ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 1 η (0/0/01, 1:00)
Οι πτήσεις κι οι λύσεις είι ποτέλεσμ συλλογικής δουλειάς τω Επιμελητώ τω φκέλω του Λυκείου του Δικτυκού Τόπου mathematcagr με βάση υλικό που ρτήθηκε στο mathematca http://wwwmathematcagr/forum/vewtopcphp?f=133&t=49619 Συεργάστηκ οι: Στράτης Ατωές, Αδρές Βρβεράκης, Βσίλης Κκβάς, Γιώργης Κλθάκης, Φωτειή Κλδή, Σπύρος Κρδμίτσης, Νίκος Κτσίπης, Χρήστος Κυριζής, Στάθης Κούτρς Μίλτος Ππγρηγοράκης, Λευτέρης Πρωτοππάς, Γιώργος Ρίζος, Μπάμπης Στεργίου, Σωτήρης Στόγις, Αλέξδρος Συγκελάκης, Κώστς Τηλέγρφος, Χρήστος Τσιφάκης Το Δελτίο διτίθετι ελεύθερ πό το δικτυκό τόπο mathematcagr
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιμες στο, ποδείξετε ότι f(x) g(x) f (x) g (x), x Μοάδες 7 Α Πότε λέμε ότι μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της; Μοάδες 4 Α3 Α x,x,,x είι οι πρτηρήσεις μις ποσοτικής μετβλητής X εός δείγμτος μεγέθους κι 1 w,w,,w είι τίστοιχ οι συτελεστές στάθμισης (βρύτητς), ορίσετε το στθμικό μέσο 1 της μετβλητής X Μοάδες 4 Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθού, γράφοτς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που τιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, η πρότση είι σωστή, ή Λάθος, η πρότση είι λθσμέη ) Α γι τη συάρτηση f ισχύου f (x 0) 0 γι x 0 (,β), f (x) 0 στο (,x 0) κι f (x) 0 στο (x,β), τότε η f προυσιάζει ελάχιστο στο διάστημ 0,β γι x x 0 β) Έ τοπικό ελάχιστο μι συάρτησης στο πεδίο ορισμού της μπορεί είι μεγλύτερο πό έ τοπικό μέγιστο γ) Η δικύμση τω πρτηρήσεω μις ποσοτικής μετβλητής X εκφράζετι με τις ίδιες μοάδες με τις οποίες εκφράζοτι οι πρτηρήσεις δ) Α γι τους συτελεστές μετβολής τω δειγμάτω A κι B ισχύει CV CV, τότε λέμε ότι το δείγμ B εμφίζει μεγλύτερη ομοιογέει πό το δείγμ A ε) Α A, Β είι εδεχόμε εός δειγμτικού χώρου Ω, τότε η έκφρση «η πργμτοποίηση του A συεπάγετι τη πργμτοποίηση του B» δηλώει ότι ΑΒ B A Μοάδες 10 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1 Απόδειξη σελίδ 31 σχολικού βιβλίου Α Ορισμός σελίδ σχολικού βιβλίου Α3 Ορισμός σελίδ 86 σχολικού βιβλίου Α4 ) Λ (σελίδ 40 σχολικού βιβλίου) β) Σ (σελίδ 14 σχολικού βιβλίου) γ) Λ (σελίδ 9 σχολικού βιβλίου) δ) Λ (σελίδ 97 σχολικού βιβλίου) ε) Σ (σελίδ 141 σχολικού βιβλίου) ΘΕΜΑ Β Έστω A, B κι Γ εδεχόμε εός δειγμτικού χώρου Ω Οι πιθότητες τω εδεχομέω A, AB, AB ήκου στο σύολο τω λύσεω της εξίσωσης (3x 1)(8x 6x 1) 0 Η πιθότητ του εδεχομέου Γ ήκει στο σύολο λύσεω της εξίσωσης 9x 3x 0 1 1 Β1 Ν ποδείξετε