Αλγόριθµος για την επίλυση του προβλήµατος ελαχιστοποίησης του χρόνου ολοκλήρωσης δραστηριοτήτων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «Μθηµτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων» Αλγόριθµος γι την επίλυση του προβλήµτος ελχιστοποίησης του χρόνου ολοκλήρωσης δρστηριοτήτων planner plan A plan B planner 2 4 1 2 3 4 1 3 2 5 4 1 3 5 6 7 planner plan C 2 4 2 7 sequencer 1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 6 7 1 4 3 5 6 scheduler scheduler scheduler ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ, ΑΜ: 151 ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ: ΒΡΑΧΑΤΗΣ Μ. ΑΛΕΒΙΖΟΣ Π.. ΑΛΕΒΙΖΟΣ Φ. Πάτρ, εκέµβριος 2007

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 2 Περιεχόµεν 1. Χρονικός Προγρµµτισµός Πργωγής...3 2. Εισγωγή στο Πρόβληµ Προγρµµτισµού Έργων µε Περιορισµένο υνµικό (Π.Π.Ε.Π. )...4 2.1. Μθηµτικό Μοντέλο του Π.Π.Ε.Π.....4 3. Επίλυση του Π.Π.Ε.Π....8 3.1. Μέθοδος Ανζήτησης γι την Επίλυση Προβληµάτων Προγρµµτισµού Έργων.8 3.1.1. Πράλληλη µέθοδος χρονοπρογρµµτισµού...11 3.1.2. Σειρική µέθοδος...17 3.2. Aνάλυση ικτύων...18 3.3. ιµόρφωση δικτύου...23 3.4. Προγρµµτισµός έργων µε την µέθοδο Ε.Κ.Μ...25 3.4.1. Μεγλύτεροι κι µικρότεροι χρόνοι...25 3.4.2. Η κρίσιµη διδροµή...27 3.4.3. Πράδειγµ υπολογισµού σττιστικών στοιχείων δικτύου...30 4. Εφρµογή των µεθόδων...33 4.1. Λεπτοµερής Προγρµµτισµός...33 4.1.1. Επίλυση του Π.Π.Ε.Π....33 5. Εφρµογή της Μεθόδου Επίλυσης σε Πργµτικό Πρόβληµ...49 5.1. Λεπτοµερής Προγρµµτισµός...49

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 3 1. Χρονικός Προγρµµτισµός Πργωγής Το πρόβληµ του χρονικού προγρµµτισµού ορίζετι πό µι σειρά πρµέτρων. Σε κάθε τέτοιο πρόβληµ, µε βάση τη διθέσιµη δυνµικότητ, τις πιτήσεις γι πργωγή προϊόντων, που κθορίζοντι πό τη ζήτηση, κι διάφορους τεχνολογικούς κι άλλους περιορισµούς, ζητείτι κλύτερη δυντή τιµή των µετβλητών πόφσης, δηλδή η τιµή που ντιστοιχεί στην κλύτερη δυντή τιµή µις συνάρτησης κόστους (ή οφέλους). Ετσι, πό έν σύνολο εφικτών προγρµµάτων, ζητείτι το κλύτερο, ν κι συχνά ο κθορισµός του είνι νέφικτος, οπότε το ζητούµενο είνι ν βρεθεί έν «κλό» πρόγρµµ. Ειδικότερ, γι την επίλυση ενός προβλήµτος χρονικού προγρµµτισµού, πιτούντι πρώτ-πρώτ πληροφορίες σχετικά µε τις πιτήσεις γι πργωγή προϊόντων, όπως προκύπτουν πό τις προβλέψεις ή/κι τις πργγελίες των πελτών. Οι πιτήσεις υτές µετφράζοντι µέσω των φσεολογίων, των πινάκων υλικών, των προβλέψεων κι των πργγελιών των πελτών σε πιτήσεις γι πργωγικούς πόρους, δηλδή γι τις ειδικότητες κι τις µηχνές που πιτούντι, γι τις επεξεργσίες κι τη σειρά που θ γίνουν, γι τις προθεσµίες κι, γενικά, τους χρόνους πργωγής κλπ. Το πρόβληµ του χρονικού προγρµµτισµού πργωγής πρέπει ν λυθεί χωρίς ν γνοηθούν οι περιορισµοί του συστήµτος, που φορούν τη δυνµικότητ (διθέσιµος πργωγικός εξοπλισµός), την κολουθί των δρστηριοτήτων που ορίζει η υπάρχουσ τεχνολογί, τις πιτήσεις γι συντήρηση των µηχνών, κι τ δεδοµέν του συγκεντρωτικού προγράµµτος πργωγής γι το συνολικό επίπεδο της πργωγής, του νθρώπινου δυνµικού κι των ποθεµάτων. Οι µετβλητές πόφσης µπορεί ν φορούν το µέγεθος µις πρτίδς πργωγής (πόσ κοµµάτι νά πρτίδ), τη φόρτωση των µηχνών (ποι πργγελί εκτελείτι σε ποι µηχνή), τη σειρά εκτέλεσης των πργγελιών κλπ. Τέλος, η συνάρτηση κόστους/οφέλους φορά την πλήρωση κάποιων κριτηρίων που µπορεί ν νφέροντι στην εξυπηρέτηση των πελτών, στο συνολικό κόστος λειτουργίς, στην ξιοποίηση της διθέσιµης δυνµικότητς κλπ. Ετσι, έν πρόγρµµ πργωγής είνι κλύτερο πό έν άλλο ν το πρώτο ικνοποιεί σε µεγλύτερο βθµό τ κριτήρι που έχουν τεθεί (π.χ. ικνοποιούντι τχύτερ οι πργγελίες), πράγµ που εκφράζετι µε την τιµή που πίρνει ντίστοιχ η συνάρτηση κόστους / οφέλους.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 4 2. Εισγωγή στο Πρόβληµ Προγρµµτισµού Έργων µε Περιορισµένο υνµικό (Π.Π.Ε.Π. ) Έν δύσκολο πρόβληµ χρονοπρογρµµτισµού, είνι το πρόβληµ προγρµµτισµού έργων µε περιορισµένο δυνµικό. Το πρόβληµ είνι ο προγρµµτισµός δρστηριοτήτων οι οποίες συσχετίζοντι τόσο µε περιορισµούς προτεριότητς, όσο κι µε περιορισµούς δυνµικού. Το πρόβληµ υτό έχει πολύ µεγάλο ενδιφέρον διότι συνντάτι συχνά στον πργµτικό κόσµο. Συγκεκριµέν, το Πρόβληµ Προγρµµτισµού Έργων µε Περιορισµένο υνµικό(π.π.ε.π. ) συνντάτι σε συστήµτ πργωγής τύπου Project, όπου το επεξεργζόµενο προϊόν πρµένει µετκίνητο κτά την διάρκει της επεξεργσίς του πό τους ντίστοιχους πόρους, λόγω του µεγέθους του ή του βάρους του. Τοµείς της τεχνολογίς οι οποίοι είνι οργνωµένοι ως Project Shop, είνι τόσο η βιοµηχνί εροσκφών κι πλοίων (νυπηγεί), όσο κι ο τοµές κτσκευών κτιρίων, γεφυρών κ.λ.π. 2.1. Μθηµτικό Μοντέλο του Π.Π.Ε.Π.. Έστω έν έργο το οποίο ποτελείτι πό j = 1,, J, δρστηριότητες, διάρκεις d j χρονικών περιόδων έκστη. Οι δρστηριότητες λληλοσχετίζοντι µε περιορισµούς προτεριότητς κι δυνµικού. Οι περιορισµοί προτεριότητς πγορεύουν την ένρξη µις δρστηριότητς, j, πριν την ολοκλήρωση όλων των προπιτούµενων δρστηριοτήτων (P j ). Οι δρστηριότητες ριθµούντι νάλογ µε τη θέση προτεριότητς που κτλµβάνουν, δηλδή κάθε προπιτούµενη δρστηριότητ, µις δρστηριότητς i έχει µικρότερο ριθµό πό την επόµενή της, j. Οι δρστηριότητες των οποίων όλες οι προπιτούµενες δρστηριότητες έχουν εκτελεστεί, είνι εφικτό ν εκτελεστούν άµεσ όσον φορά τους περιορισµούς προτεριότητς. Οι περιορισµοί δυνµικού προκύπτουν ως κολούθως: Προκειµένου ν εκτελεστεί µι δρστηριότητ j, πιτεί k jr µονάδες του τύπου πόρων r R (δυνµικότητ τύπου r). Υπάρχουν K r µονάδες γι τη συγκεκριµένη χρονική περίοδο κι συνεπώς οι δρστηριότητες πιθνόττ ν µην είνι δυντό ν προγρµµτιστούν στον συντοµότερο εφικτό χρόνο, λλά ργότερ.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 5 Σκοπός είνι ο προγρµµτισµός της εκτέλεσης κάθε δρστηριότητς, ώστε ν ικνοποιούντι οι περιορισµοί προτεριότητς κι δυνµικού κι το makespan του έργου, δηλδή η συνολική διάρκει του έργου, πό την ένρξη της πρώτης δρστηριότητς έως την ολοκλήρωση της τελευτίς ν ελχιστοποιείτι. Έστω Τ το άθροισµ των χρονικών µονάδων d j γι κάθε µι πό τις δρστηριότητες που ποτελούν το έργο. Στην συνέχει κτσκευάζουµε έν δίκτυο, πάνω στο οποίο πεικονίζοντι οι δρστηριότητες κι επιλύοντάς το θεωρώντς ως άνω όριο της διάρκεις το Τ, υπολογίζουµε το διάστηµ [ EF j, LF j ], δηλδή το διάστηµ των µικρότερων κι µεγλύτερων χρόνων ολοκλήρωσης γι κάθε δρστηριότητ j. Στη συνέχει ορίζετι η συνάρτηση: x jt = { 1, ν η δρστηριότητ ολοκληρώνετι ως το τέλος της περιόδου t, 0, διφορετικά, µε x jt {0,1}, j = 1,...,J όπου t = ο χρόνος στον οποίο έχει ολοκληρωθεί η δρστηριότητ j κι πίρνει τιµές πό µέχρι LF j. Η ντικειµενική συνάρτηση, που µς δίνει την συνολική διάρκει του έργου ορίζετι ως εξής: όπου, LF j minimize φ = tx Jt, (1.1) t= EF EF J = Ο µικρότερος χρόνος περάτωσης του έργου LF J = Ο µεγλύτερος χρόνος περάτωσης του έργου j δηλδή ο χρόνος ολοκλήρωσης του έργου ισούτι µε το χρόνο ολοκλήρωσης της τελευτίς δρστηριότητς. Επιπλέον τίθετι έν σύνολο περιορισµών : LF j t= EF j x =1 j = 1,,J (1.2) Jt Η εξίσωση υτή εξσφλίζει ότι σε κάθε δρστηριότητ j ντιστοιχεί ένς µονδικός χρόνος ολοκλήρωσης. Επίσης: EF j

