6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η Υπολογισμός Ορισμένου ολοκλήρωματος που βρίσκεται μέσα σε ορισμένο ολοκλήρωμα. Χαρακτηριστική Άσκηση: Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:,για την οποία ισχύει 3 t f()d dt 54.Να βρεθεί το ολοκλήρωμα f()d. Λύση: Βήμα Θέτουμε c f()d μεc. Βήμα Αντικαθιστούμε το c στην δοσμένη σχέση και έχουμε t 3 c dt 54. Έτσι προκύπτει εξίσωση με άγνωστο το c. Έχουμε: 4 t t 3 c dt 54 c 54 4. c 54 c 6 4 Άρα, f()d 6.
6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η Προσδιορισμός τύπου συνάρτησης μέσω σχέσης με ορισμένο ολοκλήρωμα, με τη συνάρτηση να βρίσκεται μέσα και έξω από το ολοκλήρωμα. Χαρακτηριστική Άσκηση: Να βρείτε συνεχή συνάρτηση : για την οποία ισχύει: e f( ) d f( ) e,. () Λύση: Βήμα Θέτουμε c e f( ) d με c. () Βήμα Αντικαθιστούμε το c στην δοσμένη σχέση () και έχουμε c f( ) e,. Βήμα 3 Λύνουμε ως προς την f () και την αντικαθιστούμε στην (). c f() e f() c e Είναι : c e f( ) d c e ( c e ) d c c e d ed c c e e e c c( e) e c( e) e c e Άρα, f() e e e,.
6 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3η Υπολογισμός ολοκληρώματος αντίστροφης συνάρτησης, μιας συνάρτησης f με συνεχή πρώτη παράγωγο και -,όταν δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης. Χαρακτηριστική Άσκηση: Δίνεται η συνάρτηση f() e 3,. Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Λύση: e f ()d. Για κάθε,είναι f '() e 3 Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και -. Οπότε ορίζεται η αντίστροφη της f με D f( ) (lim f(), lim f()) f Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος: Θεωρούμε ότι η f () είναι συνεχής στο R. Βήμα Θέτουμε f () η οποία είναι -. και έχουμε f(). Βήμα Παραγωγίζοντας έχουμε f '()d d Βήμα 3 Δεν ξεχνάμε να αλλάξουμε τα όρια Ολοκλήρωσης. Για είναι f: f() f() f( ) 3 Για e είναι f: f() e f() f( )
6 Βήμα 4 Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα e f ()d f '()d f() f()d f( ) (e 3 )d e e 3 3 5 e e.. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4η Και αν θέλουμε να υπολογίσουμε ολοκλήρωμα συνάρτησης f() της οποίας γνωρίζουμε την παράγωγο f (),αλλά δεν είναι εύκολο να βρούμε τον τύπο της ως αρχική της f (), τι κάνουμε; Χρησιμοποιούμε «έξυπνα» την παραγοντική μέθοδο. Χαρακτηριστική Άσκηση: Έστω F() αρχική συνάρτηση της f() e στο,με F( ). Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα F()d. Λύση: Έχουμε F()d 'F()d F() f()d e F( ) e d e d e Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. e d 4
6 Θέτουμε και d d. Αλλάζουμε τα όρια ολοκλήρωσης Για είναι Για είναι. Είναι e e d e d e. e Σε επόμενη δημοσίευση ακολουθεί συνέχεια περιπτώσεων με ολοκληρώματα. (ΜΕΡΟΣ Β ) ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ Επιμέλεια : Μπότσαρη Μαίρη 5