ότι P(A), P(A B) 3 4 κι P(A B) 1 Μοάδες Β Ν υπολογίσετε τη πιθότητ P(A B ), κθώς επίσης κι τη πιθότητ του εδεχομέου Δ: «πργμτοποιείτι το πολύ έ πό τ εδεχόμε A κι Β» Β3 Ν υπολογίσετε τη πιθότητ του εδεχομέου Ε: «πργμτοποιείτι μόο έ πό τ εδεχόμε A κι Β» Β4 Ν εξετάσετε τ εδεχόμε B κιγ είι συμβίβστ Μοάδες 8 Μοάδες 6 Μοάδες 6 ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ: Οι πιθότητες τω εδεχομέω A, AB, AB είι το σύολο τω λύσεω της εξίσωσης ΛΥΣΗ: Β1 (3x 1)(8x 6x 1) 0 3x 1 0 ή 8x 6x 1 0 x 1 Άρ οι λύσεις της εξίσωσης είι οι ριθμοί 1, 1, 1 4 3 με 1 1 1 4 3 Όμως A B A A B άρ P A B P(A) P A B κι έτσι 3 ή x 1 ή x 1 4 PA B 1 4, P(A) 1 3, P A B 1, εφόσο (*) όλες οι ρίζες της εξίσωσης τιστοιχού στις πιθότητες τω εδεχομέω (*) Σύμφω με τη διευκρίιση που δόθηκε 4
Β Επειδή P(A B) P(A) P(B) P(A B), με τικτάστση έχουμε P(B) 1 Λόγω της σχέσης P(A B) P(A B ) έχουμε 1 1 P(A B ) P(A B) P(B A) P(B) P(A B) 1 4 6 Επίσης Δ (A B) κι έτσι 1 3 P(Δ) P (A B) 1P A B 1 4 4 Β3 Είι E (A B) (B A) Επειδή τ εδεχόμε AB κι BA είι συμβίβστ, πό το πλό προσθετικό όμο τω πιθοτήτω έχουμε 1 1 1 1 P (A B) (B A) P(A B) P(B A) P(A) P(A B) P(B) P(A B) 3 4 1 4 4 Β4 9x 3x 0 x 3 ή x 1 3 Όμως 0 P(Γ) 1, άρ P(Γ) 3 Α τ B,Γ ήτ συμβίβστ, τότε πό το πλό προσθετικό όμο θ είχμε 13 P(B Γ) P(B) P(Γ) 1, 1 3 1 που είι άτοπο, διότι 0 P(B Γ) 1 Άρ τ B,Γ δε είι συμβίβστ ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε έ δείγμ πρτηρήσεω μις συεχούς ποσοτικής μετβλητής X, τις οποίες ομδοποιούμε σε ισοπλτείς κλάσεις, όπως προυσιάζοτι στο Πίκ Ι, όπου f %, 1,,3, 4, είι οι σχετικές συχότητες επί τοις εκτό τω τιστοίχω κλάσεω Θεωρούμε ότι οι πρτηρήσεις κάθε κλάσης είι ομοιόμορφ κτεμημέες Δίετι ότι: Το ποσοστό τω πρτηρήσεω του δείγμτος που είι μικρότερες του 10 είι 10% Το ποσοστό τω πρτηρήσεω του δείγμτος που είι μεγλύτερες ή ίσες του 16 είι 30% Στο κυκλικό διάγρμμ σχετικώ συχοτήτω, η γωί του κυκλικού τομέ που τιστοιχεί στη 3η κλάση είι 108 Η μέση τιμή τω πρτηρήσεω του δείγμτος είι x 14
Γ1 Ν ποδείξετε ότι f 1% 10, f % 10, f 3% 30, f 4% 0, f % 30 Δε είι πρίτητο μετφέρετε στο τετράδιό σς το Πίκ Ι συμπληρωμέο Γ Ν εξετάσετε το δείγμ τω πρτηρήσεω είι ομοιογεές Δίετι 6,6,7 Μοάδες 6 Μοάδες 7 Γ3 Έστω x 1,x,x 3 κι x 4 τ κέτρ της 1ης, ης, 3ης κι 4ης κλάσης τίστοιχ κι 1,, 3 κι 4 οι συχότητες της 1ης, ης, 3ης κι 4ης κλάσης τίστοιχ Α τω πρτηρήσεω του δείγμτος 4 x 1 1780, βρείτε το πλήθος Μοάδες Γ4 Έστω 1,, 3, 4, πέτε τυχί επιλεγμέες πρτηρήσεις διφορετικές μετξύ τους πό το πρπάω δείγμ πρτηρήσεω