Κεφάλαιο 2. Πράξεις σημάτων διακριτού και συνεχούς χρόνου

Κεφάλαιο Πράξεις σημάτων διακριτού και συνεχούς χρόνου Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι πράξεις σημάτων διακριτού και συνεχούς χρόνου Αναλύονται οι πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και οι πράξεις μετασχηματισμού χρόνου Παρουσιάζεται η γραμμική συνέλιξη των σημάτωνδιακριτού και συνεχούς χρόνου Προαπαιτούμενηγνώση Συναρτήσεις, ακολουθίες, ολοκληρώματα, σειρές Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου --3-4-- Ταξινόμηση πράξεων σημάτων διακριτού χρόνου Οι πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου διακρίνονται σε πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και σε πράξεις μετασχηματισμού χρόνου Οι πράξεις μετασχηματισμού πλάτους, όπου μεταβάλλεται το πλάτος των σημάτων είναι: Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Κλιμάκωση στο πλάτος Οι πράξεις μετασχηματισμού χρόνου, όπου δεν μεταβάλλεται το πλάτος των σημάτων, αλλά η χρονική διάρκειά τους είναι: Μετατόπιση ή ολίσθηση Αναδίπλωσηή ανάκλαση Κλιμάκωση στον χρόνο Τέλος, μία ιδιαίτερη πράξη των σημάτων διακριτού χρόνου είναι η γραμμική συνέλιξη, όπου μεταβάλλεται τόσο το πλάτος, όσο και ο χρόνος Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Damper, 99, Ingle and Proakis, 3, Lynn & Fuerst, 989, Oppenheim, Willsky, Nawab, 3, Proakis & Manolakis, 7, Strum & Kirk, 988 Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hayes,, McClellan, Schafer & Yoder, 6, Ασημάκης, 8, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καλουπτσίδης, 994, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Μουστακίδης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους Πρόσθεση σημάτων Η πρόσθεση δύο σημάτων διακριτού χρόνου ( n) και ( n ) παράγει ένα νέο σήμα n ( ) με πλάτος το άθροισμα των πλατών των σημάτων που προστίθενται: ( n) ( n) ( n) () Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το άθροισμά τους είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Αν το σήμα ( n) έχει διάρκεια το διάστημα [ A: T] με A T(όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί) και το σήμα ( n) έχει διάρκεια το διάστημα[ A : T] με A T (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί), τότε το άθροισμα ( n) ( n) ( n) έχει διάρκεια το διάστημα [ AT : ], όπου [ A: T ] [min( A, A ) : ma( T, T )] Το άθροισμα υπάρχει στην ένωση των διαστημάτων χρόνου των σημάτων 67

που αθροίζονται Αν τα διαστήματα χρόνου των σημάτων που αθροίζονται είναι ξένα μεταξύ τους, τότε το άθροισμα στο διάστημα χρόνου ανάμεσα σε αυτά τα διαστήματα χρόνου είναι μηδέν Παράδειγμα Στο Σχήμα φαίνεται η πρόσθεση των σημάτων: ( n ) n, n [ : 4] και ( n ) [8,9,,], n [ :] (n) - -4-3 - - 3 4 (n) y(n)=(n)+(n) - -4-3 - - 3 4 - -4-3 - - 3 4 Πολλαπλασιασμός σημάτων Σχήμα Πρόσθεση σημάτων διακριτού χρόνου Ο πολλαπλασιασμός δύο σημάτων διακριτού χρόνου ( n) και ( n ) παράγει ένα νέο σήμα n ( ) με πλάτος το γινόμενο των πλατών των σημάτων που πολλαπλασιάζονται: ( n) ( n) ( n) () Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το γινόμενό τους είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Αν το σήμα ( n) έχει διάρκεια το διάστημα [ A: T] με A T(όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί) και το σήμα ( n) έχει διάρκεια το διάστημα[ A : T] με A T (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί), τότε το άθροισμα ( n) ( n) ( n) έχει διάρκεια το διάστημα [ AT : ],όπου [ A: T ] [min( A, A ) : ma( T, T )] Το γινόμενο υπάρχει στην τομή των διαστημάτων χρόνου των σημάτων που πολλαπλασιάζονται Αν τα διαστήματα χρόνου των σημάτων που αθροίζονται είναι ξένα μεταξύ τους, τότε το γινόμενο είναι μηδέν Παράδειγμα Στο Σχήμα φαίνεται ο πολλαπλασιασμός των σημάτων: ( n ) n, n [ : 4] και ( n ) [8,9,,], n [ :] 68

(n) - -4-3 - - 3 4 (n) y(n)=(n)(n) - -4-3 - - 3 4 - -4-3 - - 3 4 Σχήμα Πολλαπλασιασμός σημάτων διακριτού χρόνου Παρατήρηση Ο πολλαπλασιασμός ενός σήματος n ( ) επί το σήμα un ( ), παράγει ένα σήμα r ( n) ( n) u( n) που αποτελείται από τις τιμές του σήματος n ( ) για κάθε χρονική στιγμή n,,, 3 Κλιμάκωση στο πλάτος Η κλιμάκωση στο πλάτοςενός σήματος διακριτού χρόνου n ( ) παράγει ένα νέο σήμα yn () με πλάτος το πλάτος του σήματος n ( ) πολλαπλασιασμένο επί έναν πραγματικό συντελεστή c : y( n) c( n) (3) Όταν τo σήμα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η κλιμάκωση στο πλάτος του σήματος είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας και μάλιστα έχει την ίδια διάρκεια με το αρχικό σήμα Όταν c, τότε το πλάτος του αρχικού σήματος αυξάνεται κατά απόλυτη τιμή, ενώ όταν c, τότε μειώνεται Όταν c, τότε y( n) ( n), ενώόταν c, τότε y( n) ( n) Παράδειγμα Στο Σχήμα 3 φαίνεται η κλιμάκωση στο πλάτος y( n) ( n) του σήματος ( n) n, n[ : 4] 69

(n) - -4-3 - - 3 4 y(n)=(n) - -4-3 - - 3 4 3 Πράξεις μετασχηματισμού χρόνου 3 Μετατόπιση ή ολίσθηση Σχήμα 3 Κλιμάκωση στο πλάτος σήματος διακριτού χρόνου Η μετατόπισηή ολίσθηση ενός σήματος διακριτού χρόνου y( n) ( n n ) παράγει ένα νέο σήμα με πλάτος το πλάτος του σήματος n ( ) μετατοπισμένο δεξιά ή αριστεράκατά n χρονικές στιγμές Αν n, τότε η μετατόπιση γίνεται δεξιά και έχουμε καθυστέρηση Αν n, τότε η μετατόπιση γίνεται αριστερά και έχουμε πρωτοπορία Αν n, τότε το σήμα δεν μετατοπίζεται Παράδειγμα Στο Σχήμα 4 παρουσιάζεται το σήμα ( n) n 3, n[ :] και οι μετατοπίσεις n ( ) και n ( 4) n ( ) (4) 7

(n) y(n)=(n-) y(n)=(n+4) - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 - -8-6 -4-4 6 8 Σχήμα 4Μετατόπιση Μπορείτε να διερευνήσετε τη μετατόπιση σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Μετατόπιση σημάτων διακριτού χρόνου 3 Αναδίπλωση ή ανάκλαση Αναδίπλωση ή ανάκλαση (fold) είναι η πράξη όπου παράγεται το συμμετρικό σήμα του σήματος n ( ) ως προς τον άξονα των τεταγμένων, οπότε παρατηρείται το φαινόμενο του «καθρεπτισμού» ως προς τον άξονα των τεταγμένων Κατά την αναδίπλωση, από το αρχικό σήμα n ( ) με πεδίο ορισμού το διάστημα[ n: n] με n n (όπου n και n είναι ακέραιοι αριθμοί), παράγεται το σήμα y( n) ( n) () με πεδίο ορισμού το διάστημα[ n: n] και τιμές, τις συμμετρικές ως προς τον άξονα των τεταγμένων τιμές του αρχικού σήματος n ( ) Αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή n, αν υπάρχει, παραμένει η ίδια Παράδειγμα Στο Σχήμα παρουσιάζεται το σήμα ( n) n 3, n[ :] και η αναδίπλωση ( n) 7

(n) - -8-6 -4-4 6 8 y(n)=(-n) - -8-6 -4-4 6 8 Σχήμα Αναδίπλωση Μπορείτε να διερευνήσετε την αναδίπλωση σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Αναδίπλωση σημάτων διακριτού χρόνου 33 Κλιμάκωση στον χρόνο Η κλιμάκωση στον χρόνοενός σήματος διακριτού χρόνου n ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( n) ( cn) (6) όπου c είναι c M ή c και M θετικός ακέραιος M Αν c M και M θετικός ακέραιος, τότε το σήμα «συρρικνώνεται» και έχουμε διαίρεση συχνότητας Στη διαίρεση συχνότητας γίνεται δειγματοληψία του σήματος κάθε M χρονικές στιγμές Αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή n, αν υπάρχει, παραμένει η ίδια Αν c και M θετικός ακέραιος, τότε το σήμα «απλώνεται» και έχουμε πολλαπλασιασμό συχνότητας M Στον πολλαπλασιασμό συχνότητας γίνεται «άπλωμα» του σήματος κάθε M χρονικές στιγμές Αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή n, αν υπάρχει, παραμένει η ίδια Επίσης, αξίζει να n n σημειωθεί ότι οι τιμές του σήματος y( n) είναι μηδέν όταν M M Αν c, τότε το σήμα δεν μεταβάλλεται Παράδειγμα 7

Στο Σχήμα 6 φαίνεται η διαίρεση συχνότητας y( n) ( n) του σήματος ( n) n 3, n[ :] (n) - -8-6 -4-4 6 8 (n) - -8-6 -4-4 6 8 Σχήμα 6Κλιμάκωση στον χρόνο: διαίρεση συχνότητας Παράδειγμα n Στο Σχήμα 7 φαίνεται ο πολλαπλασιασμός συχνότητας y( n) του σήματος ( n) n 3, n[ :] 73