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 6 LF LF i j txit ( t d j ) x jt t= EFi t= EFj, j = 2,,J, i P j (1.3) όπου P j το σύνολο των προπιτούµενων (δρστηριοτήτων) µις δρστηριότητς j. Η εξίσωση υτή λµβάνει υπ οψιν τις σχέσεις προτεριότητς µετξύ των δρστηριοτήτων κάθε ζεύγους (i,j), όπου το i προηγείτι άµεσ του j κι τέλος : J k jr j= 1 t+ d j 1 K r r R, t=1,...,t (1.4) x j τ τ= t H εξίσωση υτή εξσφλίζει ότι η δυνµικότητ των πργωγικών πόρων που χρησιµοποιείτι γι τη εκτέλεση µις δρστηριότητς, δεν ξεπερν την συνολική διθέσιµη δυνµικότητ. Το Π.Π.Ε.Π.. νήκει στην κτηγορί των NP-hard problems. Συνεπώς, ότν ντιµετωπίζουµε προβλήµτ που συνντώντι στον πργµτικό κόσµο νζητούµε ευριτικούς κνόνες γι την επίλύση τους, λόγω της ικνότητάς τους ν δίνουν κλές λύσεις σε σύντοµο χρόνο. Πρόσφτες έρευνες νφέρουν ότι διδικσίες βελτιστοποίησης που προτείνοντι είνι ο δυνµικός προγρµµτισµός, 0-1 προγρµµτισµός, όπως κι οι µέθοδοι branch and bound. Σήµερ η προσέγγιση branch and bound των Demeulemeester and Herroelen [2] µοιάζει ν είνι η κτλληλότερη, όµως ποτυγχάνει ν επιτύχει την βέλτιστοποίηση ότν υπάρχουν πάνω πό 30 δρστηριότητες γι την ολοκλήρωση του έργου. Πρόσφτ ο Mingozzi [2] χρησιµοποίησε έν κάτω όριο δίνοντς έτσι κλύτερ ποτελέσµτ µε τον πρπάνω λγόριθµο. Οι πρώτες ευρετικές µέθοδοι που χρησιµοποιήθηκν ήτν οι κνόνες προτεριότητς. Μέχρι τώρ έχουν προτθεί κι δοκιµστεί πειρµτικά ρκετοί. Κτά κνόν είνι γρήγορες στους υπολογισµούς, τυτόχρον όµως, µειονεκτούν σε ότι φορά στην προσέγγιση της βέλτιστης λύσης, γι υτό η έρευν των τελευτίων ετών έχει στρφεί στην εξέλιξη των ευριστικών λύσεων προτείνοντς µεθόδους όπως οι truncated branch and bound, βσισµένες στον κέριο προγρµµτισµό κι τεχνικές τοπικής νζήτησης. Αυτές οι µέθοδοι έχουν µεγλύτερο υπολογιστικό κόστος λλά πράγουν κλύτερες λύσεις πό τους πλά ευρετικούς κνόνες [2].

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 7 1 2 r R R eοµάδες s o u rce πόρων T ype s R 1 2 j J kjr Kr 1 2 j J Ta δρστηριότητες s ks Σχήµ 1. Το µοντέλο του Π.Π.Ε.Π.. Συνήθως η εκτέλεση ενός έργου προυσιάζει τ εξής χρκτηριστικά: πολλές διφορετικές δρστηριότητες ντγωνίζοντι γι ν εκτελεστούν τυτόχρον πό κάποιες οµάδες πόρων σε κάθε έργο ντιστοιχει µι ηµεροµηνί ένρξης κι µι ηµεροµηνί πράδοσης όπου ηµεροµηνί ένρξης είνι ο χρόνος που µπορεί το έργο ν ρχίσει ν εκτελείτι κι ηµεροµηνί πράδοσης ο χρόνος που πρέπει ν πρδοθεί το έργο κάποιες δρστηριότητες µπορεί ν έχουν ηµεροµηνί ένρξης κι πράδοσης διφορετικές πό εκείνες που προκύπτουν πό τις σχέσεις προτεριότητς.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 8 3. Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. Σε υτή την ενότητ περιγράφοντι νλυτικά οι µέθοδοι προγρµµτισµού διδικσιών, δηλδή περιγράφοντι τ εξής: Μέθοδος επίλυσης δικτύων Πράλληλη µέθοδος προγρµµτισµού εργσιών Σειρική µέθοδος προγρµµτισµού εργσιών 3.1. Μέθοδος Ανζήτησης γι την Επίλυση Προβληµάτων Προγρµµτισµού Έργων Μι νλυτική µέθοδος επίλυσης του προβλήµτος είνι η εφρµογή της µεθόδου Ανζήτησης γι την Επίλυση Προβληµάτων Προγρµµτισµού Έργων των Kolisch Drexl [2]. Έστω D n το σύνολο ποφάσεων, που είνι έν σύνολο δρστηριοτήτων ικνών ν επιλεγούν στο στάδιο n της εφρµογής της µεθόδου, τηρουµένων των περιορισµών προτεριότητς& δυνµικότητς, κι ψ µί µετβλητή, η οποί σε κάθε στάδιο n, εκχωρεί σε κάθε δρστηριότητ j που νήκει στο σύνολο ποφάσεων D n µί πιθνότητ ψ(j) ν επιλεγεί (ψ : j D n [0,1]). Έστω z, ριθµός υθίρετος που επιλέγετι πριν την ένρξη της διδικσίς κι µς δίνει τον ριθµό των επνληπτικών διδικσιών (z = 1,,Z), οι οποίες πιτούντι γι την εκτέλεση της µεθόδου κι = φ(z) ένς ριθµός, ο οποίος εξρτάτι πό το z, οι τιµές του οποίου δίδοντι στον Πίνκ 1(σελίδ 13). Έστω RF, ένς πράγοντς που υπολογίζετι πό την πρκάτω σχέση κι δηλώνει το ποσοστό χρησιµοποίησης του συνόλου των πόρων(του δυνµικού) : RF = M J 1 j 1 1 1 Q R jm (2.1) J 2 M R j= 2 j m= 1 όπου: Q jm = Μέγιστος ριθµός πόρων που χρησιµοποιούντι γι την εκτέλεση µις δρστηριότητς j, µε έν συγκεκριµένο τρόπο m, δηλδή το άθροισµ των πόρων που πσχολούντι πό υτόν τον συνδυσµό. R = Αριθµός πόρων M j = Αριθµός διφορετικών τρόπων εκτέλεσης µις δρστηριότητς J = Αριθµός δρστηριότητς