Ορίζουμε ως τη μέση τιμή τω πέτε υτώ πρτηρήσεω κι S τη τυπική τους πόκλιση Εά β, γι 1,,3,4,, δείξετε ότι η μέση τιμή β του δείγμτος β, 1,,3, 4, εί- S ι ίση με 0 κι η τυπική του πόκλιση S β είι ίση με 1 Μοάδες 7 ΛΥΣΗ: Γ1 Το ποσοστό τω πρτηρήσεω του δείγμτος που είι μικρότερες του 10 είι 10%, άρ f 1 % 10 Το ποσοστό τω πρτηρήσεω του δείγμτος που είι μεγλύτερες ή ίσες του 16 είι 30%, άρ f % 30 Στο κυκλικό διάγρμμ σχετικώ συχοτήτω, η γωί του κυκλικού τομέ που τιστοιχεί στη 3η 108 κλάση είι 108, άρ 3 360 f3 f 3 03, 360 Έχουμε ότι f4 1f1 f f3 f 10,1f 0,30,3 0,3f, δηλδή f 3 % 30 Τ κέτρ τω κλάσεω είι: x1 9,x 11,x 3 13,x 4 1,x 17 6
Επομέως, 1 x x f 14 9 0,111 f 13 0,31(0,3f ) 17 0,3 Επομέως, f % 10 κι f % 0 4 14 0,911f 3,9 4,1f,1 4f 0,4 f 0,1 κι f4 0,30,1 0, Κλάσεις x f f% x f 1 [8, 10) 9 0,1 10 0,9 [10, 1) 11 0,1 10 11f 3 [1, 14) 13 0,3 30 3,9 4 [14, 16) 1 0, 0 1f 4 [16,18) 17 0,3 30,1 Σύολο 1 100 ΣΧΟΛΙΟ: Α κι δε είι πρίτητος ο πίκς τω σχετικώ συχοτήτω, ετούτοις το πρθέτουμε γι γίει πιο εποπτικός ο τρόπος προυσίσης τω πρπάω Γ 1 Είι Οπότε κ 1 s x x 1 άρ s x x 1 s x x f 1 s (x x) f (9 14) 0,1 (11 14) 0,1 (13 14) 0,3 (1 14) 0, (17 14) 0,3 Η τυπική πόκλιση είι:, 0,90,3 0,,7 6,6 s 6,6,7 s,7 Ο συτελεστής μετβολής είι: CV 0,187 0,1, άρ το δείγμ τω πρτηρήσεω δε x 14 είι ομοιογεές Γ3 Είι 1780 x 1780 x 4 4 1 1 4 1780 1780 x f x f x f 1 1 1780 1780 x x f 14 17 0,3 1780 1780 8,9 00 8,9 7
Γ4 Γι 1,,3,4, είι ΘΕΜΑ Δ Έστω b οι πρτηρήσεις 1 β s s s 1 b s κι β b s Σύμφω με εφρμογή του σχολικού βιβλίου, γι τη μέση τιμή b κι τυπική πόκλιση s b τω b κι β ισχύει: φού το πηλίκο s Όμοι γι τη εύρεση τω 1 b s s κι 1 s s b s 1 s s, είι πργμτικός στθερός ριθμός β κι s β ισχύει: β b 0 κι sβ sb 1 s s s Δίετι κύκλος (O,ρ) με κέτρο O κι κτί υτό με πλευρά AB x,όπως φίετι στο Σχήμ Ι ρ κι ορθογώιο ABΓΔ εγγεγρμμέο στο κύκλο Δ1 Ν ποδείξετε ότι το εμβδό του ορθογωίου ABΓΔ, ως συάρτηση του x, δίετι πό το τύπο f(x) x 100 x, 0 x 10 Μοάδες 4 Δ Ν βρείτε τη τιμή του x γι τη οποί το εμβδό του ορθογωίου ΑΒΓΔ γίετι μέγιστο Γι τη τιμή υτή του x, δείξτε ότι το ορθογώιο ABΓΔ είι τετράγωο f(1 x) 99 Δ3 Ν υπολογίσετε το όριο lm x0 98 x Δ4 Έστω A, B εδεχόμε εός δειγμτικού χώρου Ω Α P(A B) 0, δείξετε ότι P(A B) P(A) f f 100 P (A) 100 P (A B) Μοάδες Μοάδες 8 Μοάδες 8 8
