ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ. Λ γ Σ 7. Λ. Σ 3. Σ 8. Λ 3. α Σ 33. Σ 9. Λ β Λ 34. Σ. Λ γ Σ 35. Λ. Λ δ Λ 36. Λ. Σ 4. Λ 37. Λ 3. Σ 5. Λ 38. Σ 4. Σ 6. Λ 39. Σ 5. Σ 7. Λ 4. Σ Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Α 9. Γ 7. Β. Δ. Β 8. Δ 3. Β. Β 9. Ε 4. Γ. Β. Γ 5. Α 3. Γ. Δ 6. Δ 4. Γ. Δ 7. Γ 5. Β 3. Γ 8. Δ 6. Γ 4. Β 5 Γ 78
Μερικές ενδεικτικές λύσεις 7. Ο μαθητής συνήθως ξέρει ότι αν f και g παραγωγίσιμες, τότε και fog παραγωγίσιμη. Η ερώτηση έχει στόχο την επισήμανση ότι για να είναι η fog είναι παραγωγίσιμη στο, θα πρέπει η g να είναι παραγωγίσιμη στο και η f παραγωγίσιμη στο g (, δηλαδή σε διαφορετικά σημεία. Έτσι σωστή απάντηση είναι η Β. Θα μπορούσε να προηγηθεί το εξής παράδειγμα:, Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( =,, g ( = 3 + 4. Να εξεταστεί η παραγωγισιμότητα των g, f και fog στο σημείο =. Έχουμε g παραγωγίσιμη στο = και f όχι παραγωγίσιμη στο =. Όμως fog παραγωγίσιμη στο =, αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο g ( = 7. 4. Εδώ θέλουμε να δείξουμε ότι μπορεί μια συνάρτηση να έχει εφαπτομένη σ ένα σημείο, στο οποίο αλλάζει τύπο. Η σωστή απάντηση είναι η Β, γιατί η εφαπτομένη θα πρέπει να έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( =. Καμία άλλη ευθεία από τις δοσμένες δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. 79
Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης. α Αν τα δύο όρια είναι ίσα τότε η f είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής β στο. Αν τα όρια είναι άνισα θέτουμε g ( = ( = Τότε Ομοίως στο =. f ( - f ( -, >. [f ( - f ( ] = f ( - f ( - ( - g ( = f ( - f ( - [f ( - f ( ] =, άρα η f είναι συνεχής στο. = - και f ( - f ( -, <, και =, άρα η f είναι συνεχής Σχόλιο: Προφανώς το ερώτημα (β μπορεί να αντιμετωπισθεί με πολύ α- πλούστερο τρόπο, ο σκοπός του όμως είναι να αποτελέσει εφαρμογή της πρότασης του (α ερωτήματος.. Για = έχουμε f ( ( g ( και αφού f ( = g (, άρα ( = f ( = g (. Ισχύει f ( - f ( ( - ( g ( - g (, ο- πότε για > f ( - f ( - ( - ( - g ( - g ( - και από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι τα όρια αριστερά και δεξιά του της ( - ( - συμπίπτουν, άρα ( = f ( = g (. Όμοια εργαζόμαστε για <. 8
3. Η g είναι συνεχής στο, άρα, άρα: f ( - = f ( - g ( = g (. Η f είναι παραγωγίσιμη στο, αφού f ( =. Το πρώτο όριο δίνει g ( ενώ το δεύτερο - g (, άρα g ( = - g (, δηλαδή g ( = - 4. f ( = 5 3 3 α όχι β ναι 5. α f ( - f ( f ( - f (, άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε και από τη γραφική παράσταση η οποία στο σημείο (, παρουσιάζει γωνιακό σημείο. β f ( = - αν αν y C f - y - 8
- 6. α f ( = 3 - - - Στα = -, = η f δεν είναι παραγωγίσιμη, ενώ στο 3 = είναι παραγωγίσιμη. 3 β y Cf - - y 7. Αν (, f ( το σημείο επαφής, τότε: α f ( = 3 β f ( = εφ 45 γ f ( = δ f ( = ε f ( = στ f ( - f ( - = (που είναι αδύνατο ζ Στην ευθεία y - ( - + = ( - ( - ανήκει το σημείο (-,. Σε καθεμιά από τις παραπάνω περιπτώσεις υπολογίζουμε το (αν υπάρχει. 8. α y = - β δεν υπάρχει γ δ y y ε στ y - 4 = - 5 6 ( + 8