(n) - -8-6 -4-4 6 8 (n/) - -8-6 -4-4 6 8 Σχήμα 7Κλιμάκωση στον χρόνο: πολλαπλασιασμός συχνότητας Μπορείτε να διερευνήσετε την κλιμάκωση στον χρόνο σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 3Κλιμάκωση στον χρόνο σημάτων διακριτού χρόνου 4 Προτεραιότητα πράξεων μετασχηματισμού χρόνου σημάτων διακριτού χρόνου Προσοχή χρειάζεται στη σειρά εκτέλεσης των πράξεων μετασχηματισμού χρόνου Η σειρά των πράξεων της μετατόπισης, της αναδίπλωσης και της κλιμάκωσης στον χρόνο οδηγεί σε διαφορετικά αποτελέσματα Επίσης παίζει ρόλο ο τύπος της μετατόπισης (καθυστέρηση ή πρωτοπορία) και ο τύπος της κλιμάκωσης στον χρόνο (διαίρεση συχνότητας ή πολλαπλασιασμός συχνότητας) Αναδίπλωση και μετατόπιση Υπάρχουν οι παρακάτω τέσσερις περιπτώσεις σειράς εκτέλεσης των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης (καθυστέρηση ή πρωτοπορία) κατά n χρονικές στιγμές, όπου n : Καθυστέρηση και Αναδίπλωση ( n) ( n n ) ( n n ) έ ί Αναδίπλωση και Καθυστέρηση ( n) ( n) ( n n ) ( n n ) ί έ 3 Πρωτοπορία και Αναδίπλωση ( n) ( n n ) ( n n ) ί ί 74

4 Αναδίπλωση και Πρωτοπορία ( n) ( n) ( n n ) ( n n ) ί ί Είναι προφανές ότι: Καθυστέρηση και Αναδίπλωση δεν οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Αναδίπλωση και Καθυστέρηση Πρωτοπορία και Αναδίπλωση δεν οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Αναδίπλωση και Πρωτοπορία Καθυστέρηση και Αναδίπλωση οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Αναδίπλωση και Πρωτοπορία Αναδίπλωση και Καθυστέρηση οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Πρωτοπορία και Αναδίπλωση Επομένως, γενικά οι πράξειςαναδίπλωση και Μετατόπιση δεν αντιμετατίθενται Στο Σχήμα 8 παρουσιάζεται το σήμα ( n) n 6, n[ :] και τα σήματα ( n ) και ( n) (n) -8-6 -4-4 6 8 (--n) -8-6 -4-4 6 8 (-n+) -8-6 -4-4 6 8 Σχήμα 8Μετατόπιση και αναδίπλωση Αναδίπλωση και Κλιμάκωση στον χρόνο Υπάρχουν οι παρακάτω τέσσερις περιπτώσεις σειράς εκτέλεσης των πράξεων της αναδίπλωσης και της κλιμάκωσης στον χρόνο(διαίρεση συχνότητας ή πολλαπλασιασμός συχνότητας): Αναδίπλωση και Διαίρεση συχνότητας ( n) ( n) ( c n) ( c n) ί ί Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση ( n) ( c n) c ( n) ( c n) ί ί 3 Αναδίπλωση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας n n ( n) ( n) ί ό c c 4 Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Αναδίπλωση n ( n) n ( n) ό ί c c c Είναι προφανές ότι: Αναδίπλωση και Διαίρεση συχνότητας οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση 7

Αναδίπλωση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Αναδίπλωση Επομένως, γενικά οι πράξειςαναδίπλωση και Κλιμάκωση στον χρόνοαντιμετατίθενται Μετατόπιση και Κλιμάκωση στον χρόνο Υπάρχουν οι παρακάτω οκτώ περιπτώσεις σειράς εκτέλεσης των πράξεων της μετατόπισης (καθυστέρηση ή πρωτοπορία) και της κλιμάκωσης στον χρόνο(διαίρεση συχνότητας ή πολλαπλασιασμός συχνότητας): Καθυστέρηση και Διαίρεση συχνότητας ( n) ( n n ) ( c n) n ( c n n ) έ Διαίρεση συχνότητας και Καθυστέρηση ( n) ( c n) c ( n n ( c n c n ) ί 3 Πρωτοπορία και Διαίρεση συχνότητας ( n) ( n n ) ( c n) n ( c n n ) ί 4 Διαίρεση συχνότητας και Πρωτοπορία ( n) ( c n) c ( n n ( c n c n ) ί Καθυστέρηση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας n n ( n) ( n n ) n n έ ό c c 6 Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Καθυστέρηση n ( n n) n n ( n) ό έ c c c c 7 Πρωτοπορία και Πολλαπλασιασμός συχνότητας n n ( n) ( n n ) n ί ό n c c 8 Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Πρωτοπορία n ( n n) n n ( n) ό ί c c c c Επομένως, γενικά οι πράξεις Μετατόπιση και Κλιμάκωση στον χρόνο δεν αντιμετατίθενται Μετατόπιση, Κλιμάκωση στον χρόνοκαι Αναδίπλωση Δίνονται δύο παραδείγματα σειράς εκτέλεσης των πράξεων της μετατόπισης, της κλιμάκωσης στον χρόνο και της αναδίπλωσης: Καθυστέρηση, Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση ( n) ( n n ) ( c n n ) ( c n n ) Πρωτοπορία, Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση ( n) ( n n ) ( c n n ) ( c n n ) ί έ ί ί έ ί ί ί ί ί Συμπερασματικά, η σειρά των πράξεων της μετατόπισης, της αναδίπλωσης και της κλιμάκωσης στον χρόνο οδηγεί σε διαφορετικά αποτελέσματα Παίζει ρόλο ο τύπος της μετατόπισης (καθυστέρηση ή πρωτοπορία) και ο τύπος της κλιμάκωσης στον χρόνο (διαίρεση συχνότητας ή πολλαπλασιασμός συχνότητας) Στον Πίνακα παρουσιάζεται η σειρά των πράξεων της μετατόπισης, της αναδίπλωση και της κλιμάκωσης στον χρόνο που απαιτείται ανάλογα με το σήμα που πρόκειται να παραχθεί 76

Σήμα n () ( n n ) ( n n ) ( n) ( cn) n c ( n n ) ( n n ) ( c n) n c ( cn n ) ( cn n ) n n c n n c ( cn n ) ( cn n ) Σειρά πράξεων Καθυστέρηση Πρωτοπορία Αναδίπλωση Διαίρεση συχνότητας Πολλαπλασιασμός συχνότητας Καθυστέρηση και Αναδίπλωση ή Αναδίπλωση και Πρωτοπορία Πρωτοπορία και Αναδίπλωση ή Αναδίπλωση και Καθυστέρηση Αναδίπλωση και Διαίρεση συχνότητας ή Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση Αναδίπλωση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας ή Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Αναδίπλωση Καθυστέρηση και Διαίρεση συχνότητας ή Διαίρεση συχνότητας και Καθυστέρηση Πρωτοπορία και Διαίρεση συχνότητας ή Διαίρεση συχνότητας και Πρωτοπορία Καθυστέρηση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας Πρωτοπορία και Πολλαπλασιασμός συχνότητας Καθυστέρηση, Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση Πρωτοπορία, Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση Πίνακας Μετατόπιση, Αναδίπλωση, Κλιμάκωση στον χρόνο Ανάλυση σημάτων διακριτού χρόνου Στο σημείο αυτό δίνεται ο τύπος της ανάλυσης σημάτων διακριτού χρόνου, που είναι πολύ σημαντικός στην Επεξεργασία Σημάτων: ( n) ( k) ( n k) (7) k Ο τύπος περιγράφει ένα σήμαδιακριτού χρόνου n ( ) δίνοντας πληροφορία για το πλάτος του σήματος κάθε χρονική στιγμή: τη χρονική στιγμή k το σήμα έχει πλάτος k ( ) Για παράδειγμα, το σήμα, n 3, n 3, n n ( ) 4, n 3, n, n, n 3 μπορεί να γραφτεί 3 ( n) ( k) ( n k) ( n 3) ( n ) 3 ( n ) 4 ( n) 3 ( n ) ( n ) ( n 3) k 3 Ο τύπος δίνει πληροφορία για το πλάτος του σήματος κάθε χρονική στιγμή: τη χρονική στιγμή n 3το σήμα έχει πλάτος, τη χρονική στιγμή n το σήμα έχει πλάτος, τη χρονική στιγμή n το σήμα έχει 77

πλάτος3, τη χρονική στιγμή n το σήμα έχει πλάτος4,τη χρονική στιγμή n το σήμα έχει πλάτος3, τη χρονική στιγμή n το σήμα έχει πλάτος και τη χρονική στιγμή n 3 το σήμα έχει πλάτος 6 Γραμμική συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου 6 Ορισμός γραμμικής συνέλιξης Η γραμμική συνέλιξη (linear convolution) δύο σημάτων διακριτού χρόνου ( n) και ( n) ορίζεται ως ακολούθως: ( n) ( n) ( n) ( k) ( n k) Το σύμβολο της γραμμικής συνέλιξης είναι το 6 Γραμμική συνέλιξη σημάτων άπειρης διάρκειας Όταν τα σήματα είναι άπειρης διάρκειας, τότε η γραμμική συνέλιξη είναι και αυτή ένα σήμα άπειρης διάρκειας Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου άπειρης διάρκειας στηρίζεται στις σειρές Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα ( ) n n a u ( n ) με a και ( n) u( n) Η γραμμική συνέλιξη ( n) ( n) ( n) είναι: Για k k k ( n) a u( k) u( n k) a u( k) u( n k) a u( k) u( n k) k k Επειδή ισχύει uk ( ) όταν k, έχουμε a u( k) u( n k) a u( n k) k k Επειδή ισχύει u( n k) όταν n k( n k ), έχουμε a u( k) u( n k) a u( k) Επομένως, για n k k k k ( n) a u( k) u( n k) a u( k) u( n k) a u( k) a u( k) Για k k ( n) ( n) ( n) ( k) ( n k) a u( k) u( n k) n k k k k k k ( n) a u( k) u( n k) a u( k) u( n k) a u( k) u( n k) a u( k) u( n k) k k Επειδή ισχύει uk ( ) όταν k, έχουμε a u( k) u( n k) a u( n k) Επειδή ισχύει uk ( ) όταν k και u( n k) όταν k n, έχουμε k k k k k k Επειδή ισχύει u( n k) όταν n k, έχουμε a u( k) u( n k) a u( k) k k k k k n k k n k k k n k k k k k k k a a u( k) u( n k) a a a n n n n k k n k k n k n Επομένως, για n n k k k a a ( n) a u( k) u( n k) a u( k) u( n k) a u( k) u( n k) a a n n (8) 78