ΛΥΣΗ: Δ1 Το ΑΒΓΔ είι ορθογώιο επομέως η γωί Β είι ορθή άρ βίει σε ημικύκλιο Δηλδή η ΑΓ είι διάμετρος του κύκλου, άρ ΑΓ ρ 10 Το τρίγωο ΑΒΓ είι ορθογώιο επομέως πό το Πυθγόρειο Θεώρημ έχουμε: Επειδή ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΒΓ 10 x ΒΓ 0 κι επιπλέο xρ 10 (χορδή του κύκλου) έχουμε ΒΓ 100 x, 0 x 10 Το εμβδό του ορθογωίου είι ίσο με: ΑΒΓΔ ΑΒΒΓ x 100 x, 0 x 10 Επομέως η συάρτηση που δίει το εμβδό του ορθογωίου είι η: f(x) x 100 x, 0 x 10 Δ H συάρτηση H συάρτηση 100 x είι πργωγίσιμη στο (0,10) ως σύθεση τω πργωγίσιμω x (άρρητη) κι 100 x είι πργωγίσιμη στο (0,10) ως πολυωυμική 100 x (πολυωυμική) Συεπώς η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στο (0,10) ως γιόμεο τω πργωγίσιμω συρτήσεω 100 x κι x (πολυωυμική), με 100 x ' f'(x) x 100 x ' 100 x x 100 x x 100 x 100 x, 0 x 10 100 x 100 x 100 x 0 x 0 Είι f'(x) 0 x 0 x 10 0 x 10 100 x 0 100 x 0 x 0 x 0 f'(x) 0 100 x 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 x 0 x 0 x 10 κι f'(x) 0 x 10 Επομέως στο διάστημ 0, η συάρτηση είι γησίως ύξουσ εώ στο,10 είι γησίως φθίουσ Στο x προυσιάζει μέγιστο το f 100 0 Ότ x τότε κι ΒΓ 100 100 0 0 Επομέως ΑΒ = ΒΓ, οπότε το ΑΒΓΔ είι τετράγωο 9
Δ3 Η συάρτηση f(1 x) ορίζετι κι μόο 01x 10 1 x 9 f(1 x) 99 Τώρ g(x) 98x όημ η ζήτηση του ορίου της στο μηδέ 1 x 9 x 0 ορίζετι κι μόο x1,0 0,9 f(1 x) 99 1 f(1 x) f(1) 1 1 100 1 99 Έχουμε: lm lm f'(1) x0 98x 98 x0 x 98 98 100 1 99 99 επομέως έχει Δ4 Θ δείξουμε ρχικά ότι οι ριθμοί στο οποίο η συάρτηση f είι γησίως ύξουσ Το ότι είι θετικοί είι προφές Επιπλέο έχουμε ότι: P(A) P(A Β), 100 P (A B) 100 P (A) ήκου στο διάστημ 0,, 1 P(A) P(A B) 0 1 P (A) 0 99 100 P (A) 100 99 100 P (A) 10 Με όμοιο τρόπο δείχω ότι: 0P(AB) 1 1 1 1 P(A B) P(A B) 1, (1) 99 100 P (A) 10 100 P (A) 99 99 P(A), () 100 P (A B) Λόγω τω (1), () κι της μοοτοίς της συάρτησης f ρκεί δείξουμε ότι: Αρκεί δείξουμε ότι: Αρκεί δείξουμε ότι: P(A B) P(A) 100 P (A) 100 P (A B) P(A B) 100 P (A B) P(A) 100 P (A) fp(a B) fp(a) που ισχύει, κθώς Α Β Α άρ P(A B) P(A) κι η f είι γησίως ύξουσ στο 0, (Oι ριθμοί P(A B), P(A) ήκου στο διάστημ (0, 1) άρ κι στο 0, ) ΑΛΛΕΣ ΛΥΣΕΙΣ: Β P A B P A P A B 1 P(A) P A B Γι το υπολογισμό του P A B ποδεικύουμε ότι AB (A B) Έστω w A B w Aκι w B w A κι w B w (A B) w (A B), δηλδή AB (A B) 1 1 Είι P (A B) 1PA B 1, οπότε είι 1 1 1 P A B 1 3 6 10
Γ1 108 f3 0,3 360 Επειδή f1 f f3 f4 f 1f f4 10,10,30,3 0,311f 11f4 3,3 (1) κι 0,1 9 f 11 0,3 13 f 4 1 0,3 17 14 11 f 1 f 4 4,1 () Αφιρώτς πό τη () τη (1), έχουμε: 4 f4 0,8 f4 0, Επομέως, f 0,3f 4 0,1 1 Γ Είι Γ3 κ 1 s x x 1 άρ s x x 1 s x x f s 914 0,1 11 14 0,1 13 14 0,3 1 14 0, 17 14 0,3 s 0,190,10,30,90,3 s 6,6 Άρ s 6,6,7 Είι CV s,7 άρ CV 0,1837 0,1, άρ το δείγμ δε είι ομοιογεές x 14 Από το τύπο x x 1 έχουμε διδοχικά: 4 x x 1 1780 17 14 14 1780 17 14 (1) Όμως f 0,3 κι τικθιστώτς στη (1) πίρουμε: 1780 17 0,3 14 8,9 1780 00 Γ4 1 3 4 Είι 1 3 4 0 1 β1 β β3 β4 β S S 1 3 4 β 0 S Είι β S Έχουμε ότι 1 1 S ( ) (1 ) ( ) (3 ) ( 4 ) ( ), 1 άρ β1s βs β3s β4s βs S (β 1 β β3 β4 β) S S β0 β1 S β S β 1 β S 1Sβ 1 Sβ 1 11