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 9 Αρχικά υπολογίζετι µι ρχική προσέγγιση της συνολικής διάρκεις του έργου Τ, ως το άθροισµ των επιµέρους διρκειών d j όλων των δρστηριοτήτων. Κτσκευάζετι το δίκτυο δρστηριοτήτων του έργου κι υπολογίζοντι γι κάθε δρστηριότητ j τ σττιστικά µεγέθη του δικτύου [ES j, LS j, EF j, LF j ] (νωρίτεροι κι βρδύτεροι χρόνοι ένρξης κι περάτωσης δρστηριοτήτων) βσιζόµενοι στο άνω όριο Τ που υπολογίστηκε. Εάν Ζ > 10 κι RF 0.75, τότε επιλέγετι η σειρική µέθοδος επίλυσης (ΣΜ/) η οποί περιγράφετι νλυτικά στην Πράγρφο 2.1.2. ιφορετικά, επιλέγετι η πράλληλη µέθοδος επίλυσης (ΠΜ/) η οποί περιγράφετι νλυτικά στην Πράγρφο 2.1.1. Στη συνέχει υτή προυσιάζετι ο λγόριθµος της µεθόδου υπό µορφή ψευδοκώδικ Στο τέλος υτής της πργράφου, γι λόγους σφήνεις κι κλύτερης κτνόησης, δίνετι το διάγρµµ ροής της µεθόδου (Σχήµ 2). ΨΕΥ ΟΚΩ ΙΚΑΣ: Αρχικοποίηση: ΙΑΒΑΣΕ εδοµέν Προβλήµτος, ιάβσε τον ριθµό Περσµάτων Z, Υπολόγισε RF, Θέσε T = Σd j, Εκτέλεσε νδροµή µε LFT J =LST J = T, Θέσε SS = [FT 1, FT 2,, FT J ] ΓΙΑ z = 1 ΕΩΣ Z ΚΑΝΕ ΠΕΡΑΣΜΑ z ΞΕΚΙΝΑ = φ(z) ΑΝ ( Z > 10 ΚΑΙ RF 0.75) ΤΟΤΕ ΕΚΤΕΛΕΣΕ ΣΜ/ SS = [FT 1, FT 2,, FT J ] ΑΛΛΙΩΣ ΕΚΤΕΛΕΣΕ ΠΜ/ SS = [FT 1, FT 2,, FT J ] ΑΝ φ(s) < φ (SS) ΤΟΤΕ SS = S ΤΕΛΟΣ Τέλος: έν εφικτό χρονοπρόγρµµ SS = [FT 1, FT 2,, FT J ] έχει δηµιουργηθεί.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 10 ΙΑΒΑΣΕ R EA D Ε ΟΜΕΝΑ DA TA ΖZ R F,T = Σdj S S = [FT 1,...,F TJ] LF TJ = LS T J=T, FT j = L FT J z = 1 = φ (z ) ΟΧΙ N O Z > 10 R F < 0.75 YΝΑΙ ES ΕΚΤΕΛΕΣΕ P erform P M ΠΜ/ / ΕΚΤΕΛΕΣΕ P erform S M ΣΜ/ S=[FT 1, F T2,.., FT J] φ (S ) < φ (S S ) NΟΧΙ O ΝΑΙ Y ES S S = S z = z + 1 YΝΑΙ ES z < Z N S S = (FT 1, F T2,..., FT J) EN D ΤΕΛΟΣ Σχήµ 2. ιάγρµµ ροής της µεθόδου νζήτησης.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 11 3.1.1. Πράλληλη µέθοδος χρονοπρογρµµτισµού Γίνετι χρήση ενός χρόνου προγρµµτισµού t n, ο oποίος είνι ο χρόνος στον οποίο γίνετι η λήψη της πόφσης. Οι δρστηριότητες πρέπει ν ικνοποιούν τόσο τους περιορισµούς προτεριότητς όσο κι δυνµικότητς στο χρόνο t n γι ν επιλεχθούν. Έστω το σύνολο ποφάσεων D n, το οποίο περιέχει όλες τις εκτελέσιµες δρστηριότητες στο χρόνο t n. Έστω AP n το σύνολο που περιέχει όλ τ σχηµτιζόµεν ζεύγη των δρστηριοτήτων που περιέχοντι στο σύνολο ποφάσεων D n κτά το στάδιο n: AP n ={(i,j) i,j D n, i j} (2.2) Το AP n µπορεί ν χωρισθεί στις πρκάτω υπο-κτηγορίες: CSP n (Currently Schedulable Pairs): περιλµβάνει τ ζεύγη των δρστηριοτήτων, τ οποί µπορούν ν εκτελεστούν τυτόχρον στον άµεσο χρόνο προγρµµτισµού t n. GFP n (Generally Forbidden Pairs): περιλµβάνει τ ζεύγη των δρστηριοτήτων, τ οποί λόγω περιορισµών δυνµικού δεν µπορούν ν προγρµµτισθούν τυτόχρον σε κµί χρονική στιγµή. TFP n (Temporarily Forbidden Pairs): περιλµβάνει τ ζεύγη των δρστηριοτήτων, τ οποί γενικά µπορούν ν προγρµµτισθούν πράλληλ, λλά λόγω περιορισµένης υπολειπόµενης δυνµικότητς δεν προγρµµτίζοντι τυτόχρον στο χρόνο προγρµµτισµού t n. Ορίζετι ως εξής: TFP n = { (i,j) (i,j) AP n, (i,j) GFP n, r R: k ir + k jr > πk r } (2.3) όπου r = τύπος πόρων που νήκει στο γενικό σύνολο των πόρων R k ir = ριθµός πόρων τύπου r που χρησιµοποιούντι πό τη δρστηριότητ i πκ r = υπολειπόµενη δυνµικότητ του συστήµτος Αφού προσδιορίσουµε την κτηγορί στην οποί νήκει το ζεύγος (i, j), µπορούµε ν υπολογίσουµε το χρόνο στον οποίο µπορεί ν προγρµµτιστεί. Επίσης ορίζετι ως A n το σύνολο των δρστηριοτήτων, οι οποίες είνι ήδη σε εξέλιξη στο χρόνο προγρµµτισµού t n κι FT j ο χρόνος ολοκλήρωσης της δρστηριότητς j.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 12 Ορίζετι ως Π ( i, j ) ο µικρότερος χρόνος γι τον τυτόχρονο προγρµµτισµό κάθε ζεύγους (i, j):, ν (i,j) GFP n, Π ( i, j ) = Π(i, j ), ν (i,j) TFP n, (i,j) AP n (2.4) t n, ν (i,j) CSP n, όπου, Π (i, j) = max { Π r (i, j), r R}, (i,j) TFP n, (2.5) ο συντοµότερος χρόνος τυτόχρονης εκτέλεσης δύο δρστηριοτήτων (i,j) του υποσυνόλου TFP n µε νφορά σε όλους τους τύπους του δυνµικού, Π = min τ khr + πk r kir + k jr, = tn,..., T, ( i, j) TFPn (2.6) h An FTh r r ( i, j) τ ο συντοµότερος χρόνος που µπορεί το ζεύγος ν προγρµµτιστεί τυτόχρον µε νφορά µόνο στο δυνµικό. Ο συντοµότερος χρόνος E i j ν προγρµµτισθεί η δρστηριότητ j εάν η δρστηριότητ i ξεκινά στο χρόνο προγρµµτισµού t n είνι: E i j = min { t n + d i, Π ( i, j ) (i,j) AP n } (2.7) Στην συνέχει θέλουµε ν υπολογίσουµε την πιθνότητ ψ(j) γι ν ντεθεί µι δρστηριότητ j. Η πιθνότητ υτή µπορεί ν υπολογιστεί µε τρεις τρόπους : (1) Τυχί δειγµτοληψί όπου νθέτει σε κάθε δρστηριότητ j του συνόλου ποφάσεων Dn την ίδι πιθνότητ ν επιλεγεί ίση µε : 1 ψ ( j) =. Dn (2) Τυχί δειγµτοληψί bias δίνοντς στις πιθνότητες διφορετικές τιµές βσιζόµενη στις τιµές προτεριότητς, v(j), των δρστηριοτήτων, ευνοώντς εκείνες τις δρστηριότητες που φίνοντι ν είνι η πιο λογική επιλογή. ίνετι πό την σχέση: 1 v( j) ψ ( j) =. 1 v( i) i Dn

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 13 Ο τρόπος υτός προυσιάζει δυο µειονεκτήµτ : - Εφρµόζετι µόνο σε κνόνες προτεριότητς που δίνουν θετικά v(j) γι κάθε δρστηριότητ j του Dn. - Αν τ v(j), είνι πολύ µεγάλ τότε εκτελείτι τυχί δειγµτοληψί νεξάρτητ πό υτά. Γι ν ξεπερστούν τ µειονεκτήµτ υτά ο Drex [17] εκµετλλεύτηκε τ οφέλη των regret measures γι ν ορίσει την πιθνότητ επιλογής. Αυτό γίνετι µε: (3) Parameterised regret βσισµένη σε τυχί δειγµτοληψί bias. Υπολογίζουµε το regret based, p j, πό τον τύπο : p j = max v( i) v( j), όπου i D n, (2.8) i Dn όπου v(i) είνι το µέγιστο πό τ v(j) κι v(j) είνι µι τιµή προτεριότητς που ποδίδετι σε κάθε δρστηριότητ κι υπολογίζετι πό τον τύπο: v(j) = LS j - max { E i j ( i, j ) AP n }, (2.9) κι στη συνέχει η πιθνότητ πό τον τύπο : ρ j ψ (j) = ( ) a + 1 ( p + 1) i Dn i a. (2.10) Προσθέτοντς το 1 στο regret value δρστηριότητ στο Dn θ είνι µεγλύτερη του µηδενός. p j µς διβεβιώνει ότι η πιθνότητ γι κάθε Η πράµετρος, ορίζετι ως πράµετρο bias, της οποίς η τιµή εξρτάτι πό τον ριθµό των επνλήψεων z κτά την εφρµογή της µεθόδου κι δίνετι πό τον πρκάτω πίνκ. z 1 (1,5] (5,10] >10 φ(z) 3 2 1 Πίνκς 1. Πίνκς τιµών της πρµέτρου.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 14 Αντίθετι πρώτη η δρστηριότητ, η οποί έχει τη µεγλύτερη πιθνότητ ψ, κι υπολογίζετι έν FT γι τη δρστηριότητ υτή. Στη συνέχει δηµιουργείτι έν νέο σύνολο ποφάσεων µε τις υπόλοιπες πό τις δρστηριότητες, οι οποίες δεν επιλέχθηκν. Λµβάνοντς υπ όψιν τους περιορισµούς στις δυνµικότητες των οµάδων πόρων, εκτιµούµε ν οι υπόλοιπες πό τις δρστηριότητες είνι δυντό ν ντεθούν. Αν ικνοποιούντι οι συνθήκες διθεσιµότητς των πόρων, υπολογίζουµε τις πιθνότητες (σύµφων µε τ πρπάνω) των δρστηριοτήτων ν ντεθούν. Η πρπάνω διδικσί προυσιάζετι πρκάτω σε µορφή ψευδοκώδικ.: Αν πκ r η υπολειπόµενη χωρητικότητ του τύπου πόρων τύπου r στο χρόνο t n στάδιο εφρµογής της µεθόδου C n D n A n το σύνολο των δρστηριοτήτων που έχουν ολοκληρωθεί στο χρόνο t n σύνολο ποφάσεων ποτελούµενο πό δρστηριότητες που είνι εφικτές ν ξεκινήσουν την χρονική στιγµή t n µε βάση τους περιορισµούς προτεριότητς κι δυνµικότητς το σύνολο των δρστηριοτήτων οι οποίες βρίσκοντι σε εξέλιξη τη χρονική στιγµή t n EF j µικρότερος χρόνος περάτωσης της δρστηριότητς j. πκ rt = Κ r - k jr (2.11) j A n D n = { j j {C n U A n }, P j C n, k jr [ πκ r, r R } (2.12) Αρχικοποίηση: n = 1, t n = 0, D n = { 1 }, A n = C n = {}, πκ r = Κ r r R, Πήγινε στο Βήµ (2) ΕΝΩ A n U C n < J ΚΑΝΕ Βήµ n ΞΕΚΙΝΑ (1) t n = min {FT j j A n-1 } A n = A n-1 - { j j A n-1, FT j = t n } C n = C n-1 { j j A n-1, FT j = t n } ΥΠΟΛΟΓΙΣΕ πκ r r R ΚΑΙ D n

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 15 (2) j * = max { ψ(j) } FT j* = t n + d j* A n = A n { j* } ΥΠΟΛΟΓΙΣΕ πκ r r R ΚΑΙ D n ΑΝ D n {} ΤΟΤΕ ΠΗΓΑΙΝΕ ΣΤΟ ΒΗΜΑ (2) ΑΛΛΙΩΣ n = n + 1 ΤΕΛΟΣ ΣΤΑΜΑΤΑ Το διάγρµµ ροής της µεθόδου προυσιάζετι στο Σχήµ 3.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 16 ΑΡΧΙΚΟΠΟΙΗΣΗ IN ITIALISATION n=1, tn=0, Dn={1} An=Cn={}, πκr = Kr, J NO ΟΧΙ An+ C n <J YES ΝΑΙ APn GFPn/TFPn NO ΟΧΙ kir+kjr<kr YES ΝΑΙ CSPn Π(i,j) Π(i,j) E(i, j), v(j) ρ(j), ψ(j) j*=max(ψ(j)) FTj*=tn+dj* An=An+ {j*} πkr, D n Dn={} YES tn=min{ftj jεan-1} An=An-1- {{j:j ε An-1, FTj=tn} ΤΕΛΟΣ END Cn=C n-1+{j j εan-1, FTj = tn} πkr Σχήµ 3. ιάγρµµ ροής της πράλληλης µεθόδου.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 17 3.1.2. Σειρική µέθοδος Σε κάθε στάδιο n επιλέγετι µι πό τις «εφικτές» δρστηριότητες µε τη βοήθει ενός κνόν προτεριότητς τον οποίο προυσιάσµε στην προηγούµενη πράγρφο κι στη συνέχει προγρµµτίζετι στο συντοµότερο χρόνο. Ανλυτική προυσίση της διδικσίς γίνετι µε τον λγόριθµο που κολουθεί κθώς κι το διάγρµµ ροής της που φίνετι στο Σχήµ 4. Αν πκ rt η υπολειπόµενη δυνµικότητ του τύπου πόρων r στο χρόνο t n στάδιο της µεθόδου C n D n το σύνολο των δρστηριοτήτων που έχουν ολοκληρωθεί στο χρόνο t n σύνολο ποφάσεων ποτελούµενο πό δρστηριότητες που είνι εφικτές ν ξεκινήσουν την χρονική στιγµή t n µε βάση τους περιορισµούς προτεριότητς κι δυνµικότητς EF j µικρότερος χρόνος περάτωσης της δρστηριότητς j. πκ rt = Κ r - k jr j C FT d + 1 t FT n j j j (2.13) D n = { j j C n, P j C n } (2.14) ΕΝΩ C n < J ΚΑΝΕ ΒΗΜΑ n ΞΕΚΙΝΑ ΤΕΛΟΣ; ΥΠΟΛΟΓΙΣΕ D n ΚΑΙ πκ rt, t = 1,,T, r R j* = min { j v(j) = min v(i) }; i D n EFj* = max {FTi i P j* } + d j* FT j* = min { t EF j* [ t [ LF j*, k j*r < πκ rt, τ = t - d j* + 1,, t, r R }; C n+1 = C n U {j*}; n = n + 1 ΣΤΑΜΑΤΑ

