Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum Najbolj pa ga znanstveni svet pozna po znamenitem Fibonaccijevem zaporedju V delu Liber Abaci je namreč Leonardo postavil znamenito nalogo: Nekdo da par kuncev v ograjen prostor Narava teh kuncev je taka, da vsak par na mesec skoti nov par kuncev, ki je ploden od konca drugega meseca
svojega življenja naprej Koliko parov kuncev bo tam živelo po enem letu, če noben ne pogine Število parov kuncev v omenjenem prostoru v n-tem mesecu je znamenito n-to Fibonaccijevo število F n Ta števila za n =, 2, 3, skupaj z F 0 = 0 sestavljajo znamenito Fibonaccijevo zaporedje: F 0, F, F 2, F 3, F 4, Prikaz razmnoževanja Fibonaccijevih kuncev mesec 2 mesec 3 mesec 4 mesec 5 mesec 6 mesec = = = = = = = = = = = = F = F 2 = F 3 = 2 F 4 = 3 F 5 = 5 F 6 = 8 Očitno velja pravilo: pri začetnih pogojih F n+2 = F n+ + F n, n = 0,, 2, 3, 4,, (A) F 0 = 0, F = Z vztrajnim računanjem ugotovimo, da bo na koncu leta F 2 = 44 parov Fibonaccijevih kuncev Ali obstaja formula za F n? Da To je inetova formula: F n = (( ) n + 5 5 2 2 ( ) n ) 5 () 2
inetovo formulo () lahko izpeljemo tako, da rešimo rekurzijo (A) z nastavkom F n = λ n Za λ dobimo kvadratno enačbo ki ima korena λ 2 = λ +, λ = + 5, λ 2 = 5 2 2 Splošna rešitev rekurzije (A) je zato F n = c λ n + c 2 λ n 2 Iz začetnih pogojev takoj izpeljemo inetovo formulo () Ker je λ 2 <, gre potenca λ n 2 z naraščajočim n proti 0, bolj učeno in zato lahko zapišemo F n = lim n λn 2 = 0, { ( ) n } + 5 5, (C) 2 kjer oznaka {x} pomeni številu x najbližje celo število Število v zavitem oklepaju formule (C) je iracionalno, zato je število F n z njo točno določeno Zanimivo je tudi zaporedje količnikov zaporednih Fibonaccijevih števil F 2 F, F 3 F 2, F 4 F 3, F 5 F 4,, to se pravi zaporedje, 2, 3 2, 5 3, Če označimo f n = F n+, n =, 2, 3,, F n potem iz inetove formule () hitro odkrijemo: lim f n = λ = + 5 n 2 3
To število imenujemo zlato razmerje in ga označimo s τ Torej τ = + 5 2 Osnovna lastnost tega znamenitega števila je: τ 2 = τ + Približno je: τ = 68033988 Kam stremi zaporedje količnikov F n+ /F n, lahko odkrijemo tudi brez inetove formule Iz rekurzije (A) imamo namreč novo rekurzijo, in sicer f n+ = + f n, n =, 2, 3,, z začetnim pogojem f = Obnašanje zaporedja f, f 2, f 3 si lahko lepo razložimo na grafu funkcije ϕ(x) = + x, x > 0 Njen graf je ena veja hiperbole Prejšnja rekurzija je potem oblike: f n+ = ϕ(f n ), n =, 2, 3,, pri istem pogoju f = x y y = ϕ(x) y = x 0 τ f f 2 f 3 f 4 3 4
Jabolka 5
Če prerežemo po sredini lepo jabolko, pravokotno na os pecelj muha, nas prerezane peške spominjajo na pravilni petkotnik ali pentagon Zanimivo je pogledati, kolikokrat je njegova diagonala d daljša od stranice a C a M d A D E a = A = C = CD = DE = EA = AM = DM, d = AD = AC = D Iz podobnih trikotnikov MC in MDA dobimo: C M = AD AM oziroma a d a = d a Po preureditvi pridemo do kvadratne enačbe za neznanko d/a: ( ) 2 d = d a a +, ki ima edino smiselno rešitev d/a = τ V pravilnem petkotniku je torej diagonala d ravno τ-krat daljša od stranice a: 6
d = τa Rezultat omogoča natančen zapis: sin 54 = cos 36 = τ 2 Ker je 3 = 2 36 2 30, lahko trigonometrične funkcije celih mnogokratnikov kota 3 izrazimo samo s kvadratnimi koreni z uporabo ustreznih formul (J Vega) Zlatnina Zlati pravokotnik a b b b a b a b = b a b = τ, a b = τ, a = b, b = a b A C D E F M N Konstrukcija zlatega pravokotnika Točka deli stranico AM v zlatem rezu: A = AD, AE = E, A M = AM A = τ Sami zlati pravokotniki 7
D A F E C A E D F C 8
E 2 A 2 D 2 C 2 F 2 2 D 4 C 4 A 4 4 9
Zlata točka D A F E C Zlata spirala A A 2 A 0 A 3 0
A A 0 A 3 A 2
Zlate točke Zlata trikotnika D F C D C A A E D E 36 S C A 8 72 54 Zlata trikotnika sta v pravilnem petkotniku na primer enakokraka trikotnika AD in ADE Razmerje kraka proti osnovnici je pri prvem zlato število τ, pri drugem pa /τ = τ Zlato razmerje iz samih enk Prvi () na olimpijadi prejme zlato medaljo Ker je za zlato razmerje τ značilna zveza τ 2 = τ +, velja: τ = + τ (D) 2
Če vstavimo (D) samo vase, dobimo: τ = + + τ Z nadaljevanjem pridemo do verižnega ulomka: Njegovi zaporedni približki so ulomki: τ = + + + + + =, + = 2, + 2 = 3 2, + 2 3 = 5 3, V njih prepoznamo količnike Fibonaccijevih števil: F 2 F, F 3 F 2, F 4 F 3, F 5 F 4, τ Drugi (2) na olimpijadi prejme srebrno medaljo Po analogiji bi vpeljali srebrno število ki je: φ = 2 + 2 + 2 + 2 + φ = + 2 2 + Tretji (3) na olimpijadi prejme bronasto medaljo Po analogiji bi vpeljali bronasto število ki je: Pravilni ikozaeder χ = 3 + 3 + 3 + 3 + χ = 3 + 3 2 3 + Včrtani so mu trije skladni zlati pravokotniki, ki se sekajo paroma pravokotno,, 3
O A x x C x D x A y y C y D y A z z C z D z x y z O A x x C x D x A y y C y D y A z z C z D z a 4