ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ (ΛΕΡ) ΚΕΦΛΙΟ 1ο λγεικές Πστάσεις. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πγμτικό κι εκθέτη το φυσικό ν1; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ιθμό κι εκθέτη το φυσικό ν 1, το γινόμενο πό ν πάγοντες ίσους με. ηλδή, ν ν πάγοντες Οίζουμε κόμη: 1 0 1 με 0 ν 1 με 0 κι ν 1,, 3,.. ν. Ποιες είνι οι ιδιότητές των δυνάμεων με άση πγμτικό κι εκθέτη κέιο ; ι δυνάμεις, με εκθέτες γενικά κέιους ιθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:. δ. μ ν μ+ν. ν ν ν ε. μ ν μ ν ν ν γ. ν ν () ν μ στ. ν μν Οι ιδιότητες υτές ισχύουν με την ποϋπόθεση ότι κάθε φοά οίζοντι οι δυνάμεις κι οι πάξεις που σημειώνοντι. 3. Τι ονομάζετι τετγωνική ίζ θετικού ιθμού ; Ονομάζετι τετγωνική ίζ ενός θετικού ιθμού κι συμολίζετι με ο θετικός ιθμός x που, ότν υψωθεί στο τετάγωνο, μς δίνει τον ιθμό. Επομένως : x ν κι μόνο ν x x, 0 4. Ποιες είνι οι ιδιότητές των ιζών; Οίζουμε κόμη 0 0 πό τον οισμό τις τετγωνικής ίζς ενός ιθμού 0 έχουμε ι κάθε πγμτικό ιθμό ισχύει Aν 0 κι 0, τότε Aν 0 κι 0, τότε Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 1
5. Aν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, πόδειξη Είνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη νητικοί ιθμοί τότε. Έτσι: που ισχύει. 6. Aν 0 κι > 0 ν ποδείξετε ότι, πόδειξη Είνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη νητικοί ιθμοί τότε, Έτσι:, που ισχύει.. 1. 7. Τι ονομάζετι λγεική πάστση; Ονομάζετι λγεική πάστση κάθε έκφση που συνδυάζει πάξεις μετξύ ιθμών κι μετλητών. 8. Τι ονομάζετι ιθμητική τιμή λγεικής πάστσης; Ονομάζετι ιθμητική τιμή λγεικής πάστσης ο ιθμός που θ ποκύψει ν ντικτστήσουμε τις μετλητές της με ιθμούς κι εκτελέσουμε τις πάξεις. 9. Πότε μι λγεική πάστση ονομάζετι κέι; Μι λγεική πάστση ονομάζετι κέι, ότν μετξύ των μετλητών της σημειώνοντι μόνο οι πάξεις της πόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι οι εκθέτες των μετλητών της είνι φυσικοί ιθμοί. 10. Τι ονομάζετι μονώνυμο κι ποι τ μέη πό τ οποί ποτελείτι; Ονομάζετι μονώνυμο μι λγεική πάστση στην οποί σημειώνετι μόνο η πάξη του πολλπλσισμού μετξύ ιθμού κι μις ή πεισσοτέων μετλητών. Σε έν μονώνυμο ο ιθμητικός πάγοντς που γάφετι πώτος ονομάζετι συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μετλητών ονομάζετι κύιο μέος του μονωνύμου. Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ
11. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι όμοι; Ονομάζοντι όμοι δύο ή πεισσότε μονώνυμ που έχουν το ίδιο κύιο μέος. 1. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι ίσ κι ποι ντίθετ; Ονομάζοντι ίσ δύο μονώνυμ που έχουν τον ίδιο συντελεστή κι το ίδιο κύιο μέος. Ονομάζοντι ντίθετ δύο μονώνυμ που έχουν ντίθετο συντελεστή κι το ίδιο κύιο μέος. 13. Τι ονομάζετι θμός μονωνύμου ως πος μί μετλητή του; Ονομάζετι θμός μονωνύμου ως πος μί μετλητή του ο εκθέτης της μετλητής υτής. 14. Τι ονομάζουμε στθεό κι τι μηδενικό μονώνυμο κι ποιος ο θμός τους; Ονομάζουμε στθεό μονωνύμο κάθε ιθμό κι μηδενικό μονώνυμο τον ιθμό 0. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει θμό ενώ όλ τ άλλ στθεά μονώνυμ είνι μηδενικού θμού. 15. Πως οίζετι το άθοισμ ομοίων μονωνύμων; Το άθοισμ ομοίων μονωνύμων είνι έν μονώνυμο όμοιο με υτά που έχει συντελεστή το άθοισμ των συντελεστών τους. 16. Τι ονομάζετι νγωγή ομοίων όων; Ονομάζετι νγωγή ομοίων όων η πόσθεση ομοίων μονωνύμων. 17. Πως οίζετι το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είνι έν μονώνυμο με συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους κι κύιο μέος γινόμενο όλων των μετλητών τους με εκθέτη κάθε μετλητής το άθοισμ των εκθετών της.. 1. 