Άρα n a, n n ( ) a, n Δηλαδή για κάθε ακέραιο n, η συνέλιξη των σημάτων ( n) και ( n) είναι: n a ( n) u( n) a 63 Γραμμική συνέλιξη σημάτων πεπερασμένης διάρκειας Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η γραμμική συνέλιξη είναι και αυτή ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας: Αν το σήμα ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A: T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A και το σήμα ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A : T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A, τότε η γραμμική συνέλιξη ( n) ( n) ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A: T ] [ A A : T T ] με μήκος L L L Πράγματι: L T A ( T T ) ( A A ) ( T A ) ( T A ) L L Επομένως η γραμμική συνέλιξη σημάτων πεπερασμένης διάρκειας αρχίζει από το άθροισμα των αρχών των δύο σημάτων και τελειώνει στο άθροισμα των τελών των δύο σημάτων Η γραμμική συνέλιξη δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας υπολογίζεται ακολουθώντας μία από τις παρακάτω μεθοδολογίες: (α) χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης, (β) χρήση πινάκων και (γ) χρήση της διαδικασίας υπολογισμού πολλαπλασιασμού πολυωνύμων (α) Χρήση πράξεων αναδίπλωσης και μετατόπισης Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης, όπως φαίνεται από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα ( n ) 4 ( n ) ( n ) 6 ( n ) 7 ( n ) και ( n ) 3 ( n ) ( n ) ( n 3) Το σήμα ( n ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] και το σήμα ( n ) στον χρονικό διάστημα [:3] Τότε η γραμμική συνέλιξη ( n) ( n) ( n) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [:] Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης φαίνεται παρακάτω: k -3 - - 3 4 ( 4 6 7 ( 3 ( k) 3 () 3 4 6 7 ( k) 3 () 4 3 6 7 3 ( k) 3 () 4 3 6 7 3 (3 k) 3 (3) 4 6 3 7 38 (4 k) 3 (4) 4 6 7 79

( k) 3 () 4 6 7 7 Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης Η διαδικασία του υπολογισμού της γραμμικής συνέλιξης γίνεται σε τέσσερα βήματα: Αναδίπλωση του ενός σήματος Μετατόπιση του αναδιπλωμένου σήματος στο διάστημα χρόνου του άλλου(αμετακίνητου) σήματος Η μετατόπιση γίνεται από τη στιγμή που το αναδιπλωμένο σήμα εισέρχεται στο διάστημα χρόνου του σταθερού σήματος μέχρι τη στιγμή που τοαναδιπλωμένο σήμα εξέρχεται από το διάστημα χρόνου του σταθερού σήματος 3 Πολλαπλασιασμός των τιμών του αμετακίνητου σήματος με τις τιμές του μετατοπισμένου σήματος 4 Πρόσθεση των τιμών Στο Σχήμα 9 παρουσιάζονται τα σήματα ( n) n, n[:], ( n ) n, n [ : 4] καθώς και η γραμμική συνέλιξη ( n) ( n) ( n) (n) - 4 6 8 (n) - 4 6 8 (n)=(n)*(n) - 4 6 8 Σχήμα 9Γραμμική συνέλιξη Είναι φανερό ότι η γραμμική συνέλιξη είναι μία πράξη κατά την οποία μεταβάλλεται τόσο το πλάτος όσο και ο χρόνος Μπορείτε να διερευνήσετε την γραμμική συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Διαδραστικό πρόγραμμα 4Γραμμική συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου 8

(β) Χρήση πινάκων Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας μπορεί να γίνει με χρήση πινάκων Αν το σήμα ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A: T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A και το σήμα ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A : T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A, τότε η γραμμική συνέλιξη ( n) ( n) ( n) είναι σήμα πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A: T ] [ A A : T T ] με μήκος L L L Η γραμμική συνέλιξη μπορεί να εκφραστεί σε μορφή πινάκων: P όπου - το διάνυσμα έχει τις τιμές του σήματος ( n) και είναι διαστάσεων L - ο πίνακας P έχει τις τιμές του σήματος ( n) αναδιπλωμένες και μετατοπισμένες και είναι διαστάσεων L L - το διάνυσμα έχει τις τιμές της συνέλιξης ( n) ( n) ( n) και είναι διαστάσεων L Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα ( n ) 4 ( n ) ( n ) 6 ( n ) 7 ( n ) και ( n ) 3 ( n ) ( n ) ( n 3) Το σήμα ( n ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ : ] με μήκος L 4 Το σήμα ( n ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [:3] με μήκος L 3 Έτσι η γραμμική συνέλιξη ( n) ( n) ( n) είναι σήμα πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [: ] με μήκος L 6 4 Από το σήμα ( n) προκύπτει το διάνυσμα διαστάσεων 4 6 7 3 3 Από το σήμα ( n) 3 προκύπτει ο πίνακας P διαστάσεων 6 4 3 Τότε η γραμμική συνέλιξη ( n) ( n) ( n) έχει τιμές, τις τιμές του διανύσματος 3 3 4 3 3 3 P διαστάσεων 6 3 6 38 7 7 Παρατήρηση: Ο πίνακας P είναι πίνακας Toeplitz (όλα τα στοιχεία κατά μήκος κάθε διαγωνίου έχουν την ίδια τιμή) και αποτελείται από το σκιασμένο μέρος του πίνακα υπολογισμού της γραμμικής συνέλιξης της προηγούμενης παραγράφου 8

(γ) Χρήση διαδικασίας υπολογισμού πολλαπλασιασμού πολυωνύμων Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας μπορεί να γίνει με χρήση της διαδικασίας υπολογισμού πολλαπλασιασμού κατάλληλων πολυωνύμων, με συντελεστές τα πλάτη των σημάτων Οι συντελεστές του γινομένου αντιστοιχούν στο πλάτος της γραμμικής συνέλιξης των σημάτων Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα ( n ) 4 ( n ) ( n ) 6 ( n ) 7 ( n ) και ( n ) 3 ( n ) ( n ) ( n 3) Θεωρούνται τα πολυώνυμα: 3 f ( ) 4 6 7 και g( ) 3 που έχουν συντελεστές τις τιμές των σημάτων Τότε ο πολλαπλασιασμός των πολυωνύμων είναι: 3 3 4 f ( ) g( ) 4 6 7 3 3 3 38 7 ή g( ) f ( ) 3 4 6 7 3 3 38 7 Είναι φανερό ότι οι συντελεστές του γινομένου των πολυωνύμων είναι οι τιμές της γραμμικής συνέλιξης ( n) ( n) ( n) 64 Ιδιότητες γραμμικής συνέλιξης 3 3 4 Ταυτοτικό στοιχείο Ταυτοτικό στοιχείο της γραμμικής συνέλιξης είναι το σήμαμοναδιαίουδείγματος () n : ( n) ( n) ( n) Απόδειξη Από το ορισμό της γραμμικής συνέλιξης έχουμε: ( n) ( n) ( k) ( n k) k Από τον τύπο της ανάλυσης σημάτων (7) έχουμε: ( n) ( k) ( n k) k Άρα: ( n) ( n) ( n) Η γραμμική συνέλιξη οποιουδήποτε σήματος n ( ) με το σήμα μοναδιαίου δείγματος () n είναι το ίδιο το σήμα n ( ) Στο Σχήμα παρουσιάζεται το σήμα ( n) n, n[ :] και η συνέλιξη ( n) ( n) ( n) (9) 8

(n) - -4-3 - - 3 4 δ(n) (n)=(n)*δ(n) - -4-3 - - 3 4 - -4-3 - - 3 4 Σχήμα Ταυτοτικό στοιχείο γραμμικής συνέλιξης Επίσης ισχύει: ( n) ( n n ) ( n n ) Απόδειξη Από το ορισμό της γραμμικής συνέλιξης έχουμε: ( n) ( n n ) ( k) ( n n k) k Από τον τύπο της ανάλυσης σημάτων (7) έχουμε: ( n n ) ( k) ( n n k) k Άρα ( n) ( n n ) ( n n ) () Αντιμεταθετική ιδιότητα Ηαντιμεταθετική ιδιότητατης γραμμικής συνέλιξης είναι: ( n) ( n) ( n) ( n) () Απόδειξη Από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης, την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού και την αλλαγή μεταβλητής m n k έχουμε: ( n) ( n) ( k) ( n k) ( n k) ( k) ( m) ( n m) ( n) ( n) k k m Η ισχύς της αντιμεταθετικής ιδιότητας επιβεβαιώνεται από τα παραδείγματα της προηγούμενης παραγράφου Στο Σχήμα παρουσιάζονται τα σήματα ( n) n, n[:] και ( n ) n, n [ : 4], καθώς και οι ίσες μεταξύ τους συνελίξεις ( n) ( n) και ( n) ( n) 83

(n) - 4 6 8 (n) (n)*(n) (n)*(n) - 4 6 8-4 6 8-4 6 8 Σχήμα Αντιμεταθετική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης Προσεταιριστική ιδιότητα Ηπροσεταιριστική ιδιότητατης γραμμικής συνέλιξης είναι: ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) 3 3 84 () Απόδειξη Θέτουμε z( n) ( n) 3( n) Από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης σε συνδυασμό με την αντιμεταθετική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης έχουμε: z( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( ) ( n ) 3 3 3 οπότε για οποιονδήποτε ακέραιο γράφουμε: z( n k) ( ) ( n k ) Επίσης, χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα που ισχύει στους πραγματικούς αριθμούς, μπορούμε να γράψουμε: ( n) ( n) 3 ( n) ( n) z( n) ( k) z( n k) ( k) 3( ) ( n k ) k k Όμοια, θέτοντας k 3 ( k) ( ) ( n k ) ( k) ( n k ) ( ) k 3 3 k y( n) ( n) ( n), από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης έχουμε: y( n) ( n) ( n) ( k) ( n k) k οπότε για οποιονδήποτε ακέραιο γράφουμε: y( n k) ( k) ( n k) ( k) ( n k ) Από την αντιμεταθετική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης και την αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα που ισχύει στους πραγματικούς αριθμούς, μπορούμε να γράψουμε: k k k

