο του πεδίου ορισµού Α, λέγεται τιµή της στο και συµβολίζεται (). 7. Η εξαρτηµένη µεταβλητή y Στη συνάρτηση : Α Β, εξαρτηµένη µεταβλητή λέγεται η µεταβλητή y, όταν συµβαίνει y = ().
8. Το σύνολο τιµών Στη συνάρτηση : Α Β, όλες οι τιµές της, σε ένα τσουβάλι, αποτελούν ένα σύνολο (υποσύνολο του Β), που λέγεται σύνολο τιµών της και συµβολίζεται (Α) 9. Πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής Στο εξής, για συνάρτηση : Α Β, i) το σύνολο Β θα είναι το R ii) το πεδίο ορισµού Α θα είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R, για τα του οποίου η τιµή () είναι πραγµατικός αριθµός. 0. Τύπος συνάρτησης λέγεται η ισότητα y = (), που καθορίζει τον τρόπο αντιστοίχισης. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Η αντιστοιχία είναι έννοια θεµελιώδης, δηλαδή δεν ορίζεται (όπως η έννοια «ευθεία»). Πρέπει, όµως, όλοι να τη διαισθανόµαστε µε ίδιο περιεχόµενο. Π.χ Έστω Α το σύνολο των µαθητών της τάξης µας και Β το σύνολο των καρεκλών της αίθουσάς µας. Υπάρχει µια αντιστοιχία από το σύνολο Α στο σύνολο Β, κατά την οποία κάθε µαθητής κάθεται σε µία ακριβώς καρέκλα.. ιευκρίνιση Η συνάρτηση είναι αντιστοιχία. Η αντιστοιχία µπορεί να είναι συνάρτηση, µπορεί και να µην είναι. 3. Άµεση συνέπεια από τον ορισµό Στη συνάρτηση : Α Β, λειτουργούν α) όλα τα στοιχεία του συνόλου Α β) όχι κατ ανάγκη όλα τα στοιχεία του Β
3 4. Άµεση συνέπεια από τον ορισµό Στη συνάρτηση : Α Β, α) επιτρέπεται διαφορετικά στοιχεία του Α να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο του Β β) απαγορεύεται κάποιο στοιχείο του Α να αντιστοιχίζεται σε δύο ή περισσότερα στοιχεία του Β. A B A B ( ) ( )=( ) = ( ) Επιτρέπεται στη συνάρτηση Απαγορεύεται στη συνάρτηση 5. Μαθηµατική έκφραση του (4) Στη συνάρτηση : Α Β, α) Αν = τότε ( ) = ( ). β) Αν ( ) ( ) τότε Προσοχή, όχι αντίστροφα. 6. Εύρεση του πεδίου ορισµού Όταν το πεδίο ορισµού δε δίνεται, πρέπει να το βρίσκουµε πριν από οποιαδήποτε άλλη ενέργεια, ακόµη και αν δε µας το ζητάνε. Για να βρούµε το πεδίο ορισµού D : α) Παρανοµαστές 0 β) Υπόριζα µη αρνητικά γ) Σε κάθε άλλη περίπτωση είναι D = R. (Για την Α τάξη) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω Α το σύνολο των τερµατοφυλάκων που ανήκουν στις ποδοσφαιρικές αµάδες της Α εθνικής κατηγορίας και Β το σύνολο των ποδοσφαιρικών αµάδων της Α εθνικής κατηγορίας. Υπάρχει συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β ; Ορισµός συνάρτησης Ναι, υπάρχει συνάρτηση, αφού κάθε στοιχείο (τερµατοφύλακας) του συνόλου Α αντιστοιχίζεται (ανήκει) σε µία ακριβώς οµάδα του συνόλου Β.
4. Έστω το σύνολο Α = {, 4, 5, 3} και η αντιστοιχία [, 4 8, 5 0, 3 6] Ορίζεται συνάρτηση ; Και αν ναι, ποιος είναι ο τύπος της ; Ναι, ορίζεται συνάρτηση : Α R, αφού κάθε στοιχείο Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς y R, συγκεκριµένα στο y =. Ο τύπος της είναι () = 3. Έστω το σύνολο Α = {, 4, 5, 3} και η αντιστοιχία [, 4 8, 5 0, 3 6, 4 0] Ορίζεται συνάρτηση ; Σχόλιο 4 ii) Όχι, δεν ορίζεται συνάρτηση, αφού ένα τουλάχιστον στοιχείο (το 4) του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία (στο 8 και στο 0) του R. 4. Η ισότητα y = 3 µε R ορίζει συνάρτηση ; Αν ναι, ποια είναι η τιµή της στο 0,,,, α, αντίστοιχα. Ναι, ορίζει συνάρτηση : R R, αφού κάθε στοιχείο R αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς y R, συγκεκριµένα στο 3. Ο τύπος της είναι () = 3 (0) = 3 0 = 3 0 = 0 () = 3 = 3 = 3 ( ) = 3 ( ) = 3 4 = ( ) = 3 (α) = 3α 5. ικαιολογήστε, γιατί η ισότητα Η ισότητα y = µε > 0 δεν ορίζει συνάρτηση. y = γράφεται y = ή y =. Σχόλιο 4 ii) το τυχαίο αντιστοιχίζεται σε δύο y, συγκεκριµένα στα,, που απαγορεύεται στη συνάρτηση.
5 6. ίνεται η συνάρτηση () = +, R. Να βρείτε εκείνο το, το οποίο αντιστοιχίζεται στο 7, και τις τιµές (3), ( + ), ( ) () = 7 + = 7 = 6 = 3 το 3 αντιστοιχίζεται στο 7 (3) = (3) + = 6 + ( + ) = ( + ) + = + + = + 3 ( ) = + 7. ίνεται η συνάρτηση () = +, R. Να βρείτε εκείνο το το οποίο αντιστοιχίζεται στο 0, και τις τιµές ( ), ( ), ( ) () = 0 + = 0 = 9 = 3 ή = 3 τα 3, 3 αντιστοιχίζονται στο 0 ( ) = ( ) + = ( ) ( ) = + + = 4 + ( ) = ( ) + = + + = +
6 8. +, αν < 0 ίνεται η συνάρτηση () = +, αν 0 i) Να βρείτε τις τιµές ( 3), (0), (3) ii) Να βρείτε εκείνο το, το οποίο αντιστοιχίζεται α) στο β) στο 5 γ) στο i) ( 3) = ( 3) + = 6 + = 5 (0) = 0 + = (3) = 3 + = 9 + = 0 ii) α) Αν το ζητούµενο είναι < 0, θα πρέπει + = = 3 = 3 β) Αν το ζητούµενο είναι < 0, θα πρέπει + = 5 = 4 = άτοπο Αν το ζητούµενο είναι 0, θα πρέπει + = 5 = 4 = γ) Αν το ζητούµενο είναι < 0, θα πρέπει + = = = 4
7 9. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης i) h () = + ii) () = i) Πρέπει 0. D h = (, 0) (0, + ) + iii) g () = Σχόλιο 6 ii) Πρέπει 0 D = (, ) (, ) (, + ) iii) Πρέπει 0 και 0 0 και και 0 και και D = (, ) (, 0) (0, ) (, + ) g 0. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης i) () = i) Πρέπει 0 και 0 και και ii) g () = + και < D = [, ) Σχόλιο 6 ii) Πρέπει 0 και 0 και + 0 και και + 0 και και D g =, ) (, ) (, + )