3 18. Τι ονομάζετι πολυώνυμο; Ονομάζετι πολυώνυμο έν άθοισμ μονωνύμων που δεν είνι όμοι. 19. Τι ονομάζετι θμός ενός πολυωνύμου ως πος μί μετλητή του; Ονομάζετι θμός ενός πολυωνύμου ως πος μί μετλητή του ο μεγλύτεος πό τους θμούς των όων του ως πος την μετλητή υτή. 0. Τι ονομάζουμε στθεό κι τι μηδενικό πολυώνυμο κι ποιος ο θμός τους; Ονομάζουμε στθεό πολυώνυμο κάθε ιθμό κι μηδενικό πολυώνυμο τον ιθμό 0. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει θμό ενώ όλ τ άλλ στθεά πολυώνυμ είνι μηδενικού θμού. Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 3
. 1. 4 1. Πως πολλπλσιάζουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο ;. Πολυώνυμο με πολυώνυμο ; ι ν πολλπλσιάσουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όο του πολυωνύμου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όων.. Πολυώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε κάθε όο του ενός πολυωνύμου με κάθε όο του άλλου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όων.. 1. 5. Τι ονομάζετι τυτότητ; Ονομάζετι τυτότητ κάθε ισότητ που πειέχει μετλητές κι επληθεύετι γι κάθε τιμή των μετλητών υτών. 3. Ν ποδείξετε τις τυτότητες: i. ( +) + + ii. ( ) + iii. ( + ) 3 3 + 3 + 3 + 3 iv. ( ) 3 3 3 + 3 3 v. ( )( + ) vi. 3 3 ( )( + + ) vii. 3 + 3 ( + )( + ) πόδειξη i. ( + ) ( + ) ( + ) + + + + + ii. ( ) ( )( ) + + iii. ( + ) 3 ( + ) ( + ) ( + + )( + ) 3 + + + + + 3 3 + 3 + 3 + 3 iv. ( ) 3 ( ) ( ) ( + )( ) 3 + + 3 3 3 + 3 3 v. ( )( + ) + vi. ( )( + + ) 3 + + 3 3 3 vii. ( + )( + ) 3 + + + 3 3 + 3 Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 4
. 1. 6 4. Τι ονομάζετι πγοντοποίηση; Ονομάζετι πγοντοποίηση ενός πολυωνύμου ή γενικότε μις λγεικής πάστσης η διδικσί μεττοπής της πάστσης σε γινόμενο. 5. Ποιες είνι οι χκτηιστικές πειπτώσεις πγοντοποίησης; κοινός πάγοντς Ότν όλοι οι όοι μις πάστσης έχουν κοινό πάγοντ, τότε η πάστση μεττέπετι σε γινόμενο πγόντων σύμφων με την επιμειστική ιδιότητ. ομδοποίηση Ότν όλοι οι όοι του πολυωνύμου δεν έχουν κοινό πάγοντ, τους χωίζουμε σε ομάδες έτσι ώστε: Κάθε ομάδ που δημιουγούμε ν έχει κοινό πάγοντ, Οι πστάσεις που μένουν μετά την εξγωγή του κοινού πάγοντ ν είνι ίδιες διφοά τετγώνων Η μέθοδος υτή πγοντοποίησης στηίζετι στην τυτότητ ( )( + ), στην οποί ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττέπουμε μι διφοά δύο τελείων τετγώνων σε γινόμενο. άθοισμ ή διφοά κύων Η πγοντοποίηση του θοίσμτος ή της διφοάς δύο κύων σίζετι στις δύο γνωστές μς τυτότητες: ( )( + + ) 3 3 ( + )( + ) 3 + 3 Σε κάθε μι πό τις οποίες ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττέπουμε τη διφοά ή το άθοισμ δύο κύων σε γινόμενο. + γ δ ( + γ δ) + γ δ δγ ( + γ) δ( + γ) ( + γ )( δ ) ( )( + ) 3 3 ( )( + + ) 3 + 3 ( + )( + ) Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 5
νάπτυγμ τετγώνου ν το πολυώνυμο είνι τιώνυμο κι έχει ή μποεί ν πάει τη μοφή: + + ή +, + + ( + ) τότε θ γίνει ντίστοιχ ( + ) ή ( ), + ( ) που είνι γινόμεν πγόντων φού : ( + ) ( + )( + ) κι ( ) ( )( ) Πγοντοποιήση τιωνύμου της μοφής x + ( + )x + ν το πολυώνυμο είνι τιώνυμο κι έχει τη μοφή x + ( + )x + έχουμε: x + ( + )x + x + x + x + Ομδοποίηση x + ( + )x + (x + )(x + ) x(x + ) + (x + ) Κοινός πάγοντς (x + )(x + ). 1. 7 6. Πως οίζετι η διίεση δύο Πολυωνύμων; (εκτός ύλης) Η διίεση δύο Πολυωνύμων είνι η διδικσί εκείνη κτά την οποί μς δίνοντι δύο πολυώνυμ (x) (διιετέος) κι δ(x) (διιέτης) με δ(x)0 κι ίσκουμε έν μονδικό ζεύγος πολυωνύμων π(x) (πηλίκο) κι υ(x) (υπόλοιπο), γι τ οποί ισχύει: (x) δ(x) π(x) + υ(x) (Τυτότητ Ευκλείδεις διίεσης) Το υ (x) είνι ίσο με μηδέν οπότε η διίεση λέγετι τέλει κι το δ(x) είνι πάγοντς του (x) ή έχει θμό μικότεο πό το θμό του δ(x).. 