( n) ( n) ( n) y( n) ( n) ( n) y( n) ( ) y( n k) 3 3 3 3 3 ( ) ( k) ( n k ) 3( ) ( k) ( n k ) ( k) ( n k ) 3( ) k k k Επομένως ( n) ( n) 3 ( n) ( n) ( n) 3 ( n) Η προσεταιριστική ιδιότητα έχει μεγάλη σημασία στα Γραμμικά Συστήματα και ιδιαίτερα στα Συστήματα που συνδέονται σε σειρά, όπως θα εξηγηθεί στο επόμενο κεφάλαιο Η προσεταιριστική ιδιότητα μαζί με την αντιμεταθετική ιδιότητα έχουν ως αποτέλεσμα το γεγονός ότι η γραμμική συνέλιξη πολλών σημάτων υπολογίζεται ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία γίνεται η συνέλιξη των σημάτων Στο Σχήμα παρουσιάζονται τα σήματα ( n) n, n[:], ( n ) n, n [ : 4] και 3 ( n ) n 4, n [ :], καθώς και τα ίσα μεταξύ τους σήματα ( n) [ ( n) 3 ( n)] και [ ( n) ( n)] ( n) 3 (n) (n) 3(n) s(n) s(n) - 4 6 8-4 6 8-4 6 8 s(n)=[(n)*(n)]*3(n) - 4 6 8 s(n)=(n)*[(n)*3(n)] - 4 6 8 Σχήμα Προσεταιριστική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης Επιμεριστική ιδιότητα Ηεπιμεριστική ιδιότητατης γραμμικής συνέλιξης είναι: ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) 3 3 (3) Απόδειξη Από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης και την επιμεριστική ιδιότητα που ισχύει στους πραγματικούς αριθμούς, έχουμε: 8

( n) ( n) ( n) ( n) ( k) ( n k) ( k) ( n k) 3 3 k k ( k) ( n k) ( n k) ( n) ( n) ( n) k 3 3 Η προσεταιριστική ιδιότητα έχει μεγάλη σημασία στα Γραμμικά Συστήματα και ιδιαίτερα στα Συστήματα που συνδέονται παράλληλα, όπως θα εξηγηθεί στο επόμενο κεφάλαιο Στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται τα σήματα ( n) n, n[:], ( n ) n, n [ : 4] και 3 ( n ) n 4, n [ :], καθώς και τα ίσα μεταξύ τους σήματα ( n) [ ( n) 3( n)] και [ ( n) ( n)] [ ( n) ( n)] 3 (n) (n) 3(n) s(n) s(n) - 4 6 8-4 6 8-4 6 8 s(n)=(n)*[(n)+3(n)] - 4 6 8 s(n)=(n)*(n)+(n)*3(n) - 4 6 8 Σχήμα 3Επιμεριστική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης 7 Συσχέτιση σημάτων διακριτού χρόνου 7 Ετεροσυσχέτιση σημάτων διακριτού χρόνου Η ετεροσυσχέτιση (crosscorrelation) δύο πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου n ( ) και yn () ορίζεται ως ακολούθως: r ( n) ( k) y( n k) ( k) y( k n) y k k Η ετεροσυσχέτιση σχετίζεται με τη γραμμική συνέλιξη: r ( ) ( ) ( ) y n n y n (4) () 86

Απόδειξη 87 Είναι προφανές ότι η ετεροσυσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί μέσω της γραμμικής συνέλιξης Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η ετεροσυσχέτιση είναι και αυτή ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης Στην πραγματικότητα δεν απαιτείται η αναδίπλωση του μετατοπιζόμενου σήματος, γιατί πρέπει να αναδιπλωθεί δύο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Αν το σήμα n ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A : T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A και το σήμα yn () είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ Ay: Ty] (όπου Ay καιty είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος Ly Ty Ay, τότε το σήμα y( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα[ Ty : Ay] με μήκος L y και η ετεροσυσχέτιση ry ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A T : T A ] Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα ( n) 4 ( n ) ( n) και y( n) ( n ) ( n 3) 3 ( n 4) Το σήμα n ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] και το σήμα yn () στον χρονικό διάστημα [: 4] Τότε το σήμα y( n) υπάρχει στον χρονικό διάστημα[ 4: ] και η ετεροσυσχέτιση r ( n) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης r ( n) y( n) ( k) y ( n k) ( k) y( k n) r ( n) k k k ( ) yk ( ) ( n) φαίνεται παρακάτω: -3 - - 3 4 4 3 y( k) 3 ry ( ) 3 4 y(4 k) 3 ry ( 4) 4 3 3 y(3 k) 3 ry ( 3) 4 4 y( k) 3 ry ( ) 4 Υπολογισμός ετεροσυσχέτισης Το σήμα n ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] και το σήμα yn () στον χρονικό διάστημα [: 4] Τότε το σήμα ( n) υπάρχει στον χρονικό διάστημα[:] και η ετεροσυσχέτιση r ( n) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [:] Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης r ( y n ) φαίνεται παρακάτω: k k ( ) yk ( ) - 3 4 4 k y 3 k ( ) 4 ry () 3 k ( 3) 4 ry (3) 4 3 4 k ( 4) 4 ry (4) 4 3 3 k ( ) 4 ry () 43 Υπολογισμός ετεροσυσχέτισης y y y y y

Αξίζει να σημειωθεί ότι ισχύει: r ( n) r ( n) y y Απόδειξη r ( n) y( n) ( ( n)) y( n) ( n) ( n) y( n) r ( n) y y (6) 7 Αυτοσυσχέτιση σήματος διακριτού χρόνου Η αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: r ( n) ( k) ( n k) ( k) ( k n) k Η αυτοσυσχέτιση σχετίζεται με τη γραμμική συνέλιξη: r ( n) ( n) ( n) Απόδειξη k ( n) ( n) ( k) ( n k) ( k) ( k n) r ( n) k k (7) (8) Είναι προφανές ότι η αυτοσυσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί μέσω της γραμμικής συνέλιξης Όταν ένα σήμαείναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η αυτοσυσχέτιση είναι και αυτή ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Ο υπολογισμός της αυτοσυσχέτισης μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης Στην πραγματικότητα δεν απαιτείται η αναδίπλωση του μετατοπιζόμενου σήματος, γιατί πρέπει να αναδιπλωθεί δύο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Αν το σήμα n ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα[ A : T] με μήκος L T A, τότε το σήμα ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα[ T : A] με μήκος L και η αυτοσυσχέτιση r ( n ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A T : T A ] Παράδειγμα Δίνεται το σήμα ( n) ( n ) 4 ( n) ( n ) Το σήμα n ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] Τότε το σήμα ( n) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] και η αυτοσυσχέτιση r ( n ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ 3:3] Ο υπολογισμός της αυτοσυσχέτισης r ( n) φαίνεται παρακάτω: k k ( ) - -4-3 - - 3 4 4 k ( 3) 4 r ( 3) 4 k ( ) 4 r ( ) 4 4 8 k ( ) 4 r ( ) 4 4 k ( ) 4 r () 44 4 k ( ) 4 r () 4 4 k ( ) 4 r () 4 8 k ( 3) 4 r (3) 4 Υπολογισμός αυτοσυσχέτισης Αξίζει να σημειωθεί ότι η αυτοσυσχέτιση έχει άρτια συμμετρία: r( n) r( n) (9) Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τον τύπο (8) και την αντιμεταθετική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης, μπορούμε να γράψουμε: r ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) r ( n) 88

r ( n) Για παράδειγμα, στο Σχήμα 4 παρουσιάζεται το σήμα ( n) n, n[:] και η αυτοσυσχέτιση, όπου φαίνεται ότι είναι άρτιο σήμα 4 (n) 3 - -4-3 - - 3 4 6 4 r(n) - -4-3 - - 3 4 Σχήμα 4Αυτοσυσχέτιση Επίσης, αξίζει να σημειωθεί η αυτοσυσχέτιση ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου σχετίζεται με την ενέργεια του σήματος: () ( ) n r E n () Τέλος, ηαυτοσυσχέτισηενός πραγματικού σήματος ισχύος διακριτού χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: N N r ( n) lim ( k) ( n k) lim ( k) ( k n) () N N N nn N nn Τότε η αυτοσυσχέτιση σχετίζεται με την μέση ισχύ του πραγματικού σήματος: N r () P lim ( n) () N N nn 8 Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον --3--- Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlab είναι το βιβλίο The MathWorks Inc, Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlab είναι τα βιβλία Ingle and Proakis, 3 και Leis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlab είναι τα βιβλία Ασημάκης, 8 (για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου) και Παρασκευάς, 4 (για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου) Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eaton, Bateman, Hauberg, Wehbring, και Hansen, Η συνάρτηση signaladd παράγει το άθροισμα δύο σημάτων function [y,n]=signaladd(,n,,n) % addition 89

% y(n)=(n)+(n) n=min(min(n),min(n)):ma(ma(n),ma(n)); y=zeros(,length(n)); y=y; y(find((n>=min(n))&(n<=ma(n))==))=; y(find((n>=min(n))&(n<=ma(n))==))=; y=y+y; Η συνάρτηση signaladdέχει εισόδους τις παραμέτρους,n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του πρώτου σήματος και τις παραμέτρους,n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του δεύτερου σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους y και n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του αθροίσματος Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση των παραμέτρων n,nκαι n, γιατί είναι διανύσματα Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( n) ( n) ( n) με ( n) ( n) ( n ) και ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) απαιτείται η κλήση =[ ]; n=[ ]; =[3 4], n=[ 3]; [y,n]= signaladd (,n,,n) Η συνάρτηση signalmult παράγει το γινόμενο δύο σημάτων function[y,n]=signalmult(,n,,n) % multiplication % y(n)=(n)(n) n=min(min(n),min(n)):ma(ma(n),ma(n)); y=zeros(,length(n)); y=y; y(find((n>=min(n))&(n<=ma(n))==))=; y(find((n>=min(n))&(n<=ma(n))==))=; y=y*y; Η συνάρτηση signalmultέχει εισόδους τις παραμέτρους,n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του πρώτου σήματος και τις παραμέτρους,n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του δεύτερου σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους y και n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του γινομένου Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση των παραμέτρων n,nκαι n, γιατί είναι διανύσματα Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( n) ( n) ( n) με ( n) ( n) ( n ) και ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) απαιτείται η κλήση =[ ]; n=[ ]; =[3 4], n=[ 3]; [y,n]= signalmult (,n,,n) Η συνάρτηση signalshiftυλοποιεί τη μετατόπιση ή ολίσθηση σήματος function[y,n]=signalshift(,m,n) % shift % y(n)=(n-n) n=m+n; y=; Η συνάρτηση signalshift έχει εισόδους τις παραμέτρους,m που είναι το πλάτος και ο χρόνος του σήματος και την παράμετρο n, που είναι ο χρόνος μετατόπισης Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους y και n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του μετατοπισμένου σήματος Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της παραμέτρου m, γιατί είναι διάνυσμα Επίσης, ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της παραμέτρου n, γιατί αφορά στην κατεύθυνση της μετατόπισης: αν n, τότε η μετατόπιση γίνεται δεξιά και έχουμε καθυστέρηση, αν n, τότε η μετατόπιση γίνεται αριστερά και έχουμε πρωτοπορία, ενώ αν n, τότε το σήμα δεν μετατοπίζεται Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( n) ( n ) με ( n) ( n) ( n ) απαιτείται η κλήση =[ ]; m=[ ]; [y,n]= signalshift (,m,), ενώ για την παραγωγή του σήματος y(n) = (n + 4)με (n) = δ(n) + δ(n )απαιτείται η κλήση =[ ]; m=[ ]; [y,n]= signalshift (,m,-4) Η συνάρτηση signalfoldυλοποιεί την αναδίπλωση ή ανάκλαση σήματος function[y,n]=signalfold(,n) 9