Γ4 1 S ( ) 1 1 1 1 β 0 S S 1 1 1 1 β 1 1 1 S S (β β) (β ) ( ) 1 Δ3 f(1 x) 99 lm lm 98x (1 x) 100 (1 x) 99 x0 x0 ((1 x) 100 (1 x) 99 )((1 x) 100 (1 x) 99) lm x0 98x 98x [(1 x) 100 (1 x) 99] ((1 x) 100 (1 x) ) ( 99 ) (1 x) ( 100 (1 x) ) 99 lm 98x [(1 x) 100 (1 x) 99] 98x [(1 x) 100 x 99] lm x0 x 0 4 100(1 x) (1 x) 99 100(1 x x ) (1 x x )(1 x x ) 99 lm lm x0 x0 98x (1 x) 100 x 99 98x (1 x) 100 x 99 lm x0 lm x0 lm x0 [ ] [ ] 3 3 4 100(1 x x ) (1 x x x 4x x x x x ) 99 [ ] 98x (1 x) 100 x 99 3 4 100(1 x x ) (1 4x 6x 4x x ) 99 [ ] 98x (1 x) 100 x 99 3 4 100 00x 100x 1 4x 6x 4x x 99 98x [(1 x) 100 x 99] 3 4 3 196x 94x 4x x x( 196 94x 4x x ) lm [ ] [ ] 3 ( 196 94x 4x x ) 196 1 [ ] 98( 99) 99 lm x0 x 0 98x (1 x) 100 x 99 98x (1 x) 100 x 99 lm x0 98 (1 x) 100 x 99 Δ3 Επειδή γι τις συρτήσεις f1x 99 κι 98x ισχύου οι προϋποθέσεις του Θεωρήμτος De L' Hosptal, έχουμε f(1 x) 99 (1 x) 100 1 x 99 lm lm x0 98x x0 98x DLH (1 x) 100 1 x 1 99 1 99 100 1x 1 99 lm 99 99 x0 98 98 98 99 99 0 0 1
Δ3 Δ3 Είι f(1 x) 99 (1 x) 100 1 x 99 lm lm x0 98x x0 98x lm x 100 1 x 100 1 x 99 lm x0 98x x 100 1 x 100 1 x 99 lm x0 98x 98x 100 1x 100 1 x 99 lm x0 98 98x ( 100 1x 99) 100 1x x lm x0 98 98 ( 100 1x 99) 99 1 1 99 98 98 99 99 99 f 1 x 99 u 1 x,x 0 u 1 u 100 u 99 lm 98x 98 u1 x0 u1 u 100 u 99 u 100 u 99 lm u1 98 u 1 u 100 u 99 u 100 u 99 lm u1 98 u 1 u 100 u 99 u 100 u 99 lm u1 98 u 1 u 100 u 99 4 u 100u 99 lm u1 98 u 1 u 100 u 99 u 1u 99 lm u1 98 u 1 u 100 u 99 u 1u 1u 99 lm u1 98 u 1 u 100 u 99 u1 u 99 98 1 99 lm u1 98 u 100 u 99 98 99 99 99 13
ΣΧΟΛΙΟ: Οι λύσεις υτές (με τικτάστση ή με χρήση του Θεωρήμτος De L' Hosptal) είι εκτός του πεύμτος τω μθημτικώ Γεικής Πιδείς ωστόσο είι γώσεις διδγμέες στη μερίδ τω μθητώ της Γ Λυκείου που κολουθού Τεχολογική ή Θετική Κτεύθυση, επομέως ε- πιστημοικά τεκμηριωμέες άρ ποδεκτές λύσεις Δ4 P(A B)P(A) P(A) 1 1 Είι 0 κι ομοίως f(p(a)) f(p(a)) 100 P (A) 99 Οπότε, φού f γησίως ύξουσ στο 0,, έχουμε διδοχικά P(A B)P(A) 1 0 f(p(a B)) 99 P A B P A PA BPA PA BPA f f f f 100 P A 100 P A B f PA f PA B P A B P A P A B P A f PA f PA B PA PA B, f P A f P A B που ισχύει, φού Α Β Α 14