Η έννοια του διανύσματος

Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο, ότν το έν άκρο του έχει επιλεγεί ως ρχή κι το άλλο ως τέλος Δικρίνουμε τ προσντολισμέν ευθύγρμμ τμήμτ πό τ άλλ, βάζοντς πό πάνω μι πύλ () Έτσι, πό το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ προκύπτουν δύο διφορετικά προσντολισμέν, AB κι BA Α Α Β Β (ε) σχήμ (ε) σχήμ Έστω το προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ AB Η ευθεί (ε) επί της οποίς βρίσκετι το AB λέγετι φορές του Ο φορές του AB ορίζει τη διεύθυνση του AB Εξάλλου, επί της ευθείς (ε), μπορεί κνείς ν κινηθεί κτά δύο τρόπους: είτε πό το Α προς το Β, είτε πό το Β προς το Α Ορίζοντι συνεπώς δύο κτευθύνσεις κι ενώ τ AB κι BA έχουν την ίδι διεύθυνση, έχουν ντίθετες κτευθύνσεις Κάθε προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ λοιπόν, έχει κτεύθυνση Ως μέτρο ή μήκος του AB ορίζουμε το μήκος του τμήμτος ΑΒ Έτσι, τ AB, BA έχουν το ίδιο μέτρο Συνοψίζοντς, έν προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ AB έχει: διεύθυνση (η ευθεί που ορίζετι πό τ σημεί Α, Β), κτεύθυνση (ή φορά)που κθορίζετι πό τη διεύθυνση κι την κίνηση επάνω σ υτήν κι 3 μέτρο Έστω τώρ δύο προσντολισμέν ευθύγρμμ τμήμτ AB κι ΓΔ Λέμε πως υτά έχουν την ίδι διεύθυνση νν οι ευθείες (ε ), (ε ) που ντιστοίχως τ περιέχουν είνι πράλληλες Β (ε ) Α Γ Δ (ε ) σχήμ 3 wwwprotogr

Ότν τ AB, ΓΔ έχουν την ίδι διεύθυνση, τότε είτε έχουν την ίδι κτεύθυνση οπότε λέγοντι ομόρροπ (σχήμ 3), είτε έχουν ντίθετες κτευθύνσεις κι κλούντι ντίρροπ (σχήμ 4) (ε ) Β Α Δ Γ (ε ) σχήμ 4 Είμστε τώρ έτοιμοι ν ορίσουμε την έννοι του δινύσμτος Έν προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ AB ορίζει έν διάνυσμ AB, προσοχή όμως: κάθε προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ ΓΔ που έχει την ίδι κτεύθυνση με το AB κι το ίδιο μέτρο, ορίζει το ίδιο διάνυσμ Δηλ εάν τ AB, ΓΔ είνι δύο προσντολισμέν ευθύγρμμ τμήμτ με ίδι διεύθυνση, ίδι κτεύθυνση κι ίδιο μέτρο (Ι) ορίζουν το ίδιο διάνυσμ Έτσι, πολλά προσντολισμέν ευθύγρμμ τμήμτ ( που έχουν τις ιδιότητες (Ι) ) ορίζουν το ίδιο διάνυσμ Κάθε διάνυσμ ντιπροσωπεύετι πό πολλά προσντολισμέν ευθύγρμμ τμήμτ Από δω κι πέρ, κάθε προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ θ το θεωρούμε ως διάνυσμ κι ντί γι AB θ γράφουμε AB Είνι δε φνερό ότι AB ΓΔ νν τ ευθύγρμμ τμήμτ ΑΒ κι ΓΔ έχουν το ίδιο μέτρο κι τ AB, ΓΔ έχουν την ίδι κτεύθυνση Μηδενικό διάνυσμ: Ως τέτοιο ορίζουμε το διάνυσμ που προέρχετι πό έν προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ μηδενικού μέτρου Δηλ το AA ορίζει το μηδενικό διάνυσμ, του οποίου φορές είνι οποιδήποτε ευθεί κι το οποίο δεν έχει κτεύθυνση Τ δινύσμτ τ συμβολίζουμε κι με μικρά γράμμτ βάζοντς έν βέλος πό πάνω τους, πχ, β κτλ Το μηδενικό διάνυσμ το συμβολίζουμε με 0 wwwprotogr