% fold % y(n)=(-n) y=fliplr(); n=-fliplr(n); Η συνάρτηση signalfoldέχει εισόδους τις παραμέτρους,n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους y και n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του αναδιπλωμένου σήματος Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της παραμέτρου n, γιατί είναι διάνυσμακαι γιατί χρησιμοποιείται ως παράμετρος εισόδου για τον χρόνο του σήματος και ως παράμετρος εξόδου για τον χρόνο του αναδιπλωμένου σήματος Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( n) ( n) με ( n) ( n) ( n ) 3 ( n ) απαιτείται η κλήση =[ 3]; n=[ ]; [y,n]= signalfold (,n) Η συνάρτηση signalscaldivυλοποιεί τη διαίρεση συχνότητας σήματος function[y]=signalscaldiv(c,) % frequency division % (n) n=:l % y(n)=(cn) % c> nl=length(); m=floor(nl/c); for i=:m y(i)=(i*c); end; Η διαίρεση συχνότητας ενός σήματος διακριτού χρόνου n ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( n) ( cn), όπου c Η συνάρτηση signalscaldiv έχει εισόδους την παράμετρο, που είναι το πλάτος του σήματος και την παράμετροc, που αφορά στον τρόπο «συρρίκνωσης» του σήματος και που πρέπει να είναι θετικός ακέραιος αριθμός Η συνάρτηση έχει έξοδο την παράμετρο y που είναι το πλάτος του σήματος που προκύπτει από τη διαίρεση συχνότητας Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της συνάρτησης, γιατί η αφορά σε σήματα πεπερασμένης διάρκειας που αρχίζουν τη χρονική στιγμή n Αυτός είναι ο λόγος που η συνάρτηση δενασχολείται με τον χρόνο του σήματος Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( n) ( n) με ( n) n, n[:] απαιτείται η κλήση =[:]; [y]=signalscaldiv(,) Η συνάρτηση signalscalmulυλοποιεί τον πολλαπλασιασμό συχνότητας σήματος function[y]=signalscalmul(c,) % frequency multiplication % (n) n=:l % y(n)=(n/c) % c> nl=length(); m=nl*c; for i=:m y(i)=; if mod(i,c)== y(i)=(i/c); end; end; n Ο πολλαπλασιασμός συχνότητας ενός σήματος διακριτού χρόνου n ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( n), c όπου c Η συνάρτηση signalscalmul έχει εισόδους την παράμετρο, που είναι το πλάτος του σήματος και την Η συνάρτηση signalscalmul έχει εισόδους την παράμετρο, που είναι το πλάτος του σήματος και την παράμετροc, που αφορά στον τρόπο «απλώματος» του σήματοςκαι που πρέπει να είναι θετικός ακέραιος αριθμός Η συνάρτηση έχει έξοδο την παράμετρο y, που είναι το πλάτος του σήματος που 9

προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό συχνότητας Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της συνάρτησης γιατί η αφορά σε σήματα πεπερασμένης διάρκειας που αρχίζουν τη χρονική στιγμή n Αυτός είναι ο λόγος που η συνάρτηση δενασχολείται με τον χρόνο του σήματος Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του n σήματος y( n) με ( n) n, n[,] απαιτείται η κλήση =[:]; [y]=signalscalmul(,) Η συνάρτηση signalsconvυλοποιεί τη γραμμική συνέλιξη δύο σημάτων function [,n]=signalconv(,n,,n) % linear convolution % (n)=(n)*(n) nyb=n()+n(); nye=n(length())+n(length()); n=[nyb:nye]; =conv(,); Η συνάρτηση signalsconvέχει εισόδους τις παραμέτρους,n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του πρώτου σήματος και τις παραμέτρους,n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του δεύτερου σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους και n, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του σήματος της γραμμικής συνέλιξης των δύο σημάτων Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση των παραμέτρων nκαι n γιατί είναι διανύσματα Αξίζει να σημειωθεί ότι η συνάρτηση χρησιμοποιεί τη συνάρτηση conv, η οποία χρησιμοποιείται για πολλαπλασιασμό πολυωνύμων και υπολογίζει το πλάτος της γραμμικής συνέλιξης, χωρίς να υπολογίζει τον χρόνο ύπαρξή της Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος ( n) ( n) ( n) με ( n) ( n) ( n ) και ( n ) 3 ( n ) 4 ( n 3) απαιτείται η κλήση =[ ]; n=[ ]; =[3 4], n=[ 3]; [,n]=signalconv (,n,,n) Να μελετήσετε τη συνάρτηση conv Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου -----6 Ταξινόμηση πράξεων σημάτων συνεχούς χρόνου Οι πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου διακρίνονται σε πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και σε πράξεις μετασχηματισμού χρόνου Οι πράξεις μετασχηματισμού πλάτους, όπου μεταβάλλεται το πλάτος των σημάτων είναι: Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Κλιμάκωση στο πλάτος Οι πράξεις μετασχηματισμού χρόνου, όπου δεν μεταβάλλεται το πλάτος των σημάτων, αλλά η χρονική διάρκειά τους είναι: Μετατόπιση ή ολίσθηση Αναδίπλωσηή ανάκλαση Κλιμάκωση στον χρόνο Τέλος, μία ιδιαίτερη πράξη των σημάτων διακριτού χρόνου είναι η συνέλιξη, όπου μεταβάλλεται τόσο το πλάτος, όσο και ο χρόνος Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους Πρόσθεση σημάτων Η πρόσθεση δύο σημάτων συνεχούς χρόνου () t και () t παράγει ένα νέο σήμα t () με πλάτος το άθροισμα των πλατών των σημάτων, που προστίθενται: ( t) ( t) ( t) (3) 9

Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το άθροισμά τους είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Το άθροισμα υπάρχει στην ένωση των διαστημάτων χρόνου των σημάτων που αθροίζονται Αν τα διαστήματα του χρόνου των σημάτων που αθροίζονται είναι ξένα μεταξύ τους, τότε το άθροισμα στο διάστημα του χρόνου ανάμεσα σε αυτά τα διαστήματα χρόνου είναι μηδέν Πολλαπλασιασμός σημάτων Ο πολλαπλασιασμός δύο σημάτων συνεχούς χρόνου () t και () t παράγει ένα νέο σήμα t () με πλάτος το γινόμενο των πλατών των σημάτων, που πολλαπλασιάζονται: ( t) ( t) ( t) (4) Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το γινόμενό τους είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Το γινόμενο υπάρχει στην τομή των διαστημάτων χρόνου των σημάτων που πολλαπλασιάζονται Αν τα διαστήματα του χρόνου των σημάτων που πολλαπλασιάζονται είναι ξένα μεταξύ τους, τότε το γινόμενο είναι μηδέν 3 Κλιμάκωση στο πλάτος Η κλιμάκωση στο πλάτοςενός σήματος συνεχούς χρόνου t () παράγει ένα νέο σήμα yt () με πλάτος το πλάτος του σήματος t () πολλαπλασιασμένο επί έναν πραγματικό συντελεστή c : y( t) c ( t) () Όταν τo σήμα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η κλιμάκωση στο πλάτος του σήματος είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας και μάλιστα έχει την ίδια διάρκεια με το αρχικό σήμα 3 Πράξεις μετασχηματισμού χρόνου 3 Μετατόπιση ή ολίσθηση Η μετατόπιση ή ολίσθηση ενός σήματος συνεχούς χρόνου t () παράγει ένα νέο σήμα y( t) ( t t ) με πλάτος το πλάτος του σήματος t () μετατοπισμένο δεξιά ή αριστερά κατά t Στο Σχήμα παρουσιάζεται το σήμα ( t) t, t [,] και οι μετατοπίσεις t ( ) και t ( ) (6) 93

(t) - -4-3 - - 3 4 time t (t-) - -4-3 - - 3 4 time t (t+) - -4-3 - - 3 4 time t Σχήμα Μετατόπιση ή ολίσθηση 3 Αναδίπλωση ή Ανάκλαση Η αναδίπλωση ή ανάκλαση ενός σήματος συνεχούς χρόνου t () παράγει το συμμετρικό σήμα του σήματος t () ως προς τον άξονα των τεταγμένων y( t) ( t) (7) Η πράξη της αναδίπλωσης έχει ως αποτέλεσμα την εναλλαγή μεταξύ «μέλλοντος» και «παρελθόντος» του σήματος, δηλαδή παρατηρείται το φαινόμενο του «καθρεπτισμού» ως προς τον άξονα των τεταγμένων Αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή t, αν υπάρχει, παραμένει η ίδια Στο Σχήμα 6 παρουσιάζεται το σήμα ( t) t, t [,] και η αναδίπλωση ( t) 94

(t) - -4-3 - - 3 4 time t (-t) - -4-3 - - 3 4 time t Σχήμα 6Αναδίπλωση ή ανάκλαση 33 Κλιμάκωση στον χρόνο Η κλιμάκωση στον χρόνο ενός σήματος συνεχούς χρόνου t () παράγει ένα νέο σήμα y( t) ( c t) (8) όπου c είναι θετικός πραγματικός αριθμός Αν c, τότε το σήμα t () «συρρικνώνεται» ή «συστέλλεται», ενώ αν c, τότε το σήμα t () «απλώνεται» ή «διαστέλλεται» Στο Σχήμα 7 φαίνεται η συστολή y( t) ( t) του σήματος ( t) t, t [,] 9