1. 8 7. Τι ονομάζετι Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε.Κ.Π.) κι τι Μέγιστος Κοινός ιιέτης (Μ.Κ..) δύο ή πεισσοτέων λγεικών πστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πώτων πγόντων; Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή πεισσοτέων λγεικών πστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πώτων πγόντων ονομάζετι, το γινόμενο των κοινών κι μη κοινών πγόντων τους με εκθέτη κθενός το μεγλύτεο πό τους εκθέτες του. Μέγιστος Κοινός ιιέτης (Μ.Κ..) δύο ή πεισσοτέων λγεικών πστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πώτων πγόντων ονομάζετι, το γινόμενο των κοινών πγόντων τους με εκθέτη κθενός το μικότεο πό τους εκθέτες του. Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 6
. 1. 9 8. Πότε μι λγεική πάστση ονομάζετι ητή; Μι λγεική πάστση ονομάζετι ητή ότν είνι κλάσμ με όους πολυώνυμ. 9. Πότε μι λγεική πάστση οίζετι; Μι λγεική πάστση οίζετι γι όλες τις τιμές των μετλητών που πειέχει εκτός π υτές που μηδενίζουν τον πνομστή φού όπως γνωίζουμε δεν οίζετι κλάσμ με πονομστή μηδέν. 30. Πότε μι ητή λγεική πάστση μποεί ν πλοποιηθεί; Όπως μι ιθμητική πάστση, έτσι κι μι ητή πάστση, μποεί ν πλοποιηθεί, ν ο ιθμητής κι ο πονομστής της είνι γινόμεν κι έχουν κοινό πάγοντ.. 1. 10 31. Πως κάνουμε πάξεις με ητές λγεικές πστάσεις; ι ν κάνουμε πάξεις με ητές λγεικές πστάσεις κολουθούμε τους κνόνες που ισχύουν γι τις πάξεις των κλσμάτων. ηλδή: + γ + γ κι γ - γ + γ δ δ + γ δ κι γ δ δ - γ δ δ0 γ δ γ δ κι : γ δ δ γ δ γ γδ0 γ δ : γ δ δ γ δ γ γδ0 ΚΕΦΛΙΟ ο Εξισώσεις νισώσεις.. 1 3. Τι ονομάζετι εξίσωση 1 ου θμού με ένν άγνωστο; Ονομάζετι εξίσωση 1 ου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μοφής x + 0 με 0. Ο λέγετι συντελεστής του γνώστου κι ο στθεός ( ή γνωστός ) όος. Ρίζ της εξίσωσης ονομάζετι ο ιθμός που ν ντικτστήσει τον χ στην εξίσωση ποκύπτει ισότητ που ληθεύει. Επίλυση μις εξίσωσης πώτου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ίσκουμε τη λύση της. Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 7
33. Πότε η εξίσωση x + 0 έχει μί λύση πότε είνι δύντη κι πότε όιστη; ν 0, η εξίσωση x + Ο έχει μονδική λύση την x ν 0, κι 0 η εξίσωση x + 0 γάφετι 0x κι δεν έχει λύση (δύντη), ν 0, κι 0, η εξίσωση x + 0 γάφετι 0x 0 οπότε κάθε ιθμός είνι λύση.. της (τυτότητ ή όιστη). 34. Τι ονομάζετι εξίσωση ου θμού, με ένν άγνωστο ; Ονομάζετι εξίσωση δευτέου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μοφής x + x + γ 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς κι 0. Οι ιθμοί κι ονομάζοντι συντελεστές του δευτεοθμίου κι πωτοθμίου όου ντίστοιχ κι ο ιθμός γ στθεός όος. Επίλυση μις εξίσωσης δευτέου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ίσκουμε τις τιμές του x που την επληθεύουν. 35. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύση της δευτεοάθμις εξίσωσης x + x +γ 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς κι 0. πόδειξη (εκτός ύλης) ι την πόδειξη του τύπου υτού θ εφμόσουμε την μέθοδο «συμπλήωσης τετγώνου» ι την εξίσωση λοιπόν x + x + γ 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς κι 0 έχουμε διδοχικά: x + x + γ 0 4 x + 4x + 4γ 0 [Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με 4] 4 x + 4x 4γ [Μετφέουμε το στθεό όο στο μέλος] 4 x + 4x + 4γ [Ποσθέτουμε κι στ δύο μέλη της ισότητς το ] (x) + x + 4γ [Στο μέλος έχουμε το νάπτυγμ του (χ + ) ] (χ + ) 4γ Την πάστση 4γ ονομάζουμε δικίνουσ κι την συμολίζουμε με οπότε η εξίσωση (χ + ) 4γ γάφετι (χ + ) (i) ν 0 πό την (i) έχουμε: (χ + ) x + x ± x Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 8