3 Πρόσθεση δινυσμάτων Εάν ώστε, β είνι δύο δινύσμτ, τότε μπορούμε ν βρούμε σημεί Α, Β, Γ, Δ έτσι, AB κι β ΓΔ Ως άθροισμ β ορίζουμε το εξής διάνυσμ: (ε ) B B A Γ (ε ) Δ σχήμ 5 Από το Β φέρνουμε ευθεί πράλληλη στην (ε ), έστω την (ε ) Πίρνουμε το Β στην (ε ) έτσι, ώστε BB ΓΔ Τότε β AB Μπορούμε ν ποδείξουμε (άσκηση) ότι το τ σημεί Α, Β, Γ, Δ Γι το άθροισμ ισχύουν οι ιδιότητες: β β β γ β γ 0 β, όπως το ορίσμε δεν εξρτάτι πό Εάν δοθέντος του δινύσμτος με AB BA 0 Το διάνυσμ ΒΑ το συμβολίζουμε με - κι το κλούμε AB, θεωρήσουμε το BA θ έχουμε: Α ντίθετο του Δηλ δύο δινύσμτ είνι ντίθετ νν έχουν: ίδι μέτρ, ίδι διεύθυνση κι ντίθετη κτεύθυνση Τώρ, μπορούμε εύκολ ν ορίσουμε την φίρεση δύο δινυσμάτων ως εξής: β β Μι βσική ιδιότητ των δινυσμάτων είνι η κόλουθη: Εάν ΑΒ = ΓΔ, τότε ΑΓ = ΒΔ κι ΔΒ = ΓΑ Β σχήμ 6 Μι πόδειξη μπορεί ν γίνει σχημτικά Α Β Α Β Γ Δ σχήμ 7 Γ Δ σχήμ 8 wwwprotogr

4 (θυμηθείτε τις ιδιότητες του πρλληλογράμμου) ή λγεβρικά, ως εξής: Έχουμε: ΑΔ = ΑΓ + ΓΔ κι ΑΔ = ΑΒ + ΒΔ Αφού δε είνι ΑΒ = ΓΔ, προκύπτει ΑΓ = ΒΔ Έστω τώρ δύο δινύσμτ, β Ισχύει: Απόδειξη: β β β Υποθέτουμε ότι τ δινύσμτ, β είνι μη μηδενικά, διότι διφορετικά η πόδειξη είνι εύκολη β Εάν τ, β δεν έχουν την ίδι διεύθυνση, τότε τ δινύσμτ, β, + β σχημτίζουν έν τρίγωνο στο οποίο εφρμόζουμε την τριγωνική νισότητ κι πίρνουμε τη ζητούμενη σχέση β Εάν τ, β έχουν την ίδι διεύθυνση, τότε έχουμε τις επόμενες δύο περιπτώσεις: ) τ δύο δινύσμτ είνι ομόρροπ οπότε κι β β β σχήμ 9 β β σχήμ 0 β) τ δινύσμτ είνι ντίρροπ οπότε β β β β β σχήμ wwwprotogr

5 Πολλπλσισμός ριθμού επί διάνυσμ Έστω έν διάνυσμ κι ς είνι λ ένς πργμτικός ριθμός Εάν = 0 ή λ = 0, ορίζουμε λ = 0 Εάν 0 κι λ > 0, τότε ως λ ορίζουμε έν διάνυσμ ομόρροπο με το κι μέτρου λ Εάν 0 κι λ < 0, τότε ως λ ορίζουμε έν διάνυσμ ντίρροπο με το κι μέτρου λ Είνι φνερό ότι εάν λr κι διάνυσμ, τότε λ λ, όπου λ η πόλυτη τιμή του λ Ιδιότητες Εάν, β είνι δινύσμτ κι λ, μ είνι πργμτικοί ριθμοί, τότε ισχύουν: λ( + β) = λ + λβ (λ + μ) = λ + μ (λ μ) = λ ( μ ) Πράλληλ δινύσμτ Έστω τ δινύσμτ, β Θ λέμε ότι υτά είνι πράλληλ κι θ γράφουμε // β, νν τ δύο δινύσμτ έχουν την ίδι διεύθυνση (δηλ οι φορείς τους είνι ευθείες πράλληλες) Ειδικότερ, εάν // β κι τ, β είνι ομόρροπ, γράφουμε β, ενώ εάν // β κι τ, β είνι ντίρροπ, γράφουμε β Από τον ορισμό του πολλπλσισμού ριθμού επί διάνυσμ, προκύπτει ότι // λ κι μάλιστ λ, ότν λ > 0 κι λ, ότν λ < 0 wwwprotogr