(t) - -4-3 - - 3 4 time t (t) - -4-3 - - 3 4 time t Σχήμα 7Κλιμάκωση στον χρόνο: συστολή t Στο Σχήμα 8 φαίνεται η διαστολή y() t του σήματος ( t) t, t [,] (t) - -4-3 - - 3 4 time t (t/) - -4-3 - - 3 4 time t Σχήμα 8Κλιμάκωση στον χρόνο: διαστολή 96

4 Ανάλυση σημάτων συνεχούς χρόνου Στο σημείο αυτό δίνεται ο τύπος της ανάλυσης σημάτων συνεχούς χρόνου, που είναι πολύ σημαντικός στην Επεξεργασία Σημάτων: ( t) ( k) ( t k) Ο τύπος αποτελεί προσέγγιση του σήματος συνεχούς χρόνου t () με το κλιμακωτό σήμα t () Όταν, τότε και k ( t) lim ( t) lim ( k) ( t k) ( t) ( ) ( t ) d Ο τύπος περιγράφει ένα σήμα συναρτήσει της συνάρτησης δέλτα Συνέλιξη σημάτων συνεχούς χρόνου (9) (3) Ορισμός συνέλιξης Η συνέλιξη (convolution) δύο σημάτων συνεχούς χρόνου () t και () t ορίζεται ως ακολούθως: ( t) ( t) ( t) ( ) ( t ) d (3) Υπολογισμός συνέλιξης Η διαδικασία του υπολογισμού της συνέλιξης γίνεται σε τέσσερα βήματα: Αναδίπλωση του σήματος () t Μετατόπισητου αναδιπλωμένου σήματος 3 Πολλαπλασιασμός του «αμετακίνητου» σήματος () t με το μετατοπισμένο σήμα 4 Ολοκλήρωσητου γινομένου (υπολογισμός του εμβαδού που δημιουργείται από την γραφική παράσταση του γινομένου και του άξονα του χρόνου) Παράδειγμα Δίνονται τα σήματασυνεχούς χρόνου ( t ), t [,4] και ( t) t, t [,] Να υπολογίσετε την συνέλιξη ( t) ( t) ( t) Για t έχουμε ( t) ( t) ( t) Για t έχουμε Για ( t) ( t) ( t) ( ) ( t ) d ( t ) d ( t ) d t 4 t t t t ( t) ( t) t 4 t t έχουμε t 97

( t) ( t) ( t) ( ) ( t ) d ( t ) d ( t ) d Για t t 4t 6 t Για t 6 έχουμε ( t) ( t) ( t) Στο Σχήμα 9 φαίνεται ο υπολογισμός της συνέλιξης με τα εμβαδά που δημιουργούνται από την γραφική παράσταση του γινομένου και του άξονα του χρόνου) t t t ( t ) ( t) ( t) t ( t) ( t ) t t t 4t 4 ( t) t ( t) t ( t) 4t 4 ( t) 8 4t 4t 4 4 έχουμε t 4 4 ( t) ( t) ( t) ( ) ( t ) d ( t ) d ( t ) d t t t 4 4 4 ( t ) ( t) ( t) 4 ( t) ( t ) t t ( t) 4 ( t) t ( t) 4 t 4t 4 6 t 4t 4 t 4t ( t) 6 ( t) t ( t) (6 t) t 6 t 4 t 4 t t t 36 98

Σχήμα 9Υπολογισμός συνέλιξης σημάτων συνεχούς χρόνου με εμβαδά Τα εμβαδά είναι: Για t E t 4 ( t) t (4 4 t) t (8 t) 4t t Για t 4 99

E 4 t ( t ) 4 ( t t ) 4 Για 4t 6 έχουμε E3 (6 t) 4 ( t ) (6 t) (6 t) t t 36 και βέβαια υπάρχει απόλυτη συμφωνία με τον υπολογισμό του ολοκληρώματος της συνέλιξης Στο Σχήμα παρουσιάζονται τα σήματα συνεχούς χρόνου ( t ), t [,4] και ( t) t, t [,] και η συνέλιξη ( t) ( t) ( t) (t) (t) (t)=(t)*(t) 3 3 4 6 time t 3 3 4 6 time t 3 4 6 time t 3 Ιδιότητες συνέλιξης Σχήμα Συνέλιξη σημάτων συνεχούς χρόνου Ταυτοτικό στοιχείο Ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης είναι το σήμαμοναδιαίου παλμού () t : ( t) ( t) ( t) (3) Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνέλιξηςκαι χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 4 (), εφόσον το σήμα t () είναι συνεχές στο t, έχουμε: ( t) ( t) ( ) ( t ) d ( ) ( ( t)) d ( ) ( t) d ( t) Αντιμεταθετική ιδιότητα Ηαντιμεταθετική ιδιότητατης συνέλιξης είναι: ( t) ( t) ( t) ( t) Απόδειξη (33)

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνέλιξης, κάνοντας αλλαγή μεταβλητής μέσω της αντικατάστασης t και από τη γνωστή ιδιότητα των ολοκληρωμάτων b a a f ( t) d f ( t) dt, έχουμε: b ( t) ( t) ( ) ( t ) d ( t ) ( ) d ( ) ( t ) d ( ) ( t ) d ( t) ( t) Προσεταιριστική ιδιότητα Ηπροσεταιριστικήιδιότητατης συνέλιξης είναι: ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) 3 3 Απόδειξη Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση Επιμεριστική ιδιότητα Ηεπιμεριστικήιδιότητατης συνέλιξης είναι: ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) 3 3 Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνέλιξης και την ιδιότητα των ολοκληρωμάτων f ( t) dt g( t) dt f ( t) g( t) dt, έχουμε: ( t) ( t) ( t) ( t) ( ) ( t ) d ( ) ( t ) d 3 3 ( ) ( t ) ( ) ( t ) d 3 ( ) ( t ) ( t ) d ( t) ( t) ( t) 3 3 (34) (3) 6 Συσχέτιση σημάτων συνεχούς χρόνου 6 Ετεροσυσχέτιση σημάτων συνεχούς χρόνου Η ετεροσυσχέτιση (crosscorrelation) δύο πραγματικών σημάτων t () και yt () συνεχούς χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: r ( t) ( ) y( t) d ( t) y( ) d y Η ετεροσυσχέτιση σχετίζεται με τη συνέλιξη: r ( ) ( ) ( ) y t t y t Απόδειξη ( t) y( t) ( ) y ( t ) d ( ) y( t) d r ( t) Είναι προφανές ότι η ετεροσυσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί μέσω της γραμμικής συνέλιξης y (36) (37)

Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης Στην πραγματικότητα δεν απαιτείται η αναδίπλωση του μετατοπιζόμενου σήματος, γιατί πρέπει να αναδιπλωθεί δύο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Αξίζει να σημειωθεί ότι ισχύει: r ( t) r ( t) (38) y y Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τη σχέση (37) που συνδέει την ετεροσυσχέτιση με τη συνέλιξη και την αντιμεταθετική ιδιότητα της συνέλιξης (33), μπορούμε να γράψουμε: r ( t) y( t) ( ( t)) y( t) ( t) ( t) y( t) r ( t) y 6 Αυτοσυσχέτιση σήματος συνεχούς χρόνου Η αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) ενός πραγματικού σήματος συνεχούς χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: r ( t) ( ) ( t) d ( t) ( ) d Η αυτοσυσχέτιση σχετίζεται με τη συνέλιξη: r ( t) ( t) ( t) Απόδειξη (39) (4) Είναι προφανές ότι η αυτοσυσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί μέσω της γραμμικής συνέλιξης Ο υπολογισμός της αυτοσυσχέτισης μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης Στην πραγματικότητα δεν απαιτείται η αναδίπλωση του μετατοπιζόμενου σήματος, γιατί πρέπει να αναδιπλωθεί δύο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Αξίζει να σημειωθεί ότι η αυτοσυσχέτιση έχει άρτια συμμετρία: r ( t) r ( t) Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τη (39) έχουμε: ( t) ( t) ( ) ( t ) d ( ) ( t) d r ( t) r ( t) ( ) ( ( t)) d ( ) ( t) d r ( t) (4) Επίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι η αυτοσυσχέτιση ενός πραγματικού σήματος συνεχούς χρόνου σχετίζεται με την ενέργεια του σήματος: () ( ) r E t dt Τέλος, ηαυτοσυσχέτισηενός πραγματικού σήματος ισχύος συνεχούς χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: T T r ( t) lim ( ) ( t) d lim ( t) ( ) d (43) T T T T T T Τότε η αυτοσυσχέτιση σχετίζεται με την μέση ισχύ του σήματος: T r () P lim ( t) dt (44) T T T y (4) 3 Λυμένες ασκήσεις Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου --3-4--

Να βρείτε τη συνθήκη (που αφορά στον χρόνο) που πρέπει να ικανοποιείται, ώστε ένα σήμα διακριτού χρόνου n ( ) να έχει το ίδιο πεδίο ορισμού με το σήμα ( n) Λύση Αν το αρχικό σήμα n ( ) έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ n: n ], τότε το σήμα ( n) έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ n : n] Για να έχουν τα δύο σήματα το ίδιο πεδίο ορισμού πρέπει να ισχύει n n ή n n, το οποίο σημαίνει ότι το είναι το κέντρο συμμετρίας του διαστήματος [ n: n] Δίνονται τα σήματα διακριτού χρόνου ( n ) ( n ) ( n ) ( n) 4 ( n) ( n ) Να υπολογίσετε τις πράξεις α ( n) 3 ( n 3) n β 3 ( n ) Λύση α ( n) 3 ( n 3) n β 3 ( n ) n () n ( n) n 3 n ( n) ( n ) n () n ( n) ( n) ( n3) 3 ( n3) ( n) 3 ( n 3) n 3 ( n ) - - 3 4 4-4 - -3-3 - - 3 4 4-3 4 - - - 3 3 Δίνονται τα σήματαδιακριτού χρόνου ( n ) ( n ) ( n ) 3 ( n ) ( n) ( n) 6 ( n ) Να υπολογίσετε τη γραμμική συνέλιξη ( n) ( n) ( n) Λύση Το σήμα ( n ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] και το σήμα ( n ) στον χρονικό διάστημα [:] Τότε η γραμμική συνέλιξη υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] 3

Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης φαίνεται παρακάτω: k -3 - - ( 3 ( 6 ( 6 ( 6 ( ) 3 ( 6 ( ) 6 3 8 (3 k) 6 () 6 3 (4 6 () 63 3 ( k) 6 () 6 3 8 4Δίνονται τα σήματα διακριτού χρόνου ( n) ( n) 4 ( n ) 6 ( n ) y( n) ( n) 3 ( n ) Να υπολογίσετε την ετεροσυσχέτιση r ( n) Λύση Το σήμα ( n ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [: ] και το σήμα ( n ) στον χρονικό διάστημα [:] Τότε το σήμα ( n) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] και η ετεροσυσχέτιση r ( n ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης k k ( ) yk ( ) y ry ( n) φαίνεται παρακάτω: -3 - - 3 4 4 6 3 yk ( ) 3 ry ( ) 3 4 6 6 yk ( ) 3 ry () 34 6 4 yk ( ) 3 ry () 4 36 yk ( ) 3 ry () 4 6 6 y Δίνεται το σήμα αυτοσυσχέτισης r ( n) ( n ) ( n) ( n ) Να βρείτε το σήμα πεπερασμένης διάρκειας n ( ) από το οποίο προήλθε,αν γνωρίζετε ότι το σήμα αρχίζει τη χρονική στιγμή n Λύση Αρχικά παρατηρούμε ότι το σήμα n ( ) μπορεί να είναι σήμα αυτοσυσχέτισης αφού είναι άρτιο σήμα Το σήμα n ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [: ] Τότε το σήμα ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα[ :] και η αυτοσυσχέτιση r ( n) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ : ] Όμως, από την εξίσωση του σήματος αυτοσυσχέτισης είναι προφανές ότι το σήμα n ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ :] Επομένως πρέπει να ισχύει Άρα το σήμα n ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [:], με τιμές () και () που πρέπει να υπολογιστούν Ο υπολογισμός της αυτοσυσχέτισης r ( n) φαίνεται παρακάτω: 4

k - k ( ) () () Επομένως, πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: () () () () ή () () () () () () 4 4 () () () 4 () 4 ή () () δηλαδή () () () () ή ή ή () () () () Άρα το ζητούμενο σήμα είναι ένα από τα: ( n) ( n) ( n ) ( n) ( n) ( n ) ( n) ( n) ( n ) 3 ( n) ( n) ( n ) 4 Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου -----6 Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου 4t 4, t t () 4 t, t 4 Να υπολογίσετε το σήμα y( t) ( t) Λύση 4( t) 4, t 4t 4, t y( t) ( t) 4 ( t), t 4 4 t, 4 t Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου ( t) t, t Να υπολογίσετε το σήμα y( t) ( t 4) Λύση y( t) ( t 4) t 4 t 4, t 3 4 Ασκήσεις Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου --3-4-- Δίνονται τα σήματα διακριτού χρόνου ( n ) 3 ( n ) ( n ) 7 ( n ) ( n ) 4 ( n ) ( n ) 6 ( n ) Να υπολογίσετε τις πράξεις k ( ) () () r ( ) () () () k ( ) () () r () () () () () k ( ) () () r () () () ()

α ( n) ( n) β ( n) ( n) γ 3 ( n) ( n) δ ( n ) ε ( n 3) στ ( n) ζ ( n 3) ( n) η ( n) n θ Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου ( n) 3 ( n ) ( n) 6 ( n ) 7 ( n ) 3 ( n 3) 8 ( n 4) ( n ) Να υπολογίσετε τις πράξεις α ( n3) β ( n3) γ 3 ( 3 n) n δ ε n ( 3) στ (n3) ζ (n3) n η n θ 3 Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου ( n) (3 n) [ u( n) u( n 8)] Να υπολογίσετε τις πράξεις α ( n) β ( n) γ 4 ( n n) δ ( n) 4 Να υπολογίσετε τις παρακάτω γραμμικές συνελίξεις α ( n) 4 ( n) β [ ( n) ( n )] [ ( n) ( n )] γ [ ( n) ( n )] [ ( n ) ( n )] δ [ ( n) ( n )] [ ( n ) ( n )] [ ( n ) ( n)] ε [ ( n ) ( n)] [ u( n) u( n )] Δίνονται τα σήματα ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) 6

Να υπολογίσετε την ετεροσυσχέτιση r ( n ) και την ετεροσυσχέτιση r ( n) 6 Να υπολογιστεί η τιμή της παραμέτρου a έτσι ώστε το σήμα r ( n) ( a ) ( n ) 4 ( n) ( a ) ( n ) y να είναι σήμα αυτοσυσχέτισης 7 Να υπολογιστεί σήμα n ( ) που έχει αυτοσυσχέτιση r ( n) 3 ( n) 8 Να υπολογίσετε τις γραμμικές συνελίξεις σημάτων άπειρης διάρκειας: n α u( n) u( n) β u( n) u( n) n n 9 Να αποδείξετε ότι η αυτοσυσχέτιση του σήματος ( n) a u( n), a είναι r ( n) a a Δίνεται το σήμα αυτοσυσχέτισης r ( n) ( n ) ( n) ( n ) Να βρείτε το σήμα πεπερασμένης διάρκειας Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου -----6 Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου 4 ( t), t t () 4 t, t 4 Να υπολογίσετε τα σήματα y ( t) ( t) και () t y t Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου 4 ( t), t t () 4 t, t 4 Να υπολογίσετε τoσήμα y( t) (t ) 3 Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου tt, t () t, από το οποίο προήλθε Να γράψετε το σήμα ως άθροισμα άρτιου και περιττού σήματος 4 Δίνονται τα σήματασυνεχούς χρόνου ( t), t 4 ( t) 3 t, t 3 Να υπολογίσετε την συνέλιξη y n ( ) ( t) ( t) ( t) y 7

Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση 3 Πράξεις σημάτωνδιακριτού χρόνου --3--- Πρόσθεση σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα παρακάτω σήματα διακριτού χρόνου: α ( n ) ( n ) ( n ) ( n 3) β ( n ) u ( n ) u ( n ) u ( n 3) γ ( n) u( n) u ( n), n[ :] δ Πρόσθεση περιοδικών σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου: ( n) sin n 4 ( n) cos n 3 Να υπολογίσετε τις θεμελιώδεις περιόδους των δύο σημάτων Να παράγετε και να σχεδιάσετε το άθροισμα ( n) ( n) ( n) Να υπολογίσετε τη θεμελιώδη περίοδο του αθροίσματος και να επιβεβαιώσετε ότι το άθροισμα περιοδικών σημάτων είναι περιοδικό σήμα με θεμελιώδη περίοδο ίση με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των θεμελιωδών περιόδων των σημάτων που προστίθενται 3 Πολλαπλασιασμός σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα παρακάτω σήματα διακριτού χρόνου: α ( n ) ( n ) u ( n ) β γ δ 3 n e e n 4 Πολλαπλασιασμόςπεριοδικών σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου: α ( n) sin n 4 β ( n) cos n 3 Να υπολογίσετε τις θεμελιώδεις περιόδους των δύο σημάτων Να παράγετε και να σχεδιάσετε το γινόμενο ( n) ( n) ( n) Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα n ( ) Κλιμάκωση στο πλάτος σήματος διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: ( n) 4 ( n) r ( ) jn/ jn/4, [:] 4 n e e n ( ) jn/ jn/4, [:] ( n ) ( n ) [ u ( n ) u ( n )] 3 ( n ) [sin( n ) cos( n ) ] [ u ( n ) u ( n )] 4 ( n) 3, n[:] n 6 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους σημάτων διακριτού χρόνου 8

Να παράγετε και να σχεδιάσετε το σήμα διακριτού χρόνου: n n ( n) [() (3) ] u( n) u( n ) 7 Μετατόπιση ή ολίσθηση Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: ( n) 3 ( n ) 4 ( n ) ( n) ( n ) 8 ( n ) ( n) ( n 4) ( n) ( n 6) 8 Αναδίπλωση Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: ( n) 3 ( n ) 4 ( n ) ( n) ( n ) 8 ( n ) y( n) ( n) 9 Κλιμάκωση στον χρόνο Να μελετήσετε τις συναρτήσεις signalscalmulκαιsignalscaldiv Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: ( n) ( n ) 4 ( n ) 6 ( n 3) 4 ( n 4) ( n ) ( n) (3 n) ( ) n n 3 Κλιμάκωση στον χρόνο γενίκευση Να μελετήσετε τις συναρτήσειςsignalscalmulκαιsignalscaldivπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για σήματα πεπερασμένης διάρκειας που αρχίζουν τη χρονική στιγμή n Να γράψετε γενικευμένες συναρτήσεις για κλιμάκωση στον χρόνο που να μην έχουν αυτόν τον περιορισμό Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί διαχωρίζοντας το σήμα σε τρία τμήματα: ένα τμήμα που αντιστοιχεί σε αρνητικό χρόνο, ένα τμήμα που αντιστοιχεί σε χρόνο ίσο με μηδέν και ένα τμήμα που αντιστοιχεί σε θετικό χρόνο Η κλιμάκωση στον χρόνο για το τμήμα που αντιστοιχεί σε θετικό χρόνο μπορεί να υλοποιηθεί με χρήση των παραπάνω συναρτήσεων Η κλιμάκωση στον χρόνο του τμήματος που αντιστοιχεί σε χρόνο ίσο με μηδέν είναι ίση με το ίδιο αυτό το τμήμα Η κλιμάκωση στον χρόνο για το τμήμα που αντιστοιχεί σε αρνητικό χρόνο μπορεί να υλοποιηθεί με αναδίπλωση του τμήματος που αντιστοιχεί σε αρνητικό χρόνο, κλιμάκωση στον χρόνο του νέου σήματος (με χρήση των παραπάνω συναρτήσεων) και πάλι αναδίπλωση Η κλιμάκωση στον χρόνο του αρχικού σήματος προκύπτει από τη συνένωση των κλιμακώσεων στον χρόνο των τριών τμημάτων Τετραγωνικό σήμα Το τετραγωνικό σήμα διακριτού χρόνου έχει τη μορφή u n n u n ( n ) Να παράγετε το τετραγωνικό σήμα u( n 4) u( n ) Τριγωνικό σήμα Το τριγωνικό σήμα μπορεί να παραχθεί χρησιμοποιώντας το σήμα () n ή χρησιμοποιώντας το σήμα un ( ) Για παράδειγμα, το τριγωνικό σήμα διακριτού χρόνου, n, n n ( ) 3, n, n, n μπορεί να γραφτεί συναρτήσει του σήματος() n ως ( n) ( n ) ( n ) 3 ( n) ( n ) ( n ) 9