ν 0 ή εξίσωση είνι δύντη φού είνι δύντον ν ισχύει η εξίσωση ( I ) Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης x + x + γ 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς ± κι 0 δίδοντι πό τον τύπο x κι υπάχουν μόνο εφ όσον 0 36. Πότε μί εξίσωση δευτέου θμού:. έχει δύο άνισες ίζες;. έχει μι διπλή ίζ ; γ. δεν έχει ίζες; Η εξίσωση χ + χ + γ 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς, 0 κι δικίνουσ 4γ:. έχει δύο ίζες άνισες που δίνοντι πό τον τύπο x ±, ότν 0. έχει δύο ίζες ίσες που δίνοντι πό τον τύπο x γ. δεν έχει ίζες, ότν 0, ότν 0 37. Πως πγοντοποιείτι το τιώνυμο x + x + γ ότν η εξίσωση x + x + γ 0 με 0 έχει λύσεις τις 1, ; ν 1, είνι λύσεις της εξίσωσης x + x + γ 0 με 0 το τιώνυμο x + x + γ πγοντοποιείτι σύμφων με τον τύπο: x + x + γ (x 1 )( x ).. 4 38. Τι ονομάζετι κλσμτική εξίσωση κι πότε οίζετι υτή; Ονομάζετι κλσμτική εξίσωση, κάθε εξίσωση που πειέχει άγνωστο στον πνομστή. ι ν οίζετι μι κλσμτική εξίσωση, πέπει οι πνομστές των κλσμάτων της ν είνι διάφοοι του μηδενός... 5 39. Πως συγκίνουμε (διτάσουμε) δύο πγμτικούς ιθμούς; ν οι κι είνι δύο πγμτικοί ιθμοί τότε: Λέμε ότι ο είνι μεγλύτεος του κι το συμολίζουμε, ότν 0. Λέμε ότι ο είνι μικότεος του κι το συμολίζουμε, ότν 0. Λέμε ότι ο είνι ίσος με τον κι το συμολίζουμε, ότν 0. ντίστοφ ν 0, τότε ο είνι μεγλύτεος του. ν 0, τότε ο είνι μικότεο του. ν 0, τότε ο είνι ίσος με τον. Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 9
40. Τι ονομάζετι νισότητ κι ποι τ χκτηιστικά της; Η σχέση της μοφής ( ή ) ονομάζετι νισότητ με μέλη, πώτο κι δεύτεο, τ κι ( ή τ κι ) ντίστοιχ. Οι νισότητες κι γ δ ( ή κι γ δ ) λέγοντι ομοιόστοφες ( έχουν την ίδι φοά ) Οι νισότητες κι γ δ ( ή κι γ δ ) λέγοντι ετεόστοφες ( έχουν ντίθετη φοά ) ι ν δηλώσουμε ότι ένς ιθμός είνι τυτόχον μεγλύτεος του x κι μικότεος του, γάφουμε τη «διπλή» νισότητ x. ι ν δηλώσουμε ότι ένς ιθμός x είνι μεγλύτεος ή ίσος με τον ιθμό, γάφουμε x. 41. Ποιες είνι οι ιδιότητες της διάτξης; ν ποσθέσουμε κι στ δύο μέλη μις νισότητς τον ίδιο ιθμό, ποκύπτει νισότητ της ίδις φοάς. ηλδή ν, τότε + γ + γ. ν ποσθέσουμε κτά μέλη δύο ή πεισσότεες νισότητες της ίδις φοάς, ποκύπτει νισότητ της ίδις φοάς. ηλδή ν κι γ δ, τότε + γ + δ. ν πολλπλσιάσουμε ή διιέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο θετικό ιθμό, ποκύπτει νισότητ της ίδις φοάς. ηλδή ν κι γ 0, τότε γ γ κι γ γ. ν πολλπλσιάσουμε ή διιέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο νητικό ιθμό, ποκύπτει νισότητ ντίθετης φοάς. ηλδή ν κι γ 0, τότε γ γ κι γ γ. ν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη δύο νισότητες που έχουν την ίδι φοά κι θετικά μέλη ποκύπτει νισότητ με την ίδι φοά. ηλδή ν,, γ, δ θετικοί πγμτικοί ιθμοί με κι γ δ τότε γ δ Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 10
ΚΕΦΛΙΟ 3ο Συστήμτ μμικών Εξισώσεων. 3. 1 4. Τι ονομάζετι γμμική εξίσωση με δύο γνώστους κι τι λύση της; Ονομάζετι γμμική εξίσωση με δύο γνώστους κάθε εξίσωση της μοφής x + γ. Λύση της γμμική εξίσωση x + γ ονομάζετι κάθε ζεύγος ιθμών (x, ) που την επληθεύει. 43. Πως πιστάνετι γφικά κάθε εξίσωση της μοφής x + γ με 0 ή 0 κι τι ισχύει γι υτή; Κάθε εξίσωση της μοφής x + γ με 0 ή 0 πιστάνετι γφικά με μι ευθεί ε έτσι ώστε: ν έν σημείο νήκει στην ευθεί, ε οι συντετγμένες του επληθεύουν την εξίσωση x + γ. ν οι συντετγμένες ενός σημείου επληθεύουν την εξίσωση x + γ το σημείο - νήκει στην ευθεί ε. 44. Τι πιστάνουν οι εξισώσεις;. k με k 0. 0 γ. x k με k 0 δ. x 0. Η εξίσωση k με k 0 πιστάνει μι ευθεί που είνι πάλληλη στον άξον x x κι τέμνει τον άξον στο σημείο (0, k ). Η εξίσωση 0 πιστάνει τον άξον x x. γ. Η εξίσωση x k με k 0 πιστάνει μι ευθεί που είνι πάλληλη στον άξον κι τέμνει τον άξον x x στο σημείο (k, 0) δ. Η εξίσωση x 0 πιστάνει τον άξον. 45. Πως ίσκουμε τις τομές μις ευθείς x + γ με 0 κι 0 με τους άξονες x x κι ; Κάθε σημείο του x x έχει τετγμένη 0, οπότε κι το, σημείο τομής της x + γ με τον x x, θ έχει τετγμένη 0 κι τετμημένη x με x + 0 γ ή x γ ή x γ. Ά ( γ, 0) Κάθε σημείο του έχει τετμημένη 0, οπότε κι το B, σημείο τομής της x + γ με τον Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 11