6 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Γ Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση ƒ:[5,+ ) R με f '()ln f() για κάθε 5 και ƒ(6)=. Γ. Να βρείτε τον τύπο της ƒ. 7 μονάδες Γ. Να δείξετε ότι η ƒ στρέφει τα κοίλα άνω. 4 μονάδες Γ3. Να δείξετε ότι ƒ(5) + ƒ(7) >. 7 μονάδες Γ4. Να υπολογιστεί το όριο lim(f( ) f()) 7 μονάδες 6
6 ΘΕΜΑ Δ Δ. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και τέτοια ώστε να ισχύει f(), για κάθε [ αβ, ].. Αν β α f()d να αποδείξετε ότι f() =, για κάθε [ αβ, ] 4 μονάδες. Αν για τη συνεχή συνάρτηση στο f ισχύει f ()d 3 f()d, να αποδείξετε ότι f() =, για κάθε [, ]. 7 μονάδες Δ. Έστω f: παραγωγίσιμη στο με f( ) και f () t ( e )dt,. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. 7 μονάδες. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον, τον y y και την = e -. 7 μονάδες ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ Επιμέλεια Θεμάτων: Μπότσαρη Μαίρη 7
6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Γ Γ. f παραγωγίσιμη συνάρτηση με f() f '()ln f() f '()ln ( ) f() f '()ln f '()ln f() ln ' f()ln ' f()ln c,c c f(),c (ln ) ln Για = 6 είναι c f( 6) c ln 6 ln 6 Άρα ln 6 f(), ln 5 Γ. ln 6 ln 6 f '() ln ln ' ' ln 6 ln 6(ln ) f ''() 3 ln ln (αφού ln και ln, για 5 ) 8 Άρα, η f στρέφει τα κοίλα άνω.
6 Γ3. f συνεχής στο [5,6] f παραγωγίσιμη στο (5,6) και από ΘΜΤ συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ( 5, 6) : f '( ) f( 6) f( 5) f συνεχής στο [6,7] f παραγωγίσιμη στο (6,7) και από ΘΜΤ συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ( 6, 7) : f '( ) f( 7) f( 6) Επειδή f ''(),είναι η f (γν.αύξουσα) Άρα, f' f '( ) f '( ) f( 6) f( 5) f( 7) f( 6) f( 6) f( 5) f( 7) f( 5) f( 7) Γ4. Από ΘΜΤ στο [,+] συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ξ(, ) με f( ) f() f '( ξ) f( ) f() Όμως, Οπότε f' ξ f '() f '( ξ) f'( ) ln 6 ln 6 f( ) f() ln ( )ln ( ) Από κριτήριο παρεμβολής lim(f( ) f()). 9
6 ΘΕΜΑ Δ Δ.. Υποθέτουμε ότι η f δεν είναι παντού μηδέν στο [α,β].τότε αφού f(),για κάθε [ αβ, ],ισχύει β f()d,άτοπο λόγω υπόθεσης. α Άρα, f() =, για κάθε [ αβ, ].. f ()d f()d (f() ) d 3 (διότι d ) 3 Όμως (f() ), [, ],οπότε από () έχουμε ότι f(), για κάθε [, ] και έτσι f() =, για κάθε [, ]. Δ. f () f () t t f () ( e )dt e t e f() f () e f() Παραγωγίζουμε την ισότητα(παραγωγίσιμες οι συναρτήσεις και των δύο μελών) και έχουμε f () f () e f '() f '() f '()( e ) f '() f () e Η f είναι γνησίως αύξουσα,άρα και -.
6 Χρειαζόμαστε να βρούμε το πρόσημο της f() προκειμένου να υπολογίσουμε το ζητούμενο ολοκλήρωμα. Η f είναι παραγωγίσιμη στο,οπότε και συνεχής στο. Άρα, f συνεχής στο [,e]. Έχουμε: f ( ) f( ), f γν.αύξουσα στο και f Είναι f() f( ) f(). Το ζητούμενο εμβαδόν είναι e f () e E f() d f()d Θέτουμε f() και έχουμε f () Δηλαδή e.. Παραγωγίζουμε και είναι ( e )d d Αλλάζουμε τα όρια ολοκλήρωσης Για =: f () f () f ( ) Για =e-: f () e f () f ( ) Το ολοκλήρωμα γίνεται (f ())'d ( e )d e d d 5 e e d. ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ Επιμέλεια : Μπότσαρη Μαίρη