ή συναρτήσει του σήματος un ( ) ως ( n) u( n ) u( n ) u( n) u( n ) u( n ) u( n 3) Να παράγετε και να σχεδιάσετε το τριγωνικό σήμα n ( ) χρησιμοποιώντας το σήμα () n καιτο σήμα un ( ) 3 Μετατόπιση και αντιστροφή Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: ( n) n 6, n[ :] ( n) (3 n) ( n) ( 3 n) 4 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και χρόνου σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τασήματα διακριτού χρόνου: n 3, n[ : ] n ( ) n3, n[:] y( n) 4 ( n ) 3 ( n ) Εργαστηριακή Άσκηση 4 Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου --3--- Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης Να μελετήσετε τη συνάρτηση conv και τη συνάρτηση signalconv Να παράγετε τα σήματα ( n ) n, n [ :] και ( n ) n, n [ : ] Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της γραμμικής συνέλιξης χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση conv Να παράγετε και να σχεδιάσετε το σήμα ( n) ( n) ( n) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signalconv Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης με χρήση πίνακα Να παράγετε τα σήματα ( n ) n 6, n [:3] και ( n) n, n[:3] 7 Να παράγετε το διάνυσμα 8 διαστάσεων 3 9 Να παράγετε τον πίνακα Toeplitz P 3 διαστάσεων 3 3 3 7 Να υπολογίσετε το διάνυσμα P 3 8 διαστάσεων 3 9 3 Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της γραμμικής συνέλιξης ( n) ( n) ( n) χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακαtoeplitz 3 Ταυτοτικό στοιχείο Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου ( n) [ u( n) u( n )] n

Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα n ( ) και ( n) ( n) Τι παρατηρείτε; 4 Αντιμεταθετική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα διακριτού χρόνου ( n ) n, n [ :] και ( n ) n, n [ : ] Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα ( n) ( n) και ( n) ( n) Τι παρατηρείτε; Προσεταιριστική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα διακριτού χρόνου ( n ) n, n [ :] και ( n ) n, n [ : ] και ( n ) n 3, n [:3] 3 3 Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα ( n) [ ( n) ( n)] και [ ( n) ( n)] 3( n) Τι παρατηρείτε; 6 Επιμεριστική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα διακριτού χρόνου ( n ) n, n [ :] και ( n ) n, n [ : ] και ( n ) n 3, n [:3] 3 3 Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα ( n) [ ( n) ( n)] και [ ( n) ( n)] [ ( n) 3( n)] Τι παρατηρείτε; 7 Ετεροσυσχέτιση (crosscorrelation) Να μελετήσετε τη συνάρτηση corr και τη συνάρτηση signalconv Να παράγετε τα σήματα διακριτού χρόνου ( n) n, n [:] και y( n) n, n[: ] Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της ετεροσυσχέτισης r y (n) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση corr Να παράγετε και να σχεδιάσετε την ετεροσυσχέτιση ( n) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signalconv Τι παρατηρείτε; 8 Αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) Να μελετήσετε τη συνάρτηση corr και τη συνάρτηση signalconv Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου ( n) n, n[:] Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της αυτοσυσχέτισης r ( n) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση corr Να παράγετε και να σχεδιάσετε την αυτοσυσχέτισης r ( n) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση signalconv Τι παρατηρείτε; 9 Αυτοσυσχέτιση πραγματικού εκθετικού σήματος n n Η αυτοσυσχέτιση του σήματος ( n) a u( n), a είναι r ( n) a a Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου ( n) u( n), n[: ] 3 Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της αυτοσυσχέτισης r ( n) χρησιμοποιώντας τον παραπάνω θεωρητικό τύπο Να παράγετε και να σχεδιάσετε την αυτοσυσχέτισης r ( n) χρησιμοποιώντας συνέλιξη Τι παρατηρείτε; Εργαστηριακή Άσκηση Πράξεις σημάτωνσυνεχούς χρόνου ----- Πρόσθεση σημάτων συνεχούς χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα συνεχούς χρόνου: n ry

α ( t), t [,] β ( t) cost sin t, t [,4 ] Πολλαπλασιασμός σημάτων συνεχούς χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: α ( n) cos( t), t [,], όπου rt () είναι το σήμα ράμπας β t t 3 Κλιμάκωση στο πλάτος σήματοςσυνεχούς χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: ( t) ( t) t n e e n ( ) jn/ jn/4, [,] t ( t), t [,] 4 Μετατόπιση ή ολίσθηση Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: t ( t), t [,] ( t) ( t ) ( t) ( t ) Αναδίπλωση Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: t ( t), t [,] y( t) ( t) 6 Κλιμάκωση στον χρόνο Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: t ( t), t [,] ( t) ( t) () t t 7 Μετατόπιση και αντιστροφή Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: t ( t), t [,] ( t) ( t) ( t) ( t) 8 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και χρόνου σημάτων συνεχούς χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τασήματασυνεχούς χρόνου: t ( t) e, t [,] y( t) ( t ) 3 ( t 3) Εργαστηριακή Άσκηση 6 Συνέλιξη σημάτων συνεχούςχρόνου ----- Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης

Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου ( t) cos t, t [,] και ( t) sin t, t [,] 4 Να παράγετε και να σχεδιάσετε το σήμα ( t) ( t) ( t) Αντιμεταθετική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου ( t) 4, t [,] και ( t) 6, t [,] Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα ( t) ( t) και Τι παρατηρείτε; 3 Προσεταιριστική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου ( t) 4, t [,], ( t), t [,] και t ( t) 6, t [,] 3 Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα ( t) [ ( t) 3( t)] και [ ( t) ( t)] 3 ( t) Τι παρατηρείτε; 4 Επιμεριστική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου ( t) 4, t [,], ( t), t [,] και t ( t) 6, t [,] 3 t t Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα ( t) [ ( t) 3 ( t)] και [ ( t) ( t)] [ ( t) 3( t)] Τι παρατηρείτε; Ετεροσυσχέτιση (crosscorrelation) Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου ( t) cos t, t [,] και ( t) sin t, t [,] Να παράγετε και να σχεδιάσετε την ετεροσυσχέτιση r () t και την ετεροσυσχέτιση r () t 6 Αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) 4 ( t), t Να παράγετε το σήμα συνεχούς χρόνου t () 4 t, t 4 Να παράγετε και να σχεδιάσετε την αυτοσυσχέτιση r () t t y ( ) ( t) t t t t y 3

6 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου με τον Ήχο Ήχος Περίληψη Κεφαλαίου Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου --3-4-- Η πρόσθεση δύο σημάτων διακριτού χρόνου ( n) και ( n ) παράγει ένα νέο σήμα n ( ) με πλάτος το άθροισμα των πλατών των σημάτων που προστίθενται Ο πολλαπλασιασμός δύο σημάτων διακριτού χρόνου ( n) και ( n ) παράγει ένα νέο σήμα n ( ) με πλάτος το γινόμενο των πλατών των σημάτων που πολλαπλασιάζονται Η κλιμάκωση στο πλάτοςενός σήματος διακριτού χρόνου n ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( n) c( n) με πλάτος το πλάτος του σήματος n ( ) πολλαπλασιασμένο επί έναν πραγματικό συντελεστή c Η μετατόπιση ή ολίσθηση ενός σήματος διακριτού χρόνου n ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( n) ( n n ) με πλάτος το πλάτος του σήματος n ( ) μετατοπισμένο δεξιά ή αριστεράκατά n χρονικές στιγμές Αν n, τότε η μετατόπιση γίνεται δεξιά και έχουμε καθυστέρηση Αν n, τότε η μετατόπιση γίνεται αριστερά και έχουμε πρωτοπορία Αν n, τότε το σήμα δεν μετατοπίζεται Αναδίπλωση ή ανάκλαση (fold) είναι η πράξη όπου παράγεται το συμμετρικό σήμα του σήματος n ( ) ως προς τον άξονα των τεταγμένων Η κλιμάκωση στον χρόνοενός σήματος διακριτού χρόνου n ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( n) ( cn) Αν c M, όπου M θετικός ακέραιος, τότε το σήμα «συρρικνώνεται» και έχουμε διαίρεση συχνότητας Αν c, όπου M θετικός ακέραιος,τότε το σήμα «απλώνεται» και έχουμε πολλαπλασιασμό συχνότητας Αν M c, τότε το σήμα δεν μεταβάλλεται Οι πράξεις Αναδίπλωση και Μετατόπιση δεν αντιμετατίθενται Οι πράξεις Αναδίπλωση και Κλιμάκωση στον χρόνο αντιμετατίθενται Οι πράξεις Μετατόπιση και Κλιμάκωση στον χρόνο δεν αντιμετατίθενται Η γραμμική συνέλιξη σημάτων πεπερασμένης διάρκειας αρχίζει από το άθροισμα των αρχών των δύο σημάτων και τελειώνει στο άθροισμα των τελών των δύο σημάτων Η αυτοσυσχέτιση έχει άρτια συμμετρία Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου -----6 Η πρόσθεση δύο σημάτων συνεχούς χρόνου () t και () t παράγει ένα νέο σήμα t () με πλάτος το άθροισμα των πλατών των σημάτων που προστίθενται Ο πολλαπλασιασμός δύο σημάτων διακριτού χρόνου () t και () t παράγει ένα νέο σήμα t () με πλάτος το γινόμενο των πλατών των σημάτων που πολλαπλασιάζονται Η κλιμάκωση στο πλάτοςενός σήματος διακριτού χρόνου t () παράγει ένα νέο σήμα y( t) c ( t) με πλάτος το πλάτος του σήματος t () πολλαπλασιασμένο επί έναν πραγματικό συντελεστή c Η μετατόπιση ή ολίσθηση ενός σήματος συνεχούς χρόνου t () παράγει ένα νέο σήμα y( t) ( t t) με πλάτος το πλάτος του σήματος t () μετατοπισμένο δεξιά ή αριστερά κατά t Η αναδίπλωση ή ανάκλαση ενός σήματος συνεχούς χρόνου t () παράγει το συμμετρικό σήμα του σήματος t () ως προς τον άξονα των τεταγμένων y( t) ( t) 4