, θ έχει τετμημένη x 0 κι τετγμένη με 0 + γ ή γ ή γ. Ά B(0, γ ). 3. 46. Τι ονομάζετι;. μμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι ;. Λύση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι ; γ. Επίλυση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι ;. Ονομάζετι γμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους έν σύστημ της x + γ μοφής, με έν τουλάχιστον πό τ,,, 0. x + γ. Ονομάζετι λύση του γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι κάθε ζεύγος (x 0, 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. γ. Ονομάζετι επίλυση του γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι η διδικσί που κολουθούμε γι ν ούμε κάθε ζεύγος (x 0, 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. 47. Πως γίνετι η γφική επίλυση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι κι πότε υτό έχει μί λύση, είνι δύντο, είνι όιστο; ι τη γφική επίλυση ενός γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημ ξόνων τις ευθείες που πιστάνουν τις εξισώσεις του συστήμτος κι: ν τέμνοντι το σύστημ έχει μί λύση τις συντετγμένες του κοινού τους σημείου. ν είνι πάλληλες δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε το σύστημ δεν έχει λύση κι λέμε ότι είνι δύντο. ν συμπίπτουν (τυτίζοντι) έχουν όλ τ σημεί τους κοινά κι επομένως το σύστημ έχει άπειες λύσεις κι λέμε ότι είνι όιστο. ΚΕΦΛΙΟ 4ο Συντήσεις. 4. 1 48. Τι γνωίζετι γι την συνάτηση x με 0; Η γφική πάστση της συνάτησης x με 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι πολή. Η πολή που είνι γφική πάστση της συνάτησης x με 0 έχει κουφή το σημείο Ο(0, 0) κι ίσκετι πό τον άξον x x κι πάνω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του x ισχύει 0. Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 1
Η συνάτηση x με 0 πίνει ελάχιστη τιμή 0, ότν x 0, ι ντίθετες τιμές του x ντιστοιχεί η ίδι τιμή του, που σημίνει ότι η πολή x με 0 έχει άξον συμμετίς τον άξον. Ότν η τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της πολή «κλείνει».. 4. 1 49. Τι γνωίζετι γι την συνάτηση x με 0; Η γφική πάστση της συνάτησης x με 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι πολή. Η πολή που είνι γφική πάστση της συνάτησης x με 0 έχει κουφή το σημείο Ο(0, 0) κι ίσκετι πό τον άξον x x κι κάτω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του x ισχύει 0. Η συνάτηση x με 0 πίνει μέγιστη τιμή 0, ότν x 0, ι ντίθετες τιμές του x ντιστοιχεί η ίδι τιμή του, που σημίνει ότι η πολή x με 0 έχει άξον συμμετίς τον άξον. Ότν η πόλυτη τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της πολή «κλείνει».. 4. 50. Ποι συνάτηση ονομάζετι τετγωνική; Ονομάζετι τετγωνική κάθε συνάτηση της μοφής x + x + γ με 0. 51. Τι γνωίζετι γι τη συνάτησης x + x + γ με 0; Η γφική πάστση της συνάτησης γ x + x + γ με 0 είνι πολή με: Κουφή το σημείο Κ(, 4 ) όπου 4γ Άξον συμμετίς την κτκόυφη ευθεί που διέχετι πό την κουφή Κ κι έχει εξίσωση x ν 0, η συνάτηση x + x + γ πίνει ελάχιστη τιμή 4 ότν x ν 0, η συνάτηση x + x + γ πίνει μέγιστη τιμή 4 ότν x Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 13