6 Μπορούμε ν ποδείξουμε κι το ντίστροφο, δηλ κι Θ ποδείξουμε το δεύτερο εάν β, τότε είνι = εάν β, τότε είνι = λ β γι κάποιον λ > 0 λ β γι κάποιον λ < 0 Αφού τ, β είνι ντίρροπ, μπορούμε ν βρούμε σημεί Α, Β, Γ έτσι, ώστε: = ΑΒ Έχουμε: κι β = ΒΓ Α Γ Β σχήμ AB AB BΓ ΓΒ διότι τ δινύσμτ AB ΑΒ κι ΓΒ BΓ έχουν την ίδι κτεύθυνση κι το ίδιο μέτρο Άρ = ΑΒ = AB ΒΓ = - λβ BΓ, όπου AB λ BΓ wwwprotogr

7 Μεθοδολογικά σχόλι ) Έστω τ διφορετικά νά δύο σημεί Α, Β, Γ Αυτά είνι συνευθεικά ν κι μόνο ν υπάρχει λ 0, ώστε AB λ AΓ Η τελευτί σχέση μπορεί ν ντικτστθεί με οποιδήποτε στην οποί εμφνίζοντι κι τ τρί σημεί, με μόνο έν πό υτά ν εμφνίζετι δύο φορές κι σε διφορετικό μέλος Γι πράδειγμ BΓ λ BA ή ΓA λ BΓ ) Όπως είδμε στην πόδειξη της β β, υτή είνιι γνήσι νισότητ ότν 0, β 0 κι τ, β δεν είνι πράλληλ Θ ποδείξουμε ότι: εάν,β 0 τότε β β λ β, με λ > 0 Η κτεύθυνση () είνι εύκολη διότι: εάν λ β με λ > 0, τότε λ β λ β λ β β β β, όπου χρησιμοποιήσμε το ότι λ, λ + > 0 Θ ποδείξουμε τώρ την κτεύθυνση () Αφού ισχύει β β, τ, β είνι πράλληλ, διότι ν δεν ήτν θ είχμε β β Άρ λ β με λr, λ 0 Αντικθιστώντς, έχουμε: λ β λ β β (Προσέξτε ότι λ είνι η πόλυτη τιμή του λ κι β είνι το μέτρο του β ) Η τελευτί δίνει λ β λ β, οπότε λ = λ Από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι λ > 0 κι η πόδειξη ολοκληρώνετι Μπορούμε λοιπόν ν συμπεράνουμε ότι β β β 3) Έν νάλογο ποτέλεσμ με το προηγούμενο είνι η ισοδυνμί β β β, της οποίς η πόδειξη βσίζετι στο προηγούμενο σχόλιο wwwprotogr

8 Δίχως βλάβη της γενικότητς, υποθέτουμε ότι β Η ισότητ β β γίνετι δηλ Η τελευτί ισότητ γράφετι: Χρησιμοποιώντς το () με το πίρνουμε: Άρ λ β β β, β β β β β β β στη θέση του κι με το β στη θέση του β, β λ β, λ > 0, με (λ + ) < 0 κι συνεπώς β Έστω τώρ ότι β Τότε υπάρχει λ < 0, με λ β κι έχουμε: β = λ β β = λ β = λ β Επειδή είνι λ < 0, έχουμε ότι λ λ (γιτί;), άρ λ β λ β β β β wwwprotogr

9 Γωνί δινυσμάτων Ας είνι, β δύο μη μηδενικά δινύσμτ Μπορούμε ν βρούμε σημεί Ο, Α, Β τέτοι, ώστε = ΟΑ κι β = ΟΒ Τ ευθύγρμμ τμήμτ ΟΑ, ΟΒ ορίζουν μι κυρτή κι μι μη κυρτή γωνί Την κυρτή γωνί θ την κλούμε γωνί των δινυσμάτων, β Α θ Ο Β Είνι φνερό ότι 0 θ π σχήμ 3 Επίσης, εάν είνι θ = 0 τότε β, ενώ εάν είνι θ = π τότε β π Στην περίπτωση που είνι θ, λέμε πως τ, β είνι κάθετ ή ορθογώνι κι γράφουμε β Στην ειδική περίπτωση που είνι 0 κι β 0 τότε ως γωνί των δύο δινυσμάτων ορίζουμε οποιδήποτε γωνί θ με 0 θ π Είνι φνερό ότι το μηδενικό διάνυσμ είνι κθετο σε οποιοδήποτε άλλο διάνυσμ, ομόρροπο με οποιοδήποτε άλλο διάνυσμ κι ντίρροπο με οποιοδήποτε διάνυσμ επίσης Διάνυσμ θέσης Έστω Ο έν στθερό σημείο στο χώρο (Δεν το έχουμε τονίσει, μ ως τώρ εργζόμστε στο χώρο Το πράπονο που ενδεχομένως εκφράζετε λοιπόν γι το ότι δεν έχετε διδχθεί στερεομετρί, μάλλον στο πιδγωγικό ινστιτούτο πρέπει ν πευθυνθεί Πέρ πό την στειότητ, δε χάνετε τίποτ ν θεωρήσετε ότι εργζόμστε επί του επιπέδου) Γι κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζετι το διάνυσμ που λέγετι διάνυσμ θέσης του σημείου Μ ή κι δινυσμτική κτίν του Μ, ενώ το στθερό σημείο Ο λέγετι σημείο νφοράς Το γεγονός ότι νν Μ Μ μς πληροφορεί ότι ν στθεροποιήσουμε έν σημείο (το Ο), τότε σε κάθε σημείο Μ ντιστοιχεί έν διάνυσμ ΟΜ κι ντιστρόφως, γι κάθε διάνυσμ υπάρχει μονδικό σημείο Μ με ΟΜ = Εάν τώρ θεωρήσουμε το τυχίο διάνυσμ ΑΒ, τότε ΟΑ + ΑΒ = ΟΒ (βλ πρόσθεση δινυσμάτων) κι συνεπώς ΑΒ = ΟΒ = ΟΑ wwwprotogr