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 18 n=1, C1 ={}, J Cn <J No ΟΧΙ Ye s Dn, πκrt j* E FTj* FTj* C n+1 n = n + 1 ΤΕΛΟΣ END Σχήµ 4. ιάγρµµ ροής σειρικής µεθόδου. 3.2. Aνάλυση ικτύων. H µέθοδος υτή χρησιµοποιείτι γι ν περιγράψει τις πολύπλοκες σχέσεις προτεριοτητων µετξύ των δρστηριοτήτων, τον κθορισµό ενός χρονοδιγράµµτος κι γι την πρόβλεψη της ηµεροµηνίς ολοκλήρωσης ενός έργου. Έν δίκτυο ποτελείτι πό κόµβους που συνδέοντι µε τόξ. Στο σύστηµ διµόρφωσης δικτύων «δρστηριότητ-σε-τόξο», κάθε τόξο πριστάνει µι δρστηριότητ, δηλδή µι ξεχωριστή εργσί που έχει κάποι διάρκει, πιτείτι νάλωση πόρων γι ν πργµτοποιηθεί κι της οποίς η εκτέλεση πρέπει ν σχεδιστεί, ν προγρµµτιστεί κι ν ελεγχθεί. Κάθε κόµβος ενός δικτύου νπριστά έν γεγονός, που στην περίπτωση των έργων είνι η ένρξη ή το πέρς κάποις δρστηριότητς. Κάθε τόξο είνι προσντολισµένο πό τον κόµβο στον οποίο ντιστοιχεί η ένρξη της δρστηριότητς που συµβολίζει το τόξο, προς τον κόµβο στον οποίο ντιστοιχεί το πέρς της. Οι κόµβοι

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 19 ενός δικτύου είνι ριθµηµένοι, έτσι ώστε ο (κέριος, θετικός) ριθµός του κόµβου που ντιστοιχεί στο πέρς µις δρστηριότητς ν είνι Σχήµ 5. Πράδειγµ δικτύου. µεγλύτερος πό τον ριθµό του κόµβου που ντιστοιχεί στην ένρξη της. Κάθε δρστηριότητ σε έν δίκτυο ορίζετι πλήρως κι µονδικά πό τους ριθµούς των κόµβων της ρχής κι του πέρτος της. Έτσι, στο δίκτυο του Σχήµτος 5, η δρστηριότητ Α ορίζετι πλήρως κι µονδικά πό το τόξο Α, που κτευθύνετι πό τον κόµβο 1, που ντιστοιχεί στο γεγονός της ένρξης, προς τον κόµβο 2, που ντιστοιχεί στο πέρς. Οι ριθµοί µέσ στις πρενθέσεις ντιστοιχούν στη διάρκει κάθε δρστηριότητς (π.χ. ο ριθµός 6 στην δρστηριότητ Α σηµίνει ότι διρκεί 6 εβδοµάδες). Οι δρστηριότητες κι τ γεγονότ σε έν δίκτυο έχουν τις εξής ιδιότητες: ) Έν γεγονός συµβίνει µόνον ότν έχουν εκτελεστεί όλες οι δρστηριότητες που οδηγούν σε υτό (Σχήµ 6). β) Μι δρστηριότητ µπορεί ν ρχίσει µόνον ότν έχει συµβεί το γεγονός που προηγείτι, δηλδή το γεγονός που ντιστοιχεί στον κόµβο ένρξής της. γ) Κάθε δρστηριότητ πρέπει ν έχει έν γεγονός ένρξης κι έν γεγονός πέρτος.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 20 Σχήµ 6. Το γεγονός 5 θ συµβεί µόνον φού περτωθούν οι δρστηριότητες Α, Β κι Γ. δ) Κάθε γεγονός πρέπει ν έχει µι προηγουµένη κι µι επόµενη δρστηριότητ, εκτός πό τ γεγονότ ένρξης (που δεν έχει προηγούµενη δρστηριότητ) κι πέρτος (που δεν έχει επόµενη δρστηριότητ) του έργου. ε) Κάθε γεγονός κι κάθε δρστηριότητ σε έν δίκτυο συµβίνουν µόνο µι φορά, δηλδή δεν επιτρέπετι ν σχηµτίζετι κλειστός βρόγχος (νκύκλωση). Σχήµ 7. Πράδειγµ κλειστού βρόγχου. Κλειστός βρόγχος (Σχήµ 7) είνι δυντό ν προκύψει λόγω σφάλµτος κτά την σχεδίση του δικτύου, π.χ. λόγω µη τήρησης της ρχής ότι ο κόµβος του πέρτος κάθε δρστηριότητς έχει πάντ µεγλύτερη ρίθµηση πό τον κόµβο της ένρξης της. Στην περίπτωση ενός επνλµβνόµενου συνόλου δρστηριοτήτων, όπως γι πράδειγµ οι τυτόσηµες οικοδοµικές εργσίες στους διφόρους ορόφους ενός κτιρίου, θ προκύψει κλειστός βρόγχος ν επιχειρηθεί οι επνληπτικές δρστηριότητες ν πεικονιστούν µε έν µόνο βρόγχο. Γι ν µην συµβεί υτό, κάθε επνλµβνόµενος κύκλος δρστηριοτήτων πρέπει ν πεικονιστεί µε ξεχωριστές δρστηριότητες. Η ύπρξη κλειστού βρόγχου σε έν πρόγρµµ υπολογιστή γι τον προγρµµτισµό έργων θ συνεπγότν ένν τέρµονο κύκλο επνλήψεων, ν στο πρόγρµµ δεν υπάρχει υποπρόγρµµ που ν νιχνεύει την ύπρξη τέτοιων βρόγχων.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 21 Κτά την διµόρφωση του δικτύου ενός έργου συχνά είνι νγκίο ν γίνει χρήση της έννοις της πλσµτικής (ή σκιώδους) δρστηριότητς, δηλδή µις δρστηριότητς που δεν πιτεί νάλωση πόρων ούτε χρόνο εκτέλεσης, λλά πλώς διευκολύνει τον ορθό σχεδισµό του δικτύου. Μι πλσµτική δρστηριότητ έχει, όπως όλες οι δρστηριότητες, έν γεγονός ένρξης κι έν γεγονός πέρτος, εκφράζει µι σχέση µετξύ πργµτικών δρστηριοτήτων κι συµβολίζετι µε δικεκοµµένο τόξο. Η νάγκη ν χρησιµοποιηθεί µι πλσµτική δρστηριότητ προκύπτει σε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη, δύο πράλληλες δρστηριότητες έχουν το ίδιο γεγονός ένρξης κι πέρτος (Σχήµ 8), δηλδή µπορεί Σχήµ 8. Χρήση πλσµτικής δρστηριότητς γι πεικόνιση πράλληλων δρστηριοτήτων µε κοινή ένρξη κι κοινό πέρς. ν ξεκινήσει η εκτέλεση κι των δύο ότν έχει ολοκληρωθεί µι προηγουµένη δρστηριότητ, ενώ το πέρς κι των δυο ποτελεί προϋπόθεση γι την ένρξη µις επόµενης δρστηριότητς. Επειδή κάθε δρστηριότητ ορίζετι µονδικά πό τ γεγονότ ένρξης κι πέρτος, δεν είνι δυντό ν χρησιµοποιηθούν δύο κόµβοι γι ν ορίσουν κι τις δύο δρστηριότητες. Στην περίπτωση υτή προστίθετι στο δίκτυο ένς νέος, πλσµτικός κόµβος, που πριστάνει το πέρς της µις πό τις δύο δρστηριότητες κι την ένρξη της πλσµτικής, µε µηδενική χρονική διάρκει, όπως φίνετι στο Σχήµ 8. Στην δεύτερη περίπτωση, στην ρχική εκπόνηση του σχεδίου εµφνίζετι µι δρστηριότητ ν εξρτάτι πό µι άλλη, ενώ υτό δεν συµβίνει στην πργµτικότητ. Γι πράδειγµ, έστω ότι η δρστηριότητ Γ µπορεί ν ξεκινήσει µόνον ότν ολοκληρωθούν οι δρστηριότητες Α κι Β, ενώ γι ν ξεκινήσει η δρστηριότητ ρκεί µόνο ν ολοκληρωθεί η δρστηριότητ Β. Στο Σχήµ 9(), εµφνίζετι λνθσµέν ότι η έπετι όχι µόνο της Β λλά κι της Α. Με τη χρήση µις πλσµτικής δρστηριότητς επιτυγχάνετι η ορθή πεικόνιση των πργµτικών σχέσεων προτεριότητς µετξύ των δρστηριοτήτων (Σχήµ 9(β)).