9. Το άνω ημικύκλιο είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( = ρ Ισχύει f (- - 5 όπου ρ η ζητούμενη ακτίνα και - ρ ρ. = εφ 45 = με f ( = Άρα η εξίσωση του κύκλου θα είναι: + y = 5. - ρ -, άρα ρ = 5.. Θα πρέπει f ( για κάθε R. Άρα 3α + β + γ, δηλαδή Δ < β < 3αγ.. α Ο άξονας συμμετρίας της C f είναι η ευθεία = - β α = 3 και οι εικόνες των ριζών ρ, ρ είναι συμμετρικές ως προς αυτή την ευθεία, αφού ρ = και ρ = 4. β Έστω ρ, ρ οι ρίζες του τριωνύμου. Τότε η f ( = α ( - ρ ( - ρ έχει f ( = α ( - ρ + α ( - ρ, οπότε f (ρ = α (ρ - ρ, f (ρ = α (ρ - ρ. Οι εφαπτόμενες στα σημεία τομής με τον y y είναι: (ε y = α (ρ - ρ ( - ρ και (ε y = α (ρ - ρ ( - ρ για = - (επειδή - β α ρ ρ = οι δυο εξισώσεις δίνουν το ίδιο y, άρα οι (ε, β (ε τέμνονται πάνω στην = - α β α 83
. α y - ln (α = - ln (α ( - β Για δυο κατάλληλες τιμές του α βρίσκουμε δυο ευθείες και μετά την τομή τους. Για α = Για α = e προκύπτει η ευθεία (ε : y = προκύπτει η (ε : y = Το σημείο τομής των (ε, (ε είναι το (, -, το οποίο διαπιστώνουμε εύκολα ότι ανήκει στην ευθεία με εξίσωση την (α. l l 3. Έστω Α (, ( - τυχαίο σημείο της C f. Η εφαπτομένη (ε στο Α έχει εξίσωση y - ( - = ( - ( - και το σύστημα αυτής της εξίσωσης με την y = ( - δίνει μοναδική λύση =, y = ( -. 4. Προκύπτει f ( + + f ( - = - για = f ( = - 5. α Ρ ( = Q ( ( τέμνονται στο, Ρ ( = Q ( κοινή εφαπτομένη β (3, 6. α g ( = f ( - 4 + 3 β g ( = f ( - 4 γ g (4 = εφ 84
7. α Για = f ( = β Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση προκύπτει: f (ln = ln. Για = έχουμε f ( =, άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y = f (, όμως για = έχουμε f ( =, όμως για = στη δοσμένη προκύπτει f ( = -. γ Για = e f ( = και f ( = e, άρα η εξίσωση της εφαπτομένης (ε στο (, είναι η y = e ( -. H (ε τέμνει τους άξονες στα (, - e και (,, οπότε E = (- e = e. 8. H (ε έχει εξίσωση y - = ( -, για = και y = προκύπτει = 4, άρα y =. Όμως το σημείο (, ανήκει στην ευθεία = η οποία είναι εφαπτομένη της C f, αφού f ( - f ( - = + (ε y y. α Αν ο βαθμός της f είναι ν τότε η f έχει βαθμό ν -, άρα (ν - = ν, δηλαδή ν =. Προφανώς f ( = α + β + γ με f (4 = 8α + β = και (α + β = α + β + γ, άρα 4α = α, δηλαδή α = και β = -, ενώ 4 γ = β = 4. β Αν (, f ( το σημείο επαφής, τότε f ( = - άρα = και η εφαπτομένη είναι η (ε: y = - + 3.. α υ (t = s (t = t. Τη χρονική στιγμή t = η ταχύτητα υ ( =, άρα το κινητό δεν ήταν σε κατάσταση ηρεμίας. β γ (t = υ (t = - <, άρα έχουμε επιβράδυνση (t 85
γ υ (3 = 4 και γ (3 = 6. α Για = y = στη δοσμένη σχέση προκύπτει f ( = - α β Για = και y = προκύπτει α ( - e =, άρα α = γ f ( = f ( - f ( με βάση τη δοσμένη σχέση. Για = και y = προκύπτει: f ( = αλλά ενώ e e e - f ( f ( = + f ( e - +, = g ( όπου g ( = e, άρα g ( =, e [f ( - f (] = e f (. 3. α Αφού f (- = - f ( ( άρα f ( = - f (, δηλαδή f ( = β Από την ( έχουμε - f (- = - f (, άρα f (- = - f (, δηλαδή η f είναι και αυτή περιττή, άρα f ( =. 4. α Αν παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της αρχικής ισότητας προκύπτει (ν ν ( - - ( ( - ν - = + + + ν ν- β Παρατηρούμε ότι απλά εφαρμόζεται ο τύπος που προέκυψε στο (α ερώτημα για = και ν = 5. Το 4 δεν μπορεί να γραφεί 3 + 3 + + 3 για κάθε R 86