. 1. 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ (ΕΩΜΕΤΡΙ -ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙ) ΚΕΦΛΙΟ 1ο εωμετί 5. Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά σημεί τ οποί συνδέοντι με ευθύγμμ τμήμτ. Τ κύι στοιχεί ενός τιγώνου είνι, οι πλευές του κι οι γωνίες του Πλευές του τιγώνου ονομάζοντι τ ευθύγμμ τμήμτ που συνδέουν τις κουφές του. ωνίες του τιγώνου ονομάζοντι οι γωνίες που οίζοντι πό τις πλευές του. 53. Ποι είνι τ είδη των τιγώνων ως πος τις πλευές, κι ως πος τις γωνίες τους; Έν τίγωνο που εξετάζετι ως πος τις πλευές του λέγετι: σκληνό, ν οι πλευές του είνι άνισες, ισοσκελές, ν δύο πλευές του είνι ίσες, ισόπλευο, ν κι οι τεις πλευές του είνι ίσες. Έν τίγωνο που εξετάζετι ως πος τις γωνίες του λέγετι: οξυγώνιο, ν όλες του οι γωνίες είνι οξείες, οθογώνιο, ν μί γωνί του είνι οθή, μλυγώνιο, ν μί γωνί του είνι μλεί. A σκληνό οξυγώνιο γ A ισοσκελές A ισόπλευο οθογώνιο >90 54. Τι ονομάζετι διάμεσος, διχοτόμος, ύψος, τιγώνου. ιάμεσος ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμή- μλυγώνιο μ που συνδέει μι κουφή του με το μέσο της πένντι πλευάς.κάθε τίγωνο έχει τεις διάμεσους που συμολίζοντι μ, μ, μ γ ντίστοιχ κι διέχοντι το ίδιο μ μ Κ μ γ Μ σημείο. ιχοτόμος μις γωνίς ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που συνδέει την κουφή της γωνίς με την πένντι πλευά κι διχοτομεί τη γωνί υτή. Ζ δ δ Ε Ο δ γ Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 14
Κάθε τίγωνο έχει τεις διχοτόμους που συμολίζοντι δ, δ, δ γ ντίστοιχ κι διέχοντι πό το ίδιο σημείο. Ύψος ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που φένουμε πό μι κουφή του κάθετο πος την ευθεί της πένντι πλευάς. Κάθε τίγωνο έχει τί ύψη που συμολίζοντι υ, υ, υ γ ντίστοιχ κι διέχοντι το ίδιο σημείο. 55. Πότε δύο τίγων λέγοντι ίσ ; ύο τίγων λέγοντι ίσ, ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες κι τις ομόλογες πλευές τους ( πλευές πένντι πό ίσες γωνίες ) ίσες μί πος μί. Έτσι ν τ τίγων κι ΕΖ είνι ίσ τότε: υ υ Ζ Η A Ε Ζ Ε υ γ Ε Ζ ωνίες AΕ ΕΖ Ζ Ομόλογες πλευές 56. Πότε δύο τίγων είνι ίσ; ( Κιτήι ισότητς τιγώνων) Κιτήιο (Π. Π. Π.) ύο τίγων είνι ίσ, ότν οι τεις πλευές του A ενός είνι ίσες με τις τεις πλευές του άλλου μί πος μί. Τ τίγων κι ΕΖ έχουν: Ε Ζ A Ε ΕΖ Ζ οπότε είνι ΕΖ Κιτήιο ( Π.. Π. ) ύο τίγων είνι ίσ ότν οι δύο πλευές κι η πειεχόμενη σ υτές γωνί του ενός είνι ίσες με A τις δύο πλευές κι την πειεχόμενη σ υτές γωνί του άλλου ντίστοιχ. Ε Ζ Τ τίγων κι ΕΖ έχουν: A Ε Ζ οπότε είνι ΕΖ Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 15
Κιτήιο (. Π..) ύο τίγων είνι ίσ, ότν η μί πλευά κι οι ποσκείμενες σ υτήν γωνίες του ενός είνι ίσες A με την μί πλευά κι τις ποσκείμενες σ υτήν γωνίες του άλλου ντίστοιχ. Ε Ζ Τ τίγων κι ΕΖ έχουν: ΕΖ Ε οπότε είνι Ζ ΕΖ 57. Πότε δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ; ( Κιτήι ισότητς οθογωνίων τιγώνων ) ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν οι δύο κάθετες πλευές του ενός είνι ίσες με τις δύο κάθετες πλευές του άλλου. Τ τίγων κι έχουν : o A A 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί κάθετη πλευά του ενός εί- νι ίσες με την υποτείνουσ κι μι κάθετη πλευά του άλλου. Τ τίγων κι έχουν : o A A 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευά κι η ποσκείμενη της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με τη μί κάθετη πλευά κι την ποσκείμενη της οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων κι έχουν: 1 o A A 90 οπότε είνι Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 16
ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευά κι η πένντι της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την μί κάθετη πλευά κι την πένντι της οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων κι έχουν: o A A 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων κι έχουν: o A A 90 οπότε είνι Συμπέσμ: ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν έχουν ύο ντίστοιχες πλευές ίσες μί πος μί ή Μί ντίστοιχη πλευά ίση κι μί ντίστοιχη οξεί γωνί ίση. 58. Ποι είνι η χκτηιστική ιδιότητ των σημείων της μεσοκθέτου ευθυγάμμου τμήμτος ; Κάθε σημείο της μεσοκθέτου ευθυγάμμου τμήμτος ισπέχει πό τ άκ του. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τ άκ ενός ευθυγάμμου τμήμτος είνι σημείο της μεσοκθέτου του ευθυγάμμου τμήμτος. 59. Ποι είνι η χκτηιστική ιδιότητ των σημείων της διχοτόμου μις γωνίς; Κάθε σημείο της διχοτόμου μις γωνίς ισπέχει πό τις πλευές της γωνίς. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τις πλευές μις γωνίς είνι σημείο της διχοτόμου της. 60. Ν ποδείξετε ότι ν πό το μέσο μις πλευάς ενός τιγώνου φέουμε πάλληλη πος μί άλλη πλευά του, υτή διέχετι κι πό το μέσο της τίτης πλευάς. πόδειξη Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 17
Θεωούμε τίγωνο κι το σημείο Μ μέσο της πλευάς του. πό το Μ φέουμε πάλληλη πος την που τέμνει την στο σημείο Ν. Θ δείξουμε ότι Ν Ν. πό το σημείο φένουμε μι οηθητική ευθεί ε //. Οι πάλληλες ευθείες ε, ΜΝ κι οίζουν ίσ τμήμτ στην, ά θ οίζουν ίσ τμήμτ κι στην. Επομένως Ν Ν.. 1. 61. Τι ονομάζετι λόγος δύο ευθυγάμμων τμημάτων κι με τι ισούτι; Λόγος ενός ευθύγμμου τμήμτος πος το ευθύγμμο τμήμ, που συμολίζετι, ονομάζετι ο ιθμός λ γι τον οποίο ισχύει λ. Ο λόγος δύο ευθυγάμμων τμημάτων ισούτι με το λόγο των μηκών τους εφόσον έχουν μετηθεί με την ίδι μονάδ μέτησης. 6. Πότε τ ευθύγμμ τμήμτ, γ είνι νάλογ πος τ ευθύγμμ τμήμτ, δ; Τ ευθύγμμ τμήμτ, γ είνι νάλογ πος τ ευθύγμμ τμήμτ κι δ ότν ισχύει γ δ ε B M A N Η ισότητ γ δ ονομάζετι νλογί με όους τ ευθύγμμ τμήμτ,, γ, δ. Τ ευθύγμμ τμήμτ, δ ονομάζοντι άκοι όοι, ενώ τ ευθύγμμ τμήμτ, γ ο- νομάζοντι μέσοι όοι της νλογίς. 63. Ποιες είνι οι σημντικότεες ιδιότητες των νλογιών ; Σε μι νλογί με όους τ ευθύγμμ τμήμτ,, γ, δ εφμόζουμε τις ιδιότητες των νλογιών που ισχύουν κι στους ιθμούς χησιμοποιώντς τ μήκη των ευθυγάμμων τμημάτων. Οι σημντικότεες πό τις ιδιότητες υτές είνι: Σε κάθε νλογί το γινόμενο των ά- κων όων είνι ίσο με το γινόμενο των μέσων όων. Σε κάθε νλογί μποούμε ν ενλλάξουμε τους μέσους ή τους άκους όους κι ν ποκύψει πάλι νλογί. Λόγοι ίσοι μετξύ τους είνι κι ίσοι με το λόγο που έχει ιθμητή το άθοισμ των ιθμητών κι πονομστή το ά- θοισμ των πονομστών. ν ν ν γ δ τότε δ γ γ δ τότε γ δ γ δ ή δ γ τότε γ δ + γ + δ Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 18
. 1. 4 64. Τι ονομάζετι ομοιόθετο ενός σημείου με κέντο ομοιοθεσίς δοσμένο σημείο Ο κι λόγο ομοιοθεσίς τον ιθμό λ ; Ονομάζετι ομοιόθετο ενός σημείου με κέντο ομοιοθεσίς δοσμένο σημείο Ο κι λόγο ομοιοθεσίς τον ιθμό λ το σημείο της ημιευθείς Ο γι το οποίο ισχύει Ο λο. 65. Ποιες είνι οι ιδιότητες δύο ομοιόθετων πολυγώνων Π κι Π ; ύο ομοιόθετ πολύγων έχουν τις πλευές τους νάλογες κι τις ντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Οι νάλογες πλευές δύο ομοιόθετων πολυγώνων που δε ίσκοντι στην ίδι ευθεί είνι πάλληλες. ν το πολύγωνο Π είνι ομοιόθετο του Π με λόγο λ τότε το Π είνι:. 1. 5 μεγέθυνση του Π, ότν λ > 1 σμίκυνση του Π, ότν 0 < λ < 1 κι ίσο με το Π, ότν λ 1. 66. Πότε δύο πολύγων λέγοντι όμοι; ύο πολύγων λέγοντι όμοι, ότν το έν είνι μεγέθυνση ή σμίκυνση του άλλου. υτό σημίνει ότι έχουν τις γωνίες τους ίσες μί πος μί κι τις ομόλογες(ντίστοιχες ) πλευές τους νάλογες. Έτσι τ πολύγων Ε κι ΟΚΛΜΝ που έχουν, Ο, Κ, Λ, Μ, Ε Ν κι Ε Ε λ ΟΚ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΟ Το λ ονομάζετι λόγος ομοιότητς. είνι όμοι. 67. Ποιες ποτάσεις ποκύπτουν πό τον οισμό της ομοιότητ δύο πολυγώνων; πό τον οισμό της ομοιότητς δύο πολυγώνων ποκύπτουν οι επόμενες ποτάσεις. ύο κνονικά πολύγων με τον ίδιο ιθμό πλευών είνι όμοι μετξύ τους. ύο ίσ πολύγων είνι κι όμοι, με λόγο ομοιότητς 1. Κάθε πολύγωνο είνι όμοιο με τον ευτό του. ύο πολύγων όμοι πος τίτο είνι κι όμοι μετξύ τους. A B Ο Κ Ε Λ Ν Μ Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 19