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 22 Σχήµ 9. Χρήση πλσµτικής δρστηριότητς γι την ποφυγή εµφάνισης µη πργµτικής σχέσης προτεριότητς στο δίκτυο. Μι ειδική κτηγορί δρστηριοτήτων που, ενώ δεν πιτούν νάλωση πόρων ούτε ντιπροσωπεύουν πργµτικό έργο, εκφράζουν χρόνο που είνι νγκίο ν ληφθεί υπόψη στον προγρµµτισµό του έργου, είνι οι τεχνητές δρστηριότητες. Γι πράδειγµ, η πράδοση στο σύστηµ πό έν εξωτερικό προµηθευτή των πρώτων υλών που πιτούντι γι την ένρξη µις πργωγικής δρστηριότητς, δεν ποτελεί µι πργωγική δρστηριότητ του συστήµτος κτά την οποί νλώνοντι πόροι. Όµως, ν δεν συµβεί υτή η πράδοση δεν µπορεί ν ρχίσει η πργωγή. Ο περιορισµός υτός µπορεί ν εισχθεί στο δίκτυο µε τη µορφή µις τεχνητής δρστηριότητς, ίσης διάρκεις µε τον νµενόµενο χρόνο πράδοσης των υλικών. Αντίστοιχη είνι η περίπτωση ενός τεχνικού περιορισµού της πργωγής, π.χ. το γεγονός ότι πριν ρχίσει ο ελιοχρωµτισµός µις επιφάνεις υτή πρέπει ν έχει στεγνώσει. Ο χρόνος που διρκεί το στέγνωµ µπορεί ν µη συνδέετι µε νάλωση πόρων, ντιπροσωπεύει όµως έν τεχνικό περιορισµό που πρέπει ν ληφθεί υπόψη κτά τον προγρµµτισµό του έργου. Ο περιορισµός υτός µπορεί ν εκφρστεί µε µι τεχνητή δρστηριότητ, που εισάγετι όπως οι άλλες στο δίκτυο. Κτά την σχεδίση ενός δικτύου δρστηριοτήτων, µι οµάδ πό υτές µπορεί ν ληφθεί ως µί δρστηριότητ κι ν νπρστθεί µε έν µόνο τόξο, ενώ ισχύει κι το ντίστροφο, δηλδή µι δρστηριότητ ν νλυθεί σε περισσότερες. Με τον τρόπο υτό µπορούν ν σχεδιστούν λιγότερο ή περισσότερο λεπτοµερεικά δίκτυ, νάλογ µε τον επιθυµητό βθµό νάλυσης, προγρµµτισµού κι ελέγχου του έργου. Τέλος, θ πρέπει ν σηµειωθεί ότι είνι δυντόν ο συµβολισµός των δρστηριοτήτων κι των γεγονότων ν ντιστρφεί: κάθε δρστηριότητ ενός έργου µπορεί ν συµβολιστεί µε ένν κόµβο κι κάθε γεγονός µε έν τόξο. Τ συστήµτ διµόρφωσης δικτύων που χρησιµοποιούν υτό το συµβολισµό (συστήµτ «δρστηριότητ -σε -κόµβο») φέρουν

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 23 διάφορ ονόµτ, νάλογ µε τον τρόπο που πριστάνοντι οι σχέσεις προτεριότητς, όπως «Μέθοδος υνµικών», «Κύκλος κι σύνδεσµος» κλπ. Στην περίπτωση υτή, το δίκτυο που διµορφώνετι ποτελείτι πό προσντολισµέν τόξ που εκφράζουν σχέσεις προτεριότητς, ξεκινώντς πό µι δρστηριότητ-κόµβο που προηγείτι κι κτλήγοντς σε µι δρστηριότητ-κόµβο που έπετι. Ασφλώς το δίκτυο είνι ισοδύνµο µε το δίκτυο που προκύπτει χρησιµοποιώντς τον ντίστροφο συµβολισµό κι η επίλυση του δίνει τ ίδι ποτελέσµτ. Σε έν τέτοιο δίκτυο δεν είνι νγκί η χρήση πλσµτικών δρστηριοτήτων. Η επιλογή του συµβολισµού εξρτάτι κυρίως πό το πρόγρµµ υπολογιστή που χρησιµοποιείτι γι την επίλυση. 3.3. ιµόρφωση δικτύου Ανεξάρτητ πό τη µέθοδο που χρησιµοποιείτι γι τον προγρµµτισµό ενός έργου, η διµόρφωση του δικτύου των δρστηριοτήτων ποτελεί το σοβρότερο κι δυσκολότερο µέρος της διδικσίς του προγρµµτισµού. Με έν σωστά διµορφωµένο δίκτυο, η εφρµογή της µεθόδου ποτελεί υπόθεση ρουτίνς, φού γι την εφρµογή υτή έχουν νπτυχθεί εµπορικά προγράµµτ που «επιλύουν» το δίκτυο, δηλδή πρέχουν πντήσεις στ ερωτήµτ σχετικά µε τον ελάχιστο χρόνο ολοκλήρωσης του έργου, τις κρίσιµες δρστηριότητες, τ περιθώρι των µη κρίσιµων δρστηριοτήτων κλπ. Γι τη διµόρφωση ενός δικτύου που πριστάνει έν έργο, είνι πρίτητη η νάλυση του έργου στις επιµέρους δρστηριότητες, δηλδή η κτάρτιση ενός πλήρους κτλόγου όλων των δρστηριοτήτων, που θ περιλµβάνει συγκεκριµέν στοιχεί γι κάθε µί πό υτές. Τ στοιχεί υτά ποτελούν τις πντήσεις στ ερωτήµτ: - Ποιες δρστηριότητες πρέπει ν έχουν περτωθεί πριν ρχίσει εν λόγω δρστηριότητ; - Ποιες δρστηριότητες µπορούν ή πρέπει ν ρχίσουν µετά την ολοκλήρωση της εν λόγω δρστηριότητς; - Ποιες δρστηριότητες µπορούν ν εκτελούντι πράλληλ µε της εν λόγω δρστηριότητ; Εκτός πό τ πρπάνω στοιχεί, που πιτούντι γι την διµόρφωση του δικτύου, είνι πρίτητο γι την πρπέρ νάλυση ν κτγρφούν γι κάθε δρστηριότητ τ µέσ, το κόστος, η διάρκει κι η µέθοδος εκτέλεσης. Με βάση τ στοιχεί που περιλµβάνει ο κτάλογος των δρστηριοτήτων, κτρτίζετι έν προσωρινό δίκτυο, στο οποίο κάθε δρστηριότητ εντάσσετι βάσει των σχέσεων

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 24 προτεριότητς που κθορίζοντι στον κτάλογο. Η συνηθισµένη πρκτική γι την εκπόνηση του δικτύου είνι η σχεδίσή του πό το τέλος προς την ρχή. ηλδή ξεκινώντς, πό την τελευτί δρστηριότητ του έργου, κάθε φορά προστίθεντι στις δρστηριότητες που ήδη έχουν εντχθεί στο δίκτυο οι δρστηριότητες που άµεσ προηγούντι. Κτά την κτάρτιση του προσωρινού δικτύου είνι δυντόν ν προκύψει νάγκη διευκρινίσεων, σχετικά µε σχέσεις προτεριότητς, προσθήκη δρστηριοτήτων που πρλήφθηκν, νάλυση ορισµένων δρστηριοτήτων σε περισσότερες επιµέρους δρστηριότητες κλπ. Με βάση το προσωρινό δίκτυο οριστικοποιείτι ο κτάλογος των δρστηριοτήτων κι κτρτίζετι το τελικό δίκτυο, που πρέπει ν είνι πρσττικό κι κλά σχεδισµένο (όχι διστύρωση τόξων, χρήση ευθύγρµµων τµηµάτων γι την πράστση τόξων, ποφυγή περιττών πλσµτικών δρστηριοτήτων). Στο τελικό δίκτυο γίνετι η οριστική ρίθµηση των κόµβων. Στον Πίνκ 1 (σελίδ 13), δίνετι έν πράδειγµ κτλόγου δρστηριοτήτων του έργου «εισγωγή νέου προϊόντος στην γορά». Στον κτάλογο υτό εµφνίζοντι όλες οι δρστηριότητες µε την περιγρφή τους, η κωδική ονοµσί τους, οι δρστηριότητες που προηγούντι κι η διάρκει κάθε δρστηριότητς. Η διάρκει υτή εξρτάτι πό το είδος της δρστηριότητς, το πιτούµενο γι το έργο προϊόν της, τους διθέσιµους γι την εκτέλεση της πόρους (νθρώπινο δυνµικό, µηχνήµτ κλπ.), τις προσδοκώµενες συνθήκες εκτέλεσης του έργου (π.χ. συνθήκες τόπου, κιρού), τη µέθοδον εκτέλεσης κλπ. Η εκτίµηση της διάρκεις γίνετι βάσει στοιχείων που διτίθεντι πό την πιο έγκυρη πηγή, η οποί µπορει ν διφέρει γι κάθε δρστηριότητ. Τέτοι στοιχεί µπορεί ν είνι οι πρότυποι χρόνοι πργωγής, οι τεχνικές προδιγρφές των µηχνηµάτων, σττιστικά στοιχεί, προδιγρφές που πρέχοντι πό δηµόσιες πηγές, πληροφορίες γι την εµπειρί του νθρώπινου δυνµικού, µετεωρολογικά δεδοµέν κλπ. Γι την εφρµογή της µεθόδου «Εύρεσης του Κρίσιµου Μονοπτίου», εν συντοµί Ε.Κ.Μ, πιτείτι µι µόνο εκτίµηση γι τη διάρκει κάθε µις δρστηριότητς. Το δίκτυο που πριστάνει το έργο της εισγωγής ενός νέου προϊόντος στην γορά, που ντιστοιχεί δηλδή στον πρπάνω κτάλογο, είνι υτό που πεικονίζετι στο Σχήµ 5.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 25 3.4. Προγρµµτισµός έργων µε την µέθοδο Ε.Κ.Μ 3.4.1. Μεγλύτεροι κι µικρότεροι χρόνοι Μετά τη σχεδίση του δικτύου που το νπριστά, ο προγρµµτισµός ενός έργου µε τη µέθοδο Ε.Κ.Μ γίνετι εύκολ, µε την βοήθει συνήθως ενός κτάλληλου προγράµµτος ηλεκτρονικού υπολογιστή. Το πρόγρµµ προσδιορίζει τον ελάχιστο χρόνο που πιτείτι γι την ολοκλήρωση του έργου, τις δρστηριότητες που είνι κθοριστικές γι τον χρόνο υτό, κι τους µικρότερους κι µεγλύτερους χρόνους ένρξης κι λήξης κάθε δρστηριότητς, προκειµένου ν µη κθυστερήσει το έργο. Τ γεγονότ κι οι δρστηριότητες κάθε δικτύου χρκτηρίζοντι πό κάποιους χρόνους, που κθορίζουν µετξύ άλλων την συνολική διάρκει του έργου κι την δυντότητ ευελιξίς κτά την εκτέλεση του, όπως θ δειχθεί στην συνέχει. Οι χρόνοι υτοί είνι οι εξής: ) Μικρότερος χρόνος γεγονότος ( EF ) Είνι ο συντοµότερος χρόνος, κτά τον οποίο µπορεί ν συµβεί το γεγονός. Αν το γεγονός φορά στην ένρξη µις δρστηριότητς, τότε ο µικρότερος χρόνος ένρξης είνι ο συντοµότερος χρόνος κτά τον οποίο µπορεί ν ρχίσει ν εκτελείτι η δρστηριότητ. Αν το γεγονός φορά το πέρς µις δρστηριότητς, τότε ο µικρότερος χρόνος πέρτος της δρστηριότητς είνι ο συντοµότερος χρόνος που µπορεί η εκτέλεση υτής της δρστηριότητς ν περτωθεί. Ο χρόνος υτός υπολογίζετι θροίζοντς τους χρόνους των δρστηριοτήτων που περιλµβάνοντι στον κλάδο (σύνολο διδοχικών τόξων) που οδηγεί στο γεγονός. Αν οι κλάδοι είνι περισσότεροι πό δύο, τότε ο µικρότερος χρόνος ένρξης του γεγονότος ισούτι µε το µεγλύτερο πό τους χρόνους όλων των κλάδων που οδηγούν στο γεγονός. Γι πράδειγµ, ο µικρότερος χρόνος του γεγονότος που ντιστοιχεί στον κόµβο 6 του δικτύου του Σχήµτος 5(σελίδ 18) είνι 13 εβδοµάδες (δηλδή το γεγονός µπορεί ν συµβεί το ενωρίτερο µέσως µετά το τέλος της 13ης εβδοµάδς), φού στο γεγονός υτό οδηγούν οι κλάδοι 0-1-6 κι 0-1-5-6, µε χρόνους 0+13=13 κι 0+2+10=12, ντίστοιχ. β) Μεγλύτερος χρόνος γεγονότος ( FT ) Είνι ο µεγλύτερος χρόνος που επιτρέπετι ν συµβεί το γεγονός, ώστε ν µην πρτθεί η συνολική διάρκει του έργου. Αν το γεγονός φορά την ένρξη µις δρστηριότητς, τότε ο µεγλύτερος χρόνος της ένρξης της δρστηριότητς είνι το