0 Άρ κάθε διάνυσμ ΑΒ ισούτι με τη δινυσμτική κτίν ΟΒ του πέρτος μείον τη δινυσμτική κτίν ΟΑ της ρχής Το τελευτίο υτό συμπέρσμ είνι χρήσιμο στην επίλυση σκήσεων wwwprotogr

Συντετγμένες στο επίπεδο Στο επίπεδο, θεωρούμε δύο κάθετες ευθείες κι y y που τέμνοντι στο σημείο Ο Στην ημιευθεί Ο πίρνουμε σημείο Α με OA = κι στην ημιευθεί Οy πίρνουμε σημείο Β με OB =, ενώ θέτουμε κι j OB i OA Λέμε ότι έχουμε έν ορθοκνονικό σύστημ συντετγμένων ή έν κρτεσινό επίπεδο y B O A y σχήμ 4 Έστω το τυχίο σημείο Μ του κρτεσινού επιπέδου κι Μ, Μ οι προβολές του Μ στις ευθείες κι y y ντίστοιχ Επειδή τ δινύσμτ OM κι i έχουν την ίδι διεύθυνση θ υπάρχει ριθμός τέτοιος ώστε OM i κι ομοίως, υπάρχει ριθμός y τέτοιος ώστε OM y j Ο κλείτι τετμημένη του Μ, ο y κλείτι τετγμένη του Μ, ενώ οι, y μζί κλούντι συντετγμένες του Μ Γράφουμε Μ(,y) y M M B O A M y σχήμ 5 Είνι τότε φνερό ότι OM OM OM, άρ OM i y j Αντιστρόφως, εάν είνι έν διάνυσμ του κρτεσινού επιπέδου, τότε μπορούμε ν βρούμε σημείο Μ με OM i y j, όπου (,y) είνι οι συντετγμένες του Μ Λέμε ότι το διάνυσμ έχει συντετγμένες (,y) (τετμημένη κι τετγμένη y) κι γράφουμε, y wwwprotogr

Συντετγμένες γρμμικού συνδυσμού δινυσμάτων Έστω τ δινύσμτ,,, y β κι ο λr Τότε y i y j i y j i y y j β κι i λ y j λ i λ y j λ λ Μ άλλ λόγι, εάν τ δινύσμτ κι β έχουν συντετγμένες, y, y ντίστοιχ, τότε το άθροισμ β έχει συντετγμένες, y y ενώ το διάνυσμ λ έχει συντετγμένες λ, λ Μπορούμε επομένως ν γράψουμε, y κι y,, y y y λ, λ, λ y y Προσέξτε ότι εάν οι λ, μ είνι πργμτικοί ριθμοί, τότε λ, y μ, y λ, λ y μ,μ y λ κι, μ, λ y μ y Συντετγμένες δινύσμτος με γνωστά άκρ Σ έν σύστημ συντετγμένων θεωρούμε τ, B, σημεί A κι y y Γνωρίζουμε ότι AB OB OA, άρ κτά τ όσ είπμε πριν, έχουμε AB, y y O y A(,y ) σχήμ 6 B(,y ) Συντετγμένες του μέσου ευθυγράμμου τμήμτος με γνωστά άκρ Έστω A,,, y B σημεί του επιπέδου Oy κι λ ένς πργμτικός y ριθμός Εάν Γ(,y) είνι σημείο του επιπέδου τέτοιο, ώστε AΓ λ AB, τότε, y y λ, y y, οπότε λ<0 Γ Α Β λ κι y y λ y y 0<λ< Α Γ Β Στο διπλνό σχήμ ποδίδοντι οι θέσεις του Γ σχετικά με τ Α, Β γι τις διάφορες λ> Α Β Γ τιμές του λ wwwprotogr σχήμ 7