68. Πότε δύο τίγων λέγοντι όμοι; ύο τίγων λέγοντι όμοι ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες μί πος μί κι τις ομόλογες (ντίστοιχες) πλευές τους νάλογες. ηλδή ν ΕΖ, τότε, Ε, Ζ A κι Ε ΕΖ Ζ Ο λόγος των ντιστοίχων (ομολόγων) πλευών τους B ονομάζετι λόγος ομοιότητς κι συμολίζετι με λ. 69. Πότε δύο τίγων είνι όμοι; (Κιτήιο ομοιότητς τιγώνων) Ε Ζ ύο τίγων είνι όμοι, ότν δύο γωνίες του ενός είνι ίσες με δύο γωνίες του άλλου μί πος μί. Aν δηλδή τ τίγων κι ΕΖ έχουν A, Ε, τότε ΕΖ κι επομένως Ζ κι Ε ΕΖ Ζ Ε Ζ B. 1. 5 70. Με τι ισούτι ο λόγος των εμδών δύο ομοίων σχημάτων; Ο λόγος των εμδών δύο ομοίων σχημάτων είνι ίσος με το τετάγωνο του λόγου ομοιότητς τους. ΚΕΦΛΙΟ ο Τιγωνομετί.. 1 71. Πως οίζοντι οι τιγωνομετικοί ιθμοί μις οποισδήποτε γωνίς; Έστω ω (0 ω 180 )η γωνί που πάγετι πό τον ημιάξον Οx, ότν υτός στφεί κτά τη θετική φοά. Aν πάουμε έν οποιοδήποτε σημείο Μ( x, ) με xom ω κι ΟΜ x + τότε οίζουμε: ημω M(x, ) x συνω x Ο ω x Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 0
εφω x Το ημω κι συνω πίνουν τιμές πό το 1 έως το +1. Είνι δηλδή 1 ημω 1 κι 1 συνω 1 Η εφω πίνει οποιδήποτε τιμή. Aν το Μ(x, ) ίσκετι στο 1 ο τεττημόιο, τότε ημω 0, συνω0, εφω0 Aν το Μ(x, ) ίσκετι στο ο τεττημόιο, τότε ημω 0, συνω0, εφω0 7. Ποιοι οι τιγωνομετικοί ιθμοί μις γωνίς ω 0 ή ω 90 ή ω 180; ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Οx π.χ. το Μ(1,0), τότε ω xom 0 κι ΟΜ1 οπότε έχουμε: ημ0 0 1 0 συν0 x 1 1 1 εφ0 x 0 1 0 x O M(1,0) x ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Ο π.χ. το Μ(0, 1), τότε ω xom 90 κι ΟΜ1 οπότε έχουμε: ημ90 1 1 1 M(0,1) συν90 x 0 1 0 εφ90 δεν οίζετι, φού x 0 x O ω x ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Οx π.χ. το σημείο Μ( 1, 0), τότε ω xom 180 κι ΟΜ 1 οπότε έχουμε: ημ180 0 1 0 συν180 x 1 1 1 εφ180 x 0 1 0 x M(-1, 0) O v x Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 1
73. Ποιες σχέσεις συνδέουν τους τιγωνομετικούς ιθμούς δύο ππληωμτικών γωνιών; ι δύο ππληωμτικές γωνίες ω κι 180 - ω ιοχύουν: ημ(180 ω) ημω συν(180 ω) συνω εφ(180 ω) εφω 74. Ν ποδείξετε ότι γι μι οποιδήποτε γωνί ω ισχύουν οι τύποι:. ημ ω +συν ημω ω 1 κι. εφω συνω πόδειξη. ημ ω +συν ω + x Ο + Μ x + + x ΟΜ Ο + Ο x + 1 πόδειξη. x M(x, ) B (x) Ο A () ω x ημω εφω συνω x x x 75. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων. Σε κάθε τίγωνο ισχύει: x γ ημ ημ ημγ B (x) M(x, ) Ο A () ω x πόδειξη Θεωούμε τίγωνο κι το ύψος του ( ) Στο οθογώνιο τίγωνο ( 90) έχουμε: ημ οπότε ημ (1) Στο οθογώνιο τίγωνο ( 90) έχουμε: γ ημ οπότε ημ () πό τις σχέσεις ( 1 ), ( ) ποκύπτει: Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ
ημ ημ οπότε ημ ημ (3) Όμοι ποδεικνύουμε ότι γ ημ ημ (4) πό τις σχέσεις (3), (4) ποκύπτει γ ημ ημ ημ 76. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόμο των συνημιτόνων. Σε κάθε τίγωνο ισχύουν οι σχέσεις + γ γσυν γ + γσυν γ + συν πόδειξη Θεωούμε τίγωνο κι το ύψος του ( ) Θ δείξουμε ότι + γ γσυν. Στο οθογώνιο τίγωνο ( 90) έχουμε: συν οπότε συν (1) κι πό το θεώημ του Πυθγό: + () γ Στο οθογώνιο τίγωνο ( 90 ) πό το θεώημ του Πυθγό έχουμε: + + ( γ ) + γ γ + ( ) + γ (1) γ + γ γσυν Με νάλογο τόπο ποδεικνύετι ότι: γ + γσυν κι γ + συν Κλό διάσμ κι κλή επιτυχί!!! Επιμέλει: σίλης Κάνις Σελίδ 3