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 26 χρονικό όριο γι την ένρξη της δρστηριότητς. Αν ξεπερστεί υτό το όριο θ πρτθεί ο χρόνος περάτωσης του έργου. Αν το γεγονός φορά την λήξη µις δρστηριότητς, τότε ο µεγλύτερος χρόνος πέρτος της δρστηριότητς είνι ο χρόνος κτά τον οποίο το ργότερο πρέπει ν τελειώσει η δρστηριότητ ώστε ν µην πρτθεί η διάρκει του έργου. Ο χρόνος υτός κθορίζετι φιρώντς πό το χρόνο του πέρτος του έργου τους χρόνους των δρστηριοτήτων του κλάδου που οδηγεί πό το γεγονός υτό στο γεγονός του πέρτος του έργου. Αν οι κλάδοι είνι περισσότεροι πό δύο, τότε ο µεγλύτερος χρόνος ντιστοιχεί στον κλάδο µε τον µικρότερο συνολικό χρόνο. Γι πράδειγµ, ο µεγλύτερος χρόνος του γεγονότος που ντιστοιχεί στον κόµβο 2 του δικτύου του Σχήµτος 5, µε δεδοµένο ότι ο χρόνος πέρτος του έργου είνι 25 (τέλος της 25ης εβδοµάδς), είνι 6 (τέλος της 6ης εβδοµάδς). Πράγµτι, πό το γεγονός 2 τρεις κλάδοι οδηγούν στο γεγονός του πέρτος του έργου, ο κλάδος 2-8-9-10-11, ο κλάδος 2-4- 7-10-11 κι ο κλάδος 2-3-4-7-10-11. Αφιρώντς τους χρόνους των κλάδων πό το χρόνο 25 έχουµε 25-(2+4+10+0)=9, 25-(9+3+5+0) = 8 κι 25-(4+7+3+5+0)=6, ντίστοιχ. Με βάση τους πρπάνω ορισµούς του ενωρίτερου κι βρδύτερου χρόνου γεγονότος, ορίζοντι οι κόλουθοι χρόνοι γι κάθε δρστηριότητ: ) Μικρότερος χρόνος ένρξης της δρστηριότητς j ( ES j) : Είνι ο συντοµότερος χρόνος που µπορεί ν ρχίσει η εκτέλεση µις δρστηριότητς. Ο χρόνος υτός ισούτι µε τον µικρότερο χρόνο του γεγονότος ένρξης της δρστηριότητς. ES j = max {όλων των δρόµων πό τη δρστηριότητ ένρξης µέχρι υτή τη δρστηριότητ} β) Μεγλύτερος χρόνος ένρξης της δρστηριότητς j ( LF ) j : Είνι ο µεγλύτερος χρόνος που επιτρέπετι ν ρχίσει η δρστηριότητ, ώστε ν µη πρτθεί η διάρκει του έργου. LF j = min {Τ} όπου, Τ = διάρκειες όλων των δρόµων πό τη πρώτη δρστηριότητ ως τη δρστηριότητ τέλους γ) Μικρότερος χρόνος πέρτος της δρστηριότητς j ( EF j) : Είνι ο µικρότερος χρόνος που νµένετι ν περτωθεί η δρστηριότητ. EF j = ES j + διάρκει δρστηριότητς j

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 27 δ) Μεγλύτερος χρόνος πέρτος της δρστηριότητς j ( LF ) j : Είνι ο µεγλύτερος χρόνος που επιτρέπετι ν περτωθεί µι δρστηριότητ, ώστε ν µη πρτθεί η διάρκει του έργου. LS j = LF j - διάρκει δρστηριότητς j. ε) Μέγιστος διθέσιµος χρόνος: Είνι το χρονικό διάστηµ που διτίθετι γι την εκτέλεση µις δρστηριότητς κι ισούτι µε την διφορά του µικρότερου χρόνου του γεγονότος ένρξης πό τον µεγλύτερο χρόνο του γεγονότος πέρτος της δρστηριότητς 3.4.2. Η κρίσιµη διδροµή Σε κάθε δίκτυο υπάρχουν οι λεγόµενες κρίσιµες δρστηριότητες. Κρίσιµη λέγετι κάθε δρστηριότητ που δεν έχει κνέν περιθώριο κθυστέρησης ή µεττόπισης, δηλδή που οι µικρότεροι κι µεγλύτεροι χρόνοι ένρξης κι πέρτός της τυτίζοντι. Κάθε κθυστέρηση µις τέτοις δρστηριότητς συνεπάγετι ντίστοιχη κθυστέρηση στην περάτωση του έργου. Μι δρστηριότητ κθίσττι κρίσιµη λόγω της σχετικής θέσης της στο δίκτυο του έργου κι της επιδίωξης ν µη ξεπεράσει η διάρκει του έργου κάποιο χρονικό όριο. Αν δεν υπήρχε υτή η επιδίωξη, δεν θ υπήρχν κρίσιµες δρστηριότητες. Ειδικότερ, οι κρίσιµες δρστηριότητες ενός δικτύου προκύπτουν ότν τυτίζοντι ο µικρότερος µε τον µεγλύτερο χρόνο πέρτος της τελευτίς δρστηριότητς (δρστηριότητς πέρτος) του έργου. Κάθε δίκτυο, στο οποίο συµβίνει το γεγονός υτό, περιλµβάνει µι τουλάχιστον κρίσιµη διδροµή, δηλδή ένν κλάδο που οδηγεί πό το γεγονός ένρξης στο γεγονός πέρτος του έργου κι που ποτελείτι µόνο πό κρίσιµες δρστηριότητες. Η διδροµή υτή έχει την µεγλύτερη χρονική διάρκει πό όλους τους κλάδους που οδηγούν πό το γεγονός ένρξης στο γεγονός πέρτος του έργου. Γι την εύρεση της κρίσιµης διδροµής ενός δικτύου κολουθούµε την εξής διδικσί: ) Θεωρείτι µι πλσµτική δρστηριότητ ένρξης κι µι ντίστοιχη πέρτος του έργου κι τοποθετούντι στην ρχή κι στο τέλος του έργου, ντίστοιχ. Οι δρστηριότητες υτές έχουν, όπως όλες οι πλσµτικές δρστηριότητες, µηδενική διάρκει κι χρησιµοποιούντι πλά γι ν διευκολύνουν την νάλυση του δικτύου. β) Ο µικρότερος χρόνος ένρξης κι πέρτος της δρστηριότητς ένρξης του έργου τίθετι ίσος µε µηδέν. γ) Έστω µι δρστηριότητ Χ, κι έστω ότι έχουν προσδιοριστεί ο µικρότερος χρόνος ένρξης κι πέρτος των δρστηριοτήτων που µέσως προηγούντι άµεσ πό υτήν. Τότε ο µικρότερος χρόνος ένρξης της Χ ισούτι µε τον ενωρίτερο χρόνο του γεγονότος

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 28 ένρξης της δρστηριότητς, δηλδή ισούτι µε το µεγλύτερο πό τους ενωρίτερους χρόνους πέρτος των δρστηριοτήτων που µέσως προηγούντι (βλ. Σχήµ 10). δ) Ο µικρότερος χρόνος πέρτος της Χ ισούτι µε τον µικρότερο χρόνο ένρξης της Χ προστίθοντς τη διάρκει της. ε) Ο µεγλύτερος χρόνος ένρξης κι πέρτος της δρστηριότητς πέρτος του έργου τίθετι ίσος µε τον ντίστοιχο µικρότερο χρόνο ένρξης κι πέρτος υτής της πλσµτικής δρστηριότητς. Οι χρόνοι υτοί προφνώς είνι ίσοι µετξύ τους, φού η δρστηριότητ πέρτος του έργου έχει µηδενική διάρκει. Γι ν κθοριστούν οι χρόνοι υτοί πρέπει ν έχουν κθοριστεί νωρίτερ ο µικρότερος χρόνος ένρξης κι πέρτος όλων των δρστηριοτήτων του έργου. Σχήµ 10. Εύρεση του µικρότερου χρόνου ένρξης κι πέρτος δρστηριοτήτων. στ) Έστω µι δρστηριότητ Υ, κι έστω ότι έχουν προσδιοριστεί ο µεγλύτερος χρόνος ένρξης κι πέρτος όλων των δρστηριοτήτων που έποντι της Υ. Τότε ο µεγλύτερος χρόνος πέρτος της Υ ισούτι µε το βρδύτερο χρόνο του γεγονότος πέρτος της Υ, δηλδή ισούτι µε τον µικρότερο πό τους µεγλύτερους χρόνους ένρξης των δρστηριοτήτων που έποντι άµεσ της Υ. ζ) Ο µεγλύτερος χρόνος ένρξης της Υ ισούτι µε τον µεγλύτερο χρόνο πέρτος φιρόντς την διάρκει της Υ.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 29 Σχήµ 11. Αποτέλεσµ επίλυσης δικτύου. Με τον τρόπο υτόν προκύπτουν ο µικρότερος κι µεγλύτερος χρόνος ένρξης κι πέρτος όλων των δρστηριοτήτων του έργου. Η κρίσιµη διδροµή, όπως νφέρθηκε, περιλµβάνει µόνο κρίσιµες δρστηριότητες κι οδηγεί πό την δρστηριότητ ένρξης στην δρστηριότητ πέρτος του έργου. Η επίλυση του δικτύου φίνετι στο Σχήµ 11 κι στον ντίστοιχο Πίνκ 2, που δείχνει τ ποτελέσµτ της επίλυσης, όπως θ προέκυπτν πό έν σχετικό πρόγρµµ υπολογιστή. Σε έν δίκτυο ενδέχετι ν υπάρχουν περισσότερες πό µι κρίσιµες διδροµές. Στην περίπτωση του πρδείγµτος προκύπτει µόνο µι κρίσιµη διδροµή, υτή που διέρχετι πό τους κόµβους 0-1-2-3-4-7-10-11, κι περιλµβάνει τις κρίσιµες δρστηριότητες START-A-B-C-L-M-FINISH. Η χρονική διάρκει της διδροµής υτής είνι 25 εβδοµάδες, όσο κι οι χρόνοι που έχουν σηµειωθεί στην δρστηριότητ πέρτος του έργου. Οποιδήποτε άλλη διδροµή στο δίκτυο, που οδηγεί πό την ένρξη στο πέρς του έργου, περιλµβάνει δρστηριότητες, των οποίων η συνολική διάρκει είνι µικρότερη πό 25 εβδοµάδες. Φυσικά, ν γι κάποιον λόγο υξηθεί πάνω πό κάποιο όριο η διάρκει µίς ή περισσοτέρων δρστηριοτήτων κάποις µη κρίσιµης διδροµής, τότε η διδροµή υτή γίνετι κρίσιµη, ντικθιστώντς την προηγούµενη κρίσιµη διδροµή. Γι ν συµβεί υτό θ