3 Στην ειδική περίπτωση που είνι λ = ½, το Γ συμπίπτει με το μέσο του ΑΒ κι y y, y y y y Μέτρο δινύσμτος Έστω διάνυσμ με συντετγμένες (,y) κι σημείο Α με OA Αφού είνι i y j, εφρμόζοντς το πυθγόρειο θεώρημ, πίρνουμε: OA OA OA y y Α Ο Α Α σχήμ 8 Άρ εάν,y, τότε y Γενικότερ, εάν A,, B,, τότε AB, y y AB y κι y y y Συνθήκη πρλληλίς δινυσμάτων Θεωρούμε τ δινύσμτ, κι, β κι έστω ότι // β y y y y Εάν β 0 τότε y 0 κι 0 y 0 0 Εάν β 0, τότε υπάρχει ριθμός λ με λ β, οπότε λ κι y λ y Τότε y y y λ y λ y 0 y Αποδείξμε δηλ ότι εάν τ δινύσμτ, κι, y β είνι y y πράλληλ, τότε 0 κι με λίγο κόπο μπορούμε ν ποδείξουμε κι το y ντίστροφο, δηλ ότι εάν, y κι β, y με y y 0, τότε // β Τον ριθμό y y που συνντήσμε, τον συμβολίζουμε με det,β Δείξμε λοιπόν ότι //β det,β = 0 Συντελεστής διεύθυνσης δινύσμτος φ Ο wwwprotogr Α( 0,y 0) σχήμ 9

4 Έστω το διάνυσμ κι το σημείο Α( 0,y 0) ενός συστήμτος συντετγμένων Oy τέτοιο, ώστε OA Εάν οι ημιευθείες Ο κι ΟΑ σχημτίζουν μι γωνί φ με 0 φ π, τότε τον y0 ριθμό λ εφφ τον ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης του δινύσμτος 0 π 3π Είνι φνερό πως εάν φ ή (ισοδύνμ 0 = 0) τότε δεν ορίζετι εφπτομένη κι δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης Ας είνι τώρ, κι, y κι λ ντίστοιχ Θ είνι 0 κι 0 κι //β β δινύσμτ με συντελεστές διεύθυνσης λ y y y y 0 y y λ λ y Άρ: γι τ δινύσμτ ισοδυνμί, β με συντελεστές διεύθυνσης λ κι λ ντίστοιχ, ισχύει η //β λ λ wwwprotogr

5 Εσωτερικό γινόμενο Έστω δύο δινύσμτ, β Ορίζουμε ως εσωτερικό γινόμενο των δινυσμάτων υτών τον ριθμό 0 εάν τουλάχιστον έν είνι το μηδενικό διάνυσμ κι τον ριθμό β β συνφ ότν κνέν δεν είνι το μηδενικό διάνυσμ, όπου φ είνι η γωνί των Έστω πως δίνοντι τ δινύσμτ, κι, y y συντετγμένων, τ σημεί Α κι Β με OA κι OB β Εφρμόζοντς το νόμο των συνημίτονων στο τρίγωνο ΑΟΒ, έχουμε: AB όπου φ είνι η γωνί των OA κι OB Όμως είνι AB OA OB y y, y, y OA OB OA OB συνφ, κι ντικθιστώντς στην [], μετά τις πράξεις πίρνουμε: y y β, β β κι, σ έν σύστημ [] Γωνί δύο δινυσμάτων Έστω τ μη μηδενικά δινύσμτ, κι, y Από τον τύπο β y y, προκύπτει ότι συνφ β β συνφ y y y y β κι φ η γωνί τους y Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου β β, β γ β γ, 3 β β β, 4 β β β, 5 β β 0, wwwprotogr

6 6, 7 εάν, κι, y β δινύσμτ με συντελεστές διεύθυνσης λ κι λ y ντίστοιχ, τότε y y β β 0 y y 0 λ λ β 8 Από την συνφ κι π το γεγονός ότι συνφ, προκύπτει ότι β β β Επίσης έχουμε κι β β β - β β β wwwprotogr