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 30 πρέπει η ύξηση υτή ν είνι µεγλύτερη της διφοράς µετξύ της διάρκεις της κρίσιµης διδροµής κι της συνολικής διάρκεις των δρστηριοτήτων της µη κρίσιµης διδροµής. Πίνκς 2. Αποτελέσµτ επίλυσης δικτύου 3.4.3. Πράδειγµ υπολογισµού σττιστικών στοιχείων δικτύου Η µέθοδος επίλυσης δικτύου µπορεί ν συνοψιστεί στις πρκάτω σχέσεις: ES j = max {όλων των δρόµων πό τη δρστηριότητ ένρξης µέχρι υτή τη δρστηριότητ} LF j = min {Τ - διάρκειες όλων των δρόµων πό τη δρστηριότητ ως τη δρστηριότητ τέλους EF j = ES j + διάρκει δρστηριότητς j LS j = LF j - διάρκει δρστηριότητς j. Στην συνέχει, θ προυσιστεί έν πράδειγµ επίλυσης δικτύων στο οποίο υπολογίζοντι τ σττιστικά στοιχεί γι κάποιες δρστηριότητες.

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 31 E(4) 8 9 D(2) 2 F(10) A(6) K(9) B(4) 0 Start(0) L(3) 1 3 4 7 M(5) 10 11 C(7) I(13) Finish(0) G(2) J(6) 5 6 Σχήµ 12. ιάγρµµ δρστηριοτήτων στ τόξ. Μετσχηµτίζουµε το πρπάνω διάγρµµ δρστηριοτήτων στ τόξ σε διάγρµµ µε δρστηριότητες στους κόµβους. D,2 E,4 F,1 Start,0 Finish,0 A,6 K,9 L,3 M,5 B,4 C,7 I,13 J,6 G,2 H,1 Σχήµ 13.. ιάγρµµ µε τις δρστηριότητες στους κόµβους. Προσδιορίζουµε τ σττιστικά στοιχεί γι την δρστηριότητ Μ. Η δρστηριότητ µπορεί ν εκτελεστεί µε 4 τρόπους, των οποίων οι χρόνοι ολοκλήρωσης είνι: 1. A - K - L - M: 6 + 9 + 3 + 5 = 23 2. A - B - C - L - M: 6 + 4 + 7 + 3 + 5 = 25 3. I - J - M: 13 + 6 + 5 = 24 4. G - H - J - M: 2 + 10 + 6 + 5 = 23 Θέτουµε έν άνω όριο γι τη διάρκει του έργου, που είνι ο µεγλύτερος χρόνος πό τους πρπάνω, δηλδή Τ = 25. Τότε θ έχουµε: ES M = max { A - K - L, A - B - C - L, I - J, G - H - J } = max{ 6 + 9 + 3, 6 + 4 + 7 + 3, 13 + 6, 2 + 10 + 6 } = 20

Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. 32 LF M = min { T - 0 } = min { 25 } = 25 EF M = ES M + (διάρκει Μ) = 20 + 5 = 25 LS M = LF M - ( διάρκει Μ) = 25-5 = 20

Εφρµογή των µεθόδων 33 4. Εφρµογή των µεθόδων Προυσιάζοντι κάποι πρδείγµτ στ οποί εφρµόζοντι οι πρπάνω µέθοδοι. 4.1. Λεπτοµερής Προγρµµτισµός Θ προυσιστεί έν πράδειγµ που φορά την επίλυση δικτύων κι την εφρµογή του λγορίθµου επίλυσης του Π.Π.Ε.Π.. 4.1.1. Επίλυση του Π.Π.Ε.Π.. Μς δίνετι ο πρκάτω πίνκς όπου προυσιάζοντι 5 δρστηριότητες µε τις ντίστοιχες χρονικές περιόδους d j κι τις προπιτούµενες γι κάθε µι πό τις δρστηριότητες. Έχουµε δυο οµάδες πόρων, όπου γι το κθέν έχουµε K 1 = 2 κι K 2 = 1 πργωγικούς πόρους. A j k j1 k j2 d j (time units) A 1 1 0 2 {} A 2 1 1 3 {} A 3 2 0 2 {A 1 } A 4 1 1 1 {A 2, A 3 } A 5 0 1 3 {} P j Πίνκς 3. εδοµέν προβλήµτος. Στην συνέχει πεικονίζουµε τ στοιχεί του πίνκ πάνω σε έν δίκτυο µε τις δρστηριότητες στους κόµβους. Το Α 2,3 σηµίνει, ότι η δρστηριότητ A 2 χρειάζετι 3 χρονικές περιόδους (time units) γι ν ολοκληρωθεί.

Εφρµογή των µεθόδων 34 A2,3 Start, 0 A1,2 A3,2 A4, 1 Finish, 0 A5, 3 Σχήµ 14. Ανπράστση του προβλήµτος µε δίκτυο. Υπολογίζουµε το Q γι κάθε µι πό τις 5 δρστηριότητες, υπενθυµίζοντς ότι Q = K + K, κι θεωρούµε ότι το έργο θ εκτελεστεί σύµφων µε τ δεδοµέν του im j1 j2 πίνκ, δηλδή υποθέτοντς ότι το Μ ισούτι µε 1 γι όλες τις δρστηριότητες. Έτσι γι τις 5 δρστηριότητες θ έχουµε τ κόλουθ στοιχεί: task j Modes Mj Qjm 1 1 1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 1 Πίνκς 4.Προσδιορισµός του Qjm. κι προσδιορίζουµε τ σττιστικά του στοιχεί πό τους τύπους που δόθηκν στην Πράγρφο 2.3.

Εφρµογή των µεθόδων 35 Προσδιορισµός των σττιστικών στοιχείων του δικτύου Υπολογίζουµε το άνω όριο της χρονικής διάρκεις του έργου, ως το άθροισµ όλων των χρόνων εκτέλεσης των δρστηριοτήτων : T = Σ d j = d 1+ d 2 + d3 + d 4 + d5 = 2+3+2+1+3 = 11 Στην συνέχει επιλύετι το δίκτυο δρστηριοτήτων θεωρώντς ως µεγλύτερη πρτήρηση του έργου Τ = 11 (time units). εδοµένου του Τ, µπορούµε ν υπολογίσουµε τον µικρότερο κι µεγλύτερο χρόνο ένρξης κι λήξης κάθε δρστηριότητς, εφρµόζοντς τις µεθόδους επίλυσης δικτύων. Έτσι θ έχουµε: ρστηριότητ A 1 : 1 διδροµή οδηγεί στη δρστηριότητ υτή πό την ρχή του δικτύου ES 1 = max {0} = 0 LF 1 = min {T - (d 3 + d 4 )} = min {11 - (2 + 1)} = 8 EF 1 = ES 1 + d 1 = 0 + 2 = 2 LS 1 = LF 1 - d 1 = 8 2 = 6 ρστηριότητ A 2 : 1 διδροµή οδηγεί στη δρστηριότητ υτή πό την ρχή του δικτύου ES 2 = max {0} = 0 LF 2 = min {T - d 4 } = min {11-1} = 10 EF 2 = ES 2 + d 2 = 0 + 3 = 3 LS 2 = LF 2 - d 2 = 10-3 = 7 ρστηριότητ A3: 1 διδροµή οδηγεί στη δρστηριότητ υτή πό την ρχή του δικτύου ES 3 = max {d 1 } = 2 LF 3 = min {T - d 4 } = min {11-1} = 10 EF 3 = ES 3 + d 3 = 2 + 2 = 4 LS 3 = LF 3 - d 3 = 10-2 = 8 ρστηριότητ A 4 : δικτύου 2 διδροµές οδηγούν στη δρστηριότητ υτή πό την ρχή του ES 4 = max {d 2, d 1 + d 3 } = max { 3, 2 + 2 } = max { 3, 4 } = 4 LF 4 = min {T - 0} = min {11-0} = 11 EF 4 = ES 4 + d 4 = 4 + 1 = 5 LS 4 = LF 4 - d 4 = 11-1 = 10

Εφρµογή των µεθόδων 36 ρστηριότητ A 5 : 1 διδροµή οδηγεί στη δρστηριότητ υτή πό την άρχή του δικτύου ES 5 = max {0} = 0 LF 5 = min {T - 0} = min {11-0} = 11 EF 5 = ES 5 + d 5 = 0 + 3 = 3 LS 5 = LF 5 - d 5 = 11-3 = 8 Τ πρπάνω ποτελέσµτ προυσιάζοντι συνοπτικά στον πρκάτω πίνκ 5. J Es j Ef j LS j LF j 1 0 2 6 8 2 0 3 7 10 3 2 4 8 10 4 4 5 10 11 5 0 3 8 11 Πίνκς 5. Σττιστικά στοιχεί του δικτύου Γι ν ξεκινήσει ο λγόριθµος, εισάγουµε τ δεδοµέν του προβλήµτος κι επιλέγουµε τον ριθµό των επνλήψεων (Ζ) γι την εφρµογή της µεθόδου. Στη συγκεκριµένη περίπτωση επειδή οι υπολογισµοί γίνοντι µε το χέρι, επιλέγετι ένς µικρός ριθµός γι το Ζ, Ζ = 3. Στη συνέχει υπολογίζουµε το µέγεθος RF. RF= J 1 1 1 1 J 2 M R M j j= 2 j m= 1 Q R jm όπου: M j = Αριθµός ενλλκτικών τρόπων εκτέλεσης µις δρστηριότητς (περισσότερο προσωπικό, µικρότερος χρόνος κ.λ.π) Q jm = Μέγιστος ριθµός πόρων που κτνλώνοντι πό έν συνδυσµό δρστηριοτήτων - τρόπων που µπορεί µι δρστηριότητ ν εκτελεστεί [j,m] R = Αριθµός πόρων J = Αριθµός δρστηριοτήτων = 5

Εφρµογή των µεθόδων 37 Προσδιορίζουµε λοιπόν το RF βάσει των πρπάνω δεδοµένων: RF = J 1 j 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 2 3 9 1 2 1 1 2 1 R R Q Q J M R M 1 2 0 66 jm = jm = + + =. j= 2 j M m= 1 j Ανπριστώντς τ στοιχεί της τελευτίς στήλης του πίνκ µε έν διάνυσµ θ έχουµε: SS = [LF 1, LF 2, LF 3, LF 4, LF 5 ] = [ 8, 10, 10, 11, 11] όπου SS είνι το χρονοπρόγρµµ που δηµιουργήθηκε πό την επίλυση του δικτύου κι το makespan είνι φ(ss) = 11 Ο λγόριθµος συνεχίζει θέτοντς: LF j = LS j = Τ =11 Η µέθοδος ξεκινάει ποδίδοντς στο z την ρχική του τιµή (z = 1). Από τον Πίνκ 1, προκύπτει η τιµή = φ (z) = φ ( 1). Επειδή ο ριθµός των επνλήψεων είνι Ζ = 3 κι ο συντελεστής είνι RF = 0.66 < 0.75 Εκτελείτι η πράλληλη µέθοδος νάθεσης εργσιών. Αρχικοποίηση: n = 1 (πρώτο στάδιο εφρµογής της µεθόδου) t 1 = 0 D 1 = { 1 }, όπου { 1 } είνι µι εικονική δρστηριότητ µηδενικής διάρκεις, δεν κτλµβάνει πόρους κι είνι προπιτούµενη όλων των επόµενων δρστηριοτήτων κι χρησιµοποιείτι προκειµένου ν ξεκινήσει ν εκτελείτι ο λγόριθµος. Η δρστηριότητ υτή δεν θ µετρηθεί σε κνέν πό τ σύνολ δρστηριοτήτων που θ σχηµτιστούν στ επόµεν βήµτ. Ο λγόριθµός συνεχίζει υπολογίζοντς : To σύνολο γι τις δρστηριότητες που βρίσκοντι σε εξέλιξη, AA 1 = { }, To σύνολο των δρστηριότητων που έχουν ολοκληρωθεί, C 1 = { }, κι η υπολειπόµενη δυνµικότητ των οµάδων πόρων είνι: πκ 1 = Κ 1 = 2 πκ 2 = Κ 2 = 1

Εφρµογή των µεθόδων 38 Ο ριθµός των δρστηριοτήτων που νήκουν στο ΑΑ n κι στο C n ισούτι µε το µέτρο της ένωσης των δύο συνόλων. Αυτό το µέτρο το συγκρίνουµε µε τον ολικό ριθµό των δρστηριοτήτων κι συνεχίζουµε σύµφων µε τον λγόριθµο. AΑ 1 U C 1 = 0 < 5 =J ΠΗΓΑΙΝΕ ΒΗΜΑ (2) D 1 = { 1 } FT 1 = t 1 + d * = 0 + 0 = 0 d * = διάρκει της πλσµτικής δρστηριότητς 1 = 0 AA 1 = { 1 }, πκ 1 = Κ 1-0 = 2 πκ 2 = Κ 2-0 = 1 D 1 = { } Εάν το σύνολο ποφάσεων D n = {}, τότε προχωράµε στο επόµενο βήµ, n = n + 1 n = 2 (δεύτερο στάδιο εφρµογής της µεθόδου) ο νέος χρόνος είνι t 2 = min { FT j j AA 1 }= 0 Η δρστηριότητ 1 δεν συνυπολογίζετι στον υπολογισµό του ριθµού των εκτελούµενων δρστηριοτήτων. Ξεκινάµε υπολογίζοντς τ κινούργι σύνολ κθώς κι την υπολειπόµενη δυνµικότητ. To AA 2 ορίζετι ως εξής: AA 2 = AA 1 - { j j AA 1, FT j = t 2 } = { } Επίσης το σύνολο C 2 είνι σύµφων µε τον λγόριθµο: C 2 = {1} Η υπολειπόµενη δυνµικότητ είνι: πκ 1 = Κ 1 0 = 2 πκ 2 = Κ 2 0 = 1 Αφού ΑA 2 U C 2 = 0 < 5 = J ΠΗΓΑΙΝΕ ΒΗΜΑ (2) Προκειµένου ν σχηµτιστεί έν κινούριο σύνολο ποφάσεων D n, εξετάζουµε ποιες δρστηριότητες είνι δυντό ν εκτελεστούν βάσει δυο κριτηρίων : της τρέχουσς δυνµικότητς (έλεγχος γι περιορισµούς δυνµικού) κι ν εκπληρούντι οι περιορισµοί προτεριότητς Έλεγχος γι περιορισµούς προτεριότητς: κοιτάµε γι τις προπιτούµενες P j της κάθε δρστηριότητς που φίνετι πό τον Πίνκ 3, που έχει τ δεδοµέν του προβλήµτος

Εφρµογή των µεθόδων 39 P A1 = {} P A2 = {} P A3 = { A 1 } πορρίπτετι (δεν είνι δυντό ν εκτελεστεί λόγω προπιτούµενων) P A4 = {A 2, A 3 } πορρίπτετι P A5 = {} Άρ όσον φορά τους περιορισµούς προτεριότητς οι δρστηριότητες Α 1, Α 2, Α 5 είνι επιλέξιµες. Αυτές θ τις ελέγξω γι την δυνµικότητ που έχω διθέσιµη. Έλεγχος γι περιορισµούς δυνµικού: ρστηριότητ A 1 : k 11 = 1 < 2 = πκ 1 k 12 = 0 < 1 =πκ 2 δεκτό ρστηριότητ A 2: k 21 = 1 < 2 = πκ 13 k 22 = 1 = πκ 2 δεκτό ρστηριότητ A 5: k 51 = 0 < 2 = πκ 1 k 52 = 1 = πκ 2 δεκτό Από τον έλεγχο βλέπουµε ότι κι οι τρεις δρστηριότητες µπορούν ν εκτελεστούν. ηµιουργείτι λοιπόν το σύνολο ποφάσεων : D 2 = { A 1, A 2, A 5 } Αφού έχουµε τρεις δρστηριότητες στο κινούργιο σύνολο ποφάσεων θ γίνει χρήση της πράλληλης µεθόδου. Σύµφων µε υτή : Σχηµτίζουµε όλ τ δυντά ζεύγη που προκύπτουν πό το σύνολο ποφάσεων: AP 2 = { A 1 A 2, A 1 A 5, A 2 A 5 } Στη συνέχει, εξετάζουµε ποι πό τ ζεύγη είνι δυντό ν εκτελεστούν βάσει της υπάρχουσς δυνµικότητς. Έλεγχος γι περιορισµούς δυνµικού σε κάθε ζεύγος: A 1 A 2 : k 11 + k 21 = 1 + 1 = 2 = πκ 1 k 12 + k 22 = 0 + 1 = 1 = πκ 2 δεκτό A 1 A 5 : k 11 + k 51 = 1 + 0 = 1 < πκ 1 k 12 + k 52 = 0 + 1 = 1 = πκ 2 δεκτό A 2 A 5 : k 21 + k 51 = 1 + 0 = 1 < πκ 1 k 22 + k 52 = 1 + 2 = 2 > πκ 2 πορρίπτετι

Εφρµογή των µεθόδων 40 Σχηµτίζουµε τ ζεύγη όπως ορίστηκν σε προηγούµενη πράγρφο. Έτσι θ έχουµε: το GFP 2 = { A 2 A 5 } το CSP 2 = { A 1 A 2, A 1 A 5 } κι το TFP 2 = {} Ο χρόνος στον οποίο οι δρστηριότητες είνι δυντό ν εκτελεστούν πράλληλ Π ( i, j ) = t 2 = 1, γι τις δρστηριότητες του CSP 2 δηλδή γι τις A 1 A 2,A 1 A 5,γι τις δρστηριότητες του GFP 3 δηλδή γι A 2 A 5 (υτές δεν εκτελούντι ποτέ πράλληλ) Eποµένως έχω : Π A A = t =, Π A 1 A5 = t = 0, Π A 2 A5 = 1 2 2 0 2 Γι όλ τ ζεύγη (i, j) που είνι δυντό ν σχηµτιστούν, υπολογίζουµε το χρόνο ένρξης της δρστηριότητς j δεδοµένου ότι έχει ρχίσει η i ( Ε i j )(εφρµογή της εξίσωσης 2.7) E i j = min { t n + d i, Π ( i, j ) (i,j) AP n } Άρ : E A2 A1 = min { t 2 + d 2, Π ( A2, A1 ) ( A 2, A 1 ) AP 2 }= min { 0 + 3, 0 } = 0 E A5 A1 = min { t 2 + d 5, Π ( A5, A1 ) ( A 5, A 1 ) AP 2 }= min { 0 + 3, 0 } = 0 E A1 A2 = min { t 2 + d 1, Π ( A1, A2 ) (A 1, A 2 ) Ap 2 } = min { 0 + 2, 0 } = 0 E A5 A2 = min { t 2 + d 5, Π ( A5, A2 ) ( A 5, A 2 ) AP 2 } = min { 0 + 3, } = 3 E A1 A5 = min { t 2 + d 1, Π ( A1, A5 ) ( A 1, A 5 ) AP 2 }= min { 0 + 2, 0 } = 0 E A2 A5 = min { t 2 + d 2, Π ( A2, A5 ) ( A 2, A 5 ) AP 2 } = min { 0 + 3, } = 3 Οπότε υπολογίζουµε τις τιµές προτεριότητς γι τις τρεις δρστηριότητες (εξίσωση 2.9): v(a 1 )=LS A1 -max{e i j (i, j) AP 2 }=6-3 = 3 v(a 2 )=LS A2 -max{e i j (i, j) AP 2 }=7-3 = 4 v(a 5 )=LS A5 -max{e i j (i, j) AP 2 }=8-3 = 5 ρ Α1 = max v(i) - v(a 1 ) = 5-3 = 2 i D 2 ρ Α2 = max v(i) - v(a 2 ) = 5-4 = 1 i D 2 ρ Α5 = max v(i) - v(a 5 ) = 5-5 = 0 i D 2